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Full text of "Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten geburtstage 20. februar 1904. Mit einem portrait, 101 abbildungen im text und 2 tafeln"

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FESTSCHRIFT 



LUDWIG BOLTZMANN 



GEWIDMET 



ZUM SECHZIGSTEN GEBURTSTAGE 



20. FEBRUAR 1904. 



MIT EINEM PORTRÄT, 101 ABBILDUNGEN IM TEXT 

UND 2 TAFELN. 



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LEIPZIG 
VERLAG VON JOHANN AMBROSIüS BARTH 

1904. 



Druck von Metzger &. Wittig In Leipzig. 



Als im Mai 1903 Vertreter der Physik an den 
österreichischen Hochschulen, die Herren H.Benndorf, 
P. Czermak, L. Ditscheiuer, A. v. Ettingshausen, 
F. Exner, K. Exner, J. Finger, J. v. Geitler, 
H. Hammerl, A. Handl, J. Hann, E. Haschek, 
F. Hasenöhrl, O. Jäger, O. Jaumann, E. Kobald, 
E. Kohl, A. Lampa, V. v. Lang, E. Lecher, 

• 

J. Lippich, E. Mach, H. Mache, St Meyer, 
J. Moser, A. v. Obermayer, L. Pfaundler, J. M. 
Pernter, J. Puluj, M. Radakoviö, E. v. Schweidler, 
O. Simony, M. v. Smoluchowski, F. Streintz, 
J. A. Tollinger, W.Trabert, J. Tuma, O. Tumlirz, 
A. Wassmuth einen Aufruf ergehen ließen, der die 
Fachgenossen des In- und Auslandes zur Mitarbeit an 
einer Festschrift zu Ehren Ludwig Boltzmanns aus 
Anlaß seines sechzigsten Geburtstages am 20. Februar 



1904 aufforderte, trafen bald Zusagen so zahlreich 
ein, daß Redaktion und Verlag, um dem Bande nicht 
zu ungewöhnliche Dimensionen zu geben, den Umfang 
der einzelnen Arbeiten beschränken mußten. Obwohl 
dadurch manche schöne Untersuchung hier nicht Platz 
gefunden hat, mancher wohl sich überhaupt abhalten 
ließ, etwas beizusteuern, kann die erfreuliche Tatsache 
hervorgehoben werden, daß nicht nur deutsche Fach- 
genossen, sondern auch viele Gelehrte aus Amerika, 
Australien, Belgien, England, Frankreich, Holland, 
Italien, Japan, Norwegen, Rußland und Schweden sich 
an der Festschrift beteiligt haben. 

Daß dieser stattliche Band auch eine würdige 
Ausstattung erhielt, ist dem liebenswürdigen Entgegen- 
kommen des Verlegers, Herrn Arthur Meiner, In- 
haber der Firma Johann Ambrosius Barth in Leipzig 



zu danken, der in bereitwilligster Weise Druck und 
Kosten des Werkes übernahm. Die Redaktion besorgte 
Dr. Stefan Meyer. 

So möge diese Festschrift, Ludwig Boltzmann 
gewidmet, ein dauerndes Zeichen der Verehrung seiner 
Zeitgenossen bilden. 



Inhaltsverzeichnis. 



Seite 

1. J. Frischauf- Graz. Ableitung der Gleicbgewichtsbedingungen 

eines starren Punktsystemes aus dem Prinzip der virtuellen Ge- 
schwindigkeiten und aus der Starrheit 1 

2. A. Heyd weiller- Münster i. W. Über Selbstinduktions- und 
Permeabilitfitsvergleichungen 4 

8. P. Duhem- Bordeaux. Sur la stabilit^ ^lectrique d*un milieu 
homogene et illimit^ 13 

4. 0. Chwolson- St Petersburg. Notiz über die Vergleicbung des 
Meters mit der Wellenlänge des Lichtes 28 

5. K. Zind 1er -Innsbruck. Über die liniengeometrische Dar- 
stellung der Trägheitsmomente eines starren Körpers .... 84 

6. H. Kays er- Bonn. Zur Temperaturbestimmung strahlender Gase 88 

7. P. de Heen- Lüttich. Id^es fondamentales d'un essai de th^orie 
m^canique de T^lectricit^ et de la chaleur 48 

8. J. Andrade-Besan^n. Chronometrie: Les r^gimes limites et 

la stabilite de la Synchronisation 51 

9. L. Houllevigue-Caen. Etüde des lames minces de cuivre 
obtenues par ionoplastie 62 

10. St Meyer- Wien. Über Magnetisierung durch Tonerregung . 68 

11. L. Pfaundler-Graz. Apparate zur Versinnlichung der kine- 
tischen Wärmetheorie 71 

12. J. B o r g m a n n - St. Petersburg. Ein besonderer Fall des 
Leuchtens von verdünntem Gase in einem breiten Glasrohr 76 

18. P. Czermak -Innsbruck. Zur Demonstration der Klanganalyse 80 

14. M. Abraham -Göttingen. Der Lichtdruck auf einen bewegten 
Spiegel und das Gesetz der schwarzen Strahlung 85 

15. H. Brunn -München. Über das durch eine beliebige endliche 
Figur bestimmte Eigebilde 94 

16. H. C. Jones -Baltimore. The Effect of One Associated Solvent 

on the Association of Another Associated Solvent 105 

17. M. Planck- Berlin. Über die mechanische Bedeutung der 
Temperatur und der Entropie 118 



vm Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

18. G. H. Bryan-Bangor (N. W.). The Law of Degradation of 

Energy as the fandamental principle of thermodynamics . . 128 

19. H. Mache- Wien. Zur Definition der spezifischen lonen- 
geschwindigkeit 187 

20. L. Matthiessen -Rostock. Gibt es anendlich große Ge- 
schwindigkeiten? 141 

21. A. Lampa-Wien. Aus der Statistik der Prafangsstelle f&r 
Normalstimmgabeln in Wien 146 

22. H. P eil at- Paris. Du röle des corpuscules dans la formation 

du faisceau anodique des tubes k gaz rar^fi^s 150 

28. A. Weh nelt- Erlangen. Über eine Röntgenröhre mit ver- 
änderlichem Härtegrad und über einen neuen Härtemesser. . 160 

24. E. Riecke- Göttingen. Elektrische Strömung in einem ioni- 
sierten Lufträume, der von zwei konzentrischen Zylinderflächen 
begrenzt ist 168 

25. W. Wien -Würzburg. Theorie eines bewegten leuchtenden 
Punktes 174 

26. M. Le B 1 an c- Karlsruhe und M. G. Levi-Padua. Über die 
Passivität des Nickels 183 

27. F. Streintz-Graz. Die spezifische Wärme einiger Schwefel- 
metalle in ihrer Beziehung zum elektrischen Leitvermögen . . 196 

28. C. Barus-Providence. Periodic Color Distributions in Relation 
to the Coronas of Cloudy Condensation , with a Revision of 
Coronas 204 

29. E. Lampe- Berlin. Der schiefe Wurf im luftleeren Räume als 
Zentralbewegung 215 

30. A. y. Bäcklund-Lund. Über elektrische Strömungen in 
zylindrischen Leitern 224 

81. J. H. van't Hoff- Charlottenburg. Einfluß der Änderung der 
spezifischen Wärme auf die Umwandlungsarbeit 233 

82. G. W. Walk er- Cambridge (England). On some Problems in 

the Distribution of a Gas 242 

88. C. Neu mann -Leipzig. Über die sogenannte absolute Be- 
wegung 252 

34. C. Runge- Hannover. Die thermodynamischen Beziehungen . 260 

85. E. Cz üb er- Wien. Zur Geometrie der gewöhnlichen Difierential- 
gleichungen 266 

86. A. Korn und E. Strauss- München. Über eine Beziehung 
zwischen dem Lösungsdruck und der lonisationswärme der 
Metalle 277 

87. Ch. E. Curry-München. A Peculiar Class of Waves ... 282 
38. 0. Lehmann-Karlsruhe. Das Vakuum als Isolator .... 287 



Inhaltsverzeichnis. ix 

Seit« 
89. A. V. Ob er may er -Wien. Über sogenannte Heiligenscheine 

und andere gleichen Ursachen entspringende Erscheinungen . 299 

40. J. D. van der Waals- Amsterdam. De verandering van de 
grootheid h der toestandsvergelijking als quasi-verkleining van 

het molekuul 805 

41. G. Jäger -Wien. Über die Verteilung einer nicht dissoziieren- 
den Substanz zwischen zwei Lösungsmitteln 313 

42. J. J. van L aar -Amsterdam. Über die spezifische Wärme in 
flOssigem Zustande bei niedrigen Temperaturen 316 

43. G. Mie- Greifswald. Über eine Methode, das spezifische Ge- 
wicht sehr verdünnter Lösungen zu bestimmen 326 

44. C. G. Kn Ott- Edinburgh. Magnetization and resistance in 
Nickel at high temperatures 838 

45. G. Guglielmo-Cagliari. Intomo ad nn igrometro-bilancia ad 
indicazioni assolute e continue 341 

46. N.Schiller- Charkow. Einige Bedenken betreffend die Theorie 
der Entropievermehrung durch Diffusion der Gase bei einander 
gleichen An&ngsspannungen der letzteren 350 

47. R. Wegscheider-Wien. Über die Größe der Kristallmoleküle 867 

48. W. Sutherland -Melbourne. The Principle of Dynamical 
Similarity in Molecular Physics 373 

49. W. Fr. Meyer- Königsberg. Zur Theorie der I^agrangeschen 
Bewegungsgleichungen 386 

50. J. Stark -Göttingen. Elektrischer Massentransport in Gasen, 
Druckerhöhung an der Kathode 399 

51. D. A. Goldhammer- Kasan. Über die Natur der flüssigen 
Luft 410 

52. E. Ko bald -Leoben. Ober die allgemeinen Differential- 
gleichungen der Kristalloptik nach der elektromagnetischen 
Theorie des Lichtes 422 

53. J. Traube- Berlin. Über den Raum der Atome und Moleküle 430 

54. E. Mach -Wien. Objektive Darstellung der Interferenz des 
polarisierten Lichtes . . 441 

55. H. Ebert- München. Wirkung der anomalen Dispersion von 
Metalldämpfen 448 

56. V. Bjerkness- Stockholm. Elektrostatische, magnetische und 
hydrodynamische Grenzflächenbedingungen 455 

57. L. Grün mach -Berlin. Über den Einfluß der Zähigkeit auf 

die Kapillarkonstanten bei Essigsäure- Wassermischungen . . 460 

58. A. Gurbas 80 -Genua. Su la teoria deir analisi spettrale . . 469 

59. L. Graetz- München. Über die elektrische Dispersion der 
Kristalle 477 



X InhalUverzeichnis. 

Seite 

60. J. P. Kuenen-Dandee. Zur Theorie der Destillation von Ge- 
mischen 483 

61. £. J ahn ke -Berlin. Eine einfache Anwendung der Vektor- 
rechnung auf die Theorie der veränderlichen Ströme .... 487 

62. J.E.Trevor-Ithaka(N. Y.). The Expansion -Work of a Disso- 
ciating gas 498 

68. E. Haschck und K. Kostersitz-Wien. Über einen Versuch 
der Ausmessung von Stemspektrogrammen nach der objektiven 
Methode der Wellenlängenbestimmung 497 

64. P. Cardani- Parma. Sulla dispersione elettrica dei raggi X 
ottenuti mediante le scariche dei condensatori 501 

65. B. Weinstein- Charlottenburg. Entropie und innere Reibung 510 

66. J. Grünwald -Wien. Über die Ausbreitung der Wellenbe- 
wegungen in optisch-zweiachsigen elastischen Medien . . . . 518 

67. G. Sagnac- Paris. Lois de la propagation anomale des ondes 

au voisinage d^un foyer 528 

68. W. Feussner-Marburg i. H. Über zwei Sätze der Elektrostatik 587 

69. S. H. Burbury- London. On certain theorems in probability 542 

70. W. D. Bancroft-Ithaka (N. Y.). Note on the Soret Pheno- 
menon 553 

71. A. Wassmuth-Graz. Über die Bestimmung der thermischen 
Änderungen der Elastizitätskonstanten isotroper Körper aus 
den Temperaturfinderungen bei der Drillung und der gleich- 
förmigen Biegung 555 

72. A.Schuster-Manchester. The Propagation of Waves through 
dispersive Media 569 

78. D. B. Brace- Lincoln. On Double Refraction in Matter moving 

through the Ether 576 

74. M. Margules- Wien. Über die Beziehung zwischen Barometer- 
schwankungen und Kontinuitätsgleichung 585 

75. J. Larmor- Cambridge. On the Intensity of the Natural 
Radiation from Moving Bodies and its Mechanical Reaction . 590 

76. Fr. Exner und R. Hofmann-Wien. Über die Potential- 
differenzen der Metalle in ionisierten Gasen 600 

77. U. Behn und F. Kiebitz- Frankfurt a. M. Bestimmung der 
Dielektrizitätskonstante von Eis in flüssiger Luft mit schnellen 
Schwingungen nach Drude 610 

78. 0. E. Seh iötz- Christian ia. Über die Abhängigkeit des os- 
motischen Druckes und der Dampfspannung von dem Drucke 618 

79. M. V. Smoluchowski-Lemberg. Über Unregelmäßigkeiten 
in der Verteilung von Gasmolekülen und deren Einfluß auf 
Entropie und Zustandsgieichung 626 



InhaltiverzeicAnts. xi 

Seite 

80. F. Hasenöhrl-Wien. Uberdie Anwendbarkeit der Hamilton - 

sehen partiellen Differentialgleichung in der Dynamik konti- 
noierlicb verbreiteter Massen 642 

81. B. Walter- Hamburg. Photographische Abbildungen elek- 
trischer Schwingungen 647 

82. Felix M. Exner-Wien. Ober das sogenannte „Nachschauen** 

von Bildern 652 

88. G. Frege-Jena. Was ist eine Funktion? 656 

84. H. Starke-Berlin. Über den Potentialverlauf bei der unselb- 
ständigen Elektrizitätsleitung durch Gase für den Fall des 
Sättigungsstromes 667 

85. E. Kohl- Wien. Über die elektromagnetischen Feldgleichungen 
innerhalb bewegter elektrischer Massen 678 

86. R. V. Sterneck- Czernowitz. Beweis eines in der Akustik ver- 
wendbaren arithmetischen Satzes 687 

87. H.Benndorf und V.Conrad- Wien. Über Radiumkollektoren 691 

88. C. Forch- Darmstadt Spezifische Gewichte und Wärmeaus- 
dehnung von Naphtalinlösungen in verschiedenen organischen 
Lösungsmitteln 696 

89. F. Ric harz -Marburg i. H. Theorie verdünnter Lösungen ohne 
Benutzung des osmotischen Druckes 706 

90. W. Ki Hing- Münster i. W. Der Bau einer besonderen Klasse 

von Transformationsgruppen 715 

91. H. A. Loren tz- Leiden. Bemerkungen zum Virialtheorem 721 

92. A. Righi- Bologna. Sul moto dei ioni nel campo elettrico . 780 

93. E. Lee her- Prag. Ein elektrischer Aberrationsversuch . . . 789 

94. F. Neesen- Berlin. Über die Frage der gegenseitigen Ein- 
wirkung von Kathodenstrahlen 742 

95. J. Moser -Wien. Wie ist positive Elektrizität mit negativem 
Potential und negative Elektrizität mit positivem Potential leicht 
dar- und vorzustellen? 745 

96. J. Finger- Wien. Über die einer allbekannten Kapillar- 
erscheinung analogen Resultate eines bestimmten Problemes 

der Kinematik starrer Körper 752 

97. P. Pol is- Aachen. Zur Hydrographie von Ahr, Erft und 
Roer, ein Beitrag zur Aufschließung der Wasserverhältnisse 

der nördlichen Eifel 766 

98. L. H. Siertsema-Leiden. Magnetische Drehung der Polari- 
sationsebene in verflüssigten Gasen unter atmosphärischem 
Drucke. Messungen mit Stickoxydul 780 

99. G. Melander-Helsingfors. Über Verdichtung der Gase an 

der Wand der Geföße 789 



xn InhcdUverzeiehma, 

Seite 

100. 0. Berg- Greifs wald. Einige Versuche über das Eiektroden- 
potential von Entladungsrohren 'iOS 

101. G. Granqvist-Upsala. Über die Periode und die Phasen- 
differenz zwischen Strom und Spannung im singenden Flammen- 
bogen 799 

102. H. du Bois-Utrecht. Hysteretische Anwendung der Boltz- 
mann-Mazwellschen Verteilungsfunktion 809 

103. M. Th. Edel mann -München. Vertikalyariometer für erd- 
magnetische Messungen im Luftballon 815 

104. E. Mathias-Toulouse. Sur la ioi de distribution r^guliöre 
de la composante nord du magn^tisme terrestre, en France, 

au 1«' janvier 1896 817 

105. E. Wiedemann-Erlangen. Über Verbindungsspektren . . 82(> 

106. W. König-Greifswald. Einige Bemerkungen über die Be- 
ziehung zwischen künstlicher Doppelbrechung und Elastizität 832 

107. G. Bredig und F. Weinmayr-Heidelberg. Über die mini- 
male Schichtdicke des katalytisch wirkenden Quecksilbers . 839 

108. A. Sommerfeld -Aachen. Eine besondere anschauliche Ab- 
leitung des Gau SS i sehen Fehlergesetzes 848 

109. S. Arrhenius- Stockholm. Die Anwendung der physikalischen 
.Chemie auf die serumtherapeutischen Fragen 860 

HO. A. G. Webster- Worcester (Mass.). On the Mechanical Effi- 

ciency of the Production of Sound 866 

111. M. Rein ganum -Münster i. W. Über den von Wirkungs- 
sphären freien Raum in einer Flüssigkeit und über das Gesetz 

der relativen Dampfdruckemiedrigung 876 

112. J. Kossonogoff-Kiew. Über mögliche Größe der optischen 
Resonatoren 882 

118. E. L. Nichols und E. Merritt-Ithaka(N. Y.). The Influence 

of Low Temperatures upon Certain Color Indicators. . . . 890 

114. E. Hall- Cambridge (Mass.). The van der Waals a in Alkohol 

and in Ether 899 

115. W. Kernst- Göttingen. Chemisches Gleichgewicht und Tem- 
peraturgefälle 904 

116. H. Nagaoka- Tokyo. Mechanische Analogien zwischen 
Torsion und Magnetismus 916 

117. R. Wachsmuth-Rostock. Akustische Bestimmung der Dichte 

von Gasen und Dämpfen 923 

Namenverzeichnis der Mitarbeiter 929 



1. Ableitung der Gleichgewichlsbedingnngen eines 

starren Ponktsystems aus dem Prinzip der yirtnellen 

6eschT?indigkeiten nnd ans der Starrheit 

VoD Johannes Frlaohanf in Gras. 



Die Bedingungen des Gleichgewichtes eines starren Punkt- 
systems werden aus dem Prinzip der virtuellen Geschwindig- 
keiten in der Regel derart abgeleitet^ daß man dem Punkt- 
system eine virtuelle Bewegung erteilt^ die man sich als eine 
fortschreitende und als eine drehende Bewegung des Punkt- 
systems denkt. Diese Bedingungen erhält man aber auch 
mit Zuziehung des Begri£fes der Starrheit des Punktsystems, 
welche Eigenschaft dadurch ihren Ausdruck findet, daß bei 
jeder virtuellen Bewegung die Distanz je zweier Punkte des 
Systems unverändert bleibt. 

Sind Jfj = (xj, y^, z^\ M^ = (x„ y„ z,) . . A/^ « (x^, y^, ^ 
die n Punkte des Systems und erteilt man denselben die 
virtuellen Verschiebungen (Öx^, Sy^, Sz^), {Sz^, Sy^, Sz^), . . 
[Sz^, Sy^, SzJ, so ist nach dem Prinzipe der virtuellen Ge- 
schwindigkeiten 

(1) 2{XSz + YSy + Zdz)^ 0, 

diese Summe auf alle Punkte ausgedehnt In diesem Aus- 
drucke kommen 3 n virtuelle Verschiebungen Sx^y Sy^, Sz^, , . 
Sz^, Sy^, 8z^ vor, von diesen sind aber nur sechs willkürlich. 
Denn wird die virtuelle Bewegung eines Punktes, etwa i/j, 
als vollkommen frei gedacht, so ist die Bewegung eines zweiten 
Punktes, etwa M^, an die Bedingung geknüpft, daß M^M^ 
konstant bleibt, die Bewegung eines dritten Punktes, etwa M^y 
an die Bedingungen, daß M^JM^ und M^M^ konstant bleiben. 
Von den drei virtuellen Verschiebungen dx^y öy^, Sz^ sind 

Bottmiaiui'FettocIirift. 1 



2 /. Frischauf, 

daher alle drei willkürlich, die virtuellen Verschiebungen öx^, 
^yt> Sz^ müssen einer Bedingungsgleichung, die virtuellen Ver- 
schiebungen Sx^y Sy^, d'Zj müssen zwei Bedingungsgleichungen 
genügen. Die virtuellen Verschiebungen der übrigen Punkte 
sind bereits aus der Voraussetzung der Starrheit bestimmt. 
Es sind daher sechs Bedingungsgleichungen zwischen den 
Koordinaten der n Punkte und den auf diese wirkenden Kräfte 
zu erwarten. 
Aus 

K K' = K - 'J* + (yr - y/ + (^, - ^.Y 

konstant, folgt 

f = (X, - X,) (dx, -Sx,) + (y, - ;/,) (d>, - Jy.) 

(2) +{z^-z,)[3z^-3z,). 

[ r = 1, 2, . . w, Ä = 1, 2, . . n. 

Die virtuellen Verschiebungen Sx^, . . dz^ müssen den 
Bedingungsgleichungen (2) genügen. Multipliziert man diese 
Gleichungen mit den Faktoren A^,, wo X^^ = A,r vorausgesetzt 
wird, und addiert dieselben zur Gleichung (1), so kömui- 
diese Faktoren l derart gewählt werden, daß die Koeffizientei 
der abhängigen Verschiebungen Null werden. 

Aus dem Koeffizienten von dx^ folgt 

(3) X^ + X^, {x^ - X,) + A^, (x^- x,)+ .. + \^ [x^ - xj = 0. 

Addiert man diese Gleichungen für r = 1, 2 . . n, so e> 
hält man 

(4) \ ebenso 

Bildet man die Summe 

so erhält man aus den beiden Posten 

yr^r + y.^. 
als zusammengehörige Glieder 

mithin für die obige Summe den Ausdruck 



Gleichgewichtsbedingungen eines starren Punktsystems, 8 

also einen nach x und y symmetrischen Ausdruck, woraus 
folgt, daß 

y^ Xj + ^3 1, + . . + y„Z^ = xj 7j + Xjj r, + . . + x^Y^ 

oder 

( J?(yJir-i:7) = 0, 

(5) } und ebenso 

Die sechs Gleichungen (4) und (5) sind die Gleichgewichts- 
bedingungen des starren Punktsystems. 

(EiDgegangen 28. Mai 1903.) 



2. Über Selbstinduktions- nnd Permeabilitäts- 

vergleichüngen. 

Von Adolf HeydweUler in Münster i. W. 



1. Maxwells Methode zur Vergleichung der Selbst- 
induktion von Drahtspulen in der Wheats tone sehen Brücke^ 
ist bei Anwendung von Wechselstrom oder unterbrochenem 
Gleichstrom und mit dem Telephon als Meßinstrument einer 
sehr weitgehenden Genauigkeit fähig, namentlich wenn es sich 
um die Vergleichung von nahe gleichen Rollen handelt. 

Mit der folgenden Anordnung ist es mir gelungen, eine 
Genauigkeit von einem Hunderttausendstel bei solcher Ver- 
gleichung zu erzielen. 

Zwei Zweige der Wheats toneschen Brücke werden ge- 
bildet von den durch einen Schleifkontakt getrennten Teilen 
eines 1 m langen und 4 mm dicken Manganindrahtes, dem auf 
jeder Seite ein induktions- und kapazitätsfreier Widerstand 
von etwa 175fachem Betrage (22 0hm), bestehend aus zwei 
zusammengelöteten Manganindrähten von 0,25 und 0,06 mm 
Dicke, mit angesetzten Verbindungsdrähten aus Kupfer zuge- 
schaltet ist. Die beiden anderen Brückenzweige bilden die 
beiden zu vergleichenden Rollen mit einem zweiten blanken 
Manganindraht von 1 m Länge , 0,2 mm Dicke und 12 Ohm 
Widerstand, auf dem ein zweiter Schleifkontakt gleitet. *) Als 
Stromquelle dient ein von 2 Akkumulatoren getriebenes kleines 
Induktorium von Hartmann & Braun; die Brücke wird nicht 
in den Sekundärkreis, sondern parallel der Primärrolle von 
7 Ohm Widerstand geschaltet. Mit einem Siemens &Halske- 
schen Dosentelephon von 5 Ohm Widerstand kann man den 
Schleifkontakt des dicken Drahtes bis auf einige Millimeter 
genau einstellen, und da einer Veränderung des Widerstandes 



1) Cl. Maxwell, Elektrizität und Magnetismus, deutsch von Wein- 
stein, 2. p. 499. Berlin 1883. 

2) Ein Draht von mehreren Metern Länge ist hier noch vorteilhafter. 



SelbstinduktionS' und Permeabilitätsvergleichungen, 5 

oder der Selbstinduktion in einem Zweige um 0,1 Proz. eine 
Verschiebung dieses Kontaktes um 350 mm entspricht, so ist 
die oben angeführte Genauigkeit bis auf 10 ~^ der Gesamtwerte 
erreicht, würde auch noch zu überschreiten sein. 

2. Diese Genauigkeit ist ausreichend, um die Methode 
auch zur Vergleichung von Permeabilitäten verwenden zu 
können, und sie empfiehlt sich hierfür durch die Einfachheit 
der Handhabung und der erforderlichen Hilfsmittel 

Man verwendet hierzu zweckmäBigDrahtroUen ohne Fassung, 
die auf zerlegbaren Holz- oder Pappegestellen gewickelt und, 
nachdem die Windungen mit dünnen Drähten oder Fäden zu- 
sammengebunden sind, abgenommen werden. Eintauchen in 
flüssiges Paraffin gibt die nötige Stabilität Von verschiedenen 
hergestellten Rollen eigneten sich für den vorliegenden Zweck 
am besten Bollen aus 0,5 mm dickem, elektrolytischem Eupfer- 
draht mit 400 (20 X 20) Windungen von 3,5 cm innerem und 
5,5 cm äußerem Durchmesser, deren Selbstinduktion 7.10~^ 
Quadrant beträgt 

Man könnte zunächst daran denken, durch Einlegen der 
Rollen in die flüssigen oder pulverisierten magnetischen Sub- 
stanzen die Permeabilität derselben direkt zu bestimmen; in- 
dessen scheitert das daran, daß einmal für Lösungen bei dieser 
Anordnung die Störungen des Minimums infolge von Eapa- 
zitätswirkung und Foucaultströmen beträchtlich sind, sodann 
die unvermeidliche Isolierschicht eine erhebliche und schwer 
genau zu bestimmende Korrektion (von über 30 Proz.) erfordert. 
Dagegen lassen sich Yergleichungen der Permeabilitäten magne- 
tischer Substanzen vom Eisen bis hinunter zu Salzlösungen 
der magnetischen Metalle in der Konzentration 1 g-Mol./L. mit 
ziemlicher Genauigkeit ausführen. 

Die Substanzen werden zu diesem Zwecke in Form von 
Zylindern verschiedenen Querschnittes konzentrisch und kon- 
axial in die Rollen eingeführt und die Größe der Verschiebung 
des Schleifkontaktes beim Übergang der Substanzen aus der 
einen in die andere Rolle für die Minimum Stellung verglichen. 
Die Länge der Zylinder muß so gewählt sein, daß eine Ver- 
größerung derselben keine merkliche Verschiebung des Mini- 
mums ergibt; 9 cm sind hierfür mehr als ausreichend. Der 
Querschnitt der Zylinder richtet sich nach der Größe der Per- 



6 A. Heydweiller. 

meabilität; bei den festen und gelösten Salzen erhält man 
bei dem größtmöglichen Querschnitt, so daß das einschließende 
Giasgefäß noch eben in die Rolle paßt, yorzügliche Einstellungen, 
bei denen das Telephon geräusch vollständig verstummt; bei den 
magnetischen Metallen ist das infolge der Hysteresis nur noch 
bei einem entsprechend geringen Querschnitt der Fall; auch die 
Rücksicht ^,uf die Größe der Verschiebung, die 1000 mm nicht 
überschreiten kann, zwingt zur Verkleinerung des Querschnittes. 

So gibt beispielsweise ein Nickeldraht von 0,5 mm Dicke 
bei nahe 1000 mm Verschiebung kein gutes Minimum mehr, 
während dieses bei einem etwa halb so dicken Nickeldraht 
fast ganz schari' und sehr gut zu verwenden ist Bei Eisen 
ist ein einigermaßen brauchbares Minimum erst bei einer 
Drahtdicke unter 0,05 mm zu erzielen. 

Da das Magnetfeld im Innern der kurzen Rollen kein 
homogenes ist, sind die Änderungen der Selbstinduktion bei 
Einschiebung der Zylinder nicht ihrem Querschnitte proportional; 
man muß vielmehr eine Graduierung vornehmen, um die Be- 
stimmungen mit verschiedenen Querschnitten untereinander 
vergleichbar zu machen. Von diesem Gesichtspunkte aus wäre 
eine lange Form der Spulen vorteilhafter; die kurzen Rollen 
mit nahe quadratischem Querschnitte sind gewählt worden, 
weil für sie die Selbstinduktion im Verhältnis zum Wider- 
stände ein Maximum ist. 

Die Gradaierung ist leicht durchzuführen, indem man ge- 
eignete Substanzen in Zylindern von gleicher Länge und ver- 
schiedenen Querschnitten einführt; die Verschiebungen des 
Schleifkontaktes wachsen schneller als die Querschnitte, wie 
die nachstehende kleine Tabelle zeigt, bei deren Aufstellung 
metallisches Mangan (schwach eisenhaltig), Eisenoxyd, festes 
Ferrosulfat und Manganosulfat (krist) alle in Pulverform be- 
nutzt wurden. 

Die Querschnitte der eingeföhrten Substanzzylinder sind 
mit q, die Verschiebungen des Schleifkontaktes für die beiden 
Minimumstellungen mit S bezeichnet; die Verhältnisse 8lq sind 
durch graphische Interpolation auf den für sehr kleinen Quer- 
schnitt {q = 0) willkürlich angenommenen Wert 1 bezogen. 

<7 = 0,216 0,845 1,13 1,55 2,46 7,02 cm* 
0/^=1 1,010 1,012 1,045 1,065 1,095 1,275 



SelbstinduktionS' und Permeabüitätsvergleichungen, 7 

Um zwei Beobachtungen für verschiedene Querschnitte 
vergleichbar zu machen, braucht man bloß die Werte von d 
durch q und die vorstehend angegebenen den q entsprechen- 
den Werte von dfq zu dividieren; für andere als die obigen 
q Werte ergibt sich die Korrektion durch lineare Interpolation 
hinreichend genau. 

Die so reduzierten d sind dem Unterschiede der Permea- 
bilität der betreffenden Substanz {p) gegen die der Luft, oder 
auch ihrer Magnetisierungszahl (Suszeptibilität) x = (]ti— l)/47r 
proportional, und man kann sie durch Vergleichung mit einer 
Normalsubstanz von bekannter Magnetisierungszahl, z. B. Ferri- 
Chlorid, auch dem absoluten Werte nach bestimmen. 

Natürlich ist dabei auf den Magnetismus der benutzten 
Glasgefäße zu achten, den man empirisch ermittelt durch Ein- 
schieben der leeren Glasgefäße in die Spulen. 

Als Normalsubstanz ist das vielfach untersuchte Ferri- 
Chlorid entweder gelöst oder kristallisiert und fein gepulvert 
zu empfehlen, weil seine Magnetisierungszahl wohl am besten 
bestimmt ist. Als Mittelwert ergibt sich aus zahlreichen 
Messungen, die an anderer Stelle zusammengestellt und be- 
sprochen wurden, für den Molekularmagnetismus des wasser- 
freien FeCl, bei mittlerer Zimmertemperatur (17^ 

- = 14,2.10-8, 

worin x die Magnetisierungszahl der wasserfreien Substanz 
und V die Zahl der Grammmoleküle im cm' bezeichnen. Kommen 
auf g g Salz g g Wasser im Kristall oder in der Lösung, und 
setzt man die Magnetisierungszahl des Wassers nach dem 
Mittelwerte der neueren Bestimmungen gleich 

-0,76.10-6, 

80 berechnet sich die Magnetisienmgszahl ftlr wasserhaltiges 
oder gelöstes Ferrichlorid 

x, = (14,2-0,75-^ j^)..10-3, 

worin J/= 162,25 das Molekulargewicht des FeCl, ist Um- 
gekehrt kann man nun, wenn f&r eine zweite Lösung aus dem 



8 A. Heydweiller, 

Verhältnis der Verschiebungen bei gleichem Querschnitt, ä^ 
für die Ferrichloridlösung und ^2 ^^^ <^^ zweite Lösung, deren 
Magnetisierungszahl 

*« - *i ^^ 

bestimmt ist, daraus den Molekularmagnetismus des zweiten 
gelösten Salzes berechnen gleich 

^ + 0,75^-^.10-8. 

y ' g 1000 

Dieselbe Formel gilt auch f&r wasserhaltiges festes Salz. 

3. Zum Belege für die Brauchbarkeit der Methode seien 
einige Beobachtungen angeführt Die ersten beziehen sich auf 
die Permeabilität des Nickels in schwachen Feldern, die meines 
Wissens noch nicht bestimmt ist. In Ewings bekanntem 
Buche ^) findet sich p. 87 die Magnetisierungszahl des Nickels 
erst von der Feldstärke 6,5 C.G.S. ab angegeben und auch 
diese Zahl ist noch ziemlich unsicher wegen des großen re- 
manenten Magnetismus (/ = 22 für // = 0), der vom Nickel 
mit besonderer Hartnäckigkeit festgehalten wird. 

Die BeobachtuDgen ergaben für einen ausgeglühten Draht 
aus Beinnickel von Basse & Selve in Altena, der nach Analyse 
von Hrn. F. Rose in Strassburg 1,12 Proz. Eisen und 0,23 Proz. 
Graphit und Silicium enthält vom Querschnitte 

q = 0,000570 cm* eine Verschiebung 5 = 241 mm 
f8r einen weichen Eisendraht (abgefttzter Blumendraht) 

q = 0,0000241 cm« •) S = 495 mm 

für einen anderen weichen Eisendraht 

q = 0,0000204 cm« ") 5 = 400 mm 

für eine Ferrichloridlösung von 31,0 Proz., v = 2,49.10-3 

g = 7.18 cm« d = 102,8 mm 

Daraus ergeben sich nach obigem die folgenden Werte 
der Magnetisierungszahlen x und Permeabilitäten fi=l +4nx: 



1) J. A. Ewing, Magnetische Induktion in Eisen und verwandten 
Metallen, deutsch von L. Holborn und St. Lindeck, Berlin und 
München 1892. 

2) Der Querschnitt wurde durch Wägnng und spezifische Gewichts- 
bestimmung ermittelt 



SelbstinduktionS' und PermeabUit(itsver(jleichung€n, 9 

69 
xi = (14,2-0,75. .0,1622)2,49.10-0 = 34,8.10-<i: 

«5 1 
/i = 1,000433 
für den Nickeldraht, durch Vergleichung mit vorstehendem Werte 

«=wS-T''\'oif-H8-10-e=l,B2 . = 17.6 

für den ersten Eisendraht: 

495 7,18.1,275 «, « ,^ « ^„ « 

" = 2;4iTro-5 • ' ,02,8 • "'«• ^« -' = «''« '' = ««» 

fiir den zweiten Eisendraht: 

400 7,18.1,275 «, ^ ^^ « «^ ^ „^^ . 

X = -r . -^ . 84,6.10-6 = 60,9 u = 766 

2,04.10-5 102,8 * ' '^ 

Für die Feldstärke bei diesen Versuchen lassen sich nun 
allerdings nur Grenzen angeben. Aus den Dimensionen und 
der Windungszahl der Spulen berechnet sich die Feldstarke 
in ihrem Mittelpunkte zu F=\\\i C.G.S.-Einh., für i Am. 
Stromstärke. 

Bei den vorstehenden Versuchen betrug die Stromstärke 
in jeder der Spulen bei vollständiger Ausschaltung des Unter- 
brechers (W^agnerscher Hammer mit Platinkontakt) 0,105 Am., 
die entsprechende Feldstärke in der Mitte der Spulen ist also 
P ^ 11,6 C.G.S.-Einh. — Dies ist aber nur eine obere Grenze, 
denn erstens führt der in Gang befindliche Unterbrecher einen 
größeren Widerstand ein, zweitens kommt bei den kurzdauern- 
den Stromschlüssen infolge der beträchtlichen Selbstinduktion 
die Stromstärke nicht voll zur Ausbildung und drittens liegen 
die 9,8 cm langen Drähte nur mit ihrem mittleren Teile in 
dem obigen maximalen Felde. Die mittlere Stromstärke bei 
tätigem Unterbrecher betrug 0,0125 Am., also nur Ys ^^^ 
obigen. 

Aus (Jen Zahlen für die Permeabilität des Eisens würde 
man nach den Versuchen von Roessler^) auf eine Feldstärke 
von etwa 1,3 C.G.S.-Einh. schließen dürfen. 

Das Verhältnis der Permeabilitäten von Eisen und Nickel 
ergibt sich nach vorstehendem zu etwa 45 : 1, während es bei 
größeren Feldstärken auf bedeutend kleinere Werte (etwa 3,5 : 1) 
absinkt 'j — 



1)G. Roessler, Untersuchungen über die Magnetisiemng des 
Eisens. Dissertation, Zürich 1892. 
2) Vgl. J. A. Ewing, I.e. 



10 A. Ueifdweiller, 

4. An zweiter Stelle seien hier einige Beobachtungen an- 
geführt über etwaige Änderung des Magnetismus von Eisen- 
und Mangansalzen durch Auflösung in Wasser. Diese Frage 
ist schon von G. Wiedemann^) und Herrn J. Königsberger^ 
behandelt worden. Der erstere fand bei Feldstärken, die nach 
seinen Angaben auf etwa 10* bis 10^ C.G.S.-Einh. zu schätzen 
sind, für Ferrosulfat (krist), Ferrochlorid (wasserfrei), Ferri- 
chlorid (wasserfrei) und Manganosulfat (krist) nur geringe Ände- 
rungen des Magnetismus bei der Auflösung von etwa 2 — 5 Proz. 
und zwar eine Zunahme des Magnetismus; Herr Königs- 
berger dagegen fand bei etwas größerer Feldstärke (2000 C.G.S.- 
Einh.) für Ferrosulfat (krist.) eine Zunahme von 50 Proz. und 
für Ferrosulfat (wasserfrei) sogar eine solche von 100 Proz. bei 
der Auflösung. 

Bei den folgenden Versuchen wurde eine abgewogene 
Menge g g der kristallisierten Salze fein pulverisiert in mög- 
lichst gleichförmiger Verteilung in ein bestimmtes Volumen v 
gebracht und die Verschiebung des Schleifkontaktes S gemessen, 
dann ein abgewogener Bruchteil g^ g des Salzes in g\ g Wasser 
zu dem gleichen Volumen v aufgelöst und die Verschiebung d^ 
bestimmt Man ist dann bis auf eine unbedeutende Korrektion 
unabhängig von hygroskopischer Feuchtigkeit und von dem 
Kristallwasser und kann mit hinreichender Annäherung das 
Verhältnis der Aquivalentmagnetismen des Salzes im gelösten 
und kristallisierten Zustande setzen 



0'9i \ Ol » ; 



Der Korrektionsfaktor betriflFt das Lösungswasser und er- 
gibt sich numerisch aus der vorher mitgeteilten Beobachtung 
an der Eisenchloridlösung. Ist das spezitische Gewicht s der 
Lösung bestimmt, so kann man auch setzen 



V V 



Die nachfolgende Tabelle gibt eine Zusammenstellung der 
für sechs verschiedene Salze erhaltenen Resultate. Die Salze 



1) G. Wiedemann, Pogg. Ann. 126. p. 1. 1865. 

2) J. Königsberger, Wied. Ann. 66. p. 698. 1898. 



SelbstindvktionS' und Penneabilitätsvergleichungen, 11 



waren sämtlich rein (von Marquart in Bonn), kristallisiert 
und vor den Versuchen einige Tage im Exsikkator getrocknet. 



PeCl, 4 H,0 
FeCl,6H,0 

FeSO^ 7 H,0 



9g 

67,86 
71,87 
54,62 
78,70 



Fe^CSO«), 6H,0 68,80 



MoCl, 4H,0 
MnSO* 4H,0 



93,71 
86,71 



d mm I ^1 g > ^1 mm 



106,7 

102,7 

35,1 

34,6 

64,2 

64,2 

107,4 

145,5 



x,/x 



179,0 


39,81 ' 


162,2 


45,85 


93,0 


21,04 


139,5 


20,83 


157,1 


|33,37 
128,60 


231,0 


43,39 


269,7 


46,26 



1,816 19<> 
1,312 16,5^ 
1,160 25« 
1,184 21° 
1,331 14,5<> 

1,402 21° 
1,342 17» 



1,031 >) 
1,006 
1,035») 
0,968 ■) 
0,867 •) 
1,015*) 
1,022 
1,021 



In den meisten Fällen scheint also, wie auch beiG. Wiede- 
manns Versuchen, eine geringe Zunahme des Magnetismus bei 
der Auflösung einzutreten. 

Die Änderungen sind aber klein und können auf Versuchs- 
fehlem beruhen, insbesondere auf ungleicher Verteilung der 
pulverisierten Salze im Volumen; eine Ausnahme bildet die 
Lösung des Ferrisulfats im Wasser, bei der, wie schon G. Wiede- 
mann nachwies, die hydrolytische Spaltung eine erhebliche 
Verminderung des Magnetismus bedingt; die Verminderung 
fallt weg, wenn die Hydrolyse durch hinreichenden Säurezusatz 
beseitigt wird. 

Die von Hrn. Königsberg er beobachtete starke Ände- 
rung des Magnetismus durch Auflösen bei größeren Feldstärken 
bedarf noch der Bestätigung; ihr würde eine starke Abhängig- 
keit der Magnetisierungszahl des festen Ferrisulfats von der 
Feldstärke entsprechen, die nicht wahrscheinlich ist^) 

Es sei noch hervorgehoben, daß man bei den Versuchen 
auf das peinlichste ftir Vermeidung störender Induktions- 
wirkungen durch Nähe von Eisenteilen, durch Wirkung der 



1) Bei Zusatz von Säare trat keine erhebliche Änderong ein. 

2) Gelöst in Wasser. 

3) Gelöst in 4proz. Schwefelsäurelösung. 

4) Gelöst in 12proz. Schwefelsäurelösung. 

5) Für Feldstärken zwischen 6000 und 10000 C.G.S.-Einh. ist nach 
Hrn. St. Meyer (Wied. Ann. 69. p. 257. 1899) die Mjignetisierungszahl 
des kristallisierten FeSO« nahe konstant. 



12 A, HeydweiUer. Selbstinduktions- u, Permeahilitäisvergleich, 

Stromzuleitung auf die Brückenzweige und das Telephon etc. 
achten muß. 

Auch muß die Auswechselung der Substanz zwischen den 
beiden Spulen öfter wiederholt und in schneller Folge geschehen, 
um kleine Änderungen der Selbstinduktion durch Temperatur- 
schwankungen und dergleichen unschädlich zu machen. 

über weitere Beobachtungen, nach dieser Methode ist an 
anderer Stelle berichtet^) 

Münster i. W., PhysikaL Inst. d. Universität, Mai 1903. 



1) Ann. d. Phjs. 12. p. 608. 1903. 

(Eingegangen 4. Juni 1903.) 



13 



3. Snr la stabilitö 
ölectriqne d'nn milien homogene et illimit^. 

Par P. Duhem k Bordeaux. 



Introduotion. 

Dans le c^l^bre Memoire oii il a d^velopp^ les loi» de la 
propagation de r^lectricit^ au sein des milieux immobiles ^), 
Helmholtz s'est propos6, tout d'abord, de g^n^raliser Tex- 
pression du Potentiel ölectrodynamique d'un Systeme. Cette 
expression, il Ta donn6e sous une forme qui comprend comme 
cas particuliers les formules eniploy^es par ses pr^d^cesseurs, 
tels que F. E. Neumanu, W. Weber et Maxwell. Ces 
diverses formules correspondent a autant des valeurs distinctes 
attribu^es k une certaine constante num^rique K que Helm- 
holtz laisse ind^terminöe. 

L'ind^termination de A', toutefois, ne reste pas absoluc; 
des considörations relatives ä la stabilit^ de T^quilibre 61ec- 
trique permettent de la restreindre. 

Voici, en eflfet, une • premi^re proposition que Helmholtz 
a d^montr^e: 

Si la constante K est nulle ou positive, Vequilibre electrique 
est assurement stähle sur un corps immobile, doue de conducti- 
bilite, mais denue de pouvoir magnetique et de pouvoir dielec' 
trique, et place dans uji champ electrique donni. 

Plus tard, nous avont g^n^ralis^ ^ quelque peu Tanalyse 
de Helmholtz et ^tabli la proposition que nous allons ^noncer: 

ConsidSrons nn ensemble de corps immobiles, qui peuvent 
Strc dielectriques et magnetiques et dont les uns sont doues de 
conductibilite electrique, tandis que les autres en sont depourvus; 



1) H. Helmholtz, Borchardt's Joamal 72. p. 57. 1870; Wissen- 
schaftl. AbhaDdl. 1. p. 545. 1882. 

2) P. Dahem, Annales de la Facult^ des Sciences de Toulouse 
10. 1896. 



14 P. Duhem. 

si la constante K 71* est pas negative; si en outre, le coefficient 
de Polarisation dielectrique e et le coefficient de polarisation ma- 
gnetique & ne sont negatifs pour aucun des corps qui composent 
le Systeme, tequilibre electrique, dielectrique et magnetique est 
siirement stable lorsque Von maintient ce Systeme dans un champ 
electrique et magnetique donne, 

Qu' arrive-t-il lorsque la constante K a une valeur nega- 
tive? Est il permis d'affirmer que sur un conducteur immobile, 
r^quilibre ölectrique est instable? Pour r^pondre ä cette 
question, Helmholtz a analys^ ^) les courants 61ectriques 
engendr^s dans une sphöre par les petites vibrations d'une 
couche 61ectris6e concentrique a cette sphere; il a montr^ qu'en 
supposant Ä"^ n6gatif, on pouvait engendrer des courants dirig^s 
suivant les rayons de la sphere et qui ne demeurent pas tres 
petits ; il en a conclu que les valeurs negatives de K devaient 
etre, en g6n6ral, rejet^es comme entrainant Tinstabilitö de 
r^quilibre 6lectrique sur un conducteur immobile. 

L'analyse de Helmholtz prete a quelques objections; 
il en est une que nous voulons signaler en peu de mots. 

Si, sur un Systeme m^canique en öquilibre stable, on fait 
agir une action perturbatrice ext^rieure tres petite et pöriodi- 
que, il peut fort bien arriver que, malgrö la 8tabilit6 du 
Systeme, cette action y engendre k la longue une perturbation 
finie; c'est ce qui aura lieu si Taction a pr6cis6ment pour 
Periode une des p^riodes propres du Systeme. La possibilit^ 
d'imposer a un Systeme une modification finie au moyen 
d'une perturbation extörieure p6riodique et trös petite n'est 
donc pas un sür indice que le Systeme soit en öquilibre 
instable. 

Nous pensons donc qu'il y a quelque int6ret ä examiner 
de nouveau le probleme pos6 par Helmholtz et ä en chercher 
la Solution par des proc6d6s analogues a ceux dont M. Lia- 
pounoff ^ a fait usage dans Tötude de la stabilitö möcanique. 

Nou^ considererons un milieu homogene^ isotrope, illimite, sous- 
trait ä Paction de tout champ electrique ou magnetique autre 

1) H. Helmholtz, 1. c. 

2) M. Liapounoff, Le probleme g^n^ral de la stabilit^ de mouve- 
ment (en russe), Rharkow, 1892; Journal de Math^matiques 5® Sdrie. 
3. p. 81. 1897. 



Sur la stabilite electrique. 



15 



qite ceux qvlü engendre lui mime et dont les regions infiiiiment 
eloignees sont maintenues ä Petat neutre; nous supposerons ce 
milieu conducteur et non dielectrigue , ou bien dielectrique et non 
conducteur; nous montrerons que si la constante K etait negative, 
Tetat neutre ne pourrait Stre^ pour un sembiable milieu, un etat 
d'equilibre stähle; en outre, dans le cas oü le milieu est dieleC' 
ti'ique, il en serait encore de mime si le coefficient de polarisation € 
etait negatif; cette derniere conclusion betend aux milieux di- 
electriques qui sont, en outre, conducteurs. 

§ 1. Milieu oonduoteur et non dielectrique. 

Si nous conservoDS les notations de Helmholtz, nous 
trouvons sans peine que les composantes u, v, w, du flux de 
conduction en tout point d'un milieu conducteur ^ qui peut 
etre magn^tique, mais qui n'est pas di^lectri(iue, v^rifient les 
trois ^qnations aux d^riv^es partielles 



(1) 



~dt~ "^ ~K 



dxdt { 



du dv dtc 
dx dy dx 



) 



■^ xK dx\dx "^ dy "^ dx) 

4nA*(l 4- 4n& ) d^u_ _ rx 
" x~ dt* ""' 

"ÖT" "^ K d'yd't[dx "*" dy "^ dx) 

An{l-{-An») d /öttötP^dirX 
"*" xK dy [dx "^ dy "^ dx) 



A nA*(l + An&) d* v _ ,. 
X dt* ""' 



d Jir 1 + 4 71 »j- K d 
~dT ■*■ K~ ~ dx 



dt\ 



du dv dw 
dx dy dx 



■^ xK dx \dx "^ dy "^ dx) 



) 



4 71^*0 + 4 71 6^) d\w _ .. 

d~i*-^' 



Si nouR posons 



(2) 



öx dy dx ^ 



16 



P. Duhem, 



cette quantit^ v^ritiera F^quation aux d^riv^es partielles 
tandis que chacone des quantit^s 



j0_i;^ = o, 



df 



(4) 



^^1 dy 

du 



ß = 



dx 
d V 



^"^ dx 



dv_ 
dx 

d w 
dx 

du 
dy' 



v6ritie Föiiuation aux d6riv6es partielles 

(5) 



. p _ ^ 71 il»0 + 4n&) dSi _ ^ 

X .dt"' 



Coiisid^rons un volume lini qu'une surface fermöe S d6- 
coupe au sein du inilieu; soit dro un ^löment de cc Yolume 
et formons les expressions 



(7) 
oii 






do), 



& = 



Nous aurons 



de 

dt 



(8) 
(0) 

Oll 



dU 
dt 

dV 



= 2JAQA&dcOy 



Vt - 'Si 



dS' d S" dS' dj9" d S' d^S" 
dx dx dy dy dx d 



-)^/«, 



= 






Mais, en vertu de Tögalit^ (3), Tögalitö (9) devieut 



dt J [\4nA*K 



dAS' 
d X 



+ 



1 dAe\ dB' 
dx 



Ä*K dx 



) 



+ ... 



do), 



+ . . . dösignant deux termes qui se döduisent du terme expli- 
citement 6crit en permutant x, y, z. 



Sur la stabüite electrique. 
(Jette ^galitö^ a son tour, peut s'öcrire 



17 



(10) 



d V 
d 



n ^tant la normale ä Tel^ment dS vers Tint^rieur du volume 
qu'enserre la surface S. 

Les ^galit^s (8) et (10) donnent 



(11) 



(12) 



dt* 

tPV 

dt* 



= 2 



j{A eydo} + 2JAeA&'d<o. 



(13) 



(14) 



Moyennant Tögalit^ (3), ces ^galit^s (11) et (12) deviennent 

- %-''Ä*K^^'+-ih''^hA*K ^^^+ A ^^ö)rf. 



d^ U 
d(^ 

i d\V 
d 



Une nouvelle transformation remplace les ^galit^a (13) 
et (14) par les 6galit6s 



(15) 



J [\4.i A^K dx 



1 dJ9\ BAS 
"^ A^K dx dx '^' 



d(o 



J \4 71 A^K dn A^ K an ] 



Bol Uinan n- FestschH (l. 



18 P. Du/iem. 



(16) 



iy^ = -A/(^®'^' 



0) 



"^ J [[^TiÄ^K dx '^A'^K d'x )\4nÄ*K dx "^ Ä^ K d x j + -J^< 

. o A 2x . ,w , 1 .^W X dAS' , 1 ÖJ(9\ ,CT 
+ 2 J ^T. A^K ^ ^^ + -i^A' ^ ®)(t.2^A' an + i» A' -ön-j ^'^ 

Imaginons mainteuaut ([ue la surface S soit une sphere 
de rayon r, ind^finiment croissant, ayant pour centre Torigine 
des coordonn6es; imaginons aussi (|ue^ quel que soit t^ les 
composantes w, t?, w du flux de conduction et leurs d^riv^es 
de tous ordres par rapport t\ t s*annulent ä Tinfini comme des 
fonctions potentielles ölectrostatiques; nous entendons par 
la que 



"» dt ' dt^ ' " '' 

du du du d^u 

r ^ , /• .- , r -^ , r 



dx' dy ' dx ' dxdt ' '"' 

2 B^ u 2 B^^ 2 ^* ** 

^ dx'' ' '* dxdy ' ' '' ^' da^Ti ' '"' 

tendeut vers lor8([ue la distance r du point {x, y, z) k 
Torigine crott au delä de toute limite. Nous pourrons, aux 
seconds membres des 6galit6s (8), (10), (15) et (16), supposer 
que les integrales qui renferment r616ment dm s'6tendent k 
Tespace illimit6, tandis que les integrales qui renferment 1*616- 
ment dS s'annulent. 

Ces pr6liminaires pos6s, supposons que K soit negatif et 
voyons si le milieu illimite peut Stre en equiiihre stable lorsqu'il 
vüest le siege d'aucun courant 

Considerons, pour ce milieu illimite, la somme, essen- 
tiellement positive, 

(17) '^"=^-Ä- 

Si requilibre initial du milieu, supposö sans aucun flux 
de conduction, etait stable, on pourrait imposer aux valeurs 
absolues initiales de ?£, w, 1/;, dujdt, dvjdt, dwidt, des 



Sur la stabilite electrique. 



19 



limites supörieures telles que IV ne pourrait surpasscr k aucun 
moment une quantit^ positive P, arbitrairement choisie d'avance. 
Or, les ^galit^s (8) et (10) donneraient 

tandis que les 6galit6s (15) et (16) donneraient 



4? = -A/(^ö')'^- 



(19) 



+ 



Ä*K 



y I 



/ d JJ9 X dJ& 



+ 



( 






+ 



4n d 
An 



n'] 



dm. 



Les valeurs initiales de u, v, w, dujdt, dvjdt, dwjdt 
sont assujetties seulement, jusqu'ici, ä demenrer inf^rieures en 
yaleur absolue k certaines limites donn^es; rien n'empeche de 
prendre, ä Tinstant initial, 









dtr 



= A» 



w, 



a} 6tant une quantit^, ind^pendante de x^ y, z, qui pourra etre 
prise aussi petite que bon nous semblera. L'^galit^ (18) de- 
yiendra alors 

(20) (-7rl= - i';/(^ ^0?'^- - Jf.^/l^eo)^«"«- 

Nous pourrons toujours, en premier lieu, choisir les valeurs 
initiales de ti, i7, tr^ de teile sorte <iue JO^ ne soit pas nul 
dans tout Tespace; nous pourrons ensuite choisir X* si petit 
que Texpression (20) de [dWldt\ ait le signe de son premier 
terme, qui est positif. 

{d^'ldt)^ 6tant positif et, selon l'^galit^ (19), d^^/dt^ ne 
pouvant jamais devenir n^gatif, }F croltra ind6tiniraent avec /; 
il ne pourra donc pas demeurer sans cesse inf6rieur a P. 
Donc r^tat neutre de notre milieu illimit^ ne saurait etre un 
6tat d'^quilibre stable. 

2» 



20 P. Duhem. 

§ 2. Milieu dieleotxique et non oonduoteur. 

Les öquatioüs qui r^gissent les composantes £, % j de la 
Polarisation di^lectrique ont 6tö donnöes par Helmholtz^); 
ce sont les suivantes: 



(21) 



Ö»l _ 



^l 



dt* 4nA*e{l + inif^) 

(1 +in»)(l + ina)^K d_ / dj_ , ±t, di\ 

■*" 4nÄ*KB(l + 4n») ß x [d x "^ dy "^ d » ) ' 

iü = -. 1 jö 

(1 +471 ^)(1 +4716^- iC d Idi dX) di\ 
"^ 47i^«i^e(l + 471^) dy\dx'^ dy. dx)* 

dt^ ^ 4 7r ^» 6 (1 + 4 TT ;5^) * 

(1 + 4 7 1 ^)(1 + 4716)- K d tdj , ö l) di\ 

■^ 471^2/^6(1 + 471 d^j ' ö« V^rc "^ öy ■*■ ö^j* 

La quantit^ 
(22) 0=Jl + |l + Jl 

^ ' dx ay ox 

v6rifie alors, en tout point du milieu, T^galitö 

tandis que chacune des trois quantitös 

(24) ß, = 1^ - I", ß, = P - P ' fia = J^ - i' 
^ ' ^ y d X ^ o X ax ^ ox oy 

v^rifie r6galit6 

(^^) T7^ = ^ 7t>^6(l + 4 7r^) ^ ^ • 

Supposons que, quel que soit t, les quantit^s f, ^, J et 
leurs döriv^es de divers ordres par rapport a t soient nuUes 
a l'infini comme des fonctions potentielles. Considörons les 
quatre expressions 

26) U=f{J0fd(o, 

1) H. Helmholtz, I. c, ^quations (21c). 



Sur la stabüiti electrique. 



21 



'^" '-!m'A%^)'*m 



dcj, 



(28) 



(29) 



F^f(/lil)*d(a, 



- /[(^)'+ m* {'e'tl 



G 



d fo , 



oü les integrales s'^tendent au milieu illimit6. 

En tenant compte des 6quations (23) et (25)^ et en suivant 
ime m^thode semblable k celle qui nous a fourni les ^galit^s (8) 
et (10), nous trouverons 



(30) 



(81) 



(32) 



(33) 



dt 



dV 
df 

dF 
d 

d 
d 



y = 2f/ii2Jn'dcj, 

t 2 71 ^* « ( 1 + 4 TT r^) J 



En raisonnant ensuite comme nous Tavons fait pour ob- 
tenir les ^galit^s (15) et (16), nous obtiendrons les ^galit^s 



df* 



(34)' 



= 2 \[A&fd(ü 

2nÄ*KeJ [[ 



'''')'+{ 



dx 









d(0 y 



df 2nÄ^KeJ ^ ^^ 

(35) 



a> 



+ 






d(Oj 



(86) 



( ^^ - 2> AT 



d(D 






22 F. Duhem. 



(37) 



hri^J^^^)'''^ 






Ces pr^Iiminaires pos^s, montrons tout d*abord que le 
milieu ne pourrait etre en ^quilibre stable lorsque i, t), j sont 
üuls partout; dans le cas oü le coefficient de polarisation di- 
61ectrique 8 aurait une valeur negative. 

A cet effet; consid^rons I'expression 

expression qui ne saurait etre negative lorsque s est n^gatif. 
Si r^quilibre du Systeme 6tait stable, on pourrait limiter 
sup^rieurement les valeurs absolues initiales de 

ly 9> by öY' df' ßf 

de teile sorte que // ne suq^asse, pour aucune valeur de f, 
une quantit6 positive F arbitrairement donn^e d'avance. 
D'autre part, les 6galit6s (38), (32) et (33) donneraient 

(39) 4? = - A^ n^XT-^Y r^ß ^^ d ^y 

^ * dt n A^ b(\ + Ani)) J ' 

tandis que les 6galit^s (38), (36) et (37) donneraient 



{iPH 



(40). 



di^ 71^*6(1 



Trü'+4„^)/(^^^''- 



+ [2 



1 C\idA£iy i dASi y ( dASi y] , 

7i^«6(l + 47r^)lV W dxj "^y dy ) "^y dx ) \^^' 

Sans outrepasser les limites impos^es aux valeurs abso- 
lues initiales de ^^ Q, j et de leurs d6riv^es par rapport k tj 
nous pourrons toujours prendre, pour ^ = 0, 

dt "~ '^ 5' ö^ "" 9' d't "■ '^ ö> 

P ^tant une quantit^ ind^pendante de x, j/, z\ nous pourrons 
aussi faire en sorte qu'{\ Tinstant ^ = 0, J fl ne soit pas nul 
dans tout le milieu; la valeur initiale de dHjdt sera alors, 
Selon P6galit6 (39), sürement positive. D'ailleurs, selon l'ögalit^ (40), 
(PBjdt^ ne sera jamais n^gatif. D^s lors, JI croitra au 



Sur la stahiixte electrique, 23 

dela de toute limite avec t et ne pourra demeurer toujours 
inf(6rieur ä P, conclusion incompatible avec la stabilitö attribuöe 
au milieu. 

Le milieu devant etre di^lectrique, nous ne pourons attri- 
buer ä 6 la yaleur 0. Nous sommes donc conirainti de suppoier 
desormais que e est positif. 

Nous alloDS prouver maintenant que^ si K 6tait n^gatif, 
le milieu ind^fini, ramen^ a Tötat neutre, ne saurait etre en 
6quilibre stable. 

Gonsiderons^ ä cet effet, la fonction 

(41) r=r-Ö-±4^>? 

qui, en vertu des ^galit^s (26) et (27), ne peut jamais etre 
negative si Ton suppose 8 positif et K n^gatif. 

Si le milieu 6tait en ^quilibre stable, on pourrait limiter 
sup^rieurement les valeurs absolues initiales de 

öj dti ÖS 



h 9> h 



dt' dt' dt 



de teile sorte que H^ demeure, quelque soit t, iufärieur a uue 
limite positive arbitrairement choisie F. 

D'ailleurs les ögalit^s (30), (31) et (41) donneraieut 

tandis que les ^galit^s (34), (35) et (41) donneraient 
(43) 

A Tinstant t ^0, nous pourrons toujours prendre 

dt"^^' Ti^^' dt^^' 

l^ 6tant ind^pendant de x, y, z, et faire en sorte que J f:^ ne 
soit pas nul dans tout le milieu; alors, selon l'^gaUt^ (42), la 
valeur initiale de dH^jdt sera sürement positive. 

D'autre part, selon Tögalit^ (43), d} H'jdfi ne sera n6gatif 
pour aucune valeor de t. 



du). 



24 P. Duhetn. 

/r crottra donc au dela de toute limite avec t\ il ne 
pourra demeurer toujours införieur a P et l'öquilibre du Systeme 
ue pourra etre stable. 

Le Th6oröme 6nonc6 est ainsi d^montr^ pour tous les 
milieux di^lectriques d^nu^s de conductibilit^. 

§ 8. Milieu a la fois oonduoteur et dieleotrique. 

Supposous maintenant que la r^sistance ^lectrique x du 
milieu ne soit pas infinie et qu'en meme temps^ le coef&cient 
de Polarisation dieleotrique e ne soit pas ^gal ä 0; provisoire- 
ment; nous laisserons ind6termin6 le signe de ce demier 
coefficient. 

D6signons par X, Y, Z les composantes du champ ^lectri- 
que total; les m^thodes de Helmholtz montrent sans peine 
que Xy Y, Z v6rifient les trois 6quations suivantes: 

d^X 1 ^AYj^r. - ^^^ 

dt* 4nA*e(l + 4n&)dt "^ ex'dt^ 

47iÄ^6K(l-h4n&) dxdt Ä^eKxdx " ' 



(44) 



d^ 471 i« e (1 +471 ^) a / "^ 6 X d if» 



__{\ ^ AnB)(\ ^And)- K ö* (9 _ 1 ÖÖ _ ^ 
47r^»6A'(l + 471^) dydt AUKxdx^ ' 



dt* 4nÄ*e{l + 4n»)di "^ ex 6 t*~ 

4nÄ^BK{l + 4ni^) dxdt ^»cÄ'xd»'^ ' 

^quations dans lesquelles on a pos6 

^ / dx * dy dx 

Cette quantite v6rifie, en tout point du milieu, l'^ga- 
lite suivante: 

l^OJ " d> 47T AUK dt "^ AUKx ^ ^^^ ex dt* ' . 

tandis que chaeune des trois expressions 

(A7\ o -^-^ ^ ^' o _^-^ ^^ n ^Y ^^ 

l^'^ -^-i - öy " ö* ' -^^2 - ex '"dx' "^^8 = dx " dV 



Sur la stabUUe tleetrique. 



25 



y^riiie, en tont point du milieu^ T^quation 



(48) 



de "■ 4n^«»(l +471^) Bx dt ' 



SupposoDS que les quantit^ X^ ¥, Z et leurs döriv^es de 
tous ordres par rapport a / s'annulent a Tinfini de la meme 
maniere qu'une fonction potentielle. 

Consid^rons^ tout d'abord, les deox expressions 



(49) 



(50) 



^= r(Jß)»rfa), 



oü les integrales s'^tendent a l'espace illimit^; en faisant usage 
de l'6qnation (48) et en suivant la m6thode qui nous a donn^ 
les ^qnations (8) et (10), nous trouverons 



(51) 



(52) 



dF 
dt 

IdO 
dt 



=^2fjQjad(o, 



+ 



2 



(1 ^4n^)J ^^ 



A S dcj 



8 X 



M 






dz 



m'] 



da) 



Un raisonnement semblable k celui qui nous a donn^ les 
^alit^s (15) et (16) nous foumit ensuite les ^galit^s 



(53) 



dt 



= 2 f{A OTj* 



dco 



2nÄUXl V^nd)J \y dx 1 '^ [ dy j 



-'J( 



^m)']"" 



dJSi dSi' . dASidSi' , dJSidSi', , 
dlo d-x +-dy dy+ d» d» '''"' 



) 



26 



F. JJuliem. 



(54). 



dt' 



= -2.-i'«-(r+i^*)/(^^'^''' 



(1) 



+ 



[47li«V("l 



[ dx 1 



+ 



dct) 



+ 



6 1 r/ d/in dSi' dA^ldSl' 

47iA'^6(l + in &)6xj \ dx dx dy dy 



H — =; 5. — I d(a 



j^j\m + [r,]' ^ m 



dx dx 
d<o . 



) 



Ces formules vont nous permettre d'ötablir le Th^orfeme 
suivant: 

Si € 6tait nögatil', le milieu, entierement k l'^tat neatre, 
ne serait pas en öquilibre stable. 

Considörons, en effet, Fexpression 



(55) 



N = r — — - ^- - 



=/[( 






dx 



- .nAUihl^^i^^^^'^^- 



Si t est n^gatif, cette expression ue peut jamais etre nega- 
tive. Si Ton observe, d'autre pari, que l'on a 



(56) 



X = 



I 

[ X= XU, 



6 



7. 



« 

XV 



^= XW y 



on voit que la stabilitö du Systeme exigerait que Ton püt 
limiter les valeurs absolues initiales de j, l), j, m, v, \d et de 
leurs d^rivÄes par rapport a ty de teile sorte que, quel que 
soit ty H demeurät införieur a une limite positive arbitraire- 
ment tix6e d'avance P. 



Sur la stabilite electrique. 27 

Or les ögaliWs (55), (51), (52) donnent 

-7-r = ^%-Tt~r-A — ü^ / ^^ A Q' da) 

dt n A* b{1 + 4nx^)j 

tandis que les ögalitös (55), (53) et (54) donnent 



(57), 






(58) 



CD 



J \[4nA*8{\ + 471 



+ «HI^..,-...^,,-»i^ + i',f 



1 ÖJ^ 1 ö^' 

"*" '47i^«V(l + 4/ii^) öy ■*"6x öy 

1 ajJ<> 1 dSZ' 



da). 



Sans transgresser les limites imposöes aux valeurs absolues 
initiales de j:, \), j, nous pourons faire que, pour / = 0, J Ü 
ne soit pas nul en tont point du milieu; nous pourrons, en 
outre, prendre, k ce m§me instant, 

Jt "^ ^' Jt'^^' Tt ^ ^' 

X^ 6tant une quantit^ ind6pendante de x, y, z\ nous avons alors 
trois 6galit^s qui entrainent 

Selon r^galit^ (57), la valeur initiale de dHjdt sera süre- 
ment positive. 

Selon r^galitö (58), d^Ujdi^ ne peut etre que positif ou 
nul, si 8 est n^gatif. 

Donc, dans le cas oü « est n^gatif, H croltra au dela 
de toute limite avec t^ tandis que la stabilite du milieu exi- 
gerait que cette quantitö ne surpassät pas P. 

Le Tb^oröme 6nonc6 est donc d^montrd. 

Bordeaux, 4. Juin 1908. 

(Eingegangen 9. Juni 1908.) 



28 



4. Notiz Aber die Vergleichung 
des Meters mit der Wellenlänge des Lichtes. 

Von O. Chwolson in St. Petersburg. 



Ich möchte mir erlauben, einer kurzen Notiz zu der be- 
kannten schönen Arbeit Michelsons ein paar Worte über den 
Genauigkeitsgrad physikalischer Messungen vorauszuschicken. 

Es sei X der wahre, mathematisch absolut genaue Zahlen- 
wert einer zu messenden physikalischen Größe. Eine mehr 
oder minder große Anzahl von Ursachen, die wir Faktoren 
nennen wollen, üben während der Messung einen solchen Ein- 
fluß aus, daß wir direkt, d. h. vor Einführung der sogenannten 
Korrektionen, statt der gesuchten Zahl x eine andere Zahl :r^ 
erhalten. Die wahre Kunst des Experimentators besteht darin, 
von dem gefundenen x^ zu einer solchen Größe x' überzu- 
gehen, welche dem gesuchten x möglichst nahe kommt Zu 
diesem Zwecke müssen jene Faktoren aufgesucht und ihr Ein- 
fluß auf das Resultat der Messung bestimmt werden. Den 
auf diese Weise erreichten Genauigkeitsgrad können wir aus- 
drücken, indem wir sagen, daß die gesuchte Größe genau be- 
stimmt sei bis auf ein n-tel ihres Wertes, oder daß der Fehler 
sicher ein n-tel dieses Wertes nicht übersteigt; in Zeichen 
hätten wir 



X n 

Es ist jedoch mehr üblich, die erreichte Genauigkeit durch die 
letzte noch sichere Dezimalstelle zu charakterisieren, d. h. statt 
jenes n eine Potenz der Zahl 10 anzugeben. Wir setzen 
daher 

± — ~— <io-«, 

X 

wo also jetzt diese Zahl n den Genauigkeitsgrad der Messung 
charakterisiert 






?i 



ji! üxB^ejkdÄ, d^e ^ da- M^^uie YV^bnuMniai 



h SmkjAim iAr ,|!«ers«lxbr' Fekkr, dbe m dem pkrsMV 



Este scs»!:!, wir $ieci«i T^Mmas» daS der tob Ini^r&aeBt 



st 



H f l d e n kum. Dsrcii Hlafus der Becbadtismevs. WeictisKl 
der Bkiitaxig etCL Issmb skli ja die direkten AMw m^ r sfe ii k i 



c FeUer in des iMnatnen GnuidBaAeB ^noiUeii wir eine»- 
£ük lis Bklit Torittaden MiMPhrn e i L Ea l R jJs C4im jub- 
gegiebeo^T Widerstand oder eme als Kiloi^raia» a ng e yb ea e 
Masse soUen also wirkSdi diesieii EInlieiieB entsfüreciieiu wena 
der ak Bedingmig: aaeefeheae plirsikalxsclie Zasttad Toriiaad^ 
iK. Dafeeea g^^iöi«D die bei aado^ea pbrsikalisdbea Zastiadea 
ciatretieBdea Aadanncea der Ma&e ra der xweitaa, wohl n 
beachteadea Groppe tob Faktorea, die wir fikidi aafiikm 
woUea.. da es skb daan am eiaea aafierea Eiadall aaf das 
MefiiastniBeat handelt Zu derselbea Gn^ipe tob Faktorea 
ge h d i e a aach Fdiler ia der Bestimmang des geyaMUgc a 
TabÜtaisses der eiaiefaiea Sta^e eines «Satzes' i>oa MaSea, 
abo etwa der eiazelnea Wido^stiade eiaes Bheostatea, der 
Slöcke eines Gewichtssatzes, der Teilangea eiaer Geradea oder 
eiaes Kreises etc. dean hier haadeh es sieb am Faktcoen, 
die Toa dea Eigeaschaftea des Mefiiastnimeates abhiagea. 

Indem wir also die Groppen a, b and c ab nicht tot» 
haadea annehmen, sollen weiterhin als Faktoren** nur die 
folgenden zwei Gruppen bezodinet wudea: 

1. Physikalische Ursadien. die den Zahlenwerl x der zn 
messeaden Gröfie modifizieren, z. B. bei einer Wibgung der 
Einfluß der umgebenden Luft, elektrischer oder maguetischer 
Krifte etc. 



30 0. Chwolson, 

2. Faktoren, die von den Eigenschaften des Meßinstru- 
mentes abhängen, und zwar erstens von Unvollkommenheiten 
der inneren Einrichtung desselben, zweitens von physikalischen 
Einflüssen auf diese oder jene Teile des Instrumentes. 

Diese zwei Gruppen von Faktoren sind es vor allen, auf 
die es ankommt, wenn die Korrektionen eingeführt werden, 
um von der direkt erhaltenen Zahl x^ zu einer dem x mög- 
lichst nahen Zahl x' zu gelangen. 

Jedem Faktor entspricht eine gewisse Zahl n, d. h. eine 
Dezimalstelle, bei welcher dieser Faktor f&hlbar wird; soll 
also der Genauigkeitsgrad n erreicht werden, so muß der 
Einfluß des betreffienden Faktors untersucht und eliminiert 
werden. Umgekehrt entsprechen jedem n eine gewisse Anzahl 
m von Faktoren. Wir können also setzen 

m=f[n)\ 

die Anzahl der fühlbaren, also zu untersuchenden Faktoren 
ist bei jeder Messung eine von der Art der letzteren abhängige 
Funktion des zu erreichenden Genauigkeitsgrades n. Bei 
kleinem n (= 1 oder 2) kann bei einigen Messungen m » 
sein, d. h. wir können x^ = x setzen. Mit wachsendem n 
wächst auch m. 

Vielleicht bietet einiges Interesse die Frage, welchen Wert 
m erreicht, wenn w = oo gesetzt wird, d. h. wie groß wohl die 
Anzahl der Faktoren sein müßte, wenn man absolute Genauig- 
keit erreichen wollte, wobei letztere in dem oben genau 
definiei*ten Sinne zu verstehen ist, d. h. also bei Nichtberück- 
sichtigung der unter a, b und c angeführten Umstände. Eis 
erscheint doch wohl als wahrscheinlicher, daß für n =» cx) die 
Zahl m in allen Fällen endlich bleibt 

Praktisch würden wir es aber bei w = oo stets mit einer 
unendlichen Anzahl von Faktoren zu tun haben und zwar aus 
folgendem Grunde. Es habe zuerst n einen endlichen Wert, 
dem die Anzahl m von Faktoren entspricht. Jeder dieser 
Faktoren muß mit einem gewissen Genauigkeitsgrad n^ be- 
stimmt werden, der sich auf bekannte Weise bei gegebenem n 
für jeden Faktor berechnen läßt, wobei wohl stets n^ <n sein 
wird. Um die Genauigkeit n^ zu erreichen, muß eine gewisse 
Anzahl m^ von Faktoren mit einer Genauigkeit n^ gemessen 



Vergleich des Meters mit der Welleidänge des Lichtes, 31 

werden, wobei wiederum Wj < w^ ist etc. Wir gelangen auf 
diese Weise, oft sogar sehr schnell, zu so kleinen Werten von 
n., daß ihnen m. = entspricht Die Gesamtzahl aller zu be- 
rücksichtigenden Faktoren bleibt also eine endliche. Ist da- 
gegen n = cOj so müssen oflfenbar alle n. = cx) sein und wir 
hätten niemals m.ssO; die Anzahl der Faktoren wird anend- 
lich groß. Dabei würden wir wahrscheinlich auf zahlreiche 
circuli yitiosi stoßen, indem sich unter den Faktoren m. solche 
finden werden, welche bereits früher für ein kleineres t auf- 
getreten waren. 

Bei den allermeisten Messungen ist ein hohes n nicht zu 
erreichen, weil sich nicht alle Faktoren m. mit den notwendigen 
Grenauigkeitsgraden n. bestimmen lassen. 

Will man bei einer Messung einen gewissen Genauigkeits- 
grad n erreichen, so wird man selbstverständlich alle bekannten, 
d. h. bei dem augenblicklichen Stande der Wissenschaft bereits 
entdeckten Faktoren in Betracht ziehen. Je größer aber n 
sein soll, um so größer ist die Möglichkeit, daß unbekannte, 
überhaupt noch nicht entdeckte Faktoren auf die betreffende 
Dezimalstelle einen Einfluß haben, um so berechtigter wird 
der Zweifel sein, ob wohl der angegebene Genauigkeitsgrad 
n auch wirklich erreicht ist. Gerade die letzte Zeit hat uns 
ja hierin manche Überraschung gebracht. So hat die Ent- 
deckung der Radioaktivität uns ein Pförtchen geöffnet in ein 
neues Gebiet von Erscheinungen, dessen Umfang und Bedeutung 
sich vorläufig auch nicht annähernd schätzen lassen. Ein 
anderes Beispiel bietet die in letzter Zeit erörterte Möglich- 
keity daß die linearen Dimensionen der Körper von dem Winkel 
abhängen, den sie mit der Bewegungsrichtung im Räume bilden. 
Hierher gehört auch die bis jetzt unerledigte Frage, ob das 
Gewicht eines Körpers gleich ist der Summe der Gewichte 
seiner Teile und manches andere. 

Ich möchte mir erlauben, an einem Beispiel auf das 
mögliche Vorhandensein eines bisher unbeachteten Faktors 
hinzuweisen. Es handelt sich um Michelsons Vergleich des 
Meters mit den Wellenlängen von drei Kadmiumlinien. 

Die rein experimentelle Seite dieser Arbeit lassen wir un- 
berührt Wir wollen annehmen, daß die rote Linie absolut 
homogen sei, was ja nach den neuesten Untersuchungen von 



32 0. Chwolson. 

Lummer nicht der Fall ist Wir wollen femer annehmen, 
es seien edle Faktoren, und zwar mit solcher Genauigkeit be- 
stimmt, daß man die Länge des Meters in Wellenlangen X 
der roten Kadmiumlinie bis auf 0,2 fjL als festgelegt betrachten 
darf; dies würde etwa 0,33 X entsprechen. In Wirklichkeit 
dürfte die Genauigkeit eine 4 — 5 mal geringere gewesen sein. 
Wir nehmen aber an, es sei derjenige Genauigkeitsgrad er- 
reicht worden, welcher gegenwärtig bei der Vergleichung der 
internationalen Meterstäbe erreicht wird und dieser ist eben 
gleich 0,2 fA. 

unsere Bemerkung bezieht sich auf die ideelle Seite jener 
Arbeit: es sollte durch den Vergleich des Meters mit dem X 
die Länge des Meters für immer festgelegt werden, so daß 
man säkulare Änderungen in der Länge der Metermaße durch 
neue Vergleiche mit demselben k entdecken oder im Falle 
eines Verlustes der Urstäbe die Länge des Meters von neuem 
herstellen könnte. Soweit die bis jetzt bekannten Faktoren 
in Frage kommen, könnte man behaupten, daß der Vergleich 
des Meters mit X wirklich diese große Bedeutung hat, auf 
welche ja so häufig hingewiesen wurde. Es scheint aber, daß 
bei näherer Betrachtung doch einige Zweifel entstehen können. 

Die mit der Zeit vielleicht sich ändernde Länge der ur- 
stäbe wird ein für allemal mit der Wellenlänge X verglichen. 
Wer bürgt aber dafür, daß X eine in Raum und Zeit unver- 
änderliche Größe ist? X hängt ab von der Schwingungszahl 
N und von der Lichtgeschwindigkeit v. Wir haben vielleicht 
genügenden Grund zur Annahme, daß JV^ unverändert bleibt. 
Dagegen könnte v wohl eine in Raum und Zeit veränderliche 
Größe sein. 

Da es gleichgültig ist, welche Anschauungen wir unseren 
Betrachtungen zugrunde legen, so wollen wir beispielsweise 
annehmen, daß v von der „Dichte*^ d des Äthers abhängt 
Diese Dichte könnte nun sowohl im Baum als auch in der 
Zeit veränderlich sein. 

I. Nach Jahrhunderten wird sich unser Sonnensystem an 
einem anderen Punkte des Raumes befinden, als jetzt. Es ist 
nicht bewiesen, daß der Äther homogen ist, und an dem neuen 
Ort könnte die Dichte desselben eine andere sein, als an dem 
Punkt, wo wir uns jetzt befinden. Eine Änderung der Licht- 



Vergleich d, Meiers mit d. H'eUeidämge d, Lichtes. 33 

geschwindigkeit um 2.10~' ihres Wertes (entsprechend 0,2 /u\ 
d. h. um nur 60 m in der Sekunde, würde einen Vergleich des 
Meters mit l, welcher ebenso genau wäre, wie die gegen- 
wärtigen Vergleiche der Meterstäbe unter einander, illusorisch 
machen. Eine Änderung von v um etwa 250 m würde die 
von Michelson erreichte Genauigkeit zunichte machen. Im 
nichthomogenen Äther müßten die Lichtstrahlen krummlinig 
sein. Wo aber wäre der Beweis, daß sie in Wirklichkeit 
geradlinig sind? 

II. Die Eigenschaften des Äthers könnten auch Funktionen 
der Zeit sein. In der unserer Beobachtung zugänglichen Welt 
erblicken wir überall Veränderung, teils einseitige, teils pul- 
sierende. Sollte der Äther allein eine Ausnahme bilden und 
in starrer Unveränderlichkeit verharren? Vielleicht sind die 
Eigenschaften des Äthers ebenfalls langsamen einseitigen Ände- 
rungen oder periodischen Pulsationen unterworfen. Sollte sich 
dabei die 300 Millionen Meter betragende Lichtgeschwindigkeit 
in 200 Jahren nicht um 60 m ändern können? 

Geschieht dies, so würde das Problem der Vergleichung 
des Meters mit der Wellenlänge eines bestimmten Lichtstrahles 
seine interessanteste Seite verlieren. Weit entfernt, das hier 
Dargelegte behaupten oder auch nur verteidigen zu wollen, 
habe ich nur die Absicht, zum Nachdenken über diese Frage 
anzuregen. Die Welt als Ganzes ist unserem Intellekt unzu- 
gänglich; Endlichkeit und Unendlichkeit des Raumes sind uns 
in gleichem Maße unfaßbar, denn wir „begreifen" nur den 
Kaum, dem wir „gleichen**: endlich und dreidimensional. Die 
bekannte Idee von dem in sich selbst geschlossenen Kaum, 
der ein Gebilde von höherer Dimension begrenzt, würde die 
Möglichkeit innerer Änderungen, vielleicht unter dem Einfluß 
(Druck?) jenes Gebildes, gewiss nicht ausschließen. 

Der große Meister, dem auch diese Zeilen huldigen 
möchten, hat einst den Gedanken ausgesprochen, daß es in 
der Welt vielleicht Stellen gibt, wo die Entropie nicht wächst, 
sondern abnimmt Im Vergleich mit diesem gewaltigen Gedanken 
dürfte das hier Dargelegte wohl nicht als zu kühn erscheinen. 

St. Petersburg, Juni 1903. 

(Eingegangen 14. Juni 1903.) 
BolUiuano-Fc8t«chrifL 3 



34 



5. Über die liniengeometrische Darstellung 
der Trägheitsmomente eines starren Körpers. 

Von Konrad Zindler in Innsbruck. 



Eine Strecke j4 B, von der ihre Länge /, die Gerade y, 
auf der sie liegt (der „Träger") und die Reihenfolge -/, B ihrer 
Endpunkte in Betracht kommen^ heißt ein Stab; ein solcher 
hat also die Beweglichkeit einer Kraft an einem starren Körper. 
Wenn x^^ i/^, z^ und x^ ?/, z die rechtwinkligen Zeiger (Ko- 
ordinaten) bez. von A und B oder von zwei anderen Punkten 
auf g sind, die den Abstand / haben, so ist der Stab durch 
seine sechs Zeiger 



p?i = X - Xo, 




Pi = }/o'-^oy> 


(1) \pi=y-yo> 




Ps ^^ '■0''' •'^0 ^> 


' Ps — ^ ~ '^O' 




/'6 = ^oy-yo*' 


welche die Bedingung 






(2) ^PnPn 


+ S 


= 



erfüllen, eindeutig bestimmt. Deutet man den Stab als eine 
Kraft, so sind bekanntlich p^, p^, p^ die Komponenten ihres 
Drehmomentes in bezug auf den Ursprung des Zeigersystems. 
Die Größen p kann man, wenn man nur ihre Verhältnisse in 
Betracht zieht, auch als Zeiger des Trägers („Linienzeiger**) 
auffassen. Eine (nichthomogene) Gleichung 

(3) *(p„ ...p,) = 

sondert zusammen mit (2) eine vierfache Mannigfaltigkeit von 
Stäben, einen „Stabwald^^ aus. Anderseits kann man auf jeder 
Achse eines starren Körpers einen Stab auftragen, der vom 
zugehörigen Trägheitsmoment abhängt (z. B. ihm gleich ist) 
und erhält so ebenfalls einen Stabwald H^, Es liegt nun nahe, 
die Darstellung von /A durch eine „Stabgleichung", d. i. eine 



Trägheitsmomente starrer Körper, 35 

Gleichung von der Form (3) zu suchen ; dann wären die Träg- 
heitsverhaltnisse des starren Körpers durch eine einzige Glei- 
chung dargestellt: 

E^ sei a eine beliebige Drehungsachse, T das zugehörige 
Trägheitsmoment des starren Körpers K von der Masse J/; 
a die parallele Achse dorch den Schwerpunkt S von A', und T 
das zugehörige Trägheitsmoment; d der Abstand der beiden 
Achsen. Dann ist 

(4) T^r + MiP. 

Femer seien A, B, C die Trägheitsmomente f&r die Haupt- 
trägheitsachsen des Schwerpunktes, die wir als Zeigerachsen 
nehmen und a, ß, y die Richtungskosinus von a ; dann ist^) 

(5) r = ^a» + 5/9» + Cy^ 
Endlich erhält man 

(6) i' = P\+P\+Pl. 

(7) «=^/-. ß^^, y = /V, 

(8) rf» = ?J.+ ?|±?l..) 

Mit Hilfe der Gleichungen (4) bis (8) kann man das Trägheits- 
moment um eine beliebige Achse als Funktion der Linien- 
zeiger dieser Achse ausdrücken: 

(9) T = -^-' -^-^'- ^-^-?' +J'^''> -t ^'l +L '»'^ . 

Trägt man auf ihr die Strecke l = T auf, so wird wegen (6) 
und (9) die Gleichung des Stabwaldes vom sechsten Grade: 

(P\+Pl+ P\? = [^Pl+ Bp\ + Cp\ + M{p\+pl+ p\)-\\ 

E^facher wird es schon, wenn man l^^f wählt, wodurch 
man zu einem Stabwald vierten Grades kommt. Aber zum 
einfachsten Ergebnis fährt die Annahme 

die der Verwendung Poinsotscher Trägheitsellipsoide ent- 
spricht: 

1) Vgl. z. B. Routh, Dynamik 1. j^ 15. 

2) Vgl. K. ZiDdler, Liniengeometrio 1. § SS. 

8» 



36 K. Zindler, 

(10) Ap] + Bp\ + Cp\ + M{p\+p\+ pl) » 1 . 

Indem man hier für die p die Ausdrücke (1) einführt, kann 
man für einen beliebigen Punkt x^, y^, z^ die Gleichung des 
zugehörigen Trägheitsellipsoides hinschreiben. 

Als Anwendung leiten wir die schon bekannte Gleichung^) 
des Komplexes der Hauptträgheitsachsen auf kürzestem Wege 
ab: Legt man in der Gleichung (9) dem T einen bestimmten 
Wert bei, so erhält man die Gleichung des Komplexes der 
Achsen eines bestimmten Trägheitsmomentes (kürzer: ,yeinen 
Komplex konstanten Trägheitsmomentes^'): 

(11) {A-T)p\+(B-T)pl + (C-T)pl + At{p\+pl+pl)^0. 

Durch jeden Punkt Pq des Raumes geht hiervon ein ,,Kegel 
konstanten Trägheitsmomentes^', von dem man eine Leitkurve 
auch erhält, indem man das Trägheitsellipsoid von P^ mit der 
konzentrischen Kugel vom Halbmesser 1/]/^ zum Schnitt bringt, 
wodurch ein sphärischer Kegelschnitt entsteht. Stimmt der 
Durchmesser der Kugel mit einer Hauptachse des EUipsoids 
überein, so steht dieses mit der Kugel in doppelter Berührung 
und der Kegel zerfällt in ein Ebenenpaar (nur für die mittlere 
Achse reell), dessen Ebenen sich in der betreflfenden Achse 
schneiden. Nun sind für einen quadratischen Komplex die 
Schnittlinien der zerfallenden Kegel zugleich die singulären 
Linien des Komplexes^); also: Die Ilauptträgheitsachsen sind 
zugleich die singulären Linien der Komplexe konstanten TrägkeitS" 
mo mentes. 

Wir werden also alle Hauptträgheitsachsen linden, wenn 
wir für alle Werte T die singulären Linien der Komplexe (11) 
suchen. Für einen Komplex 

(12) F(p^,...p,) = 0, 

WO F eine homogene Funktion ist, sind die singulären Linien 
die gemeinsamen Linien von (12) und von 

(13) ^i^'^^^O.^ 



1) Staude, Leipz. Ber. 1899. 

2) Vgl. z. B. Plücker, Neue Geom. des Raumes, p. 307. 1869. 
8) Vgl. z. B. Salmou-Fiedler, Analyt. Greometrie des Raumes. 

2. Art 362 f. 



Träffheitsmomente starrer Körper, 87 

Enthält die Gleichung (12) einen Parameter T, so findet man 
den Komplex der singulären Linien der cx)^ Komplexe (12) 
durch Elimination von T aus (12) und (13). In unserem Falle 
verschwindet aber das T aus der Gleichung (13) wegen der 
Beziehung (2) von selbst und wir erhalten, indem wir (13) auf 
(11) anwenden: 

(H) Ap,p^ + Bp^p^ + Cp^p^ = 

als Gleichung des Komplexes der Hauptträgheitsachsen. Dieser 
ist bekanntlich ein tetraedraler Komplex und identisch mit 
dem System der sämtlichen Normalen aller konfokalen Flächen: 

Hieraus kann man eine anschauliche Vorstellung von der 
Verteilung der Hauptträgheitsachsen im Räume gewinnen. 

Innsbruck, 13. Juni 1903. 



I) Man vergleiche hierüber ClebBch-Lindemann, Gtoom. II, 1. 
p. 287. In der Tat erhält man aus den dortigen Gleichungen (SB) ver- 
möge der Beziehung (2) die Gleichung (14) bis auf die Bezeichnung. 

(Eingegangen 14. Juni 190S.) 



38 



6. Znr Temperaturbestimmung strahlender Gase. 

Von H. Kasrser in Bonn. 



Durch das Gesetz, welches von Stefan empirisch gefun- 
den, dann von Boltzmann auf feste theoretische Grundlage 
gestellt wurde, sind wir in den Stand gesetzt, aus der Gesamt- 
strahlung eines festen Körpers seine Temperatur mit ziemlicher 
Annäherung zu ermitteln. Dasselbe Ziel läßt sich in yielleicht 
noch genauerer Weise durch die Folgerungen aus dem Wien- 
schen oder Planckschen Strahlungsgesetz erreichen. Für die 
Strahlung der Gase hingegen fehlt eine ähnliche Handhabe 
vollständig, ja wir wissen in vielen Fällen nicht einmal, ob die 
Strahlung irgend etwas mit der Temperatur zu tun habe: die 
Bewegung der emittierenden Teilchen, der Elektronen gemäß 
der Untersuchung des Zeemanphänomens, kann hervorgerufen 
werden ganz unabhängig von einer Bewegung des Atoms, zn 
dem sie gehören, und vollends von einer Bewegung des Mole- 
küls. Ich bin indessen der Meinung, daß in vielen Fällen 
die Strahlung der Gase auch eine Folge von Molekularbewegung, 
d. h. von hoher Temperatur ist; ich kann mir z. B. nicht recht 
vorstellen, auf welche andere Art die Strahlung der Himmels- 
körper zustande kommen sollte. Für die Fragen der Astro- 
physik ebenso wie für die der Spektroskopie ist es daher von 
ganz fundamentaler Wichtigkeit, die Temperatur der emittieren- 
den Gase bestimmen zu können. 

Bei der so vielfach erkannten Kontinuität der Erscheinungen 
bei den verschiedenen Aggregatzuständen wird es nicht über- 
mäßig gewagt erscheinen, anzunehmen, daß ein Hauptergebnis 
bei den festen Körpern, daß nämlich das Maximum der Emission 
mit steigender Temperatur nach kürzeren Wellen rücke, anch 
für die Gase gelte, wenn auch nur in dem Sinne, daß über- 
haupt ein Bücken stattfindet, wenn auch nicht nach demselben 
Gesetze. Eine erste Bestätigung könnte man darin sehen. 



Temperahirbestimmung strahlender Gase, 39 

daß beim Übergang von der BunsenHamme zum Knallgas und 
zur Bogenlampe das Spektrum immer weiter ins Ultraviolett 
reicht Allein eine genauere Betrachtung zeigt, daß gleich- 
zeitig ganz regellos auch sehr lange Wellen an Intensität er- 
heblich zunehmen» kürzere abnehmen, daß also jedenfalls für 
alle Linien eines Spektrums das Gesetz nicht gelten kann. 
Eine Erklärung dafür ist nicht schwierig: wir müssen ja an- 
nehmen — schon die verschiedenartige Zerlegung der Linien 
im Magnetfeld zwingt dazu — daß in jedem leuchtenden 
Dampfe eine ganze Anzahl verschiedenartiger emittierender 
Teilchen vorhanden sei. Mit der Temperatur und wachsender 
Dissoziation wird die Anzahl jeder Art variieren , und da die 
Helligkeit einer Linie im Spektrum sowohl von der Emission 
jedes Teilchens als auch von der Zahl der emittierenden Teil- 
chen abhängt, können scheinbar ganz regellose Intensitäts- 
indenmgen auftreten. 

Diese Überlegung zeigt aber gleichzeitig, in welcher Eich- 
toDg die Untersuchung sich zu bewegen hat: wir dürfen nur 
Linien eines Teilchens ins Auge fassen. Es scheint ziemlich 
zweifellos, daß die Linien einer Linienserie demselben Teilchen 
ihren Ursprung verdanken; ich brauche nur an die iden- 
tische Zerlegung im Magnetfeld zu erinnern. Somit muß die 
Fragestellung lauten: verschiebt sich in einer Linienserie das 
Intensitätsmaximnm mit steigender Temperatur, oder anders 
gesagt: wächst die Intensität der kürzeren Wellen stärker, als 
die der längeren? Wenn diese Frage bejaht werden kann, 
wie vrir sehen werden, so tritt die zweite hinzu: folgt die 
Verschiebung dem gleichen Gesetz, welches für feste Körper 
gilt? Diese Frage läßt sich leider vorläufig nicht beantworten, 
da wir nicht imstande sind die Temperatur leuchtender Oase 
zu ermitteln. Man kann dann den umgekehrten Weg ein- 
schlagen, nämlich annehmen, das Gesetz gelte auch für Gase, 
und aus der Verschiebung die Temperatur berechnen. Kommt 
man dann zu einigermaßen plausiblen Werten, so ist für den 
ersten Anfang schon viel gewonnen. 

Ich habe vor kurzem Messungen an Serien des H, He, 
Li durch Hm.Langenbach veranlaßt. Dieselben werden wenig 
genau sein, denn leider läßt sich die Energie in den einzehien 
Linien nicht direkt ermitteln, sondern nur die Helligkeit photo- 



40 



H. Kayser, 



metrisch messen. Das geschah mit einem Qlanschen Spektral- 
photometer durch Vergleich mit einer konstant gehaltenen Glüh- 
lampe: für letztere sollte dann die Energieverteilung im Spek- 
trum mittels einer Rubens sehen Thermosäule bestimmt wer- 
den. Sie ergab sich aber als zu schwach, und so wurde erst 
die Glühlampe mit einer stärkeren photometrisch yerglichen, 
dann letztere mit der Thermosäule gemessen, und so endlich 
die Energie in den Spektrallinien unter verschiedenen Be- 
dingungen des Druckes, der Stromstärke etc. gewonnen. Auf 
diesem komplizierten Wege häufen sich natürlich die Fehler. 
Dazu kommt noch, daß man bei der photometrischen Messang 
die in der Verbreiterung der Linien steckende Energiezunahme 
nicht berücksichtigen kann. Es handelt sich hier also offenbar 
nur um einen ersten rohen, mehr qualitativen Versuch. Auch 
daß als Stromquelle ein Induktorium benutzt werden mußte, 
ist ungünstig; eine große Batterie von Akkumulatoren wäre viel 
besser gewesen. Immerhin zeigen die Versuche deutlich genug 
das erwartete Resultat. Ich will nur ein kleines Stück einer 
Tabelle für Wasserstoff anführen. Der Druck im Geisslerrohr 
wurde von 1,2 auf 10 mm verändert, der Induktor mit 4, 6, 
8 Akkumulatoren betrieben. Dabei fand sich das Verhältnis der 
Energien der Linien H^\ Hß\ Hy folgendermaßen: 



Druck 4 Akkumulatoren 



6 Akkumulatoren 8 Akkumulatoren 



1,2 mm 
2,5 „ 

6,0 „ 
10,0 „ 



1:0.127:0,0426 
1 : 0,121 : 0,0281 
1 : 0,095: 0,0195 
1 : 0,098 : 0,0180 
1 : 0,065: 0,0116 



1 : 0,160: 0,086 
1:0,142:0,046 
1:0,121 : 0,034 
1 : 0,124 :0,0.S4 
1 : 0,098 : 0,021 



1 : 0,273 : 0,102 
1:0,154:0.056 
1:0,157:0,055 
1 : 0,130: 0,039 
1 : 0,113: 0,032 



Die Zahlen zeigen aufs deutlichste, daß mit steigender 
Stromstärke die Intensität der kurzwelligen Linien stärker 
wächst, also wenn wir das so deuten dürfen, die Temperatur 
steigt; mit wachsendem Druck aber nimmt die relative Hellig- 
keit von Hß und Hy ab, die Temperatur sinkt. 

Da sich bei den beiden anderen untersuchten Elementen 
dasselbe findet, scheint mir der Schluß berechtigt, daß auch 
bei Linieuspektren das Gesetz der Verschiebung des Intensitäts- 
maximums mit der Temperatur wenigstens qualitativ gilt. Denkt 



Tamperaiurbestimmttnff strahlender G€ue. 41 

man sich nun die Wellenlängen als Abszissen, die Intensitäten 
der Linien als Ordinaten aufgetragen und legt eine Kurve 
durch die Endpunkte, so entsteht die Frage, ob diese die 
gleiche Oestalt hat, wie bei den festen Körpern; dann allein 
würden wir Schlüsse über die Temperatur des Gases ziehen 
können. Wir kennen aber zu wenig Punkte der Kurre, und 
diese zu ungenau, um die Kurve wirklich zeichnen zu können. 
Daher schlage ich den umgekehrten Weg ein: ich nehme an, 
es sei die gleiche Kurve, dann kann man aus dem Verhältnis 
der Intensitäten an zwei Stellen die zugehörige Temperatur 
berechnen. 

Wir können unbedenklich das Wien sehe Gesetz zugrunde 
legen, da dasselbe richtig ist, solange A 7 < 3000, wenn X in u 
ausgedrückt wird; das Gesetz gilt also ftir sichtbare Strahlen 
bis etwa 5000 ^ l^^r zwei Wellenlängen X und k^ haben wir 
bei derselben Temperatur T: 



also 






also 



T 






Setzen wir füre, den von Paschen gefundenen Wert 14 500 
ein, für k und k^ die Wellenlängen von H^ und Ilß, nämlich 0,656 
und 0,486, und berechnen 7 für ^= 10, 5, 3, 2, 1, so findet sich 

T=x 2036^ abs. für ^ = 10, d. h. //«:!/>:=: 1 :0,1 

r-2491^ „ „ J= 5, „ „ B^iHß^ 1:0,2 

y=2981<' „ „ A^ 3, „ „ 7/«:Ä>«= 1:0,333 

y=3582« „ „ ^= 2, „ „ //.:i/^- 1:0,5 

y=5166« „ „ ^= 1, „ „ Ä.:i/^=1:1. 

Daraus findet man, daß z. B. beim niedrigsten Drucke 
von 1 ,2 mm die Temperatur im Geisslerrohr bei 4, 6, 8 Akku- 
mulatoren etwa 2200^ 2340^ 2760<» abs. betragen habe. Das 
scheinen mir Zahlen zu sein, die mit anderweitig bekannten 
Tatsachen nicht in Widerspruch stehen. 



42 H. Kayser. Temperaturbestimmung strahlender Gcue. 

Man könnte in der Prüfung noch einen Schritt weiter 
gehen^ nämlich filr diese Temperaturen auch das Verhältnis //«: H^ 
ausrechnen und mit dem beobachteten vergleichen. Man findet 
dann die beobachteten Werte zu groß; da aber die Ungenauig- 
keit der Beobachtungen mit abnehmender Wellenlänge schnell 
wächst^ so halte ich diesen Vergleich fär unzweckmäßig. 

Ich ziehe somit aus den Versuchen natürlich nicht den 
Schluß^ das Strahlungsgesetz der festen Körper gelte auch fiir 
Gase^ sondern nur den viel bescheideneren, ein den festen 
Körpern qualitativ ähnliches Verhalten der Gase sei nicht un- 
wahrscheinlich. Ich möchte besser ausgerüstete Beobachter, 
namentlich solche, die bolometrisch zu arbeiten verstehen und 
mit einer großen Batterie versehen sind, anregen, die wichtige 
Frage genauer zu verfolgen. 

(Eingegangen 1. Juli 1903.) 



48 



7. Id6es fondamentales d'nn essai de 
th6orie m6caniqne de Tölectricitö et de la chalenr.^) 

Par P. de Heen k Li^e. 



La manifestation destin6e k feter l'illustre Boltzmann 
me foumit l'occasion de r6sumer dans ses grandes lignes le 
but que j'ai poursuivi dans mes recherches. Je suis d'autant 
plus heureux de pouvoir le faire que ma couception des choses 
de la physique est en parfait accord avec celle du grand 
physicien; comme lui j'appartiens k T^cole scientifique que Ton 
pourrait appeler Pecole syntetiste qui k Toppos^ de celle des 
analystesy part d'une couception hypoth6tique mais tangible de 
la Constitution de la substance, pour en d^duire les lois qui 
tombent sous nos sens. 

Je serais entratnö trop loin si je voulais discuter ici les 
avantages et les inconvönients de chacune des ces öcoles. Le 
senthnent se trouve en r6alit6 k la base de tout cela. L'analyste 
pröföre savoir surement, mais se ferme k tout jamais le domaine 
de la Philosophie naturelle. Le syntetiste est avant tout le 
philosophe de la science. 

Guide par le senüment que nous venons de definir notre 
pr6occupation a d'abord et6 d'etendre aux liquides la methode 
qui avait döjä ete appliqu^e aux gaz avec tant de succös par 
Amontons, Bernouilli, Clausius,Eroenig et notre jubilaire 
Boltzmann. 

L'idee que nous-nous somnes faite de la Constitution des 
liquides a pris naissance ä la suite d'une interpr^tation que 
nous avons donn^e des phönomenes anormaux que präsente 
Teau (1879) hypoth^se qui a 6t6 formulöe de la roeme mani^re 
par M. Ramsay qui n'avait pas eu connaissance de notre 
travail. D'apr^s cette hypoth^se l'eau k l'^tat liquide est 
formte par des mol6cules que nous avons dösign^es plus tard 



1) Les recherches aoxqaelles il est fait allusion sont expos^es 
1® dans pLa Chalear'* (1876—1894), Desoer, Li^. 2<> Zeitschrift f. kompr. 
nnd flnss. Gase. 7. 8. 9. 1898. 8® Sous presse: Prodrome de la throne 
m^caniqne de T^lectricit^. 



44 P, de Heen, 

80U8 le nora de moUcules lüfuidogeniques, Ces mol^cules com- 
plexes seraient forraöes par Tassemblage d'un certain nombre 
de mol^cules telles qu'elles existent dans T^tat gazeux, que nous 
avoDS d^sigii^es sous le nom de moUcules gazogeniques, Elnfin 
ce degr6 de complexitö est variable avec la tempörature. Teile 
est la conceptioQ que nous avons ^tendue a tous les liquides. 
La mol^cule liquidog^nique ne serait autre chose qu'une mol^cule 
tourbillon ou vortex dont les ölöments seraient les molöcules 
gazog^niques. 

Lorsciue la substance est a T^tat liquide ces vortex 6tant 
soumis a des actions attractives mutuelles roulent les uns 
sur les autres en se maintenant pour ainsi dire en contact, 
les mol^cules gazog^niques qui s^6chappent accidentellement de 
ces tourbillons d^terminent T^vaporation superlicielle. 

ßemarquons que la thöorie des tourbillons de Helm- 
holt z nous apprend qu'a un accroissement de vitesse angulaire 
du mouvement tourbillonnant correspond une diminution de 
diamötre du tourbillon de teile maniere que si la mol^cule 
liquidog^nique conservait une masse invariable^ un accroissement 
de tempöraturc serait accompagnö d'une contraction. Le ph6no- 
m^ne exceptionnel que präsente Teau serait donc le cas normal, 
et la dilatation teile qu'elle s'observe g6n6ralement doit etre 
considör^e comme le r^sultat d'une Variation de masse de chaque 
molöcule liquidog^nique avec la tempörature or puisque la 
vitesse angulaiie croit avec ce facteur, le rayon de la mol^cule 
tourbillon diminuant, cet accroissement de temp^rature doit 
n^cessairement produire une diminution de la masse de la mol6- 
cule liquidogönique, si une dilatation se produit. A chaque tem- 
pörature correspond un liquide particulier physiquement deftnu 

Si les molöcules s'allignent de maniere k ce que les axes 
des tourbillons se trouvent sur un meme prolongement, ainsi 
que cela se passe dans les cristaux^ nous pourrons observer 
une dilatation suivant la direction de ces axes et une contraction 
dans une direction normale. Ce que l'expörience v6rifie dans 
certains cas. 

Si pour les liquides on admet qu'a d'^gaux accroissements 
de tenipörature correspondent des travaux 6gaux de dilatation, 
et que les actions r^ciproques des öl^^ments s'^xercent en raison 
inverse de la ^ puissance du volurae, on trouve fort ais6ment 



Theorie mec. de Velectridte et de la chaleur. 45 

les fornmles qui expriment les variations que les diverses grandeurs 
relatives au calorique, 6prouvent avec la temp6rature. L'un des 
rösultats les plus interessants se trouve dans la d^termination de 
la formule de dilatations admise ensuite par Mendelejef. En 
^tendant nos recherches a T^tude de la vitesse de l'^vaporation 
superficielle nous avons 6t6 conduit par la th^orie et par 
Texp^rience a un certain nombre de conclusioDS dont la plus 
singuliere en apparence se trouve dans i'ind^pendance de la 
vitesse d'6vaporation et de la pression ext6rieure. Cette 6va- 
poration est d6termin^e soit k l'aide d'un courant gazeux soit 
dans un gaz en repos; dans ce dernier cas, la surf'ace du 
litpiide 6tant absolument libre. 

Mais les consid^rations que nous venons de d^velopper 
devaient nous conduire k un r^sultat bien difi^rent de ce ([ui 
6tait admis concemant la density critique. D'apres ces vues 
th^oricpies la temp^rature critifpie est caracteris6e par cette 
circonstance que les mouvements de roulement des mol6cules 
liquidog^ni(|ue3 les unes par rapport aux autres sont devenus 
asaez rapides pour vaincre Tadhörence, c'est-ä-dire l'action 
attractive qui les maintenait en contact. A partir de ce moment 
le fluide li(|uide comroence ä exercer une legere action expansive 
sur Tenveloppe cpi le renferme, cette action expansive qui est 6gale 
a z6ro au point critique, crottra progressivement avec la temp6- 
rature, ceci suppose que le liquide remplit complMement le 
voIume du r^cipient Si au contraire le li(iuide est en contact 
avec la vapeur, la temp^rature critique correspondra au moment 
oü les mol^cules liquidog^niques commencent a se diffuser dans 
Tespace occup6 par la vapeur. Mais avant que cette diffusion 
n'ait eu le temps de s'effectuer la density du fluide qui occupe 
l'espace ([ui ^tait occup6 par le liquide, conserve une density 
plus grande que la density de la vapeur primitive (1892). Nous 
avons montr6 par l'exp^rience que si Ton reprösente par 2 la 
density du liquide k la temp^rature critique, la density de la 
vapeur est repr^sentöe par 1 k cette meme tempörature. 

Depuis 1892 ces conclusions ont 6t6 adoptöes par plusieurs 
physiciens notamment par MM. Galitzine (1893), Batelli 
(1893), Dwelshauvers-Dery (1895) et en particulier par 
M. Traube auquel on doit de remarquables döveloppements 
sur la questioQ. Ce physicien dötinit la molöcule liquidog6nique 



46 P. de Heen, 

non pas comme 6tant le tourbillon d'ensemble que nous avons 
considör^^ mais comme 6taüt la mol^cule gazogönique occupant iin 
volume total plus petit lorsqu'elle fait partie d'une masse liquide. 

Nos investigatioQS dans le domaine du calorique en 
^taient Ik lorsque se produisit la sensationnelle expörience de 
Boentgen dont l'importance pratique consid^rable 6tait Evidente 
pour tous mais qui au point de Yue philosophique semblait se 
r^duire ä la döcouverte d'un rayon de tres petite longueur 
d'onde. Cette circonstance ne nous aurait pas döcid^ a aban- 
domier nos recherches sur le calorique lorsqu'un physicien 
dont le nom est beaucoup moins connu, le Dr. Gustave le Bon, 
6mit Tavis que les choses ne se bornaient pas k des ph^nomenes 
particuliers pr^sent^s par les tubes k vide mais que pour lui 
nous nous trouvions en face d'un nouvel ordre de phönomenes 
dont les manifestations se produisaient aussi gön^ralement dans 
la nature de Celles de la chaleur et de la lumiere. Des ex- 
p^riences encore inachev^es sur ce que le Bon appelait assez 
improprement la lumiere noire, me convainquirent pleinement 
On sait maintenant jusqu'ä quel point nous ^tions dans le vrai. 

La premiöre conclusion importante k laquelle j'ai 6i6 
conduit peut s'exprimer en disant que presque tous les foyers 
d'^branlement de Töther (flamme, aigrettes, rayons X. etc.) 
d^terminent la mise en libert^ d'ions dans les gaz. Ces 
ions libres dans les gaz sous la pression normale reprösentent 
ce que Crookes appelait ntat radiant Ces ions susceptibles 
de subir le ph^nomene de Tinfluence k l'instar de petits con- 
ducteurs, se pr^cipitent en masse sur les surfaces 61ectns4es 
et s'y ^tendent comme le ferait un fluide que Von projetrait 
sur une surface rigide. Nous avons d^sign^ sous le nom dPinfra- 
electricite ce fluide ölastique formö d'ions libres, lequel de 
meme que des lames liquides qui se rencontrent, permet de 
r^aliser des figures rigoureusement g^om^triques k la surface 
des di^lectriques ^lectrisös (1899). 

Les choses en ^taient k ce point lorsque nous nous sommes 
demand6 si la difflcult^ que Ton ^prouvait k donner une inter- 
pr^tation des ph^nomfenes ölectriques ne se trouvait pas pr6- 
cisöment dans la croyance k cette difflcult^. D nous a toujours 
sembl6 que si Tunivers pr^sentait une apparence complexe 
et je n'excepte nullement le ph6nom&ne de la vie, cela rösultait 



Theorie mec. de PeUctr leite et de la ckaleur. 47 

de TigDorance oü nous nous trouvons des causes (^ui nous 
parattraient extr^mement simples si la r^flexion ou le hasard 
nous les faisait connattre. Les effets de ces causes seuls 
noos apparaissent soos une forme complexe. 

ConceTOns mainteDant le tube tourbillon de Helmholtz 
et demandons-noos 8*il präsente n^cessairement les caract^res 
d'une parfaite sym^trie si on le regarde dans deux directions 
oppos^es siÜTant son axe. Ne peut-on le consid^rer comme 
an embottement de tourbillons tels que ceux qui s^observent a 
la BurCace des rivieres, dont Tune des extrömitös est 6vas6e 
Tautre extr^mit^^ r^tr^cie? et des lors Pelectron se peut-il se 
comparer a un cöne tourbillon d'6ther condens6 dont Torien- 
tation dötermine le sens de Taspiration de l'^ther, leciuel 
entralnö lai-meme sous une forme tourbillonnante donnerait 
rimage des deux ^lectricit^s, Taspiration correspondent a 
r^Iectricit^ n^ative, le refoulement k T^lectricit^ positive. En 
un mot si nous considörons un ion libre dans Tespace, ion 
que nous supposerons rectiligne et muni a chacune de ses 
extr6mit68 d*un Slectron conique: cet ion se comportera comme 
une T^ritable pompe centrifuge teile que T^ther p^n^trera par la 
partie ÖTas^e et sortira par le sommet du cone. Si nous con- 
sid^rons une s6rie d'ions orientös dans le meine sens nous 
obtiendrons la chame tourbillon, le vide 6th6r6 tendant a se 
produire du cöt6 de la partie ^vas^e de T^lectron, la com- 
presaion ä Topposä. Si la chaine tourbillon est on moavement 
dans le sens de son axe eile dötermine le ph^nomene du courant, 
bI eile est au repos on observe des ph^nomenes dits statiques, 

Nous jiourrons ainsi concevoir des tubes ou chatnes tour- 
bülon ouvertes ou fermöes. La chaine fermöe correspondent 
ti Tatome vortex de W. Thomson, ({u'il suffira d*orienter 
pour voir apparattre les propri^t^s de l'aimant et le ph^nomene 
de Zeeman. Si eile est ouverte il n'y a aucune raison pour 
considärer la chatne comme limit^e, meme a la surface du 
Corps. Les ions continuent donc leur marche dans Tespace 
le long de la fibre tourbillonnante d'^ther, ainsi que le feraient 
des perles qui se döplaceraient le long d'un ül sans limites. 
Ces ions donncront lieu en se d^plagant ainsi dans Tespace, 
aux ph^nomenes dits radioactifn {\\x\ pour nous se pr^sentent 
dans la nature ayec une fr^quence extreme. Dans des cas 






48 P. de Heen. 

relativement trcs rares qui seuls ont attir^ d'abord l'attention 
des physiciens, les vitesses ioniques sont süffisantes pour (|ue 
les ions traversent les corps dits opaques. Si nous consid^rons 

le tube tourbillon T Fig. 1 

on peut considörer cha- 

que Electron /tt ä T^tat du 

^ ^ T mouvement vibratoire. 

Fig. 1. Ges vibrations 6tant 

synchrones, chaque ion 
se comporte comme un corps pulsant de Bjerknes, d'oü 
Taction röpulsive du caloriiiue, et la production de Toscillation 
transversale caloriiique ou lumineuse dans T^ther ambiant. 

Nous voyons maintenant'se fondre en une seule, la thöorie 
de la lumiere de Fresnel et la thöorie ^lectro-magn^tique. 

Nous voyons 6galement que Taccroissement de potentiel 
61ectro-magn6tique et Taccroissement de tempörature sont des 
ph^nomfenes connexes, qui se traduisent simultan6ment par un 
accroissement de vitesse angulaire du tube tourbillon et par 
une diminution de Tangle fi du sommet des ölectrons, c'est- 
ii-dire par un accroissement de force ^lectro-motrice ou encore 
par un accroissement de tension des 61ectrons qui permet une 
Vibration plus ra])ide. 

Dans les substances amorphes, ces tubes tourbillons sont 
Orientes indifföremment dans tous les sens et des lors les mani- 
festations 61ectriques n'apparaissent pas, mais la surface iso- 
thermicjue n'est autre chose ({u'une surface d'6gale intensit^ 
de courant dont la tempörature est donn^e par la loi de Joule. 
En partant de ce point de vue on montre tres facilement que 
la conductibilit^ calorifique et la conductibilit^ 61ectrique doivent 
etre de grandeurs proportionnelles. 

Si au contraire la substance est cristallis^e, les tubes tour- 
billons s'orientent dans un sens d^termin^ et k l'accroissement de 
temp^rature correspondra un accroissement de tension ^lectrique 
cette fois appr^ciable, d'une part negative d'autre part positive. 

Si nous rappelons que chaque ion libre se comporte 
comme une v^ritable pompe aspirante et foulante dont Taspiration 
correspond au pole n^gatif et le refoulement au pole positif, 
la döpression produite en (^ par Tion a döterminera Forientation 
negative des ^lectrons e r^pandus sur la surface S (Fig. 2). 



Theorie mec, de Pelecfridte et de la chalenr. 49 

Donc des ions dont l'orientation correspoiid a uu signe 
donn^y mis en libert^ par un conducteur ayant atteint la 
limite de Charge, d6tenninent sur un conductear plac^ dans le 
▼oismage ime Charge de meme signe alors mime que ce con" 
dueieur est preserve par une cage dielectrique. 

Tel est le ph^nom^ne que nous avons d^sign^ sous le 
nom (Pinductian electro-statique qui constitue la base de la 
thterie du courant^ ou du transport d'une charge d'un point 
H OD autre pendant toute la dur^e de Texistence de la charge 
excitatrice, contrairement ä ce ((ui se passe dans Tinfluence. 
Pendant cette Operation Fair est le siege d'une radioactivit^ 



<-< 



* « 




I I 

I 'f I? I 

I i 

s s' 

Fig. 2. Fig. 8. 

d*apri8 ce que nous avons dit, ou d*apres une expression (jue 
nous avons admise, il est devenu iodynamique. Une substance 
conductrice est donc une substance iodynamitiue, les m^taux 
par exemple sont form^s de mol6cule ((ui se bombardent r^ci- 
proquement et perp6tuellement d'ions. Ces ions ne peuvent 
donc faire partie d'une mol^cule (^ue pendant en teinps Iiinit<^ 
poor etre ensuite remplacös par d'autres. Le contraire a Heu 
dans les substances aniodynamiques ou non-conductrices. 

Tous les m^taux auront donc une tendance a se montrer 
spontanöment radioactifs, ainsi que cela r^sulte des exp^riences 
dn Dr. Gustave le Bon. 

Lorsque deux surfaces s 9 (Fig. 3] sont ^lectris^es de 
signes contraires, c'est-a-dire si les ^lectrons sont oricntös 
dans le meme sens, les tourbillons se raccordent par Tinter- 
mMiaire de l'6ther interpos^. L'axe de ce tourbillon reprösente 
la ligne de force, de plus ce tourbillon est stationnaire con- 
trairement a ce qui se passe dans le courant, car au tourbillon 
central d'aller correspond un tourbillon plus large de retour 
ainai qne cela r6sulte des remarquables recherches de M. Wey her 

RoltnBaaB-FMMliria. 4 



50 P, de Heen. Theorie m6c. de Velectricite et de la cFialeur, 

sur les tourbillons. En prenant certaines pröcautions on peut 
matörialiser ceux-ci par Tötincelle, r6sultat de rentralnement 
des ions dans le tourbilloD. 

Le raccordement des ölectrons ()()' d^termine une espfece 
de calage r^ciproque qui communique a ce Systeme une grande 
stabilit^, il peut enrayer compl6tement Taction de la d^charge pro- 
duite par des ions libres r^pandus dans Tatmosphere ambiante par 
exemple sous Taction de äammes ou de substances radio-actives. 

L'idöe que Ton doit se faire de la Constitution des gaz est 
^galement un peu diff^rente de celle qui 6tait admise; nous 
pouvons les concevoir comme form6s de chaines tourbülojis li- 
mitöes par la paroi du vase qui les renferme. Les chocs dus 
aux d^placements lateraux de ces chaines d^termineraient la 
pression. Si la pression devient trcs faible ces chaines se 
brisent et les ions qui les constituaient deviennent ind^pendants 
les uns des autres. Le gaz devient alors iodynamique, con- 
ducteur de T^lectricit^, en un mot nous avons r^alis^ le fluide 
que nous avons dösignö sous le nora d^infra-electrique et que 
Crookes appelle etat radiant, Cette rupture des chaines tour- 
billons se produit ^galement sous la pression normale, mais en 
faible proportion, sous Taction de tous les agents ionisants 
(flammes, aigrettes, rayons X, substances radioactives etc.). 

Disons en terminant que nous avons eu la satis&ction de 
voir se vörifier cette ann^e une cons^quence de notre th^orie, 
que nous avions formulöe pr6c6demment et d'apres laquelle 
les m^taux dou6s du plus grand pouvoir r^iiecteur sont 6gale- 
ment ceux <iui sont les meilleurs conducteurs. On sait que 
M. Drude d'une part, MM. Hagen et Rubens d'autre part, 
ont v6rifi6 cette conclusion par l'exp^rience. 

Nous voyons aussi se souder progressivement les diff^rents 
chapitres de la physique et Ton peut espörer que d'ici k quel- 
ques ann^es la thöorie m^canique de la chaleur et la th^orie 
möcanique de Tölectricitö n'en feront plus qu'une, alors aura 
v6cu la thöorie actuelle des electrogistiques de meme qu'ä v6cu 
la thöorie du phlogistique. L'61ectricit6 pas plus que la chaleur 
ne doit etre con^ue comme une entitö. 

Institut de physique de l'universit^ de Liege, 1®' Juin 1903. 

(Eingegangen 1. Juli 1903.) 



51 



8. Chronometrie: 
Les rägimes liioites et la stabilit^ de la 

Synchronisation. 

Par Jnlefl Andrade k Besan^on. 

Regime limite intörieur. — Pour un mode et pour une 
intensiM d'action dötermin^s de r^chappement il existe une 
amplitude de Toscillation du rögulateur qui se maintient con- 
stante dans un mouvement p^riodique; l'exp^rience montre que 
ce r^ime pennanent finit par etre pratiquement atteint bien 
((ue th6oriquement il s'agisse de ce regime limite ou asympto- 
tique. II est interessant de pr^ciser les circonstauces math6- 
mati(|ue8 qui assurent Texistence de ce regime limite dans des 
conditions aussi g^nörales (jue possible; tel est Tobjet du prä- 
sent memoire. 

Regime limite d^une Synchronisation. — Le mouvement 
d*UDe bonne horloge-mere, une fois devenu p6riodique, peut 
etre utilis^ uon seulement pour inscrire Theurc, mais encore 
pour transmettre ^lectriciuement une influence m^caniiiue soit 
snr des aiguilles ^loign^es, soit sur le r^gulateur mome d'une 
horloge lointaine «lui^ dans cc demier cas est dite synchroniset'. 
Et, en effety l'expörience montre qu'une force synchronisante, 
fonctioD p6riodique du temps scandö par une horloge-mrre 
peut etre appliciuöe au pendule d'une seconde horloge de 
Periode l^gärement diiförente de nianiere a produire une Sub- 
ordination complete de l'horloge syuchronis^e a Thorloge-mere, 
celle*ci finit ä imposer sa Periode propre. CVst encore un 
regime limite (jui se produit ici. 

£n ce qui conceme la Synchronisation ou sait que Cornu^] 
a ötudiö et Y^ritiö ^I^gamment les lois de la Synchronisation 
dans le cas tres simple oü le pendule synchronis^ est soumis 
1^ u un moment proportionnel a l'angle d'^cart, 2^ a une 

1)M. Cornn, Conference sur la Synchronisation «'lectroniagiietuiuc 
Paris 1894. 

4* 



52 J. Andrade, 

rösistance proportionnelle a la vitesse (amortissement constant). 
Ce Probleme bien particulier devra etre un peu ^largi si on 
veut studier la stabilit^ de la Synchronisation ; il est n^anmoins 
fondamental. 

SynohroniBation cL'nn ssrsteme pendulaire a amortiBBement 

oonstant. 

En rappelant d'abord ce cas simple, oü Ton ne tient pas 
compte de T^chappement, nous rappellerons et nous compl^- 
terons les r^sultats relatifs ä ce cas particulier contenus dans 
le memoire de Cornu en 1894. 

Nons consid^rons donc un balancier soumis ä un couple 
de rappel proportionnel ä Tangle d'^cart au point mort, u\ 
soit ru ce couple de rappel; le balancier est soumis en outre 
a un couple rÄsistant proportionnel a la vitesse — qdu\dt\ 
soient enün, / le momeut d'inertie du balancier, et F{$) la 
force synchronisante (^ui est une fonction p^riodique de 
pöriode T, 

L'öquation du mouvement est: 

Nous envisagerons d'abord l'^quation priv^e de second membre 
et nous consid^rerons son integrale sous la forme g^omötrique 
que lui a donnöe Cornu; nous poserons 



(2) {._, -.- tg^'=r1.; 



h ext le coefficient d^ amortissement. 

Puis, nous consid^rons deux axes X et Z faisant entre 
eux un angle F; Torigine sera le point asymptotique d'une 
Spirale logaritbmique, coupant les rayons vecteurs issus de O 
sans l'angle constant F, soit M un point mobile parcourant 
cette Spirale de mani^re que le rayon vecteur M toume, 
dans le sens oü il d^crott, avec une vitesse angulaire constante, 
^gale h. 2nfT\ soient x et y les coordonnees obliques du point 
M\ la repr^sentation integrale du mouvement: 




Hegimes limite* et. utahilite de la Synchronisation. 53 

iPu . ^ du . ^ ^ \^^ I 



(*) n; + ^rf< +^0"=^= 



Uo=:; 



est alon la suivante: 



?i = X 



(4) rfw _ 271 1 

\ di " T srnF-'^' 

le i>oi]it (xy ^) sera a un instant (luelcontiue le point repr^sentatif 
de Fetai du balancier. 

La deeroissance proportionnelle du rayon vecteur tournant 
de Faogle a röduit ce rayon proportionellement a 

hT 



2«- 



telles sont les lois du mouveinent pendulaire simplement amorti. 

Proposons nous maintenant d*^tudier le regime variable 
([ui ya nattre de Tapplication de la force synchronisante. 

Dans son memoire de 1894, (-ornu a 6tabli Texistence 
d'un regime limite dans le cas d*une force synchronisante 
petite, agissant sur un Systeme faiblemcnt amorti et de p6riode 
propre peu diff^rente; la d^monstration procede par approxi- 
mations; nous pourrons tres faciloment d^gager ces r^sultats 
des appareniM restrictionn ((ue la dömonstration de Tauteur 
laisse subsister. 

A cet effet, je m'appuierai sur un th^oreme bien couuu 
de göomötrie. 

Considörons la transfonnation du plan par similitude 
directe; on peut ^videmment la r^aliser par unc translation 
d*un point P^ particulier de la tigure 
BiuTie d'one rotation accoropagn^e d'une 
condensation (ou dilatatiom homoth6ti<|ue 
dMerminöes autour du point l\ nouvelle 
IKMition de P^. ^ 

Cberchons alors un point A' de la ^' 

figure qui soit son propre transform^: 

ce point renant en A'' par la translation, ])uis en A"' par la 
rotation, deyra revenir en X par unc demiere condensation 




54 e/. Ändrade, 

autour de P. Le rapport de condensation OXjOX" 6taut 
connu ainsi que Tangle P du triangle isocele X' X", la figure 
de quatre points sur trois droites PX'X^X est connue de 
forme et comme le segment XX' est connu en grandeur^ 
direction et sens, la figure de nos quatre points sera donc 
bien d^finie a partir du point P en grandeur et orientation, 
le point X est donc d^termin^. 

On voit donc que la transformation consid^r^e est r^duc- 
tible ä une simple rotation suivie de la condensation donn^e 
autour de ce meme point X. 

Ge point X, point double de la transformation, se nomme 
aussi le pole de similitude. 

Ce thöoreme va nous permettre d'achever la question de 
la maniere la plus simple. Supposons d'abord que la force 
synchronisante soit constante et 6gale k F^, 

Portons sur Taxe OX une 
longueur 00' reprösentant k l'Ächelle 
du dessin un 6cart ögal k F^IB^; 
tout se passera pendant Taction de 
la force Fq comme si le point mort 
ötait transportö en 0'; Pabcisse X 
et Tordonnöe ¥ du point figuratif 
.^^- ^' reprösenteront toujours de la meme 

maniere (4) l'^cart et la vitesse du 
balancier, mais tant que dure Taction de F^ le point figuratif N 
d6crit un arc de spirale NN' et Tangle NO' N' est propor- 
tionnel au temps. 

Si la force n'est pas constante et varie continüment, il 
est clair qu'on pourra partager sa dur^e d'action en intervalles 
infiniment petits aux milieux desquels le point 0' relatif k la 
valeur actuelle de la force occupera les positions 0'^, ff^, 
0'^ ... etc., bien d^termin^s aux divers instants de la p6riode 
T' de la force synchronisante. 

Soit alors H le point figuratif de l'^tat du pendule syn- 
chronis6 ä une certaine ^poque t, demandons-nous quelles 
seront les positions du point H aux öpoques t + T', t + 2T\ ., . 
t+nT', , . . (n = 00). 

Soient H^, H^, If^ . . , //^, les positions correspondantes du 
point reprösentatif. 




Regimes limites et sUibilite de la si/nchronisation, 55 

Chaqae substitation //. H^^^ est une (et toujours la mOiue) 
trausformation par similitude directe oü la somme des rotatious 
des Yecteurs est 6gale a 2n[T jT), la condensation finale ^tant 
e" * ^j la rotation finale peut d*ailleurs etre prise ^gale simple- 
ment a 2n{T - TfT). 

Soit alors .Y le pole de similitude de cette transibrmation, 
los points H, JI^, H^, . . . appartiendront 6videmment !i une 
meme Spirale logarithmi(|ue ayant le poiut X pour point 
asymptotique. 

I^onc le mouvement du penduie synchronise teml vers un 
regime Hmiie periodique. Et cette conclusion n'a d'autre 
restriction que l'in^alit^ h*<rll, sans laquelle Tamortissement 
libre ne sentit plus oscillatoire. 

(*'est Isi une premi^re g^n^ralisation des r^sultats de 
Coruu; si nous voulons aller plus loin, nous devons n^cessaire- 





Pig. 8. Fig. 4. 

ment nous adresser adcs transformations du plan plus g^n^rales; 
nous aommes ainsi conduits tout uaturellement u utiliser une 
remaitiue de M. K(>;nigs, reniarquc que je vais rappeler 
et gtfnfoüiser. 

BabstitutionB repetees et leur emploi en meoanique. 

On doit a M. Ecenigs le th^oreme suivant: 

Les substitutions röpöt^es x.^^ = y (t^ (« = 1i 2, . . . cx^) 
couvergent vers x^, lorscjue pour la racine x^^ de T^tiuation 
X =3 9 (x) on a mod 9' (xj < « et lorsque la valour de d^part 
X| est dans uu süffisant voisinage de x^: si (f'[y): < l les 
substitation sont divergentes. 

Voici une gtoöralisation Evidente. 



56 



J, Ändrade, 



Gener alisation. Les substitutions r^p^t^es ä n variables 



' ^» + 1 



yi+i = 



Y{x., yp . . . v^ 



convergent vers une Solution {x^, 
1/q,... Vq) du systöme 



^, + 1 = 



^0 ~ ^ (^0» !/o> • • • ^o) 



^0 = ^ K' !/o> ' ' ' ^o)» 



si Ton a 



dX 
d w 


+ 


dw 



+ ... + 



d V 
dw 



< 1 



{w = x^, yo» • • • ^o) 



avec des conditions analogues aux pr^c^dents pour le Systeme 
des valeurs de d^part {x^, y^, . . . v^). 

Curieuse application du theoreme de M. Kceniffs. Je con- 
sidere deux balanciers I et II tous deux soumis k une force 
de rappel proportionnelle k T^cart, et soumis aussi k la 
r^sistance d'un frottement constant. Faisons agir sur I un 
^chappement qui lui transmettrait ä chaque impulsion une 
quantit^ constante de quantite de mouvement; faisons agir sur 
II un ^chappement qui lui transmettrait une quantite con- 
stante de force vive. Et demandonsnous si les mouvements 
de I et de n auront un regime limite. 

Soit t/^ r^cart extreme de Tun ou Tautre des balanciers 
au commencement de Toscillation d'impulsion^ celle-ci sera 
donn^e instantan^ment sous T^cart ü] soit u^ l'^cart extreme 
de la fin de Toscillation suivante^ oscillation que nous 
supposerons libre comme dans les chronomätres de marine, 
soit [rjl)f le moment constant de frottement, soit K^ ^rjl, 
envisageons alors: d'une part la Substitution u^ = v{^) relative 
au balancier I dont la vitesse angulaire s'accroft par hypothäse 
de //' k chaque impulsion ; 

d'autre part la Substitution v^ = xff{u^) relative au balancier 
n dont le carr^ de la vitesse s'accrolt par hypothäse k 



Rtgimet Hmitex et siabiiitv de la xynchrotmation. 57 

chaque impulsion de V^\ deux calculs fort simples nous 
donnent 

du, ' "^ K K-/)»' 
sensiblement vu la petitesse de ü — /*; et 

.— = , — ' ; on a donc ici .^ . > 1 ; > , "- . < 1 

le balancier U admet donc un regime limite, mais le balancier 
I n'en admet pas. 

Regime permanent Interieur des maohines horairee. 

Essayons maintenant d'aller plus loin et d*6tablir des 
circonstances simples mais g^n^rales, qui entralnent n^cessaire- 
ment pour le mouvement d'un chronometre, ou d'une horloge, 
Texistence d'un regime limite ou permanent 

Nous 7 arriverons en rapprochant le th^oreme de M. K (jc nigs 
de la m^ihode d'int^gration par s^ric de «juadratures que 
M. Picard a fait connaltre; nous pouvons en eflfet raisouner 
comme il suit: 

1^ suivre Foscillation jusqu'ä l'^poque ty un pcu post^rieure 
ä rinstant du d^gagenent; 

2^ envisager Teffet de F^chappement depuis l'^poque /^ 
jusqaVi r^poque ^ oü le balancier est redevenu libre, en 
regardaut cet efiet comme une fonction de l'^cart initial u^\ 

3^ suirre le mouvement depuis Töpoiiue t^ jusqu'ai la tin 
de roscillation (p d'impulsion. 

La m^thode de M. Picard appliqu^e ü la premirre et a 
la troisieme p6riode justitiera alors les approximations (|ui con- 
duisent aux r^sultats suivants: 

Seit »1 la demi-amplitude finale de Toscillation d'impulsion, 
nou* voulons former une valeur approchee de la suhstihition 

«1 - V' («o)- 

Soient alors: ^ I(Rq + y)u le moment de rappel, oü ;' 

est une fonction paire de u g^n^ralement fort petite et qui 

prodoit les perturbations d'isochronisme: 



58 J. Äiulrade, 

le couple d'amortissement oü ft d^signe une fouction de la vitesse 

du 



dt 



= u 



que nou8 supposerons ainsi que sa d^riv^e petite par rapport 
ä Xq qui est lui-meme petit; X^ est le coefticient principal 
d'amortissement inhereni d Phorloge nous trouverons alors en 
nous aidant du changement de variables u, u \ y^, z^ ; 



u := I/q sin Kt + z^^ cos Kt 
— = y^ cos Kt + z^BinKt 



,.. . . ... A* = Ä„ 



et en dösignant par rj <P {uq) une certaine fonction positive 
de Uq {y petite quantit^ de carr^ n^gligeable) se rapportant au 
fonctionnement de T^chappement^ nous aurons sensiblement 

e 

— 11^=^ Uq + t} 0{Uq) — -5^ / cos^cc.dcc 

n 

les fonctions ^ et jti^ ne donnent que des termes du second ordre. 
d^signe une quantit^ voisine de ;r/2, fonction de Uq 
d'ailleurs; en observant que la quantit^ 

X. cos« ö ^ 

est petite du 4^"® ordre, nous d^duisons de T^quation pr6- 
c^dente 

^(-«i) _ 1 , ^ d0 K^ 



cette quantit^ sera moindre que 1 si: 

1® ou bien d^ldu^ est n^gatif, 

2^ ou bien si dO/duQ est petit dans le yoisinage de la 
valeur de u^ qui satisfait a F^quation 

rj 0(u^) - -^ jcos^a.da = 



7t 

S 



d'oü ce resultat qui int^resse la th^orie des ^chappements: 



Rigimet Umiieg et stabiläe de la .Synchronisation. 50 

la fonction ^[u^) est li^e au coefticient d'amortissement naturel 
de lliorloge; l'^chappement doit etre constroit demani^re que la 
fonction {Uq) d^croisse lentement dans le voisinage de rainplitude 
|>ermanentequeron d^sireobtenir; dans ces conditions^ le th6o- 
rtme de M. Koenigs garantit on regime Limite pour un 
6chappement sym^triqne: si T^chappement tbnctionne comme 
dans les chronomätres marins, on consid^rera la dcmi-am))li- 
tude u^ que tenninera roscillation libre suivante, et le raison- 
nement employ^ ici-meme, simplifi^ par la disparition des 
termes en 0(tfj], nous donnera Tin^galite 

0< Jl««> <1 
d'oü Ton conclnra: 

!."»_ = - ^ y *'('■ '*»> ^ 1 

et la Substitution r^p^t^e u^ = ^{%) s^ra encore convergente; 
d*oü r^sulte le regime permanent Interieur de la machine 
horaire consid^r^e. 

Stabilite de la synohronisation. 

La m^thode pr^c^dente röussira encore ici, avec une 
16gere Variante; T 6tant la p^riode de la forcc synchronisante 
/*(/) posons: 

A '« = ä; 

iT^ ^tant petit; faisons alors le cbangement de variables; 
y^ sin ITt + Zq cos K' t 

j^ •" Vo CÖ8 A.' t ^ Zq sin A' t 



(5) 



\'i 



et Stadions le mouvement entre r6))oque t^ et T^poque /^, + T ; 
t^ sera quelconque mais fixe dans le raisonnement gut va sfüvrt*. 
Soient alors y^ et z^ les valeur8 de y^ et z^ a l'öpoque t^^ et 
y^Z^, leurs valeurs a T^poque t^ + T'\ nous voulons emprunter 
au thtercme de Koenigs g6n^ralis<^ une conditio!) süffisante 
de convergence pour la Substitution r6p6t6e ^o =" A'/ot-^o^i 
^0 ^ ffiifof^o^ En suivant la meme niarche quo celle d^ja 
soivie toat ä l'heure, nous obtenons les r^sultats suivant«: £} 



60 «/. Andrade. 

d^signant une fonction caract^ristique de F^chappement^ et qui 
dopend sensibleinent du seul argument j/y^* + z^^, fonction 
analogue k la fonction du pr6c6dant paragraphe, et t^ d^- 
signant i'^poque du choc (regard^ comme instantan^) nous 
aurons en gardant les signiiications des autres lettres 



(6) 












d'oü nous concluons par la g^nöralisation du th^or^me de 
Eoßnigs la proposition suivante: 



(7) • 



Si ^^ > '^ et si 4? d^signent Tune ou l*autre des 
fonction ßcosÄ'/j, flsinüT'^ Ton a: 

2 \ K' IC^ I 



< 






pour la Solution du Systeme r^j= y^; z = z^ la Substitution (6) 
sera convergente et Thorloge synchronis^e aura un regime 
limite. Sans d^velopper ici les conditions pr^c^entes^ dans 
tous les d^tailsy je ferai observer que nous trouvons ici une 
contirmation des id^es de Cornu sur le röle de l'amortisse- 
ment naturel ou artificiel, mais avec une g^n^ralisation in- 
dispensable, car le role de F^chappement ne devient nögli- 
geable qu'avec une force synchronisante intense. 

Si r^chappement est instantan^ et si pour simpliiier nous 
supposons qu'il agisse au point mort et si nous posons: 

-^ = Acos/9, ^ = Asin/;?. 



Hegimes limites et stabilite de la Synchronisation, 61 

Les secondes conditions (7) deviennent a])res un cal- 
cul facile: 

c/^o •'"'^° "ö^ 2 V A' A"« / 

C08«„-^-^^ +fl8,n»«, <2(a-- A'^J 

auz amplitude habituelles, diljdtp^ est n^gligeabl et Ton ]>urra 
6crire simplement 

(7 bis) ' ' 



1 Qsiu'a, < l f\!?- 



n ig 

A' 


— 


n 


A"* 


nig 
A" 


— 


n 


^0 

A" 



|>oar les valeurs de q^ et or^ (^ui seront Solutions du Systeme 
y^ ^y^t Zq s r^; si on se donne le d^veloppement de Fourier 

F{fi == i<„ + i4, cos A" ^ — Cj sin A" / + etc.; 
La force synchronisante sera d^finie par: 

(7ter) 

( flcosa^ + A Oq cos(«o + /=0 = X"^ ^\ 

Les conditions (7 bis) et (7 ter) contiennent toute une tb^orie 
de la Synchronisation, je ne les discuterai ]>oint dans ce 
memoire. ^) 

Besan^on, 3 Juillet 1908. 



1) Depnis Im iMaction de ce memoire j'ai douiie aux Comptes 
Bendot de FAcadtoie des sciences de Paris (27 Juillet 190:0 des con- 
ditioDB de Synchronisation un pea plus larges qua celles qui sout ex- 
pos^es ici. Ges conditions se prötent k une comparaison faeile de le 
m^thode de Coma avec la m^thode de Foucault-V^rite comme io 
Tai inontr£ dans la "France Horlogore**, 1 Septembre 1903. 

(Eingegangen T. Juli 1903.) 



62 



9. Etnde des lames 
minces de cuiyre obtennes par ionoplastie. 

Par Ii. Houllevigrue k Caeo. 



I. Les physiciens savent depuis plusieurs ann^es que, dans 
les tubes ä gaz raröfiös oü jaillit Teffluve, la cathode se 
d^sagr^ge et se projette tout autour d'elle dans Pespace. Ce 
ph^nom^ne ^tudi6 par Crookes^), a 6i6 utilisö par Wright^, 
Longden*), Boas*), Kundt^) pour r^aliser des pellicules m^talli- 
ques. En reprenant, de mon c6t6% T^tude de ce ph^nom^ne, 
j'ai pu constater son extreme g^n^ralit^, car il m'a permis de 
d^poser sur un support quelconque couducteur ou isolant 
(verre, fibre, mica, caoutchouc etc.) des pellicules adh^rentes 
des m^taux suivants: Or, argent, platine, palladium, cuivre, 
fer, nickel, cobalt, zinc, ^tain, bismuth; de tous les corps 
essay^s comme cathode, seul, le caibone a refusö de se laisser 
transporter par Teffluve. 

Non-seulement ce proc^d^ de m^tallisation est gfo^ral, 
mais il est, dans nombre de cas, commode et rapide: il faut 
moins d'une demi-heure pour obtenir, avec les dispositifs que 
j*emploie pr^sentement, un d^pot miroitant d'or, d'argent, de 
platine ou de palladium d'une surface de 20cm.q, y compris le 
temps nöcessaire pour faire le vide (Ygonim environ); les autres 
m^taux paraissent exiger plus de temps^ mais il est rare 
qu'une heure ne soit pas un d^lai süffisant 



1) Crookes, Revue g^n^rale des sciences p. 497. 1891. 

2) Wright, The american Journal of science and artes p. 49 et 
p. 169. 1877. 

3) Longden, Phys. Rev. 11. p. 40—55 et p. 84—94. 

4) Boas, Zeitschr. für Elektrotechnik 13. p. 565—566. 

5) Kundt, Wied. Ann., 2. Serie 27. p. 59. 

6) Journal de pbysique, Jan vier 1903. 



Tjomes mrnces obtenues par ionoplastie. 63 

Od peuty d'apres cela^ supposer que la m^tallisation des 
isolants par les projections cathodi(]ues deyiendra une Operation 
pratique et courante au meme titre que la galvanoplastie: 
d'oü le nom (Piojtoplastie, sous lecjuel je propose de d^signer 
les proc6d^8 nouveaux. J'ai d^ja eu roccasion de signaler quel- 
€|ues propri^t^s des pellicales ainsi pr^par^es. J'en rappelerai 
ici une seule^ relative au bismuth: la r^sistance ^lectrique de 
ce m^tali obtenu par ionoplastie, est ind^pendante du champ 
magnötique. M. Leduc avait d^ja observ^ que le bismuth 
pr^par^ par ^lectrolyse est d'autant plus sensible au magn^- 
tisme, qae sa structure cristalline est plus accus^e; Ic bismuth 
ionoplastique serait done, comme cela est vraisemblable a priori, 
compl^tement amorphe. 

II. tParrive maintenant au but principal de cet article, 
qoi est Tötude des pellicules minces de cuivre d^pos^es par 
ioDoplastie sur une lame de verre. Le premier probleme 
qn'on eüt 21 rösoudre, 6tait la d^termination de leur 6paisseur. 
J'ai ea recours a cet effet au proc^d^ optique indi((u6 par 
Fizeau pour l'argent, et appliciu^ dcpuis par nombre de 
physiciens. Ce proc^d^ r^ussit ^galement bien avec le cuivre; 
riodnre form^ par Taction de la vapeur d'iode (Cu* I* d'apn»s 
les pes^es que j'ai faites), est transparent et donne des anneaux 
colorös dans lesquels on recoimalt sans ambiguit^ la suite des 
colorations correspondant aux anneaux deNewtonüi centre blanc. 

Dans rapplication de la m^thode de Fizeau, j'ai modiii^ 
le proc6d6 classique d'ioduration d'une maniere qui me paralt 
avantageuse: le grain d'iode, au Heu d'etrc d^pos^ sur la lame 
de colTre, est suspendu au-dessus d'elle a l'aide d'une pince 
placte dans un entonnoir; on peut ainsi, en r^glant la distancc 
de riode k la lame, donner aux anneaux T^panouissement 
qu'on d^sire, en meme temps qu'on 6vite la macule (]ue le 
grain d*iode laisse toujours dans la tache centrale. 

Ce proc6d6 donne rapidem ent le produit n < de T^paisseur 
e de riodore fonn6 par Tindice moyen n de cet iodure, mais 
pour en d^duire T^paisseur e de la lame de cuivre, on ne 
connalt ni n, ni la density de Tiodure; le coefiicient de pro- 
portionnalit6 entre e et na a, donc 6t6 d^terminö comme suit: 

üne lamelle de verre mince de 80 x 40 mm ötait pes^e 
avant et aprte Ionisation, ce (]ui donnait au 10' de milli- 



64 L, Houllevigue, 

grainme le poids p du cuivre d^pos^; p 6tait compris dans 
les exp6riences entre 1,2 mgr et 2ingr; il ne convient pas 
d'accroltre p au-delä de cette liinite, car si la d^terinination de 
e en devient plns pr^cise, en revanche celle de n € perd toute 
exactitade. On a donc la valeur de T^paisseur moyenne 



e = - 



30 X 40 X 8,9 

Puis, cinq systemes d'anneaux formös aux quatre coins et au 
centre de la pellicule de cuivre permettent d'6yaluer son 
öpaisseur optique moyenne ne; enfin, Tioduration totale de la 
laine montre si la pellicule est assez r^guli^re pour que le 
proc6d6 n'entralne pas d'erreurs notables. La moyenne de 
4 d^terminations bien concordantes a donn^ 

ne 

^ "" 12,7 ' 

formule qui permettra d'obtenir, en quelques minutes, T^paisseur 
d'une lame mince de cuivre. Si on adopte 4,4 (nombre un 
peu incertain) pour la density de Tiodure Cu^ I*, il en rösul- 
terait pour Tindice moyen de cet iodure n = 2,09, nombre 
assez voisin de Tindice 2,23 de Tiodure d'argent. 

in. En appliquant le proc6d6 qui yient d'etre d6crit k 
des pellicules de cuivre d'^paisseurs d^croissantes, on constate 
qu'il ne donne plus rien pour Celles dont T^paisseur e est in- 
f^rieure ä 40 ^^ (0,00004 mm) environ; quelque moyen que j'aie 
employ^, je n^ai pu d^celer aucune trace d'ioduration de 
ces träs-minces pellicules. Voici, de ce fait, deux exemples 
choisis entre beaucoup d'autres: 

1® üne pellicule a pour öpaisseur moyenne, d'apräs son 
poids, 30 fiju; d'apräs les couleurs qui se succedent k sa sur- 
face, on juge que cette ^paisseur est comprise entre 20 jUfi aa 
centre et 40 ]U^ sur les bords ; or cette lame, maintenue pen- 
dant 3 heures dans la vapeur d'iode, refuse de s'iodurer, meme 
en chauffant l^görement; d'autre part eile präsente par trans- 
parence la meme couleur que les lames de cuivre plus ^paisses, 
et absorbe les memes r^gions du spectre (indigo et violet); 
enfin, placke, au contact de Tair, sur une plaque chaufT^äe, 
eile s'oxyde instantan^ment; ces remarques, jointes au proc6d6 
employö pour sa pr^paration, rendent peu vraisemblable Thypo- 



Limes minces obtenues par iovoplasiut, 65 

ihese que la pellicule en qaestion serait formte d'iine substance 
aatre que le caivre. 

2^ En employant comme cathode, dans l'appareil h, iono- 
plastie, on crayon vertical de cuivre dont la base est h, 15 mm 
aa dessos de la lame de verre h, m^talliser, on obtieut sur 
ceUe-ci un d^pot d'6paisseur döcroissante du centre a la p^ri- 
ph^rie et qui präsente la s^rie des anneaux color^s de Newton. 
On protege par un ^cran la moiti6 de ces anneaux, tandis que 
Taatre moiti6 est expos6e a la vapeur d*iode; on constate alors 
que rioduration a alt6r6 la partie centrale et respect^ les bords; 
on ne voit aucune altöration jusqu'au rougc du second ordre; 
21 partie du ronge de troisieme ordre ^ les couleurs sont tres- 
nettement alt^r^es et d^plac^es. Je n'ose guere conclure de 
ces r^sultats les limites correspondant k l'^paisseur attaqu^e, 
en Premier lieu parce que le cuivre d^pos^ en anneaux paralt 
aToir une structure physique toute speciale , et ensuite parce 




Fig. 1. 

que les nombres donn^s jus(]u'ici pour les indices des m^taux 
nie paraissent sujets k caution. 

Voici enfin des faits d'un autre ordre qui viennent confirmer 
Tinalt^rabilitö par l'iode du cuivre en lames tres-miuces: 
lorsqu'aprfes avoir produit, sur une pellicule d'^paisseur supo- 
rieure k 40 fifA, une s6rie d'anneaux colorös par iuduration, on 
procide ensuite k Tioduration complete de la pellicule, on 
derrait s'attendre a voir disparaltre toute trace des anneaux 
pr6c6dents; or, il n'en est rieu: quelque soit le mode d*iodu- 
ration employ6» il reste ioujours, autour de la tache centrale 
d'wdare, une zone eompletement ou partiellement inalttree, 

Cet effet s'interprete ais^ment en admettant que la couche 
de cuivre tris-mince (Fig. 1) laiss^e autour de la tache centrale 
par la premiere iodur.ition, est au-dessous de lYpaisseur limite 
pour laquelle la vapeur d'iode peut agir sur eile; tout le reste 
de la lame est donc attaqu^ dans l'ioduration totale, sauf l:i 
Zone trts-ötroite qui borde la plage centrale. 

BoHnaaiB-Fettochrift. •'> 



66 ü. Houllevigue, 

Cette Interpretation est justifi^e par les remarques sui- 
vantes: 

1^ L'hyposulfite de soude en Solution träs-^tendue, qui 
dissout riodure form^^ laisse persister la trace de la premiäre 
ioduration; cette trace paralt etre constitu^e par du cuivre 
inalt^r^. 

2® Bien que Tiodure de cuivre soit tres-peu alt^rable 
k la lumiere^ on pourrait attribuer ä cette alt^ration Teffet 
observ^; or, les ph^nom^nes restent absolument les memes 
lorsqu*on opere ä Tobscuritö. 

3^ La condition n^cessaire de la persistance des anneaux 
est que Tioduration totale ne commence que lorsque la premiere 
ioduration est achevöe (il suffit d'ailleurs de quelques secondes 
d'intervalle entre les deux Operations), sans quoi la deuxi^me 
r^action n'est que le prolongement de la premiere, et toute 
trace de celle-ci disparait. 

Cette interpretation du phönomene 6tant adoptöe, j'ai tente 
d'en tirer la mesure de F^paisseur minima r6v6lee par les exp^- 
riences pröcedentes. J'ai d'abord op^r6 comme suit: Sur une 
lamelle de cuivre d'6paisseur aussi uniforme que possible, on 
a form6 six systömes d'anneaux, ayant au centre les ^paisseurs 
optiques suivantes 

No. 1 2 H 4 5 6 
neew^^ 1151 948 747 600 430 306 

Le No. 1 correspondait a la transformation totale du 

cuivre en iodure, et pour les autres, on 
avait arrete Tattaque avant que la pelli- 
cule de cuivre n'eüt 6t6 transpercöe par 
riode. Puis, toute la lame fut iodur^e 
Apres cette Operation, on put constater 
que les taches 1, 2, 3, ^taient nettement 
visibles, 4 a-peine discernable; 5 et 6 
n'avaient laiss6 aucune trace. D'apres 
cela, la couche de cuivre incapable 
d'etre ioduröe ultörieurement aurait une öpaisseur införieure h 

1151 - 600 .o 
-_,^ _ = 43/i^. 

Enfin j'ai fait sur de multiples 6chantillons, d'6paisseurs 
variables^ les d^terminations suivantes: sur une lamelle <ie 




Fig. 2. 



Lames minces obtenues par ionoplcutie, 67 

verre cuivr^e, ou formait, par le procödö döcrit plus haut, de 
larges anneaux concentriques d'iodure ; la laine 6tait coup^e en 
deuxy au diamant, par le milieu des anneaux, puis Tune des 
moiti^s ^tait iodur^e totalement, et enfin recoll^e a cot6 de 
Taatre moiti^ (Fig. 2). En examinant daiis un appareil a pro- 
jection Tensemble des deux demi-lames, il 6tait possible 
d'appr^cier (non sans quelque incertitude) quelles couches 
avaient resist^ ä Tioduration totale. Si ii < et n €' sont ^paisseurs 
optiqaes correspondant k la tache centrale et au bord ext^rieur 
de la zöne qui a r^sist^ k la deuxieme ioduraiion, T^paisseur 
maximum du cuivre inalt^r^ est 

_ n(e - eO 
^ "" 12,7 • 

Voici quelques r^sultats obtenus par cette m^thode: 

fiten /ifi 1652 1376 1258 1258 1334 747 
n9 „ n 1151 1101 843 826 747 332 

T „ „ 39 22 33 34 46 32 

Je ferai remarquer en passant que les pellicules d'argent 
d6po86e8 par ionoplastie donnent lieu memes effets; une sem« 
blable lame, soumise dans Tobscuritö aux Operations d^crit^s 
ci-dessus, a donn6 n< = 1927, ne' = 1621, d'oii 

1927 - 1621 o^ 

Ainsiy les 6paisseurs limites pour Tattaque du cuivre par 
riode, döterminees par difF^rents proc^d^s, sont toujours du 
meme ordre de grandeur, voisin de 40 jUju. C'est aussi Vordre 
de grandeur des couches de passage d^terminees par des m^- 
thodes purement physique, com nie T^tude de la r^sistanco 
eiectriqoe. 

Enfin, on peut r^sumer les r^sultats de la demiere partie 
de ce travail en disant que: la plus petite molecuie de cuivre 
capable de riagir chimiquement sur la vapeur d'iode, a des di- 
wunsiofu de Vordre de 40 /a/a; son poids est de Fordre de 
5 X 10^^^ milHfframme. 

(Eingegangen 10. Juli 1903.) 



68 



10. über Magnetisierung durch Tonerregung. 

Von Stefan Meyer in Wien. 

Es ist seit langer Zeit bekannt^ daß magnetisierbare 
Körper durch Erschütterungen remanent magnetisch werden 
können, wenn sie während derselben dem Einflüsse eines 
Magnetfeldes ausgesetzt sind. 

Eine hübsche Art dies zu zeigen, scheint mir die zu sein, 
daß man die mechanischen Stöße dadurch ersetzt, daß man 
einen Eisenstab longitudinal oder auch transversal zum Tönen 
bringt, während er in der Richtung des Erdfeldes, oder der 
Horizontalkomponente desselben, gehalten wird. 

Streicht man ihn mit einem kolophonierten Lappen zum 
longitudinalen Tönen an, so genügt in der Regel bei den käuf- 
lichen Eisenstäben ein einmaliges Streichen, um einen relativ 
kräftigen Magneten zu erhalten, dessen Pole durch das Erd- 
feld definiert sind, wie dies mit einer gewöhnlichen Magnet- 
nadel leicht nachgewiesen werden kann. Dreht man dann den 
Stab um, so daß der entstandene Nordpol gegen Süden zeigt, 
so genügt wieder ein- oder zweimaliges Streichen, um ihn um- 
zumagnetisieren. Dabei ist es gleichgültig, ob man den Gnmd- 
ton oder einen Oberton anregt und man erhält auch dasselbe 
Resultat, wenn man statt der Longitudinaltöne mit einem 
Violinbogen transversale Töne hervorruft.^) 

Die Polmaxima liegen aber dabei nicht an den Enden, 
bez. den durch die Stabform allein bedingten Orten. Man 
darf annehmen, daß in erster Annäherung die Magnetisierung 

1) Einen verwandten Versuch , die periodische Änderung des tempo- 
rären Magnetismus eines Stabes durch longitudinale Schwingungen an 
einem Elektrodynamometer nachzuweisen, hat E. Warburg, Pogg. Ann. 
139. p. 499. 1870 beschrieben. Die Bemerkung in Winkelmanns 
Handbuch 1. Aufl. III/, p. 254 betreffs der Transversalschwingungen 
kann sich nur auf die spezielle Anordnung Warburgs beziehen. In 
unserem Falle sind die Ergebnisse ganz unzweideutig. 



Mcignetutierung durch Tonerregung, 69 

proportional der Erschütterung und proportional dem luagueti- 
sierenden Felde ist. Für den longitudinalen Grundton eines 
Stabes mit zwei freien Enden, in welchem Falle die Erschütte- 
rung in der Mitte ihr Maximum hat und an den Enden gleich 
Null isty wird aus dem Produkt der zwei genannten Elinwir- 
kungen demnach in der Mitte und an den Enden kein Mag- 
netismus auftreten y derselbe wird hingegen im ersten und 
dritten Viertel sein Maximum erreichen. Auch beim ersten 
Oberton, mit den Knoten in den Vierteln der Länge werden 
die Mazima entweder in diesen Vierteln oder nahe an den- 
selben , gegen die Enden zu ein wenig verschoben, liegen 
müssen und die gleichen Verhältnisse treten bei Transycrsal- 
tdnen eines an beiden Enden fixen Stabes oder seines ersten 
Obeitones aul Bei den höheren Obertönen, bei welchen die 
äußersten Elrschütterungsmaxima von der Mitte entfernter liegen, 
müssen entsprechend dem obigen Produkte die Pole mit steigen- 
dem Tone allmählich gegen die Enden zu wandern. 

Alle diese Erscheinungen lassen sich an gewöhnlichem 
Stangendraht mit Leichtigkeit zeigen, nur sind die Maxinia 
einigermaBen tiach, so daß ihre Lage nicht sehr genau be- 
stimmt werden kann und es ist auch der käufliche Eisen- 
stangendrahty der sich im übrigen sehr gut zu diesen Denion- 
strationsversachen eignet, nicht homogen genug, um nicht 
hierdurch gewisse Unsicherheiten in die Beobachtungen hinein- 
zutragen. Die ausgeführten Messungen bestätigen jedenfalls 
in erster Annäherung das oben Gesagte. Bei verschiedenen 
Stäben von der Länge 254 cm lagen beispielsweise für den 
Omndton und ersten Oberton die Maxima zwischen ()0 und 
70 cm von den Enden entfernt, für den zweiten Oberton war die 
entsprechende Distanz bei ca. 40 — 50 cm. Bei diesen Versuchen 
wurde immer wiederholt die Stabrichtung verkehrt und es 
erwies sich auch, daß anfänglich — vermutlich durch das Al»- 
zwicken oder Schneiden an den Enden — vorhandene Ma^'- 
nettsmen sich verloren, um gegen die angegebenen Pole hinzu- 
xiehen. ^) 

1) Möglicherweise steht damit auch die Beobachtung; von Looniiä, 
SilL Joum. 11^. p. 179 in Zusammenhang, daß bei steigender 'IVmptTatur 
der Magoetismiis sich nicht proportional ändert, sondern die Attraktiuns- 
aentren gegen die Mitte rQcken. 



70 St Meyer, MagneixBierung durch Tonerregung, 

Außer den genannten Umständen scheint jedoch auch 
noch eine Abhängigkeit von den Dimensionen der Stäbe eine 
Rolle zu spielen. 

So ergab sich für die gleiche Länge von 254 cm bei kreis- 
förmigem Querschnitt vom Durchmesser d ein Abstand der 
Polmaxima a von den Enden wie folgt: 

d a 

1.2 cm 80—90 cm 

1.03 70—80 
0,95 ca. 70 
0,81 ca. 70 
0,6 ca. 60 
0,45 ca. 60 

d. h. mit abnehmendem Querschnitt scheinen die Maxima gegen 
die Enden hinzurücken. 

Daß in diesem Erscheinungsgebiete jedenfalls auch noch 
kompliziertere Verhältnisse vorhanden sein mögen, geht zudem 
schon aus den^ den hier beschriebenen Versuchen reziproken 
Beobachtungen von K Honda und S. Shimizu^) über das 
Tönen ferromagnetischer Drähte in wechselnden magnetischen 
Feldern hervor. 

Eine exakte Bestimmung der Abhängigkeit von den Dimen- 
sionen ließe sich nur bei wohldefinierten homogenen Eisen- 
sorten durchfuhren. 

Wien, Institut für theoretische Physik 



1) K. Honda und S. Shimizu, PhiL Mag. 4. p. 645. 1902. 

(Eingegangen 12. Juli 1908.) 



71 



11. Apparate zur Versiniilichuiig der kinetischen 

Wärmetheorie. 

Von Iieop. Pfaundler in Graz. 



Wenn ich im nachfolgenden Apparate zur Nachahmung 
derjenigen Bewegungsvorgänge beschreibe^ welche unseren An- 
schaanngen in der kinetischen Wännetheorie zugrunde liegen^ 
so bin ich mir wohl bewußt, damit mehr dem Unterrichte als 
dem Fortschritte der Wissenschaft zu dienen. Dennoch glaube 
ich, daß der Wert von Apparaten oder Modellen zur Nach- 
ahmung physikalischer Vorgänge, die unserer direkten Be- 
obachtung unzog&nglich sind, auch in wissenschaftlicher Be- 
ziehung nicht unterschätzt werden darf; denn da sie die 
Phantasie wirksam unterstützen, so haben sie schon mehrmals 
den Anstoß zu einer Erweiterung unserer wissenschaftlichen 
VorsteUungen gegeben. So hat z. B. seinerzeit der Fessel sehe 
WeUeni^parat fQr die Polarisation des Lichtes solche Erfolge 
gehabt. Nach 0. J. Lodge hat ein Modell zur Drehung der 
Polarisationsebene im magnetischen Felde den Anlaß zu Max- 
wells Theorie des Lichtes gegeben. Solcher Beispiele ließen 
sich noch mehrfach aufführen. Wir sehen auch, daß sich 
henrorragende Physiker mit der Erfindung solcher Modelle ab. 
gegeben haben, woraus wir schUeßen dürfen, daß dieselben 
nicht aUein f&r den Schulmeister, sondern auch filr den Forscher 
von Interesse sein können. Ich verweise auf die zahlreichen 
ModeUe zur Yersinnlichung elektrischer Vorgänge von Lodge, 
auf das Modell zu den zyklischen Bewegungen von Boltz- 
mann, auf die Wellenmaschine von Mach und viele andere. 
Auch der Umstand, daß die Pflege der kinetischen Gnstheorie« 
abgesehen von den tiefsinnigen und gründlichen Arbeiten von 
L. Boltzmann, G. Jäger u. a., seit einiger Zeit zurück- 
gesteUt worden ist, kann mich nicht abhalten, einschlägige 
ModeUe zu beschreiben; denn ich habe die Überzeugung, daß 
man auf diese Theorie immer wieder zurückkommen wird, so- 



72 L. PfavmBtr. 

laugt' es überhaupt eine Atomtheorie gibt. Es bat nicbt den 
Anschein, dab wir die letztere bald werden entbehren oder 
durch eine beasere ersetzen können. 

Hodoll I BiiT Darstellung der kinetissben Okstheorie 

TOD Krönig und Clausiue. 
An einem rechteckigea schmiedeeisernen Kahuien K R' 
(Fig. 1) von ungefähr 30 und 20 cm Seite sind ringsherum an 
der Außenseite eine Anzahl stählerner Lamellen /'/' ange- 
schraubt, deren obere Enden an rechtwinklig umgebogenen 
Stielen je zwei Metallkugeln A' Ä' von 12 mm Durchmesser tragen. 




Sämtliche Kugeln bilden wiederum ein Rechteck von ungefähr 
20 und 30 cm Seitenlänge. Die federnden Stahllamellen tragen 
in 4 cm Hohe an der Innenseite eiserne Anker a a, welche 
den Polen von Elektromagneten m gegenüberstehen, die alle 
hintereinander von einem Strome (5 Akkumulatoren) durch- 
flössen, abwechselnd nord- und südmagnetisch werden. Fig, 2 
gibt einen Vertikalschnitt durch die Lamelle. Der Strom wird 
durch eine separat aufgestellteebensolche schwingende Lamelle /", 
welche mit Quecksilberkontakt versehen ist, bei jeder Schwingung 
einmal elektromagnetisch unterbrochen und wiederhergestellt. 
Durch die Schraube s wird der freischwingende Teil der Feder /" 
in ihrer Länge und dadurch in ihrer Schwingungsdauer so re- 
guliert, daß sie mit den gleich abgestinunten Federn /' über- 




Fersmmliehmmff der kinrtischen Härmetheorie, 73 

einstimmt. Die letzteren kommen hierdurch in heftige und 
anhaltende Schwingangen, welche dann und wann Schwebungeu 
aasgesetzt sind, so daß sie periodisch starker und schwächer 
schwingen. Unterhalb der Ebene der Kugeln ist eine starke 
Glastafel G mittels dreier Säulchen aufgestellt, so daß die 
Kugeln über deren Band aus- und einschwingen. 

Mit diesem Apparate kann nun folgendes gezeigt werden: 

1. Bewegung gleichartiger Gasmolekeln in einem Gefafie mit 
erwärmtem IFänden. Man wirft eine Anzahl bis zu 20 freier, 
elastisdier Kogeln gleicher Größe aus Marmor auf die Glas- 
platte. Dieselben erhalten bei der Berührung mit den schwingen- 
den Bandkngeln Stöße und fahren, vielmals unter sich zusammen- 
stoßend, in dem Räume hin und her. Die Verluste an leben- 
iliger Kraft) die sie durch die geringe Reibung erleiden, werden 
dnrch den fortwährenden Zuschuß von den Rändern her aus- 
geglichen, so daß alsbald ein stationärer Zustand eintritt, bei 
welchem eine mittlere lebendige Kraft derselben durch längere 
Zeit konstant erhalten wird, die durch Änderung der Strom- 
stärke etwas erhöht oder vermindert werden kann. Es zeigt 
sich dabei ganz nett, wie die einzelnen Kugeln die verschieden- 
sten Geschwindigkeiten annehmen, die sie beim Stoße aus- 
tauschen. Verfolgt man eine besonders gefärbte Kugel, so 
sieht man, daß sie selten einen längeren ungestörten Weg von 
einem Bande zum gegenüberstehenden zurücklegt, indem die 
mittlere We^ftnge infolge der Zusammenstöße eine viel kürzere 
ist Man überzeugt sich durch Abzählen während einer längeren 
Zeit, daß durchschnittlich aUe Randkugeln gleich oft von Stößen 
getroffen werden. 

2. JümahHche Erwärmung eines auf dem absoluten JSull- 
pmtiki befindliehen Gases durch die Gefaßwände. Man sammelt 
bei unterbrochenem Strom alle Kugeln in der Mitte der Glas- 
tafel (welche genau horizontal gestellt ist), versetzt dann die 
Bandkngeln in Schwingung und wirft eine einzige Kugel an 
den Band. Sie vermittelt dann allmählich die Bewegung sämt- 
licher Kugeln, welche binnen wenigen Sekunden in stationäre 
Bew^pmg geraten. 

8. Kondensation von Dämpfen, Man hemmt durch Anlegen 
der Hand die Schwingungen einer Anzahl von benachbarten 
Bandkngeln, was. ihrer Abkühlung entspricht Sofort sammeln 



74 L, Pfaundler. 

sich die frei beweglichen Kugeln in deren Nähe und kommen 
zur Buhe. 

4. Diffusion. Man legt bei ruhenden Bandkugelu auf die 
beiden Hälften der Glasplatte verschieden gefärbte Kugeln. 
So wie die Schwingungen der Randkugeln beginnen^ tritt als- 
bald eine vollständige Vermischung der freien Kugeln ein. 

5. Zwei Gase von verschiedenem Molekulargewicht. Man 
nimmt die Hälfte der Kugeln aus Stahl, die andere Hälfte 
aus Marmor (oder aus Marmor und Holz). Man bemerkt sofort^ 
daß sich die leichteren Kugeln schneller bewegen und daher 
auch rascher in die schwereren diffundieren. 

6. Wirkung auf einem Kolben. Man setzt quer über die 
Mitte der Glastafel einen Stab aus elastischem Materal mit 
quadratischem Querschnitt und gibt auf beide Seiten gleich 
viele gleich schwere Kugeln. Der Stab (Kolben) bleibt im 
wesentlichen an seiner Stelle. Man gibt auf die eine Seite 
mehr Kugeln als auf die andere^ der Stab wird gegen die 
letztere verschoben. Dieses Experiment gelingt weniger voll- 
kommen, weil die Zahl der Kugeln zu gering ist, als daß die 
Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung zum sicheren Aus- 
druck kämen. Dazu müßte der Apparat größer gebaut werden. 

7. GaSj welches der Schwere ausgesetzt ist. Man neigt 
mittels der Stellschrauben den Apparat schief, so daß eine 
Schmalseite tiefer zu stehen kommt. 

Der Leser wird leicht noch weitere Versuche auffinden. 

Modell n zur Darstellung der Wärmebewegning in festen 

Körpern. 

Eine Anzahl Bleikugeln ist in der aus Fig. 3 ersichtlichen 
Weise gegenseitig durch federnde Spiralen verbunden und das 
Ganze an Schnüren frei aufgehängt Man zeigt: 

1. Bewegung des ganzen Körpers (geordnete Bewegung). 
Ein sanfter Stoß mit der flachen Hand versetzt den ganzen 
Körper in Schwingungen, ohne daß die einzelnen Kugeln in 
merkliche Schwingung geraten. 

2. Erzeugung von Wärme durch Stoß, innere Wärmeleitung. 
Ein rascher Stoß auf eine einzelne Kugel pflanzt sich rasch 
durch den ganzen Körper fort und versetzt alle Kugeln in 
länger andauernde schwingende Bewegung um ihre Ruhelagen. 



Verthintichunif der hiuetkcbeu llnrineHtearie. 75 

3. Jufiere Wärmeleituitg. Ein so „erwärmter" Körper 
übertrikgt einen Teil seiner Wärmebeweguug auf einen zweiten, 
mit dem er in BerUbnmg 
gebracht wird. 

Sowie jeder Vergleich 
hinkt, so hinkt auch jedes 
Modell. Wir kdnnen z B 
nicht hindern, daß die mnere 
Reibung die Bewegung der 
Kugeln bald zum Erloschen 
bringt Ihre lebendige Kraft 
nird dann wirklich in A^ arme 
Terwandelt , während die 
lebendige Kraft der Moleküle 
nicht in Wärme verwandelt 
werden kann, da sie selbst 
als die Wärme anzusehen 
ist Das letztere Modell 
kann auch beuQtzt werden 
um die Vorstellung von der 
Konstitution des Äthers zu 
erleichtern, der sich wie eine y,- ^ 

Gallerte verhält 

Die Wärmebewegung iu den tlüssigcn Körpern uucli/.u- 
ahmen, dürfte schwer gelingen. 

Graz, Juli 1903. 

(Eingegsngon Itt. Juli 1903.) 




76 



12. Ein besonderer Fall des Leuchtens von ver- 
dflnntem Gase in einem breiten Glasrohr. 

(Von J. Borgmann in St Peteroburg. 



Eine meiner früheren Mitteilungen ^) enthielt das Ergebnis 
meiner Beobachtungen über das Leuchten G ei ssler scher und 
Lech er scher (elektrodenloser) Röhren, welches durch die nicht 
geschlossene Sekundärspule eines Induktors bewirkt wird. Die 
Beobachtungen ergaben, daß solch ein Rohr, welches auf iso- 
lierender Unterlage in der Nähe eines Drahtes oder einer zweiten, 
mit einem Induktorpol verbundenen G eis sl er sehen Röhre auf- 
gestellt ist, beim Ingangsetzen des Induktors nur dann zu 
leuchten anfängt, wenn die Längsachse des Rohres den dabei 
entstehenden elektrischen Kraftlinien wechselnder Richtung 
parallel ist, oder doch nur einen kleinen Winkel mit ihnen 
bildet Das dabei in gewöhnlichen Geis sl ersehen oder elek- 
trodenlosen Lech ersehen Röhren entstehende Leuchten bleibt 
sich gleich, unabhängig von der Richtung des Primärstromes 
des Induktors. Anders ist es bei langen und breiten Röhren, 
welche bis auf hundertstel Millimeter Druck evakuiert sind und 
wenn die Induktorpole durch eine Funkenstrecke verbunden 
sind. Das in einem breiten auf Paraffin Ständern isolierten Rohre 
entstehende Leuchten ist verschieden bei verschiedener Rich- 
tung des Primärstromes des Induktors. Der Unterschied im 
Leuchten besteht teilweise in der Form desselben, hauptsäch- 
lich aber in den räumlichen Dimensionen des Leuchtens im 
Rohr. Nach dem Aussehen des Leuchtens kann man die 
Richtung des Primärstromes des Induktors, d. h. die Ladung 
des Poles bestimmen, an welchen der isolierte Draht an- 
geschlossen und welcher in einiger Entfernung vom Rohr auf- 



1) J. Borgmann, Joum. der Russ. phys.-chem. Ges. 31. 1900; Beibl. 
24. p. 806. 1900. 



Leuchten von verdünntem Gate. 



77 



Die hier beschriebeae Eracheicutig bemerkte ich 
znfUllig während meiner Beobachtungen Über das Leucliten 
eines verdünnten Gases rings um einen mit eiuem luduktorpol 
verbundenen Draht^, während beide Induktorpole durch eine 
Fankenstrecke verbunden waren. Das Rohr, welches zu den 
hier zu beschreiben tlon Beobatbtuugen diente, war 114 cm 
Uuig bei 6,3 cm äußerem Darchmesser. Dasselbe enthielt 
parallel der Längsachse eiuon dünnen Platindrabt, welcher 
Jedoch in meinen Versuchen an nichts angeschlossen war. 
An die äußere Rohrwandung wnr ebenfalls parallel der Längs- 
achse und längs dem ganzen liolir ein schmaler Stanniol streifen 
aufgeklebt. Das Rohr war horizontal auf Paraftinblöcken, welche 
ihrerseits auf umgekehrten hohen Glasböcken ruhten, also ziem- 
lich hoch über der Tiscboherfläche aufgestellt. 

In einer Entfernung von nahezu 1 m von diesem Rolir 
befand eich ein dünner Draht, welcher den Drabt Jenes Rohres, 
welches der Hauptgfgenstand meiner damaligen DntiTSuchung 
war, mit dem Induktorpoli- verbiiud. Es erwies sich, daß beim 
Ingangaetzen des Induktors auch das breite Rohr zu leuchten 
begano. Das Leuchten war intensiver und verbreitete sich Über 
einen größeren Teil des Rohres, wenn der Draht vom positiven 
Induktorpol ftihrte. Das Leuchten gewann an Kraft, wenn der 
Staitniolstreifea an der Rohrobertlache geerdet war. Auch in 
diesem Fall war das Leuchten verschieden bei verschiedener 
Richtung des Primärstromes im Induktor. Das Rohr leucbt«t 
auch dann, wenn der Platindrabt in ihm gleichfalls geerdet 
ist. Ebenso blieb in diesem Fall der merkliche Unterschied 
dw Ijcuehtens bei verschiedener Richtung des Primärstromea 
bestehen. Interessant ist es, daß das Anfassen des zweiten 
Induktorpoles, welcher immer geerdet war, einen merklichen 
Eioflaß auf das Leuchten ausübte: die Länge der leuchtenden 
Strecke vnirde kürzer. Die gleiche Wirkung hatte sogar das 
Anfustten des Drahtes, welcher den schmalen Staun iolstreifeii 
mit dem Hahn der Wasserleitung, also mit der Erde ver- 
band. Das Anfassen fand in ziemlicher Entfernung vom 
Staoniolstreifen statt. 



DJ. I 



IMS; 4. p.5M. IMS. 



irgniBtin, Pliys. Zeilach r. '2. p. ur>!). 1<H)I; .t. p. «Sil u- 5t>S. 



7** t/. Borfftnann. 

Es erwies aich, daß die WirkuDg eines Maguutleldes uul 
das Leuchten verschiedeo ist, je nachdem oh das Leuchten von 




einem positiven oder von tineni negaliveu Induktorpol hervor- 
gerufen wurde. Der Unterschied ist besonders fühlbar, wenn 
der Stanniols treifen geerdet ist, und wenn die Kraftlinien des 
einwirkenden magnetischen Feldes der LängBaclise des Rohres 



» 



Leuchten von verdünntem Gase, 79 

parallel sind, d. b. wenn der Elektromagnet von Plückor so 
unter dem EU>hre aufgestellt ist, daß die Längsachse des Rohres 
in der senkrechten Ebene liegt, welche durch die Achsen der 
Schenkel des Elektromagneten gebildet ist. 

Fig. 1 ist eine Autotypie nach einem Negativ (Exposition 
15 Min«), welches das Leuchten im Rohr in dem Falle dar- 
stellt, wenn der negative Liduktorpol wirksam ist. 

Fig. 2 ist eine Autotypie nach einem Negativ (Exposition 
gJAiftlifmllft 15 Min.), welches das Leuchten im Rohr darstellt, 
wenn der wirksame Induktorpol positiv ist. 

Beide Figuren verhalten sich zueinander wie ein negatives 
und ein positives Bild. Beide zeigen deutlich die Wirkung 
des Magnetfeldes, aber Fig. 1 zeigt einen hellen Bogen in der 
Richtung der Kraftlinien, welche die Mitten der iiorizontalen 
EndflJlchen der Schenkel des Elektromagneten verbinden. Fig. 2 
zeigt denselben Bogen, aber dunkel. Umgekehrt ist der Zwischen- 
raum zwischen den Schenkeln des Elektromagneten im ersten 
Falle dunkel, im zweiten intensiv leuchtend. 

Zusammenfassend: Das Leuchten eines verdünnten Gases 
in einem breiten Glasrohr in einem intermittierenden, elektri- 
schen Felde ist verschieden beim Wechseln der Richtung des 
Feldee. Der Unterschied zeigt sich besonders in der Wirkung 
des magnetischen Feldes auf das Leuchten. 

St Petersburg, Universität, Physikalisches Institut. 

(Eingegangen 20. Juli 1903.) 



80 



13. Zur Demonstration der Klanganalyse. 

Von Faul Ozermak in Innsbruck. 



Bereits in den achtziger Jahren benutzte L. Boltzmann 
zur Demonstration der Obertöne, welche bei Saiten auf- 
treten, wenn dieselben in der Mitte oder im ersten Drittel 
gezupft werden, ein mechanisches Modell. Dasselbe besteht 
aus einer Reihe von Pendeln, welche die Partialtöne der Saite 
darstellen. Durch symmetrische oder unsymmetrische Defor- 
mierung der Sinusschwingung des Grundtones läßt es sich nun 
zeigen^ daß im ersten Falle die ungeradzahligen Obertöne nicht 
ins Mitschwingen kommen, während im zweiten Falle wieder 
jene Obertöne fehlen, welche ihre Knoten an der Zup&telle 
haben. J. Klemenöiö führte diesen Apparat bei der Natur- 
forscherversammlung in München im Jahre 1899 vor und 
fand derselbe berechtigte Anerkennung. Mit keinem anderen 
Apparate kann dieser ziemlich komplizierte Vorgang so klar 
und anschaulich vorgeführt werden. Kiemen 6 iö hatte die 
Absicht, diese Methode im Einvernehmen mit Hm. Boltz- 
mann ausfuhrlich zu beschreiben, doch kam er nicht mehr zur 
Ausführung dieses Vorsatzes. Da ich seinerzeit als Assistent 
Boltzmanns Gelegenheit hatte, diesen Apparat kennen 
zu lernen und das Modell, welches Klemenöiö in München 
vorführte, nach meinen Angaben gemacht wurde, so glaube 
ich vielen Experimentatoren einen Dienst zu erweisen, wenn 
ich hier das Versäumnis nachhole. 

Da es mich nun stets sehr interessiert hatte, in welchem 
Maße die einfache Sinusschwingung des Grundtones beim Boltz- 
mann sehen Apparate deformiert wird, konstruierte ich eine 
Vorrichtung, welche gestattet die Grundschwingung und die 
deformierten Schwingungen graphisch darzustellen.^) Es ist 



1) Diesen Apparat hatte ich für die Demonstration bei der Natur- 
forscherversammlung in München 1899 vorbereitet, war aber an deren 
Besuche verhindert, weshalb ich hier die Sache nachtrage. 



Demoiutration dtr Klanyanali/ie. 



81 

dabei Überraschend, eine wie geringe Deformation bereito ge- 
ntlgt, am gewisse Obertöne deutlich hervortreten zu lassen. 

Ich will daher zunächst Boltzmann» Pendelapparat be- 
schreiben. 

Eid gewöhnliches Pendel P, Fig. 1, mit schwerer Linse, 
TOD ODgefähr einer Sekunde Schwinguugadauer, ist an einem 
soliden Ständer S aufgehängt An dem- 
selben läßt sich in der Nähe der Auf- 
hängeachneide ein längerer Stift s mit 
Hilfe einer kleinen Klammer feststellen. 
Wird das Pendel zu Schwingungen an- 
geregt, so macht i natürlich eine genaue 
einfache Sinusbewegung. 

Nun ist eine Reihe von Faden- 
pendeln vorbereitet, von denen das erste 
mit P genau abgestimmt ist. Es repräsen- 
tiert den Grundton. Das zweite i^t nur 
ein Viertel so lang, schwingt daher doppelt 
80 schnell, ein drittes hat ein Neuntel der 
Länge und schwingt daher dreimal so 
schnell. Außerdem ist noch ein viertes 
Pendel vorhanden, welches eine beliebige 
Kwiflchengelegene Pendellänge hat. 

Hängt man nun alle vier Pendel gleich- 
zeitig an den Stift * und regt das große 
Pendel P an, so gerät nur das den Gniqd- 
toD repräsentierende Fadenpendcl in leb- _ 
baftes Hitscbwingen. Dies ist der einzige 
Tod, der in der Schwingung des Stiftes » 
enthaltea ist 

Nan kann man an dem vorstehenden Arme a, zwiselien 
Spitzen drehbar, zwei verschiedene Vorrichtungen nnbrint:;eii. 
nod zwar mr tymmetrüchen DefoTmation der einfachen Sinu^- 
■ehwiognng des Stiftes t ein kleines Dreieck und zur ini.\i/inmi:- 
triadten Deformation ein kleines Hebelcben. 

Das Dreieck D, Fig. 2, wird so eingesetzt, daß es der 
Stift » eben im oberen Winkel der Schablone berührt. Wird 
dann das Peodel angeregt, so nimmt der Stift f das Dreieck 
mit nnd ein Punkt desselben, z. B. das Häkchen A, fdhrt dann 




Fi«. 1 



82 



F, Czermah. 



eine deformierte Siuusschwingung aus. Dieselbe ist symmetrisch 
deformiert^ und zwar so^ daß das Passieren der Ruhelage mit 
vergrößerter Geschwindigkeit vor sich geht, während die Ge- 
schwindigkeit gegen die Umkehrpunkte zu verlangsamt wird. 

Hängt man die früheren vier Fadenpendel der Reihe nach 
an das Häkchen h, so geraten der Grundton und zweite Ober- 
ton in lebhaftes Mitschwingen, während das zweite und vierte 
Pendel nur hin und her geschoben werden. 

Zur unsymmetrischen Deformation dient dann das Hebel- 
chen Hj Fig. 3, welches statt des Dreiecks D in den Arm a 





Fig. 2. 



Fig. 3. 



eingesetzt wird. Man verstellt dann den Stift s so, daß er etwas 
aus der Mittellinie gegen links zu verschoben steht und beim 
Umkehren auf der rechten Seite das Hebelchen H gerade noch 
berührt. Es wird dann die Geschwindigkeit der Häkchenbewe- 
gung gerade an dieser Stelle vergrößert und gegen den anderen 
Umkehrpunkt verlangsamt. Von den vier angehängten Faden- 
pendeln geht jetzt wieder der Grundton lebhaft mit, aber auch 
der erste Oberton, während das dritte und vierte Pendel versagen. 

Zur graphischen Darstellung dieser Schwingungsformen kon- 
struierte ich folgenden Apparat 

Zunächst muß die einfache Sinusschwingung, welche der 
Stift s ausführt, aufgezeichnet werden und läßt sich dies in 
bekannter Weise sehr genau durch die Projektion des Schatten- 
punktes eines im Kreise bewegten Punktes ausführen. 

Auf einer Scheibe S, Fig. 4, sitzt in einem Schlitze, auf 
verschiedenen Abstand vom Zentrum verstellbar, der Zapfen 
Zy welcher zur Verminderung der Reibung ein Röllchen trägt 
Er wird durch eine starke Spiralfeder stets gegen die eine 
Kante eines senkrechten Schlitzes in dem Schlitten Ä B ge- 
preßt. Dieser Schlitten läuft in vier Führungsrollen und jeder 



JDemonstraHon der Klanganalyse. 



83 



Punkt desselben macht daher beim Kotieren der Scheibe S 
eine horizontale Pendelbewegung. 

An den Schlitten ist eine Stange G geschraubt^ welche 
den im Pendelapparate mit s bezeichneten Stift trägt. Außer- 
dem ist anch eine wegklappbare Messingfeder f vorhanden, 
welche, mit Tinte gefüllt, auf einem vorübergleitenden Streifen 
Kymographenpapieres die einfache Sinuslinie sehr fein ver- 




-1 vy^ V. 





Fig. 4. 

zeichnet Der Papierstreifen ist über zwei Rollen gerührt^ welche 
mit der rotierenden Scheibe S durch denselben Schnurlauf ver- 
bunden sind, so daß sich diese Teile isochron bewegen müssen. 

Nun ist jener Teil anzufügen, welcher die Grundton- 
schwingung deformiert. Zu 'dem Ende ist an einer Achse 2S 
wegdrehbar und auch in der Höhe verstellbar ein Rahmen TP 
vorhanden, welcher einen zweiten Schlitten A' B trägt. 

In der Zeichnung ist die Stellung des Rahmens punktiert 
angedeutet und oberhalb derselbe ausgef&hrt dargestellt. 

Der Schlitten ist ebenfalls zwischen vier FuhrungsroUen 
gehalten und in einem senkrechten Schlitze desselben gleitet 
ein Stift, welcher dem Häkchen h des Pendelapparates ent- 
spricht. Das symmetrisch deformierende Dreieck D und das 

6* 



84 P. Czermak, Demonstration der KUmganalyse. 

unsymmetrisch deformierende Hebelchen H smd als Schablonen 
in einer Scheibe P ausgeschnitten und können durch einen 
klemmenden Hebel T so fixiert werden, daß sie über den Stift * 
beim Herumdrehen des ganzen Rahmens gesteckt werden. In 
die Scheibe P können noch andere Schablonen geschnitten 
werden, z. B. Dreiecke mit anderen Winkeln, Bogen- und 
Kurvenstücke, geneigte Gerade etc. Mit dem Hebel T ist 
auch der Stift Ä yerbunden, welcher die deformierte Sinus- 
bewegung auf den SchUtten überträgt Von diesem aus geht 
dann ebenfalls ein gebogener federnder Schreibehebel f nach 
abwärts, welcher gegen den vorübergleitenden Papierstreifen 
angedrückt wird und die deformierte Kurve verzeichnet 

Um die Kurven gut vergleichen zu können, hat man so zu 
verfahren. Man zeichnet zuerst, bei abgedrehtem Kahmen R, 





Fig. 5 a. Fig. 5 b. 

mit einer passenden Amplitude die einfache Sinuskurve auf 
Pauspapier. Dann klappt man den Rahmen über, nachdem 
man die gewünschte Schablone eingestellt hat. Jetzt muß man 
die Exzentrizität des Zapfens Z so verkleinern, daß die Ampli- 
tude der deformierten Kurve ebenso groß geworden ist, wie 
die der einfachen Sinuslinie. Beim Einstellen des unsymme- 
trisch deformierenden Schlitzes H ist auch noch die Schablonen- 
scheibe etwas nach rechts zu verschieben, was durch die in 
einem horizontalen Schlitze klemmbare Drehachse derselben 
ermöglicht wird. 

Auf die so erhaltenen deformierten Kurven legt man die 
transparenten einfachen Sinuslinien auf und kann dann am 
besten die Abweichungen beurteilen. 

Fig. 5 a gibt die verkleinerte Reproduktion einer solchen 
Vergleichung der symmetrisch deformierten, Fig. 5b die der 
unsymmetrisch deformierten Schwingung wieder. 

Innsbruck, im Juli 1903. 

(Eingegangen 23. Juli 1903.} 



85 



14. Der Lichtdrack anf einen bewegten Spiegel und 
das Gesetz der schwarzen Strahlung. 

Von Max Abraham in Göttingen. 

L.Boltzmaiin^) hat zuerst den elektromagnetischen Licht- 
drack^ zur thermodynamischen Begründung des Gesetzes der 
schwarzen Strahlung verwandt. Die experimentelle Bestätigung 
des Stefan-Boltzmannschen Gesetzes durch die Herren 
0. Lnmmer und £. Pringsheim^^ sowie der direkte Nachweis 
des Lichtdruckes durch Hm. P. Lebedew^) und neuerdings 
durch die Hm. E. F. Nichols und G. F. HulP) zeigen, daß 
die nämlichen Kräfte es sind, die auf ruhende und bewegte 
Elektrizität in statischen oder stationären elektromagnetischen 
Feldern, und die in den rasch wechselnden Feldern der Licht- 
weUen wirken. 

Die endliche Geschwindigkeit des Lichtes bedingt, daß 
die Kräfte der Lichtwellen das dritte Axiom Newtons nicht 
erfbUen; es verstreicht eine endliche Zeit, von dem Momente, 
wo der Lichtdruck den emittierenden Körper zurückstieß, bis 
zu dem Momente, wo er dem absorbierenden einen Impuls 
erteilt. Dennoch läßt sich der Satz von der Erhaltimg der 
BewegungsgröBe in gewissem Sinne aufrecht erhalten ; man hat, 
neben der Bewegungsgröße der Materie, eine „elektromaffne- 
tUcke Bewegungsgroße**^ der Lichtwellen in Rechnung zu ziehen. 
Wird Strahlung in den Baum hinausgesandt, so wird die Be- 
wegniigsgröße der ponderablen Massen in elektromagnetische 
Bewegungsgröße verwandelt; sie bleibt gewissermaßen latent, 
bis sie, bei der Absorption der Strahlung, von der Materie 
zorttckgewonnen wird. Die elektromagnetische Bewegungsgröße 



1) L. Boltzmann, Ann. d. Phjs. 22. p. 291. 1SS4. 

2) J. Gl. Maxwell, Treatise 2, Art. 792. 

3) O. Lämmer undE. Pringsheim, Ann. d. Phys. (i^S. p. 89r>. 18^)7. 

4) F. Lebedew, Ann. d. Phys. 6. p. 433. 1901. 

5) E.F. Nichols und G. F. Hüll, Ann. d. Phys. 12. p. 225. 19o3. 

6) M. Abraham, Ann. d. Phys. 10. p. 125. 1903. 



86 M, Abraham, 

ist ein Vector, der dem Strahle parallel gerichtet ist; sein 
Betrag ist, für eine ebene Welle, gleich der mitgef&hrten 
elektromagnetischen Energie, dividiert durch die Lichtgeschwin- 
digkeit. Nach der alten Emissionstheorie wäre der Quotient aus 
Bewegungsgröße und Energie doppelt so groß, der Lichtdruck 
wäre daher der doppelte^); die elastische Lichttheorie dagegen er- 
klärt den Lichtdruck überhaupt nicht, da sie keine longitudinale 
Komponente der Bewegungsgröße den Lichtwellen zuschreibt. 

Wir behandeln folgendes Problem: Ein dünnes Licht- 
bündel von gegebener Richtung, Helligkeit und Farbe treffe 
auf eine ebene, vollkommen spiegelnde Platte, die sich senk- 
recht zu ihrer Ebene mit beliebiger Geschwindigkeit bewegt; 
gesucht sind Richtung, Helligkeit und Farbe des reflektierten 
Bündels, sowie der Druck, der auf die Platte wirkt. Dieses 
Problem ist auf das engste mit der Theorie der schwarzen 
Strahlung verknüpft. Die Beziehung, die zwischen den Hellig- 
keiten, Temperaturen und Schwingungszahlen jedes der beiden 
Bündel besteht, ist nichts anderes, als das sogenannte „FJ?r- 
schiebungsgesetz^^, Herr W. Wien^), dem man dieses Gesetz 
verdankt, beschränkt sich bei dem Beweise stets auf sehr ge- 
ringe Geschwindigkeit der spiegelnden Fläche; er setzt den 
Lichtdruck auf den bewegten Spiegel dem auf den ruhenden 
Spiegel wirkenden gleich, und begnügt sich mit einer ersten 
Annäherung für die Arbeitsleistung des Lichtdruckes und für 
die Änderung der W^ ellenlange, die bei der Reflexion gemäß 
dem Doppler sehen Prinzip stattfindet Mir schien daher eine 
exakte Lösung des genannten Problems, für beliebige Ge- 
schwindigkeit der bewegten Platte, erwünscht; sie fährt zu einer 
Ableitung des Verschiebungsgesetzes, die eines idealen Spiegels 
nur fiir einmalige Reflexion bedarf, während die bisherigen 
Beweise annehmen müssen, daß bei den außerordentlich zahl- 
reichen Reflexionen an den spiegelnden Wänden eines Hohl- 
raumes kein merklicher Bruchteil der Strahlung absorbiert 
wird. Dabei dürfen wir freilich den Begriff der Temperatur 
nicht auf die Hohlraumstrahlung beschränken, sondern wir 
müssen ihn auf die beiden Lichtbündel, das einfallende und 



1) Vgl. L. Boltzmann, Ann. d. Phys. 22. p. 293. 1884. 

2) W. Wien, Ann. d. Phys. 52. p. 157. 1894. 



Lichtdruck auf bewegten Spiegel, 87 

das reflektierte y übertragen. Daß die ungestört im Räume 
sich fortpflanzende Strahlung eine bestimmte Temperatur be- 
sitit, die sich bei der Fortpflanzung nicht ändert, hat Herr 
IL Planck^) gezeigt; einen Einwand*) des Hrn. W. Wien 
wideiiegend,^ hat er die Reversibilität der freien Ausbreitung 
strahlender Energie festgestellt. 

Demgemäß betrachten wir das einfallende Lichtbündel als 
Träger von Bewegangsgröße, Energie und Temperatur. Richtung, 
Helligkeit and Temperatur des reflektierten Bündels, sowie 
den Lichtdruck auf den bewegten Spiegel berechnen wir auf 
Oiund des Satzes Ton der Bewegungsgröße, und der beiden 
Hauptsätze der Thermodynamik. Dabei stellen wir uns von 
▼omherein auf den Standpunkt der Loren tz sehen Theorie^), 
der einzigen, die zu einer präzisen Formulierung des Problems 
f&hrL Dieser Theorie zufolge geschieht die Lichtfortpflanzung 
im Saume unabhängig von der Bewegung der Körper: die 
spiegelnde Platte beeinflußt das Licht nur im Momente der 
Reflexion. Man kann von einer absoluten Bewegung des Lichtes 
reden; diese erfolgt nach jeder Richtung mit der gleiclien Ge- 
schwindigkeit (c); sie ist es, durch welche die elektromagne- 
tische Bewegungsgröße bestimmt ist Von ihr zu unterscheiden 
ist die relative Bewegung des Lichtes gegen die Platte, die 
ein mitbewegter Beobachter wahrnehmen würde. 

Um auf Grund der Lorentzschen Theorie die Kraft zu 
berechnen, welche das Licht auf den bewegten Spiegel ausübt, 
hat man zunächst das Feld an der Oberfläche des bewegten 
Leiters zu bestimmen und sodann die Kräfte zusammenzusetzen, 
welche in diesem Felde auf den längs der Oberfläche fließen- 
den Leitungsstrom, und auf die senkrecht zur Fläche konvektiv 
bewegte Elektrizität wirken. Eine derartige Betrachtung lehrt, 
daB die Kraft jedenfalls senkrecht zur spiegelnden Fläche 
wirkt, scherende Dnicke also nicht auftreten. Nehmen wir 
dieses Resultat — der Beweis würde hier zu weit iUhren — 
als gegeben an, so können wir den Betrag des normalen Druckes 



1) M. Planck, Ann. d. Phjs. 1. p. 728 u. 735. 1900. 

2) W. Wien, Ann. d. Phys. 8. p. 534. 1900. 

3) ML Planck, Ann. d. Phjs. 8. p. 765. 1900. 

4) H. A. Froren ts, Theorie d. elektrischen u. optischen Ersohci- 
nongen in bewegten Körpern. Leiden 1895. 



88 M, Abraham, 

aus der zeitlichen Änderung der im ganzen Räume enthaltenen 
elektromagnetischen Bewegungsgröße berechnen. 

Auf die Platte falle unpolarisierte monochromatische 
Strahlung, von der Schwingungszahl v^\ es sei F die Größe 
des entworfenen Bildes, (o^ der kleine räumliche OflFhungs- 
winkel des in einem jeden Punkte von F sich vereinigenden 
Strahlenkegels. Würde die Platte ruhen, und ihre Ebene 
senkrecht zur Achse des Bündels gestellt sein, so wäre die pro 
Sekunde auf F fallende Energie: B^Feo^dv^; so ist die 
yyUelligkeit' U^ der Strahlung definiert.^) Nun soll aber die 
Plattennormale mit der Achse des einfallenden Bündels einen 
Winkel einschließen, dessen Kosinus wir mit a^ bezeichnen; 
ferner bewegt sich die Platte, senkrecht zu ihrer Ebene, mit 
der Geschwindigkeit y = c./9; die zur Platte normale Kom- 
ponente der Relativgeschwindigkeit von Licht und Platte ist 
hier nicht mehr c, sondern c a^ + q =^ c[a^ + ß). Es fallt daher 
in der Sekunde auf F die Energie: 

(1) K +ß)HiFa),dv,. 

Der Betrag der in der Sekunde auf F fallenden Bewegungs- 
größe wird erhalten, indem der Ausdruck (1) durch die Licht- 
geschwindigkeit (c) dividiert wird; ihre Richtung ist durch die 
absolute Richtung der Strahlung bestimmt. Es sind daher die 
Komponenten der pro Sekunde auffallenden Bewegungsgröße y 
normal und tangentiell zur Platte genommen 

(la) "l{a,+ß)H,Fm,dv, 

und 

(Ib) y\.-^l.{a^^ß)H,Fm,dv,. 

Es mag nun a^ der Cosinus des spitzen Winkels sein, 
den die Achse des reflektierten Bündels mit der Plattennormale 
einschließt, (o^ der kleine OflFnungswinkel des von einem jeden 
Punkte von F ausgehenden Strahlenkegels. Dann ist, aus 
Symmetriegründen : 

(Ic) ^« =^«^ 



1) M. Planck, Ann. d. Phys. 1. p. 734, 735. 1900. 



Lichtdruck auf bewegten Spiegel, 89 

Die zur spiegelnden Fläche normale Komponente der Relativ- 
gesdiwindigkeit von Licht und Platte beträgt hier ca^ -^ q 
mm c{a^ — /S). Ist femer v^ die Schwingungszahl, H^ die Hellig- 
keit des reflektierten Bündels, so ist die pro Sekunde von F 
ausgehende Energie \ 

(2) (a,-ß)H,F(o^dp^. 

Die Komponenten der pro Sekunde von F im reflektierten 
Lichte ausgesandten Bewegungsgröße, normal und tangentiell 
zur Platte genommen, sind: 

(2 a) ''l{a,-ß)H,Fa,,dv, 

und 

(2 b) ^^-''"{a^-ß)H^Fm^dv^. 

Da der scherende Druck null ist, müssen die zur Platte 
tangentiellen Komponenten (Ib, 2 b] der einfallenden und re- 
flektierten Bewegungsgröße einander gleich sein: 

(3) ^r^ri^\.{a^^ ß)H^iü^dv^^Y\ -- fc\[a, + ß^JI,fo,dv,. 

Die Normalkomponente der einfallenden Bewegungsgröße (la) 
weist nach der Platte hin, diejenige der reflektierten Bewegungs- 
gröBe (2a) von ihr fort; die Summe dieser beiden Ausdrücke 
ist mithin der Kraft p F gleich zu setzen, die dem Lichtdruck 
das Oleichgewicht hält: 

(4) p „ -?l.(^^ « ß)H^^^dv.,+^.[a, + ß)H, a,, dv, . 

Der JSnergiesatz sagt aus: Die pro Sekunde von der Kraft 
j^F gegen den Lichtdruck geleistete Arbeit ist gleich dem 
Überschuß der reflektierten Strahlung (2) über die ein- 
faUende (1): 

Aus den letzten drei Gleichungen, in Verbindung mit (Ic), sind 
a^f p. H^, ct)^ zu berechnen, v^ ist durch das Dop pl ersehe 
Prinzip bestimmt 

Zunächst werde p aus (4), (5) eliminiert: 



90 M, Abraham, 

Hieraus, in Verbindung mit (3), folgt 

Diese Relation verknüpft die Kosinus r^j, a, der Winkel, welche 
die Achsen der beiden Bündel mit der Plattennormale ein« 
schließen; dieselben liegen in dem Intervalle: 

(7a) -/9^«i^l, +/?^«,^1. 

Der Strahl u^ = — ^, r^^ = + /S streift die Platte, ohne seine 
Richtung zu ändern; sein Strahlungsdruck ist, nach Gleichung 
(4), gleich null. Für alle übrigen Strahlen gilt: 

(Tb) a^ + a^ > 0. 

Mithin folgt, auf Grund der Identität 

(1 - «1)(H- /?«,)'- (l - «?)(1 - /?«,)» 
= («1 + a,){2ß - 2ßu, «, + (l + /?»)(«, - «,)} 
aus (7) die Relation: 

(7 c) 2ß - 2/5 «, u, + {l+ß') K - «.) = 0- 

Aus dieser ergeben sich zwei neue Formen der r/j, a^ ver- 
knüpfenden Beziehung: 

('^) , %"= "\+ -l^> 

^ ^ 1— p* o, -p «1+P 

von denen bald die eine, bald die andere sich als branchbarer 
erweist. Aus (7, 7e) folgt: 

Diese Gleichung besagt: Das Verhältnis der beiden El^po- 
nenten der Relativgeschwindigkeit der Strahlung gegen die 
Platte ist das gleiche für das reflektierte, wie für das ein- 
fallende Licht. Es folgt hieraus das Reflexionsgesetz: 

Im relativen Strahlengang, wie er sich einem mit der Platte 
sich bewegenden Beobachter darbietet, ist der Reflexionswinkel 
gleich dem EinfallstoinkeL Man übersieht leicht, daß die ab- 
solute Richtung des reflektierten Strahles einen kleineren 



^ 



Lichtdruck auf beivefften Spie ff el, 91 

Winkel mit der Normalen der Platte einschließt, als die ab- 
solute Bichtung des einfallenden. 
Aus (6), (7e) folgt: 

Femer ergibt sich aus (4)^ in Verbindung mit (7d) der 
Lichtdruck: 

Der Lichtdruck wird unendlich für /S = 1, d. h. wenn die 
Geschwindigkeit der Platte die Lichtgeschwindigkeit erreicht; 
die gegen den Lichtdruck zu leistende Arbeit würde hier un- 
endlich werden. Daraus folgt der Satz: Fällt auf die spieffchide 
Forderseite der Platte eine noch so geringe Strahlung ^ so kann 
die Geschwindigkeit der Platte die Lichtgeschwindigkeit niemals 
erreiehenm 

Die Schwingungszahlen p^^ v^ beziehen sich auf die an 
einem im Räume festen Punkte stattfindenden Schwingungen. 
An der Oberfläche der bewegten Platte mögen Schwingungen 
▼on der Zahl r pro Sekunde stattfinden; ihre Zahl ist die gleiche 
fbr die vom einfallenden, und die vom reflektierten Lichte 
herrührenden Schwingungen; denn beide sind miteinander durch 
gewisse, in den Feldstärken lineare Grenzbedinguugen ver- 
knüpft. E^s folgt, nach dem Dopplerschen Prinzip: 

r = iTj (1 + /9 «J, v^ = ~J~^^ , 

daher^ mit Rücksicht auf (7e): 

Aus (Ic) folgt durch Differentiation von (7d): 
Gleichung (8) endlich ergibt: 

'"> §=(:;)■• 

Die Helligkeiten verhalten sichy wie die dritten Potenzen der 
Sehwängungszahlen. Bei dieser Steigerung der Helligkeit ist 



92 M, Abraham. 

gegen den Lichtdruck die durch (5) gegebene Arbeit pro Zeit- 
einheit und Flächeneinheit zu leisten. 

Wir betrachten jetzt den inversen Prozeß: Der Spiegel 
bewege sich mit derselben Geschwindigkeit^ wie bisher ^ aber 
in entgegengesetzter Richtung; auf ihn falle in der durch a^ 
bestimmten Richtung Strahlung der Schwingungszahl v^, der 
Helligkeit H^\ dieselbe entwerfe ein Bild von der Größe F^ es 
sei «2 der Oflnungswinkel des in einem jeden Punkte von F 
sich vereinigenden Strahlenkegels. Die Bezeichnungen «j, v^^ 
H^, coj dagegen mögen sich jetzt auf das vom zurückweichenden 
Spiegel reflektierte Licht beziehen. Demgemäß sind in allen 
unseren Gleichungen die Indizes (1, 2] zu vertauschen, und es 
ist ß durch — /? zu ersetzen. Die Relationen (7f), (10), (10a), 
(11) bleiben hierbei ungeändert; daraus folgt: Richtung, 
Schwingungszahl, Helligkeit und Offnungswinkel des reflektierten 
Lichtes sind jetzt die gleichen, die vorher dem einfallenden 
Lichte zukamen. Der Lichtdruck ist, nach (4), bei dem in- 
versen Prozeß derselbe, wie bei dem ursprünglich behandelten; 
er leistet an der zurückweichenden Platte nach (5) pro Sekunde 
die gleiche Arbeit, die vorher gegen den Lichtdruck geleistet 
wurde. Wir fassen die Resultate in den Satz zusammen: 

JJie Reflexion des Lichtes durch eine vollkommen spiegelnde, 
beliebig rasch bewegte Platte ist, im thermodynamischen Sinne, 
ein umkehrbarer Vorgang, 

Wir wenden den zweiten Hauptsatz auf diesen Vorgang 
an, der aus strahlender Wärme der Schwingungszahl p^ solche 
der Schwingungszahl v^ entstehen läßt, und erhalten nach (1, 2): 

(1-) ^^ - ^^ , 

oder nach (10), (10 a), (11): 

(12a) -^ = ^«. 

Die Temperaturen der beiden Lichtbündel verhalten sich, wie ihre 
Schwingungszahlen, 

Die Relationen (11), (12 a), die für beliebige Schwingungs- 
zahlen und Temperaturen gelten müssen, ergeben sofort das 
Verschiebungsgesetz 



Lichtdruck auf bewegten Spiegel, OB 

in der von Herrn M. Planck^) angewandten Fassung. 

Die Integration über das ganze, der Temperatur {^ ent- 
sprechende Spektrum schwarzer Strahlung ergibt, bei £in- 
fthmng der Integrationsvariabein x =i vj&j 



00 00 



(1*) f^'^-=i^-J''-''r{l)- 



U 



Die gesamte Helligkeit eines schwarzen Strahlenbündels ist 
der vierten Potenz seiner absoluten Temperatur proportionaL Das 
ist das Gesetz von Boltzmann, ausgesprochen fUr frei sich 
fortpflanzende Strahlung. 

Oöttingeuy Juli 1903. 



1) M. Planck, Ann. d. Phys. 4. p. 560. Gleichung (7). Die da- 
selbst angegebene Energiedichte u ungeordneter Hohlraumstrahlung ist 
mit H durch die bekannte Beziehung t4 = 47i Hje verknüpft. 

(Eingegangen 25. Juli 1908). 



94 



15. Über das durch eine beliebige endliche Figur 

bestimmte Eigebilde. 

Von Hermann Brunn in München. 

§ 1. EinleitendeB. 
Die folgenden Untersuchungen beziehen sich auf komplexe 
Größen 

mit n, d. h. beliebig vielen unabhängigen Einheiten t und reellen 
Koeffizienten x, anders ausgedrückt^ auf Punkte in Bäumen 
von 71 Dimensionen mit reellen Koordinaten 

Für unsere Größen wird nichts weiter als das folgende Theorem 
vorausgesetzt: 

Unter einem linearen Baum oder kurz „Linear" verstehen wir 
jedes Gebiet, das man aus einem Baume R von Punkten 

^1 'i + ^2 *2 + • • • + ^n C (^^® ^ unabhängig) 
heraushebt durch lineare Gleichungen, welche man den x auf- 
erlegt; somit auch 7? selber, da R aus einem Baume höherer 
Stufe durch Gleichungen wie x^^^ =0, ^„4.2 = ^ ©^c. heraus- 
gehoben werden kann. 

Jedes durch eine einzige lineare Gleichung aus einem 
linearen Baume R herausgehobene Linear soll ein Hauptlinear 
von R heißen.*) 

Wir sagen: „Ä wird von der Figur/' aufgespannte ^ wenn 
R der lineare Baum geringster Dimensionszahl ist, in dem F 
enthalten ist. 

Unsere Figuren F seien abgeschlossene Punktmengen, d. h. 



1) Bei H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, p. 13: „Ebene^^ 
Wir ziehen aus verschiedenen Gründen vor, dem Worte „Ebene" seine 
beschränkte Bedeutung zu lassen. 



über Eigehilde. 95 

jeder Oreuz- oder Häufungspunkt ihrer Punkte gehöre ihnen 
ebenfalls zu. 

E^ soll hiermit nichts präjudiziert sein über nicht ab- 
geschlossene Figuren; wir beschränken uns auf abgeschlossene^ 
um der ersten Darstellung unserer Sätze nicht einen schleppen- 
den Charakter zu geben. 

Unter einem „vollen Eigebilde" verstehen wir eine Figur, 
welche mit jeder Geraden des von ihr aufgespannten Raumes R 
höchstens ein Stück (Punkt oder Strecke) gemein hat^) Mit 
jeder anderen Geraden G hat sie dann auch nur höchstens 
ebi Stück, den Schnittpunkt [R G), gemein. 

Wir bezeichnen die Pimkte einer gegebenen Figur als 
Punkte nullter Ordmaiy oder Punkte ((?), 

die Punkte der geraden Verbindungsstrecken (Sehnen) zwischen 

zwei Punkten (0), soweit sie von Punkten (0) verschieden sind, als 

Punkte erster Ordnung oder Punkte (/), 

die Punkte der Sehnen zwischen einem Punkte (0) und einem 
Punkte (l), oder zwischen zwei Punkten (1), so weit sie von 
den Punkten (0) und (1) verschieden sind, als 

Punkte zweiter Ordnung oder Punkte (2), 

etc. etc., überhaupt die Punkte der Sehnen, welche einen Punkt 
{« — 1) mit einem Punkte gleicher oder niedriger Ordnung ver- 
binden, soweit sie von Punkten nullter bis [n — l)*'^'' Ordnung 
verschieden sind, als 

Punkte n^'' Ordnung oder lenkte (//). 

Sehnen w*" Ordnung nennen wir die Sehnen, welche zur 
Definition der Punkte /***' Ordnung benützt wurden. 

Die ganze ])Ositive Zahl 8y ist im folgenden bestimmt durch 

und heiße die „dyadische Stufe'' von v. 

^ 2. Bneoffong des Eigebildes durch Sehnenziehuns. 
A. Figuren aus einer endlichen Anzahl von Punkten. 
Ililfssätze. 

(I) Die Dimensions- oder Stufenzahl d des von v + 1 
Punkten 

1) Vgl. des Verfassers ^^Referat etc." Münch. Sitzbcr. (inatli.-phys.) 
1»94, p. 95 und U. Minkowski, Geom. d. Zahlen, p. 200. 



96 IL Brunn, 

mit den Koordinaten 

x^f, a^^\ x^f^^ . . . x^f^^ 

(jjL = 0, 1, 2, 3 ... p) 

aufgespannten Raumes ist um 1 kleiner als die Ordnung der 
aus der Matrix 

II X(M\ X(^\ X^Af) . . . x(j), 1 II 

heraushebbaren Determinanten höchster Ordnung^ welche nicht 

sämtlich verschwinden^ somit nicht größer als die kleinere der 

Zahlen v und n. 

(II) Es ist auch 

d = n — y , 

wenn y die größte Anzahl unabhängiger linearer Gleichungen 
ist, die von den Koordinaten aller Punkte J erfüllt werden. 

Femer: 

(in) Spannen n Punkte einen Raum J^^ . i auf, so spannen 
V aus ihnen herausgehobene einen Raum Ä^-i auf. Der Be- 
weis dieser Sätze ergibt sich aus der Theorie der linearen 
Gleichungen. 

b) V + 1 Punkte, die einen Baum v*"' Stufe aufspannen. 

Es sei n^v, und es seien die Determinanten [v + Vf^ 
Ordnung aus unserer Matrix nicht sämtlich gleich Null, mit 
anderen Worten, unsere aus den v + \ Punkten A bestehende 
Figur F spanne einen Raum von v Dimensionen, kürzer aus- 
gedrückt einen Raum By auf. 

Alle Punkte (1) lassen sich dann darstellen in der Form 

cCx An + c<x Ax [cCm + flfA;= 1 ; die cc positiv). 
Die Punkte (2) lassen sich darstellen in einer der beiden Formen: 

«X X [(in 'K + C^k A) + CCf,A^ 

[a^ + cf A = ^^x A + <^/i = I ; alle a positiv) , 
(<H X [cCh An 4- c^x ^4x) + ci^,Q (cf^ J^ + a^ A^ 
(ß^K + c^A = «^ + cfp = «(Tka + «,i^ = 1 ; alle a positiv) , 
welche äquivalent sind mit den Formen 

(tn An 4- (ix ^x + «^ ^A* 
(«K + «A + of^ = 1 ; die a positiv), 



über Eiyebilde. 97 

a^ Ä^ + axÄx + a^ Ä^ + a^ A^ 
{(Xm + (^i + (£fi + €€g = 1 ; die a positiv) etc.; 

schliefilich lassen sich die Punkte (^r + i) darstellen in einer 
der Formen 

(«K, + cf^ + «*., + ... + % = 1 ; alle a positiv), 
wo ß die Werte von 2'«' + 1 bis t' + 1 annehmen darf. 

Punkte und damit auch Sehnen höherer Ordnung als J^^. i 
existieren überhaupt nicht, ob nun 2^*^ + ^ = t/ + 1 oder 
2'»' + i>fr+l ist Denn die Punkte, welche Anspruch auf 
diese Ordnung haben könnten, fallen stets mit Punkten niedrigerer 
Ordnung der Form 

(IV) P[Ä^f ^1 ... Ä;)i_a^A^ + a^Ä^+ ... + a^A^ 

(a^j + ciTj + a, + • . . + Oy ■" 1 ; die « positiv oder Null) 

zusammen, in welcher alle Punkte von der 0^ bis zur Ü^ ^ i^° 
Ordnung zusammengefaßt sind. 

Wir können nun nicht nur von der Form P, sondern 
such von einem Punkte P, sowie von dem Gebiete P sprechen. 

Das Gebiet P {A^, A^ . . . A^) spannt den nämlichen 
Saum auf wie die Figur der Punkte A^^, A^, A^ ... A^. Denn 
jede lineare Gleichung in den x, erfüllt durch die Koordinaten 
der einzelnen Punkte A, wird auch durch die Koordinaten 
eines Punktes P erfbUi 

In dem Vorhergehenden liegt bewiesen^ daß die Sehne 
zwischen zwei Punkten P ganz zum Gebiete P gehört Daraus 
folgt, daß eine beliebige Gerade des aufgespannten Raumes 
mit dem Gebiete P höchstens ein Stück gemein hat, oder: 

(V) Das Gebiet P {A^, A^ . . . A;} ist eine volk Eifläche^) 
dee von ihm aufgetpannten Baumes. 

(VI) Jeder in der Form P, ja aUgemeiner: jeder in der 
Form 

P'(4o> ^if . . . ^J~ Ö^O ^0 + ^1 ^1 + • • • + ^r ^r 

(c3f^ + cf 1 + «I ... + cfr = 1 ; die « beliebig) 
darstellbare Punkt ist es nur in einer einzigen Weise. 



1) „Zelle'' nach H. Minkowski (s. Geometrie der ^^ahlen p. 16), 
d. h. Streeke, Dreieck, Tetraeder etc. je nachdem r » 1, 2, 3 etc. 



98 //. Brunru 

Denn aus 

2' «, -^.. = ^« <^i 

(2«. = 1; 2^V~ ^'» ^i ^^^^^ f^^ sämtliche i ffleich «/) 
würde das System der Gleichungen: 

^f*{a^ -a^)x^^^ = X = 1, 2, 3 ... n 

und noch die Gleichung 

folgen, welche gleichzeitig nur erfüllt sein können^ wenn sämt- 
liche Determinanten [v + 1)**' Ordnung der Matrix bei (I) ver- 
schwinden. Dies ist aber oben ausgeschlossen worden. 

(VII) Das Gebiet P' ist, wie aus der Theorie der linearen 
Gleichungen gefolgert werden kann^ selbst nichts anderes^ als 
der von den i^ + 1 Punkten A aufgespannte Raum. 

b) V + 1 + p verschiedene Punkte, die einen Kaum v^ Stufe 

aufspannen. 
In einem Räume R^ (n ^ v) seien die voneinander ver- 
schiedenen Punkte 

A,^x^l)i^ + x(Oi^ + o^Of^ + ... ^^i>», 
(/ = 0, 1, 2 . . . V + ;?, p positiv), 

gegeben, welche einen Raum Ry aufspannen. Analog wie 
bei a) ergibt sich, daß Punkte höchstens bis zur Ordnung 
<^n + p + 1 sich ableiten und sämtliche gegebenen und ableitbaren 
Punkte sich in der Form 

(Vni) Q = «0 ^0 + ^1 ^1 + • . • + ^v^p^v^p 

(«Q + e^j + ... + «r + p = 1 ; die a positiv oder Null) 

darstellen lassen, sowie daß das Gebiet Q ein Eligebilde ist. 

Doch würde man sich täuschen, wollte man annehmen, 
daß es jetzt auch wirklich immer Punkte \öy + i + p) gebe. Viel- 
mehr wird sich zeigen, daß es Punkte nur bis zur Ordnung 
*y + i gitt; bis zur Ordnung r^^ + p + i also nur dann, wenn 
tfy + p + 1 = dV + 1 ist 

Ein in der Form Q darstellbarer Punkt ist dies nun auch 
nicht mehr in eindeutiger Weise. 



über Eiffeöilde. 99 

Daß sich die Punkte Q sämtlich schon durch weniger als 
p + l + p nämlich i^ + 1 passend ausgewählte A darstellen 
lassen — die wir mit Bq, B^, ... B^ bezeichnen — also in 
der Form 

ist leicht ersichtlich, wenn die ß positiv und negativ sein dürfen, 
gilt aber auch, wenn negative ß ausgeschlossen sind, und das 
wollen wir jetzt beweisen. 

I/Ufssatz. 

(X) Wenn die Punkte Dq, ß^, 1)^ ... 2)^ einen Raum K^^ 
aa&pannen und i>^^i in demselben /2^ liegt, somit eindeutig 
in der Form 

darstellbar ist, so ist ein Punkt 

(US"*" ^ '/*+!' alle d positiv) 
stets auch in der reduzierten Form 

B 1 ; die 3' positiv oder Null) 

darstellbar, in der die U uns m + 1 passend ausgewählte aus 
den Punkten D^, D,, ... D^, D^^^i vorstellen und ebenfalls 
einen Baum A^ aufspannen. 
Beweis, Setzt man 

(XI) G^ - A.i?„ + J^D^+...+-l>^ D^ 



(^.i: 



(2" *M = 'a« 5 *^® * positiv) , 



so 

ist also einer der Punkte 
oder 



100 //. Brunn. 

wo die zur Abkürzung gesetzten f^(k) also lineare Funktionen 
von X sind. Es sei nun zur Kürzung (t = s^^iSf^ + i gesetzt 

Ist dann für A = o- kein f{X) negativ, wie dies z. B. für 
lauter nicht negative b der Fall ist, so haben wir in 

bereits die gewünschte, höchstens fi + l Punkte 1) enthaltende 
reduzierte Form; auch spannen diese JJ nach (X) einen 
Baum Ä^ auf, und wenn von ihnen durch Verschwinden von 
Koeffizienten nur (> zur Erscheinung kommen, diese nach (III) 
einen Baum J?^ « i. Sind für A = o- die f{Xj, somit auch die e 
zum Teil negativ, so entspricht die Form !£„ unseren Wünschen 
nicht, und wir müssen weitere Schritte tun. 

Für A = 1 wird IIx = G^^ und hat, in den ß entwickelt, 
lauter positive Koeffizienten. 

Für Ä = wird Hi = D^^^i und hat, in den D entwickelt, 
einen oder mehrere negative Koeffizienten. 

Führt man Ä monoton und stetig von 1 nach über, so 
gehen einer oder mehrere Koeffizienten der D monoton und stetig 
von positiven zu negativen Werten über und passieren die 
Null bei gewissen Werten 

die zwischen und 1 liegen. Der für A = A' verschwindende 
Koeffizient sei einen Augenblick kurz mit jD' bezeichnet In 
dem Moment, wo A = A' wird, müssen alle Koeffizienten, die 
nicht etwa mit D' zugleich verschwinden, noch positiv sein, 
und alle können sie wegen ihrer Summe 1 nicht gleichzeitig 
verschwinden. 
Da 

-^a = Gfi + 1 

mindestens einen negativen Koeffizienten hat, so muß 

A' > (x > 

sein, d. h. G^a + i ü^gt zwischen H^f und -Da + i> denn bei 
monotoner Änderung des A bewegt sich der Punkt Hi immer 
im nämlichen Sinne, ö^^ + i ist daher in der Form 

(?;. + i = xyA' + (i-x)2>,, + i (i<*<0) 

darstellbar, oder nach den D entwickelt in einer Form: 



über Sigehilde. TOV 

p^n) ü^ ^ 1 = ?„ [X) £>,; + ^, (/) ö, • + . . . + ,j„ iX) D-. 

(2^W= 1; ^'ß 9 positiv oder Null) 

Die Punkte D„', />,' ... ÖJ, spannen einen Raum H^, auf. 
Der unter ihnen befindliche Puokt D,, ^ i kann nämlich nicht 
in dem tod den anderen [s. (111)] aufgespannten Räume Ä„_i 
liegen, wie ily dies tut; sonst müßte auch C^ als Punkt der 
Geraden D^ + ilIv dies tun, und würde durch fi oder weniger 
der in (XI) verwendeten Punkte darstellbar. Dies widerspricht 
aber dem poxitiven von Null verschiedenen Charakter der Koei)i- 
ziest«!! in {XI) und der Eindeutigkeit [s. (VI)] jener Dar- 
Btellang. Wenn in (XII) durch Verschwinden von KoeiB- 
zienten y nur eine geringere Anzahl « von Punkten ö übrig 
bleibt, BO spannen sie nach (IH) einen Raum i^„_i auf. 

Somit läßt sich in jedem Falle die in unserem HiHssatze 
behauptet« Reduktion ausführen. Wir verwenden ihn nun zur 
Beduktion der Form Q auf die Form ff. Hierbei ist zu be- 
denken, daß eine Form Q auch danu uherlllissige A enthalten 
kann, wenn sie weniger als v + 2 solche A enthält, so daß 
die Frage nach der Reduzierbarkeit für jede» Q zu stellen ist, 
gleichgültig durch wie nele A dargestellt es zunäuhst vorliegt 

Die B'ormen Q, welche sich durch «n oder zwei ver- 
•chiedeoe A ausdrücken, sind ersichtlich nicht weiter reduzierbar. 
Weist eine Form ^ mehr als zwei A auf, so identifiziert man 
»wei derselben mit i,,, i>,, ihre Koeffizienten mit S_„ ^^ und 
ft mit t, was man tun darf, da die beiden A sicher einen 
Baum R^ aufspannen. Hierauf untersucht man, ob ein drittes 
A in dem nämlichen ff, liegt. 

Wenn ja, so identifiziert man es mit Ü^^i - D^, seinen 
EoefSzientea mit ä^, erhält eine gewisse Form G^ + i G^ und 
reduziert sie vermittels des Hilfssatzes; die erhaltenen 1/ 
identifiziert man wieder mit Punkten D,,, D^ und untersucht, 
ob ein viertes // auf ihrer Geraden liegt oder nicht etc. 

Wenn Jirin, so identifiziert man fi mit 2, das dritte A 
mit Df, seinen Koeffizienten mit ö^, was man wieder tun darf, 
da die drei A einen Raum ff, aufepannen, und untersucht — 
wenn noch weitere A in Q, vorhanden sind — ob ein viertes 
A in dem nämlichen ff^ liegt oder nicht etc. Man sieht, daß 
i auf diese Weise fortfahren kann, bis die Operationen von 




102 ff. Bmmt. 

selbst ihr Knde tmdon. Dann ist Q in die gewüLsclite Form Ä 
übergeführt, und es konimeu in seiner Darstellung höchstens 
noch V + 1 Punkte A vor, die wir mit 5„, B^, B^ . . . ß, be- 
zeichnen wollen. Mehr als r + \ Punkte können es nicht 
sein; denn die sukzessive behandelten Formen ünthalten ent- 
weder unmittelbar lauter Punkte A, die eine Stufe des aus- 
gespannten Raumes um eins kleiner als ihre Anzahl bedingen, 
oder dieses Verhältnis zwischen Raumetufe und Anzahl der .7 
wird doch sogleich durch den Hilfssatz hergestellt, muß also 
auch beim Schlüsse der Operation vorhanden sein; blieben nun 
mehr als f -H 1 Punkte übrig, so müßten sie einen Raum von 
höherer Stufe als v aufspannen, was doch nicht einmal die 
sämtlichen * + 1 + /i gegebenen Punkte A tun. 

Es lassen sich also durch wiederholte Sehnenziehung aus 
den V -\- p + l Punkten A nur Punkte der Form R ableiten; 
diese sind aber von keiner höheren Ordnung als 5, + i, d.h. 
spätestens mit der [S^ + 1 j"™ Sehnenziehung alle abgeleitet, was 
zu beweisen war. 

Sowohl im Fall a) als im Fall b) kann unter den A sich 
der Nullpunkt befinden und können die Formen P, Q, B da- 
durch um ein Glied reduziert erscheinen. Dies ist aber keine 
Reduktion in unserem obigen Sinne; man wird daher den 
Summanden te • vielleicht besser in der Rechnung ausdrück- 
lich angeschrieben mitführen und dadurch verhindern, da6 
das betreffende u, welches doch in 2"~' mitwirkt, mit- 
samt seinem A unseren Augen entschwinde. Andernfalls müsste 
man die Bedingung 2 " ~ ^ durch 0^2"^ ' ersetzen, 
und dadurch würden die scheinbar um ein Glied reduzierten 
Formen von den wirklich reduzierten wohl unterschieden bleiben. 

B) Beliebige endliuhe Figuren. 
.Tede endliche Figur F bestimmt in dem von ihr auf- 
gespannten Räume ff, ein volles Eigebilde E ab Ort der durch 
sie gegebenen, bezw. aus ihr ableitbaren Punkte 

(0), (1), (2) ... [S,.^,]. 
Zum Beweise ist nur nötig zu zeigen, daß es Punkte (ä'.^.i + 1] 
schon nicht mehr gibt. 

Ein Punkt [ö^ + 1 + 1) müßte auf der Sehne zweier Punkte 
niedrigerer Ordnung liegen, diese Funkte, soweit sie nicht 



über EiffeMMe. 

scliou von niillter Onluiing Bind, wilnk'u wieder luif Seimen 
zwischen Punkten noch niedrigerer Ordnung liegen etc.; in dieser 
Weise rDckwärts schließend würde man suhließlicb zu all den 
PunkteB [Oj gelangen, aus denen der Punkt [S, ^ , + 1) abgeleitet 
wäre. Die Anzahl z,, solcher Punkte (0) würde h&chateDS 
2 •*** sein — nämlich dann, wenn jeder bei der Entstehung 
(leB PunkteB (^»,, + 1 4- 1) mitwirkende Punkt fi"' Ordnung 
(l^^^Ä, + ] + !) aus zwei Punkten (ft — l)'"' Ordnung ab- 
geleitet ist — und mindeatena2*' + '+ l. Denn wären es weniger, 
so würde (^.ti + I] bereits durch spätestens il, ^.l Sehnen ab- 
leitbar und also ein Punkt (^,4^0 sein. 

Da aber c + 1 ^ 2*'' + ' ist, so müßte ;„ a t -f- 2, sagen 
wir gleich v -\- 1 +f'(0<»''< 2'-'^'''' — t') sein, und diese 
Punkte (0) könnten höchstens einen Raum li,, nämlich den 
Haum der Figur F aufspannen, der sie ztigehören. Nennen 
wir «e A^, A^, A^ . . . jir+r-i so würde unser (Ä. + i+ 1) 
gemüB seiner Ableitung aus ihnen in der Form 

a„Ao + aiA^+a,Aj+ ... +a. + ..A.. + .- 

(^ ß = 1 ; die ft positiv) 

darstellbar eeis, also nach (IX) auch in der Form 

ß„B^ + ß,S^+li^B,+ ... +/J,Ä, 

(2(5- 1; die /? positiv oder Null), 

wo die B aus den A ausgewählt sind. Somit würde [iS, + i -|- 1) aber 
durch a, + , Sehnen ableitbar und ein Punkt {S, 4 ,) oder TOn 
noch niedrigerer Ordnung sein. Er kann also nicht existieren. 
Punkte höherer Ordnung als ii,^\ sind also aus einer Figur, 
die einen Hanm B, aufspannt, sicher nicht ableitbar; von den 
besonderen Kigenschaflen der Figur aber hängt es ah, ob 
Punkte bis zu dieser Ordnung wirklich existieren. Bei einem 
vollen Eigebilde gibt es z. B. überhaupt nur Punkte (0). 



i 



Braeagnng dM Eigeblldea durob nmhüllaode Lineftre, 

Unter einem Stützhauptlinear, auch kurz Stützlinear, einer 
Figur verstehen wir ein Hauptlinear des von der Figur auf- 
gespannten Raumes, das auf der einen seiner beiden Seiten 




L^ 



104 B. Brunn. Über Eigebüde. 

gar keinen Punkt der Figur liegen hat und mindestens einen 
Punkt der Figur in sich enthält ^ 

Indem wir die Bezeichnungen zu Anfang von B) beibehalten, 
gilt: Jedes Hauptlinear H von By, das Stützlinear von F ist, 
ist auch Stützlinear von E, 

Denn es enthält Punkte von E, weil Punkte von Fy und 
auf der Seite Ä von //, auf der keine Punkte von F^ können 
auch keine von E liegen. Denn läge ein Punkt (^) auf Seite S^ 
so müßte auch mindestens einer der Endpunkte der erzeugen- 
Sehne, also ein Pimkt (ju — 1), (jw — 2), (ju — 3) . • • oder (0) 
auf der Seite S liegen, und durch fortwährende Wiederanwendung 
dieses Satzes: Es müßte schließlich sicher ein Punkt (0), d. h. 
ein Punkt von F, auf Seite S liegen, gegen die Voraussetzung. 

Wenn zwei parallele Sttitzlineare H und H' von F zu- 
sammenfallen, fallen auch die zu ihnen parallelen Stützlineare 
von E zusammen, indem sie mit H und H' identisch sind. 

Andere Stützlineare als die von F kann E nicht haben, 
da es, wie F und überhaupt jede endliche Figur, von jeder 
Richtung zwei und nur zwei (verschiedene oder zusammen- 
fallende] Stützlineare aufweist 

Die Stützlineare von E sind also identisch mit denen 
von Fy und insofern ein Eigebilde durch seine Stützlineare be- 
stimmt ist, kann man sagen: 

E ist das durch die Stützlineare von F eingehüllte Eigebilde, 
oder: 

Die Stützlineare einer endUchen I^gur F umhüllen ein 
bestimmtes Eigebilde E, das auch — vgl. § 2 — durch Sehnen- 
ziehung erzeugbar ist 

München, 23. Juli 1903.«) 

Eingegangen 25. Juli 1908. 

1) Vgl. H. Minkowski, Geom. d. Zahlen, p. 13: „Stützebene". 

2) Erst nach Absendang der Arbeit wurde mir die Göttinger 
Dissertation von P. Kirch berger : „Über Tschebyschefsche An- 
näherungsmethoden" (Göttingen 1902) bekannt, in der Kap. IV. § 5 in 
anderer Form die nämlichen Probleme behandelt, wie unser Absatz 
§ 2. A. b). Man vgl. auch H. Minkowski, Math. Ann. 57. p. 449. 1908. 



m 



16. The Effect of One Associated Solvent on the 
Association of Another Associated Solvent 

By Harry C Jones in Bultimorc, Md. 



(The ciperimental work v 



Tied out fay Mr. Grantlaiid Murray.) 



This inTestigatioD was undertaken with the object of deter- 
mining the i'ffect of one associated liquid on the association 
of another aflaociated liquid. This was suggested by an inyesti- 
gation caiTJed out by Jones and Lindsay'], on the conductiritj 
of certain electroiytes in mixed solvent«. They found that 
solationB of potassium iodide, ammonium bromide, Strontium 
iodide, and iithiam nitrate conducted less in mixturea of methyl 
slcohol and wat«r, thau in pure methyl alcohol. The effect of 
concentration of the Solution, composition of the mixtare, 
temperature etc., was careftilly inveatigated, and the above 
reault established beyond question. 

At tirst sight it seemed very difficult to interpret these 
facts. It, however, occurred to Lindsay*) that the facts oould 
bc esplained if one associated solvent diminished the association 
of anotber associated solvent, since, according to Dutoit and 
Aston*), the dissociation of clectrolytes by a solvent or soWents, 
and, consequently, their conductivity in Solution, is a function 
of the degree of association of the solvent; the greater the 
association of a liquid the greater its dissociating power. 

Water and the alcohols were abown by the work of 
Ramsay and Sbields*] to be strongly associated liquids. If 
earh should dimiuish the association of the other, a mixture 
of two such liquids migbt tliasociate less than the Iower disso- 
ciatiDg constituent of tbe mixture. 



1) Jone« and Lindsny, Amer Chem. Joiim. 28. p. 3*2». 
S) Linda«)-, Amer. Chem. Jonni. 2S. p. W9. 
S) Datoit ud Aston, Compt read. 12A. p. 240; Ball. Soc. Chim. 
la] 19. p.8Sl. 

4) Bama«7 uid Shields, Ztachr. pbja. Cbem. 13. p. 433. 




106 H. C, Jones. 

In such a case the conductivity of an electrolyte in the 
mixed solvents might be less than in the lower conducting 
solvent, which was what was found to be true. 

In Order to determine whether associated liquids have 
any general influence on each others association, it is necessary 
to take associated liquids and determine the molecular weights 
of each in the other, and then compare the results with the 
molecular weights of the several liquids in the pure condition. 

There are not many liquids which can be employed in 
this work, since the boiling-point method of determining mole- 
cular weights cannot be used for oue liquid dissolved in another. 
We are, therefore, limited to the freezing-point method, and 
of those liquids whose association is known ouly a few freeze 
at temperatures to which the freezing-point method can be 
applied. 

Liquids used in this work. The liquids used in this 
work must dissolve readily in one another, must not act che- 
mically upon one another, must not undergo appreciable 
electrolytic dissociation when dissolved in one another, and 
must be strongly associated substances. The liquids used are: 
water, acetic acid, and formic acid. 

The water was purified by distillation from chromic acid, 
and had a conductivity of 1,2 x 10"^ The acetic acid and 
formic acid were purified by fractional crystallization, the 
form er freezing sharply at 16,5® and the latter at 7**. 

With the above liquids the following measurements were 
made by the freezing-point method. 

I. The molecular weight of water in acetic acid. 

II. The molecular weight of water in formic acid. 
ni. The molecular weight of acetic acid in water. 
IV. The molecular weight of acetic acid in formic acid. 

V. The molecular weight of formic acid in water. 
VI. The molecular weight of formic acid in acetic acid. 

BeBults. 

The results are given in the following tables: Column I 
contains the amount of solvent used; column II the amount 
of liquid whose molecular weight was to be determined; co- 



Effect of One Associated Solvent on Association of Another, 107 

lumn in the concentration in terms of normal, — a normal 
Solution being defined as one that contains a gram-molecular 
wdght of the electrolyte in 1000 grams of the solvent; 
coliimn IV gites the freezing-point lowerings actually observed^ 
and colunn V the molecnlar weight of the liquid at the con- 
centration in qaestion. 

In all this work care was taken to keep the temperature 
of the fineezing-mixture only a little below the freezing-point 
of the Bolntion. 



Water (18) in Acetic Acid. 



I 


II 


m 


TV 


V 


Acetic Acid 


Water 


Concentration 


I^wering 


Mol. Wt 


39,68 


0,454 


0,64 


2,06<> 


21,7 


88^ 


0,514 


0,75 


2,38 


22,0 


88,32 


0,820 


1,19 


3,58 


28,3 


39,68 


0,947 


1,33 


3,98 


28,7 


39,68 


1,547 


2,17 


5,89 


25,8 


89,68 


2,061 


2,89 


7,45 


27,2 


39,68 


2,541 


3,56 


8J9 


28,4 


88,32 


2,687 


3,82 


9,38 


28,8 


89,68 


2,992 


4,19 


9,95 


29,6 


39,68 


8,870 


5,42 


12,11 


81,4 


89,68 


4,686 


6,56 


14,00 


82,9 


89,68 


5,589 


7,83 


16,04 


34,2 


39,68 


6,472 


9,06 


17,86 


35,6 


39,68 


7,566 


10,59 


20,07 


37,1 


39,68 


8,559 


11,98 


22,00 


38,2 


89,68 


9,082 


12,65 


22,90 


38,8 



Water (18) in Formic Acid. 



I 


U 


III 


IV 


V 


Formic Acid 


Water 


Concentration 


Lowering 


Mol. Wt 


48,24 


0,808 


0,93 


2,850 


19,7 


48,24 


1,325 


1,53 


3,75 


20,3 


48,24 


2,204 


2,54 


6,13 


20,6 


48,24 


3,060 


3,52 


8,30 


21,2 


48,24 


4,434 


5,13 


11,69 


21,8 


48,24 


5,876 


6,18 


14,11 


21,9 



108 




H, C. Jones. 








Acetie 


Acid (60) in Water. 




I 


U 


ni 


IV 


V 


Water 


Acetie Add 


Concentration 


Lowering 


Mol. Wt 


37,15 


0,376 


0,17 


0,34« 


55,4 


37,15 


3,959 


1,78 


3,30 


60,1 


37,15 


6,830 


3,06 


5,45 


62,7 


50,65 


10,794 


3,56 


6,19 


64,0 


62,17 


17,474 


4,70 


7,85 


66,6 


37,15 


10,771 


4,83 


8,05 


67,0 


37,15 


15,728 


7,06 


10,92 


72,1 




Acetie Acid (60) in Formic Acid. 




I 


II 


III 


IV 


V 


Formic Acid 


Acetie Acid 


Concentration 


Lowering 


Mol. Wt 


40,35 


0,433 


0,18 


0,48« 


61,9 


34,23 


1,018 


0,50 


1,27 


64,9 


40,85 


1,593 


0,66 


1,65 


66,3 


34,72 


1,835 


0,88 


2,16 


67,8 


34,28 


2,256 


1,10 


2,67 


68,4 


38,49 


2,873 


1,24 


2,98 


69,4 


34,72 


3,968 


1,90 


4,45 


71,1 


88,49 


6,464 


2,80 


6,29 


74,0 


34,72 


10,708 


5,14 


10,97 


77,9 


34,23 


10,764 


5,24 


11,16 


78,0 


34,23 


18,838 


9,17 


18,19 


83,8 




Formic 


Acid (46) in Water. 




I 


U 


III 


IV 


V 


Water 


Formic Acid 


Concentration 


I^owering 


Mol. Wt 


35,10 


0,546 


0,34 


0,64<> 


45,2 


193,67 


7,850 


0,88 


1,62 


46,5 


35,10 


1,667 


1,03 


1,89 


46,7 


35,10 


4,928 


3,05 


5,28 


49,5 


136,79 


81,564 


5,03 


8,50 


50,5 


141,43 


40,109 


6,16 


10,34 


51,0 




Formic A( 


cid (46) in Acetie Acid. 




I 


II 


UI 


IV 


V 


Acetie Acid 


Formic Acid 


Concentration 


Lowering 


Mol. Wt. 


30,41 


1,152 


0,82 


2,93« 


50,4 


30,41 


1,702 


1,22 


4,26 


51,2 


30,41 


2,303 


1,65 


5,66 


52,2 


30,41 


2,820 


2,02 


6,84 


52,9 



Effect of (hu Auociated Sohent oii Association of Another. 



Acetie Actd 


Foimie Acid 


CoDcentratioD 


Lowering 


Mol. Wt 


•0,41 


8,410 


8,44 


8,10 


54,0 


Xl,tl 


4.!«7 


S,OG 


9,83 


55,1 


»,« 


5,098 


3,84 


11,55 


56,6 


S0,41 


6,188 


4,8» 


13,53 


58,2 


ao,4i 


7,024 


5,02 


15,24 


59,1 


50,M 


14,814 


6,88 


18,40 


62,0 


10^ 


11,408 


8,26 


22,54 


85,J 















" 












' 














































>'' 
















it 






11*^ 




^ 


l 




^ 








f^ 










, ^ 


. ,t 


- 








' A ^ 














-n^--r 


^_L 


^1- 


.— - 


i i i i i i i ' 




Theae resaltsare plotted in curvea. The luolecalar weight 
of water in scetic acid and fonnic acid with Taiying concentra- 
tion in Fig. 1, the molecnlar weigbt of acetie acid in water 
■od in fonoic aoid in Fig. 2, and the molecnlar weight of 
fonaio acid in water and in acetie acid in Fig. 3. 



110 



H. C. Jone*. 



DlBouMion of HasnltB. 
The molecular weight of water in acetic acid at the 
greateat ditution ased [0,64 oonnal) is 21,7, which it only 
slightly greater tban the molecular weight corresponding to the 
compositiou H^O. lu the moet concentrated solation nsed, 
which ia aomewhat more than twelve times normal, the mole- 
cular weight of the water is a little more thao wonld corre- 
spond to the compoaition [H,0),. In pure water, howeTer, we 
kaow from the work ofBamsay and Shields Üiat the mole- 
cales have the composition (H,0)^. The association of water 



X :_: 


.:::::4:::::::::;.: 


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, . ^ — 


•:::::|^::::^.^-:::: 


-41 >^^ 


'\m\ Lm 


M ji J t H » -l-L i. i, i, ^ u-i Li i ' 



Flg. 3. 

ia, therefore, greatly diminished by the preaence of the asso- 
ciated solvent acetic acid. 

The same remark appllea to aolutiona of water in formic 
acid. At the greatest dilntion the molecular weight of tbe 
water is only alighUy ahove normal, the molecular weight in- 
creasing Blightly ae the concentration of the Solution increases. 
The complex moleculea of water are broken down to eren a 
greater extent by formic acid than by acetic acid. Thia is in 
keeping with the relative powers of theae two aolTeots to break 
moleculea down into ions — formic acid being a much etroDger 
dieaociant than acetic acid. 

The molecular weight of acetic acid in water ia approx- 
imately normal for the more dilute Solutions inveatigated, io- 
creasing somewhat above normal io tbe more concentrated 



Effect of One Atiocfated Solvent an Afsoriation nf Another. 11t 

BoIatioQB. The amount of electrolytic dissociation of even i\ie 
moet dilate selutions of »cetic acid in water is bo emall as to 
exercise only a slight inäuenee on the resulte. 

Pure acetic acid at the freezing-point temperature is a 
very much associated liquid. The wurk of Ramsaj and 
Shields') haa ahown that the differential coefticient K for 
ftcetic acid between lli" aud 46", is 0,9. The associatton — 

It is, therefore, ohvious that the aasociation of acetic acid is 
greatly diminished bj water. 

The inolecular weight of acetic acid in formic acid is 
greater than in water at the saiae concentratioiis, raDging from 
6i,9 to 83,8 for the different concentrations emplojud. This 
agaiii is what we might expect. Water having a greater power 
than fonnic acid to break moleculea down into ions, also haa 
a greater power to break down complex molecules iiito simpler 
ones. In no caae, however, is the inolecular weight of acetic 
add in formic acid greater than ahout one and one-fourth the 
simpleat molecular weight; showing that the complex moleculea 
of pure acetic acid are greatly decomposed hy the fonnic acid. 

The same remarks apply in general for formic acid in water 
and in acetic acid. Formic acid in the pure coudition is 
asBOciated to just abuut the same estent as acetic acid. 
Bamsay and Shields') found the coeÖicient K for formii: 
acid to be 0,902, Therefore, the associatioD is — 

The molecular weigbt of formic acid in water is ouly slightly 
great«r than normal even at the greatest concentration em- 
ployed. In acetic acid the molecular weight is greater than 
in water at the same concentration. This is analogous to what 
has been found with the other aolvents employed. Water has 
the greatest power to break down moleculea iuto ions, and 
alao the greatest power to decompose molecular complexes into 
aimpler molecules. 

1) Ramaajr tnd Sbield«, ZtBvhr. pbya. Cheui. 12. p. 4IIS. I0S3, 



112 U, C, Jones, Effect of One Associated Solvent etc. 

The effect of the dissolved subttance would be to diminUh 
the constant of the solvent, This effect would he appreciable 
only when the concentration of the Solution had become 
considerable. As the freezing-point constant becomes less 
the molecular weight as calculated from the observed freezing- 
point lowering would be less than that given aboye, which 
is calculated on the assumption that the constant remains 
constant The effect of this influence would be to show a still 
greater diminution of the association of the dissolved substance 
by the solvent than would be indicated by the above results. 

If in the more concentrated Solutions some of the dis- 
solved substance separated in the solid form^ this would give a 
smaller lowering of the freezing-point, and, consequently, a 
molecular weight for the dissolved substance which was higher 
than the true molecular weight 

Taking all of these facts into account the above conclusion 
that one associated liquid diminishes the association of another 
associated liquid is fuUy justified by the experimental results. 

I propose to extend this investigation especially to the 
action of non-associated solvents on the association of associated 
solvents. 

Johns Hopkins Univ., Chemical Laboratory, April 1908. 

(Eingegangen 26. Juli 1903.) 



113 



17. über die mechanische 
Bedentnng der Temperatur nnd der Entropie. 

Von Max Pianok in Berlin. 

Die für jede mechanische Theorie der thermischen Vor- 
gänge Amdamentale Frage nach der mechanischen Bedeutung 
des Temperatarbegriffes hängt aufs engste zusammen mit der- 
jenigen nach der mechanischen Bedeutung der Entropie, welche 
Größe ja mit der Temperatur durch die bekannte thermo- 
dynamische Gleichung T.dS = dQ verknüpft ist. Durch Be- 
antwortung der einen Frage ist also die andere zugleich mit 
erledigt Während sich nun aber in früherer Zeit das nächste 
Interesse naturgemäß der Temperatur als der direkter meß- 
baren Größe zuwandte, und die Entropie erst als ein daraus 
abzuleitender komplizierterer Begriff erschien, hat sich heute das 
Verhältnis eher umgekehrt: es gilt yor allem die Entropie 
mechanisch zu erklären; dann ist dadurch auch die Temperatur 
zugleich mit definiert Der Grund zu dieser Änderung der 
Fragestellung liegt in folgendem: Bei allen auf breiterer Grund- 
lage angelegten Versuchen, die Thermodynamik rein mecha- 
nisch aufzufassen, so z. B. bei der von Helmholtz entwickelten 
Theorie der monozyklischen Systeme, hat sich immer wieder 
herausgestellt, was auch von vornherein einleuchtend ist, daß 
man zu einer allseitig begründeten mechanischen Definition 
der Temperatur nur gelangen kann, wenn man auf die Eigen- 
tümlichkeiten des „Wärmegleichgewichtes'' zurückgeht. '] Dieser 
Begriff ist aber in seiner vollen Bedeutung nur vom Stand- 
punkt der Irreversibilität aus zu verstehen. Denn das Wärme- 
gleichgewicht ist nur zu definiren als der Endzustand, dem alle 
irreversiblen Prozesse zustreben. So ftlhrt die Frage nach der 

1) Aach die Bedingung, daß T einen „integrien^nden Nenner*' den 
Wännedifierentials d Q darstellt, genügt bekanntlich noch nicht zur voll- 
stiiidigen Definitioii der Temperatur, sondern läßt gcnide ihre wiclitigste 
Eigenaehaft onbettimmt 

BottaBaBD-FMlMlirUU ^ 



114 M. Planck. 

Temperatur mit Notwendigkeit zur Frage nach dem Wesen der 
Irreversibilität, und dies seinerseits liegt ausschließlich begründet 
in der Existenz der Entropiefunktion. Letztere Größe bildet also 
den primären, allgemeinen, für alle Arten von Zuständen und 
Zustandsänderungen bedeutungsvollen Begri£P, während die 
Temperatur daraus erst hervorgeht mittels der speziellen Be- 
dingung des Wärmegleichgewichtes, in welchem die Entropie 
ihr Maximum erreicht. Eine Entropie besitzt ein Körper nach 
dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in jedem Zustande, 
eine Temperatur aber nur dann, wenn der Zustand in gewissem 
Sinne stationär geworden ist. So kann man z. B. für ein G^ 
mit ganz beliebig vorgeschriebener Oeschwindigkeitsverteilung 
stets die Entropie angeben, die Temperatur aber nur dann, 
wenn die Geschwindigkeitsverteilung mit der Maxwellschen 
genau oder nahezu zusammenfällt. 

Clausius und Maxwell scheinen noch nicht den Versuch 
einer direkten allgemeinen mechanischen Definition der Entropie 
gemacht zu haben. Diesen Schritt zu tun, war erst L. Boltz- 
mann vorbehalten, welcher, ausgehend von der kinetischen 
Theorie der Gase, die Entropie allgemein und eindeutig durch 
den Logarithmus der Wahrscheinlichkeit des mechanischen 
Zustandes definiert hat. Neuerdings ist der Boltzmannschen 
mechanischen Definition der Entropie eine andere, und sogar 
noch eine zweite und eine dritte, an die Seite gestellt worden, 
und zwar ebenfalls auf Grundlage der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung, in dem Werke über statistische Mechanik von 
J. W. Gibbs. Die Gibbsschen Definitionen erheben insofern 
Anspruch auf allgemeinere Bedeutung, als sie von vornherein 
gar keine besonderen Annahmen über die Natur des betrach- 
teten mechanischen Systems zur Voraussetzung haben; sie 
lassen sich prinzipiell mit demselben Erfolge auf Systeme von 
vielen, wie auch von wenigen Freiheitsgraden, bestehend ans 
gleichartigen oder aus ungleichartigen Bestandteilen, anwenden; 
jeder einzelnen Definition der Entropie entspricht natürlich 
gemäß der schon oben erwähnten Gleichung rfQ = T.dS eine 
besondere Definition der Temperatur, Für Systeme von einer 
sehr großen Zahl von Freiheitsgraden führen aber, vrie Gibbs 
allgemein zeigt, seine drei verschiedenen Definitionen immer 
zu demselben Resultate, so daß z. B. für einen Komplex von 



siech. Bedeutung der Temperatur und der Entropie. 115 

sehr vielen Molekülen , wie ihn jeder warme Körper vorstellt, 
nur eine einzige Definition der Entropie übrig bleibt, welche 
mit deijenigen der Thermodynamik übereinstimmt. 

Es sollen nun in der folgenden Studie die genannten ver- 
schiedenartigen Definitionen näher ins Auge gefaßt und ihre 
Bedeutung an der Hand eines einfachen Spezialfalles verglichen 
werden, um daraus womöglich Anhaltspunkte zu gewinnen zur 
Entscheidong der prinzipiellen, von Gibbs noch offen ge- 
lassenen Frage, welcher Definition der Entropie und der Tem- 
peratur endgültig der Vorrang vor den übrigen zuzuerkennen 
ist. Wir betrachten zu dem Zwecke ein mechanisches System, 
welches aus einer großen Zahl n frei beweglicher in ein be- 
stimmtes Volumen v eingeschlossener materieller Partikel 
(Atome) besteht Die Energie c des Systems sei nur kine- 
tischer Art: 

(1) « = 2'-?(-**+-'/' + ^*)- 

Eis soll die Entropie dieses Systems nach den verschiedenen 
Torliegenden Definitionen berechnet werden. 

Sowohl Boltzmann als auch Gibbs gehen aus von dem 
Begriff einer Komplexion („Phase"), d. h. der Gesamtheit 
der gleichzeitigen Werte der unabhängigen 3» Koordinaten 
'i» yp ^1^ • ■ • *ii» y«* ^n ^^^ ^®^ ^^ Impulse iWj i^j, wij i/j, wij ij ... 
"•■■*«> "*«i^«» ^«V Jeder einzelnen Partikel sind drei be- 
stimmte Koordinaten und drei bestimmte Impulse zugeordnet, 
welch6 ihre Lage und ihre Geschwindigkeit angeben. Im 
allgemeinen werden alle in dem System enthaltenen Partikel 
TOH Natur verschiedenartig sein. Falls gleichartige unter ihnen 
Torkommen^ so sind, um Unbestimmtheiten zu vermeiden, die- 
selben numeriert oder in irgend einer anderen Weise individuell 
diarakterisiert zu denken. Denn wenn eine Zustandsänderuug 
des Systems durch eine gegebene Änderung der Koordinaten 
und Impulse eindeutig bestimmt sein soll, so muß man wissen, 
auf welche Partikel sich jede Koordinate und jeder Impuls 
bezieht 

untersuchen wir nun zunächst den Fall des stationären 
Bewegungszustandes, und zwar unter der Annahme, daß alle 
Partikel des Systems von Natur gleichartig sind, wie bei einem 
chemisch homogenen einatomigen Gase. Dann itihren alle ver- 



116 K Planck. 

schiedenen Definitionen der Entropie zu dem nämlichen mit 
der Thermodynamik übereinstimmenden Ausdruck. Für die 
Boltzmannsche Definition darf dies als bekannt vorausgesetzt 
werden y^) für die drei Gibbs sehen Definitionen dagegen ist 
die direkte Berechnung yielleicht nicht ohne Interesse^ zumal 
dieselben sich schon in der äußeren Form von der Boltzmann- 
schen sehr erheblich unterscheiden. Ja, die erste scheint sogar 
auf den ersten Anblick einen entgegengesetzten Sinn zu haben. 
Während nämlich Boltzmann die Entropie durch den Loga- 
rithmus der Wahrscheinlichkeit definiert, ist die Ektropie nach 
der ersten Definition von Gibbs der negativ genommene 
mittlere Logarithmus der Wahrscheinlichkeit Bei irreversiblen 
Prozessen nimmt also bei Gibbs der mittlere Logarithmus 
der Wahrscheinlichkeit ab, während bei Boltzmann der Loga- 
rithmus der Wahrscheinlichkeit zunimmt. Dieser Widerspruch 
der beiden Definitionen der Entropie ist aber nur ein schein- 
barer, er verschwindet sogleich, wenn man darauf Bücksicht 
nimmt, daß die beiden Autoren mit dem Worte Wahrschein- 
lichkeit hier gänzlich verschiedene Begriffe verbinden. Dies muß 
zunächst näher erörtert werden. 

Boltzmann gewinnt den Ausdruck ftir die Größe der 
Wahrscheinlichkeit dadurch, daß er ausgeht von dem Unter- 
schied zwischen einem Zustand des betrachteten Systems und 
einer Komplexion des betrachteten Systems. Ein Zustand des 
Systems ist bestimmt durch das Gesetz der Raum- und G^ 
schwindigkeitsverteilung, d. h. durch die Angabe der Anzahl 
Partikel, welche in jedem einzelnen Elementargebiet des Raumes 
und der Geschwindigkeiten liegen, wobei angenommen ist» daß 
auf jedes der als gleichgroß angenommenen Mementargebiete 
immer noch sehr viele Partikel entfallen. Hiemach umfaßt 
ein bestimmter Zustand des Systems eine sehr große AngiiM 
von Eomplexionen. Denn wenn irgend zwei Partikel, welche 
verschiedenen Gebieten angehören, ihre Koordinaten und Ln- 
pulse tauschen, so erhält man eine neue Komplexion, aber den 
nämlichen Zustand. Nimmt man nun mit Boltzmann alle 
Komplexionen als gleichwahrscheinlich an, so ergibt die Anzahl 



1) Vgl. z. B. L. Boltzmann, Vorlesungen über Gastheorie I. 
p. 88 ff. 1896. 



Meeh. Bedeutung der Temperatrir und der Entropie, 117 

der EomplexioneD, welche ein bestimmter Zustand umfaßt^ zu- 
gleich auch die Wahrscheinlichkeit und mithin die Entropie 
des Systems in dem betreffenden Zustande^ bis auf eine un- 
bestimmt bleibende additive Eonstante. Für diese Definition 
der Elntropie ist offenbar die gemachte Voraussetzung wichtig, 
daß alle Partikel gleichartig sind; denn sonst würde eine Ver- 
tauschung von Partikeln ans verschiedenen Gebieten nicht nur 
die Eomplexion, sondern auch den Zustand ändern. 

Bei Gibbs dagegen spielt die Frage nach der Gleich- 
artigkeit der in dem System enthaltenen Partikel für die Be- 
stimmung der Ehitropie ebensowenig eine Rolle, wie die nach 
dem Gesetz ihrer Raum- und Geschwindigkeitsverteilung. Die 
Definition der Entropie erfordert hier überhaupt gar kein 
näheres Eingehen auf die Natur des betrachteten Systems. 
Was hier in Rechnung gezogen wird, ist vielmehr die Ge- 
samtheit der Eomplexionen, die man erhält, wenn man dem 
System alle innerhalb besonderer Beschränkungen möglichen 
verschiedenen Werte der Eoordinaten und der Geschwindig- 
keiten erteilt denkt Die Werte der Eoordinaten sind durch 
die Größe des gegebenen Volumens v beschränkt, für die Ge- 
schwindigkeiten aber werden besondere Festsetzungen getroffen, 
und je nach der Wahl dieser Festsetzungen erhält man ver- 
schiedene Definitionen der Entropie. 

Bei der ersten Definition von Gibbs werden alle Ge- 
schwindigkeiten von — cx) bis 4-00, also alle Werte der 
Energie < des Systems zwischen und oo als möglich zuge- 
lassen, und es wird die Wahrscheinlichkeit F einer Eomplexion 
(oder eines Zustandes, was hier keinen unterschied macht) 
definiert durch die Festsetzung: 

P^e~e y 

wobei fff und Eonstante vorstellen, welche bestimmt sind 
dnrdi den Wert 1 des Integrals von P über das ganze Eom- 
pledonsgebiet, und durch den Mittelwert « der Energie für alle 
Eomplexionen, eine jede nach Maßgabe ihrer Wahrscheinlich- 
keit gerechnet Dies ergibt f&r den vorliegenden Fall: 

1 BS I .... I Pdx^ . . ,,dz^.m rfi'j . . . . m di^^ 



118 M. Planck. 

oder, mit Substitution des Wertes von P und Ausführung der 
Integrationen über die Koordinaten und die Geschwindigkeiten, 
wobei 6 durch Gleichung (1) gegeben ist: 

ip 8n 

1 = es .v"" .{2nm&)2~ . 
Ferner: 

6 I .... i Pdx^ .... mdi^ = I •••• 1 sPdx^ ... .mdt^. 

Daraus auf ähnliche Weise: 

Hieraus folgen für und \f) die Werte: 

= -— , tl; = — « log — ir log t? . 

Nun ist nach Gibbs die Entropie der negativ genommene 
mittlere Logarithmus der Wahrscheinlichkeit^ also: 

— log -f' = ^-^ = -^ log 6 + n log t> + const 

und dieser Ausdruck entspricht in der Tat nach Größe und 
Vorzeichen der Entropie eines einatomigen Gases. Insbesondere 
verhalten sich die Koeffizienten der beiden Logarithmen, welche 
das Verhältnis cj (c^ — cj angeben, wie B : 2. 

Bei der zweiten Definition von Gibbs wird nicht ein 
Mittelwert, sondern der genaue Wert der Energie des Systems e 
als gegeben angenommen; bei der Berechnung der Entropie 
werden aber alle diejenigen Geschwindigkeiten der Partikel in 
Betracht gezogen, welche einer Energie des Systems entsprechen, 
die kleiner ist als die gegebene Energie 6. Dann ist die 
Entropie gleich dem Logarithmus des Volumens F des ge- 
samten so erhaltenen Komplexionsraumes. Daher erhält man 
hier fiir die Entropie: 

log V = log I • • • • I dx^ .,,,dz^,m d±^ ....mdi^. 

Die Grenzen der Integrale für die Koordinaten x^....z^ 
sind bestimmt durch das gegebene Volumen v des Systems, 
die Grenzen für die Geschwindigkeitskomponenten ±^ . . . . i^ 
aber dadurch, daß: 



Mech. Bedeutung der Temperatur und der Entropie, 119 

Jede einzelne G^schwindigkeitskomponentc liegt also notwendig 
zwischen den Grenzen ± Y2efnL Die weitere Berechnung er- 
gibt f&r die Entropie: 

wobei das Integrationsgebiet bestimmt ist durch die Bedingung: 

(*,/n)'+--+(*.i/:")"^'- 

Mau ersieht hieraus^ daß das 3n-fache Integral folgenden Wert 
besitzt: 

(2«m)2 .C, 
wobei C eine reine Zahl vorstellt. Daraus folgt für die Entropie: 

log r « n log t> + -^ log € + const., 

wesentlich übereinstimmend mit der ersten Definition der 
Entropie. 

Die dritte Gibbssche Definition der Entropie endlich hängt 
mit der zweiten einfach dadurch zusammen, daß man die 
Entropie nicht =» logF, sondern = \ogdVjdt setzt. Da nun 
nach der letzten Gleichung durch Differentiation: 

\ dV Zh , dVSnV 

-- — = -- oder , = « . " , 

V d9 2§ de 2 e 

80 ergibt sich nach der dritten Definition für die Entropie. 
log ^ - = log ^ — log 6 + const 



= 71 log t> + I J* — 1 j log € + const 



alsOf da n eine große Zahl ist^ wiederum wesentlich der 
frohere Wert 

Für den Fall vieler gleichartiger Partikel im stationären 
Bewegongszostand führen mithin die verschiedenartigen De- 
finitionen alle im wesentlichen zu demselben Ausdruck der 
Entropie. Daraus folgt, daß sich aus der Untersuchung dieses 
Falles keinerlei Entscheidung zu gunsten der einen oder der 
anderen Definition ableiten läßt Gehen wir nun aber über 
%n dem allgemeinen Fall, daß von den Pailikeln mehrere ver- 



120 M. Planck. 

scbiedene Arten vorhanden sind, wie er bei einer Mischxmg 
verschiedener Gase realisiert ist^ und fragen hierfür nach dem 
Ausdruck der Entropie, so ergeben die Definitionen von Boltz- 
mann und von Gibbs wesentlich abweichende Besultate. Die 
Boltzmannsche Definition liefert nämlich mit Rücksicht 
darauf, daß nun die Anzahl der Eomplexionen, welche einem 
gegebenen Zustande entsprechen, wesentlich modifiziert wird, 
einen Wert für die Entropie, welcher dem aus der Thermo- 
dynamik abgeleiteten in jeder Hinsicht entspricht, einschließlich 
derjenigen Glieder, die von den Konzentrationen der verschie- 
denen Atomarten herrühren. Die Gibbs sehen Definitionen 
dagegen, welche auf die Natur der Partikel gar keine Bück- 
sicht nehmen, ergeben wieder dieselben Ausdrücke, die oben 
berechnet sind, sie erteilen also zunächst keinen Aufschluß 
über die Art, wie die verschiedenen Konzentrationen in die 
additive Konstante des Entropieausdruckes eingehen. Will 
man auf diesem Wege zu der thermodynamischen Form der 
Entropie gelangen, so ist hier eine nachträgliche Ergänzung 
der Definition der Entropie notwendig, und diese Eh*gänzung 
kann nur dadurch geliefert werden, daß man zu den früher 
betrachteten Komplexionen noch neue Komplexionen mit in 
die Berechnung hineinzieht, indem nämlich nicht nur die Ko- 
ordinaten und die Geschwindigkeitskomponenten, sondern auch 
die Anzahl der verschiedenartigen Partikel des Systems inner- 
halb gewisser Festsetzungen variiert wird. Diesen Schritt hat 
Gibbs auch vollzogen im letzten Kapitel seines angeführten 
Werkes durch die Einführung des „grand ensemble'' im 
Gegensatz zu dem bis dahin allein benutzten „petit ensemble''^ 
wobei die Betrachtungen allerdings etwas verwickelt werden. 
Immerhin gelangt man durch sie schließlich zu den bekannten 
thermodynamischen Formeln. 

Vergleicht mau nun an der Hand der angestellten Über- 
legungen die Eigentümlichkeiten der verschiedenartigen Wege, 
welche zur Gewinnung des Ausdruckes der Entropie einge- 
schlagen werden können, so läßt sich bei der Boltzmänn- 
schen und bei den Gibbs sehen Definitionen ein sehr wesent- 
licher unterschied feststellen. Will man nämlich für ein im 
stationären Bewegungszustand befindliches System mit ge- 
gebenen Molekülzahlen y gegebenen Volumen und gegebener 



Mech. Bedeutung der Temperatur und der Entropiß. 121 

Energie die EDtropie nach Gibbs bestimmen^ so ist man ge- 
nötigt, nicht nur die gegebenen Werte der MolekQlzahlen, des 
Volumens und der Energie ins Auge zu fassen, sondern auch 
unendlich yiele andere Werte aller dieser Größen mit in die 
Rechnung hineinzuziehen. So hat man z. B.^ trotzdem das 
Volumen gegeben ist, bei der Berechnung der Entropie stets 
alle diejenigen Eomplexionen zu berücksichtigen, bei welchen 
das System irgend ein Volumen einnimmt, das kleiner ist als 
das gegebene. Und ebenso verhält es sich mit der Energie: 
Dicht nur die gegebene Energie ist zu betrachten, sondern 
unendlich viele andere mehr oder weniger weit abliegende 
Werte der Energie. Dagegen hat man bei der Berechnung 
der Entropie nach Boltzmann von vornherein und prinzipiell 
nur diejenigen Eomplexionen zu berücksichtigen, welche mit 
dem gegebenen Zustande in aller Strenge vereinbar sind. Un- 
bestimmt und daher den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit unter- 
worfen ist hier nicht, wie bei Gibbs, die Molektilzahl, das 
Volumen und die Energie des ganzen Systems, sondern viel- 
mehr die spezielle Komplexion, die mit den bestimmt vor- 
geschriebenen Werten jener Größen vereinbar ist. Nach diesem 
Gesichtspunkte beurteilt, erscheint die Boltzmannsche Auf- 
fassung der Entropie beträchtlich einfacher und sachgemäßer. 

Die endgültige Entscheidung der Frage nach der all- 
gemeinsten und rationellsten Definition der Entropie kann aber, 
wie schon in den einleitenden Worten dieses Aufsatzes hervor- 
gehoben wurde, nur durch die Berechnung der Entropie für 
solche Zustände geliefert werden, welche von dem wahrschein- 
lichsten Zustande merklich abweichen. Für diesen Fall hat 
nun Oibbs^ soviel ich sehe, überhaupt keine allgemeine Vor- 
schrift gegeben, da er derartige Zustände nur insoweit be- 
handelt, als sie sich aus stationären Zuständen zusammen- 
setzen lassen. Die Boltzmannsche Definition dagegen reicht, 
wie bekannt, ohne weiteres auch für Zustände mit ganz be- 
liebig vorgeschriebenen Lagen und Geschwindigkeiten der 
Partikel aus. 

Daher glaube ich als Besultat dieser Untersuchung aus- 
sprechen zu dürfen, daß die auf den ersten Anblick bestechende 
Allgemeinheit, welche Gibbs der Fassung seiner verschiedenen 
Definitionen der Entropie gegeben hat, indem darin auf die 



122 M, Planck. Mech, Bedeutung der Temperatur etc. 

Natur des betrachteten Systems gar keine Rücksicht genommen 
wirdy erkauft ist durch eine Beschränkung ihrer physikalischen 
Bedeutung, Für alle reversiblen Vorgänge werden die Gibbs- 
schen Definitionen dieselben guten Dienste leisten^ wie mehrere 
andere schon vorliegende Definitionen mehr formaler Natur. 
Für irreversible Vorgänge dagegen, welche der Entropie erst 
ihre eigentliche Bedeutung geben und welche allein den 
Schlüssel zum vollen Verständnis des Wärmegleichgewichtes 
liefern, erweist sich die Boltzmannsche Definition der En- 
tropie unter allen bisher bekannten bis jetzt als die sach- 
gemäßeste und leistungsfähigste. 
Berlin, 24. Juli 1903. 

(EiDgegangen 26. Juli 1903.) 



123 



18. The Law of Degradation of Energy as the 
fandamental principle of thermodynamics. 

Bj G. H. Bryan in Bangor (North Wales). 



1. In most text books, the study of thermodynamics is 
approached from a historical point of view being based on the 
discoyeries of the Mayer-Joule principle of equivalence of 
heat and work and Carnot's principle as modified by Clau- 
siuB and Kelvin. Very few writers have attempted to present 
thermodynamics as a purely deductive subject or to render it 
independent of preconceived notions conceming heat and tem- 
peratnre in the same way that rational mechanics has been 
rendered independent of preconceived notions of mass and force. 
But the study of abstract dynamics has led to such valuable 
resolts in the interpretation of physical phenomena, that it 
appears desirable that the fundamental principles of thermody- 
namics should be presented in an equally formal manner. As 
it is onnecessary to again traverse ground that has already 
been covered by writers on dynamics, this is best done by 
examining what modifications have to be made in the pro- 
perties of an ideal dynamical System in order to obtain a 
thermodynamical system. 

It has for some time past appcared to me that the prin- 
ciples of Cionservation and Degradation of Energy ailbrd the 
best starting points for a treatment such as is here proposed. 
In the present paper I propose to give an outline of the re- 
solts at which I have arrived in working out this method, in 
the hope that other workers may be induced to tum their 
attention in the same direction more than they have done 
hitherto. 

2. D^baÜan of available Energtf, — The available energy 
of a System subject to giyen external conditions is the maximum 
amount of mechanical work that could be obtained from the 



124 G. H. Bryan. 

System by changes which do not violate the giyen extemal 
conditions. 

Tke Principles of Conservation and Degradation of Energy. 
The total energy of any system is unaltered by the mutual 
actions of its di£ferent parts. 

The efifect of these actions may decrease, and can neyer 
increase the amount of available energy present in the System 
ander any given conditions. 

3. Characteristics of a thermal System, There are certain 
processes in nature such as the friction of fluids in which the 
available energy of a body is absorbed by being transformed into 
other forms of energy within the elements of which the body 
is composed, and in such cases it is not always necessary to 
assume that energy passes from one part of the system to 
another otherwise than by the Performance of mechanical 
work. Such processes could, however, be equally well and 
more simply explained^ as is indeed often done in text-books^ 
by restricting the term "energy" to dynamical energy potential 
and kinetic and replacing the principles of conservation and de- 
gradation by an axiom of energy to the efifect that the energy 
of a System tends to decrease and never to increase. In order to 
take account of phenomena which cannot be explained by this 
simple alternative, it seems inevitable that we should asstune 
our Systems to be endowed with the property that energy can 
flow from one system or part of the system to another other- 
wise than by the Performance of mechanical work. 

Further it is necessary that such transferences should 
sometimes be accompanied by an irreversible loss of available 
energy, for if this were not the case it would be possible by 
a proper choice of generalised coordinates to bring the changes 
in question under the principles of rational mechanics in which 
case the transferred energy would assume the form of work 
done by the Variation of the coordinates so chosen. 

In thermodynamics itself we have an illustration of this 
very point. So long as only reversible transformations are 
concemed, the equations of thermodynamics are identical in 
form with the equations of dynamics with the addition of a 
further position coordinate (the entropy) and the corresponding 
force-component (the temperature). 



Law of deffradation of enerpy. 125 

4. We are thas led to define a thermodynamical System 
as one possessing the following properties distinguishing it from 
the Systems considered in rational mechanics. 

(1) Its total energy is not a fonction of the position coor- 
dinates and the corresponding generalised velocity components 
alone, but is capable of independent Variation. 

(2) This Variation consists in transferences of energy 
between different parts of the System or between the System 
and other Systems^ in conformity with the principle of con- 
servation of energ}'. 

(3) These transferences of energy are distinguished from 
those considered in rational dynamics in that they are gene- 
rally accompanÜBd by a loss of available energy and are there- 
fore, by the principle of degradation of energy, irreversible. 
In the Systems of rational dynamics all energy is available and 
all transformations are reversible. 

5. Defbdtion of quantity of heat When energy flows from 
one System or part of a system to another otherwise than by 
the Performance of mechanical work through the Variation of 
the Position coordinates^ the energy so transferred is called heat 

If, then, the energy of a body increases hy dU while the 
body at the same time performs mechanical work of amount 
d Wj the body is said to receive a quantity of heat d Q defined 
by the reUtion 

(1) dq^dU+dW. 

This relation thus affords a definition of '^quantity of 
heat** absorbed or emitted by a body. It is to be observed 
that we cannot speak of the quantity of heat contained in a 
body because it is possible to make a body undergo cyclic 
transformations in which energy is continuously given out in 
the form of heat and absorbed in the form of work. 

6. Candxtion of intemal heat equilibrium. It follows from 
the principle of degradation of energy that any system sub- 
jected to given extemal conditions will tend to assume an 
eqnilibrium State in which the available energy is a minimum 
tot variations depending on the flow of heat between the 
different parts of the system, conformably to the given extemal 



126 G. H. Brt/an. 

conditions. When this is the case, the System may be said 
to be thermicaUy homogeneous, 

The State of a System may be variedy consistenüy with 
the existence of heat-equilibrium between the parts of the 
System either (a) by imparting energy in the form of heat to 
the System as a whole in such a way as to maintain an equi- 
librium distribution, or [b] by variations in the generalised 
coordinates defining the dynamical state of the System. 

It foUows that if the state of a thermically homogeneous 
System is defined by n variables or generalised coordinates for 
changes which involve no transmission of heat to or from the 
System as a whole, then^ when such transmissions of heat are 
taken into account, n + 1 variables will be required to define 
the State of the System. Since the passage of heat to or from 
the body involves gain or loss of energy, we may, in the first 
instance, choose these n + \ variables to be the generalised 
position-coordinates of the System and the energy U. 

A transformatiou in which no heat is gained or lost is 
called an adiabatic transformation, If x^, ^2> • • • ^n ^^® ^® gene- 
ralised position-coordinates, A^ -i^, . . . X^ the corresponding 
generalised force-coordinates, it follows that adiabatic trans- 
formations are given by the diflferential equation 

dU==:SXdx 

connecting the n + l independent variables U, x^, x^, , . , x^. 

In the case of a homogeneous fluid substance the state 
will be completely defined either by the total volume F and 
energy U or by the volume and energy of unit mass which 
we shall call v, u. If p is the pressure, and we adopt the 
former alternative, then since 



-C-3 



dQ = 



Hence p is known when U, F are known and conversely 
the State of the System is known when p and V are known. 
For such a System the state may be completely defined by the 
variables p and F or p and v instead of U and F or u and o. 
By the new choice of variables, the transformations can be 



Law of degradation of energy, 127 

represented by an indicator diagram as is explained in text 
books. 

7. The Secand Law of thermodynamics, Let M and A' be 
two independent thermically homogeneous Systems. If the 
Btates of these Systems are such that their total ayailable 
energy is decreased by the passage of a small qaautity of 
heat from Äf to N, it foUows at once from the principle of 
degradation of energy 

(a) that heat can flow^ and, in general, tends to flow of 
itaelf from M io N, 

(b) that heat cannot be mado to pass from N to M without 
snpplying available energy from without 

If we define one System as being hotter or colder than 
another according as the available energy of the two is de- 
creased or increased by transporting a small quantity of heat 
from the first to the second, statement (b) is identical with 
the UBoal statement of the second law which asserts that heat 
cannot pass from a colder to a hotter body without some other 
change taking place. 

8. Camofi Cycle. To transport heat from 3' to M where 
M is hotter than S (according to the above definition) avai- 
lable energy must be supplied from without. The simplest 
way of doing this is by the familiär process of Garnot's 
cycle reversed, in which an auxiliary body L is taken which 
first receifes heat frt)m .\', and is then, by compression or 
otherwise, brought to a State capable of imparting heat to A'. 
To Bupply the available energy absorbed in a cyclic trans- 
formation of the auxiliary body a balance of work-energy must 
be supplied to this body in each cycle^ and by the principle 
of conservation an equivalent amount of heat-energy must be 
giten to the body M^ over and above that taken from A'. 
We may thus suppose a quantity of heat dQ^f taken fn)m 
Xf a quantity dQM given to M and a quantity of work 
dA tm dQig -^ dQx performed on the auxiliary body during the 
process. 

The reterse process is the ordinary direct Carnut^s 
cyde in which dQ^M is received from M, dQ'^f is given to ^\, 
and work d Ä' ^ dQ'^ — ^^x is done by the auxiliary body 
during the cycle. 



128 O. H. Bryan. 

By the well known proof of combining the direct and 
reversed motions^ the principle of limited availability gives that 

dA! dA 

dQu —dQM 
and therefore 

dQN ^dQN ^^ dQfM ^dQu 



d^M—dQu dQ^N—dQN 

and by considering the limiting case where the combination 
of the direct and reversed cycles is accompanied by no Iosb 
of ayailability [assuming such a case possible) we get 

^ ' \d Q'n ) maximum \äQlf) 



mirumuM 



9. Let each of these limiting ratios be written equal to 
^MN for the bodies M and N. Then the following properties 
are readily shown to be satisfied by the fimction T^y, 

(1) Tmn is constant for the same two thermically homo- 
geneous Systems in the same two states. It is therefore only 
a function of the variables by which the states of the bodies 
M and N are specified. 

(2) TjfN is independent of the size of the Systems M and 
N provided that they are thermically homogeneous. In the 
case of homogeneous fluids, T^r^ is therefore a function of their 
volumes and energies per unit mass, not of their total volumes 
and energies. 

(3) Tmn is equal to unity when heat-equilibrium exists 
between M and N, it is greater than unity when heat can 
flow of itself from ^ to iV^ and less than unity when heat can 
only flow of itself from N io M, 

(4) T^^xT^M=l' 

(5) The ratio Tmk for two Systems u^fN, is equal to the 
corresponding ratio ^Vj^' for any other two Systems ifj A', 
of which Af is in thermal equilibrium with M and iV* is in 
thermal equilibrium with N. 

(6) Taking a third System P we have by comparing the 
cyclo between M and N with a combination of two cycles 
between M and P and between P and N respectively 

(3) TjiN — ^Mp X Tpif = -ji—p- 



Law of degradation of energy. 129 

10. Temperature. Now let the System P be taken to be 
a Standard System whose State is kept constanüy fized while 
other Systems are compared with it Then it is no longer 
necessary to specifjr.the State of P in the expression Tmp, and 
we may therefore write Tm for T^p* 

The expression Tm will then be a function only of the 
▼ariables which define the State of the system M. 

Tm is Said to be the absolute temperature of the body M 
referred to P as unit of absolute temperature. If any other 
body Q be substituted for P, the unit of absolute temperature 
will be altered but the numerical measures of the tempera- 
tures of all bodies will be altered in the same ratio. 

The properties proved in the last article are identical with 
the properties of temperature proved in treatises on experimental 
beal We thus have a deduction of these temperature pro- 
perties from the Principle of Availability^ which is independent 
of any preconceiTed ideas regarding temperature. 

11. Bntropy, The following results foUow at once by 
the ordinary methods given in text books, and they need not 
be discassed in detail in the present connection. 

(1) If a body is surrounded by a medium whose temperature 
T^iB % fimotion of the time only, then in any reversible cyclo, 
ihe cyclio integral 



(4) (/)f-0 



where <f Q is the quantity of heat absorbed at temperature T. 

(2) For reversibility there must be no loss of available 
energy between the body and the medium, therefore at any 
instant the temperature T^ of the medium is equal to the 
temperature T^ of the body and we have therefore also 



(41^) 



(i)Vf-»- 



(S) The last result holds even if the temperatures T^ and 
T^ of the body and medium are unequal, provided that no irre- 
vtrsAU ekanges occur withm the body itself. The transformation 
18 then Said to be eonditionally irreversiblej the only irreversible 

9 



130 G. H. Bryan. 

processes arising from the passage of heat between the body 
and medium. For such a cycle we have therefore 

<4b, (/)Vf=0 W.(/)f<0 

(4) The entropy of a thermically homogeneous System, 
t\ e a System whose temperature is a ftmction of the time 
only is defined by 

B 

A 

(5) The entropy of a System of bodies is defined as the 
sum of the entropies of the parts of the System^ and hence 
if the System consists of different parts M, iV , . . at tem-, 
peratures T^, T^ . , . 

(5a) ^««^e^+'L^v^ _^^ 

where d Qm is the whole heat received by the part M at tem- 
perature Tu, whether this heat be received from outside or 
from other parts of the System. The only limitation to this 
Statement is that no irreversible changes must occur within 
the separate portions Jtf, N. 

(6) Where the temperature varies from point to point the 
summation of the last case must be replaced by an integral, 
and we shall write the resulting equation 



(5b) "^^^f 



dq 



dm 



where d(^ dm is the quantity of heat absorbed by the dement 
dm when its temperature is T. In this notation dQ' will 
stand for quantity of heat absorbed per unit mass in the neigh- 
bourhood of the point whose temperature is T, and the sign 
of integration will refer to the various mass elements of the 
body. 

(7) The equation holds good provided only that no irre- 
versible or discontinuous changes occur in the interior of the 
mass elements dm. Where such irreversible changes occur it 



Law of deffrculation of energy. 131 

is usuallv if not always possible to connect the initial and 
final States by a reversible continuons series of transformations, 
and the difference between the entropy of the initial and final 
States will then be defined to be the same as would be pro- 
daced by these reversible transformations. 

This or its equivalent is the only possible definition of 
entropy consistent with the assumption that the entropy of 
the System at any instant depends only on the State of the 
System at that instant and not on its previous history. If this 
assumption were not made the theory of thennodyuaniics 
wonld involve the consideration of changes of entropy of a 
porely arbitrary character corresponding to no real physical 
phenomena. 

12. DeducHon of the fundamental equations, We shall uow 
show how the principle of degradation of available energy can 
be used to obtain the conditions of eqnilibrium and stability 
of a thermodynamical System, without making use of Clauäius' 
inequality. To do this it is only necessary to construct cx- 
pressions for the available energy of the System subject to the 
given extemal conditions, and we shaU consider the foUowiiig 
cases. 

System surrounded by an indefinite medium of uniform tem^ 
fßerahtre 2J, and preseure p^. We do not suppose the System 
to have attained its eqnilibrium State, so that its pressure and 
temperatore are not necessarily the same as those of the medium. 
Let the system consist of r parts characterised by the sufiixes 
l, 2, . . r and suppose for the sake of simplicity that the statc ' 
of the rth part is fuUy specified by the variables p^, T , T^, 
S^f U^t of which only two are independent. 

Then if a quantity dQ^ of heat bc withdrawn from the 
rth part, it foUows from above that a quantity of at hast 
dQ^X T^l^r ^^' ^*^® *^ ^® given to the medium, and hence 
that the maximum amount of mechanical work derivable froni 

Moreover when the volume expands by an aniouut ff f\, 
against the extemal pressure the amuuut of work duuo is 



*\* 



132 G. H. Bryan. 

Pr^Pü) ^^r' Heace the total amount of available energy of 
the rth portion is measured by the integral 

(6) A^ =/''«r(l - I) +fiPr-Po)dK' 

The quantities ander the integral signs vanish and change 
sign when T^= Tq, p^=p^ hence the maximum amount of 
mechanical work is obtained when the System is broaght to 
temperature T^ and pressure p^. 

Now ^Q^= — 7|.rfiS^, hence the integral representing the 
available energy of the whole System becomes 

-2/(2; - T,)ds^ + ^j(p^-p,)dr^. 

But by the equations of thermodynamics 

(7) dU^=TJS^-p^dr^. 

Hence the total available energy is 

./ = - ^^{du,-T,ds^ + p,dr^) 

taken from the initial State to the State T^Pq 

where UJ^, SJ^, V^ refer to the rth body in the final State 
(TJj, p^. This expression gives on summation 

(8) A^{V-V^)- T, (5 - 5„) + p, (F- V,). 
It foUows from this expression that if 

U-T,S + p,r>V,-T,S,+p,V, 

the System can pass from the State [V, S, F) to the state 
[Uq, Sq, rj but cannot pass in the reverse direction unless 
available energy be supplied from without. This condition 
is therefore the condition that the state [UqSqFq) should be 
one of stable equilibrium, a well known result 

13. System surrounded by an envelope of invariable volume 
Vq kept at constant temperature Tq. In this case the differential 
of the available energy is given by 

(9) dA=-^{T^-T,)dS^ + ^p^dF^ 

and the condition of constancy of volume gives 

(10) ^dF^=^0. 



LcoD of degradatwn of energy. 133 

The State of minimum available energy is thus defined by 

for all variations consistent with ^dV^^O. 
It foUows that for this State 

^r = ^0' Pl =Pi • • • =/^r =7^0 (Say) 

dU^=T^dS^^p^dF^, 
dA^^^dU^ + T.^dS^, 



and since 

we have 
whence 



A = 2(C; - r, 5,) - :£{U:> - T, 5,0) 
(11) ^U-U^-T,[S-S^) 

leading as before to the well kiiown result that for stable 
equUihrium in the State U^^ S^ we must have for all possible 
variations Uy 8, 

We also notice that when the temperature of the System 
itself is Tq its available energy becomes the free euergy of 
von Helmholtz. 

14. System enclosed in a rigid envelope impervious to hent. 
As in the last case the work done by the oxpansions of the 
different parts of the System is equal to 

To estimate the available energy which can be converted 
into work by the transference of hcat between different parts 
of the System, assume an auxiliary body at temperature 7^, 
and in the first place suppose heat is transferred between the 
varioQS bodies of the System and the auxiliary body by means 
of Carnot's cycles. 

1£ dQ^ is taken from the rth body then a quantity of 
heat dQ^x TqJT^ is giveu to the auxiliary body and the 
amoont of work done is dQ^{l — T^jT^)» 

If the total quantity of heat receivod in any intorval bv 
the aaziliary body is made equal to zero, the auxiliary body 
may be removed and the conditions will be those of a systeni 



134. G. H. Bryan. 

completely closed from outside inäuence. Equating to zero 
the heat received by the auxiliary body we have 

(12) o = 2'^«r| = ^02*^-5, = 2;rfÄ 

whence 

S = constant 

and the maximum work obtainable under this condition is 



= 2/(''<2r + Prrf';)- 



Since d Q^ here represents heat taken from the rth body 
instead of heat given to that body, dQ^ is equal and of op- 
posite sign to the ordinary dQ oi thermodynamics, and there- 
fore dQ^ + p^dF^= — dU^, and the expression for the available 
energy becomes 

(13) A^^^JdU^^ ^ ^dV^U^U, (say) 

the Integration being made along an isentropic path from the 
given State to the State in which the energy V^ is a minimum 
sabject to the condition of constant entropy. 

The condition for stable equilibrium requires that the 
available energy shall be a minimum, and therefore that the 
total energy U shall be a minimum for variations which keep 
the entropy S constant This is one of the two alternative 
conditions of stability of an isolated System given by Gibbs. 

15. Clausius' principle for irreversible iransformations. Let 
any System be isolated from all extemal influences for any 
given interval of time. If the parte of the System are not in 
equilibrium amongst themselves, changes will occur in the 
internal State of the System^ and the principle of degradation 
of energy states that these changes will be of such a character 
as to decrease and never to increase the available energy which 
the System would have when subjected to given extemal con- 
ditions. 

Now we have obtained for the available energy of a System 
in the presence of an indefinitely extended medium at tem- 
perature T^ the forms 

A = {U- T, S + P„ F) - (U„ - T, S„ + P, r,) 



Laxo öf fhgrndation of energjß. 1;J5 

according to whether the pressure of the medium or the 
Tolume of the System is kept constant 

For changes which take place in the interior of the System 
alone, the total energy U and the volume V remain constant 
The only quantity which can vary is the entropy S, and we 
see that the changes of entropy and available energy are con- 
nected by the relation 

(14) SA^--T^SS. 

Since Ä tends to decrease iS tends to increase, and hence 
we haye a proof of Clausius' principle according to which 
the entropy of a System is increased by irreversible changes 
occoring in the interior of the System. We also have, what 
is important^ a physical interpretation of this gain of entropy, 
namely that it is equal to 1 / 7^ times the decrease in the 
amount of available energy which the system would possess in 
the presence of a medium of temperature T^^. 

Conversely the loss of available energy of the system due 
to internal changes is equal to T^^ times the increase of entropy, 
and is therefore proportional to T^y The total available energy 
of the System in presence of the medium of temperature 1\ 
is not necessarily proportional to T^ since the state for which 
the available energy vanishes is not independent of the tem- 
perature T^. 

16. Conclusions. We have thus shown 

1) that the fundamental laws of thermodynamics may be 
deduced from the Principles of Conservation and Degradation 
of Energy without assuming any preconceived notions regarding 
heat and temperature, and with the simplest possible assump- 
tioDs'as to" the~general character of the phenomena; 

2) that the conditions of equilibrium and stability appli- 
cable ander different conditions can be deduced from coii- 
sideraiions of available energy as easily as from the entropy- 
inequality, and more directly. 

The great disadvantageofstartingwith theeutrttpy-inequality 
is that it is difficult to form a clear conception of the iiieaning 
of entropy. On the other band the methods here suggosted 



136 G. H. Bryan. Law of degradaüon of energy. 

have the disadvantage that available energj is not a definite 
quantity but its amount may be varied by varylng the extemal 
conditions. Thus while any given irreversible change inyolves 
a definite gain of entropy, the conseqnent loss of available 
energy in the presence of a medium of temperature T^ would 
be proportionally reduced by substituting a proportionally colder 
medium. Owing^ however to the importanoe of available energy 
from a physical or practical point of view it appears desirable 
that this very indeterminateness should receive prominent con- 
sideration in treating of the elementary principles of thermo- 
dynamics. It is oniy in this way that a clear understanding 
can be arrived at as to the ultimate influences of irreversible 
phenomena on the progress of events in the TJniverse. 

(Eingegangen 27. Joli 1903.) 



137 



19. Znr Definition der spezifischen Ionen- 

geschwindigkeit 

Von Heinrioh Mache in Wien. 



J. J. Thomson hat für die spezifische lonengeschwindig- 
keit die folgende Formel aufgestellt Es bedeute «/m das 
Verhfiltnis zwischen Ladung und Masse des lons^ A seine 
mittlere Weglänge^ und c seine molekulare Geschwindigkeit, 
dann ist 

= — - ^ 

Diese flir die Elektronentheorie grundlegende Formel wurde 
bereits zu wiederholten Malen in der Weise verwendet^ daß 
man f&r c die mittlere molekulare Geschwindigkeit d oder 

die Wurzel aus dem mittleren Gteschwindigkeitsquadrat Vc' 
einf&hrte and auf diese Weise zu einem Mittelwert für u ge- 
langte, der aber dann in einer von der üblichen völlig ver- 
schiedenen, der Natur der behandelten Aufgaben nicht ent- 
sprechenden Weise gebildet erscheint und daher quantitativ 
unrichtige Besultate ergeben muß; denn es ist ja der so er- 
haltene Mittelwert weder ü noch auch \v}. 

Es hat nun E. Biecke im 66. Bande der Annalen der 
Physik flir die spezifische lonengeschwindigkeit die Formel 

angestellt Die Ableitung ist etwas kompliziert und der Zu- 
sammenhang mit der Thomsonschen Formel nicht ersichtlich. 
VieUeicht ist es daher nicht ohne Interesse nachzuweisen^ daß 
anch die Thomson sehe Formel bei richtiger Mittelwertsbildung 
auf nahezu den gleichen Koeffizienten führt, wie er sich aus 
der Rieckeschen Betrachtung ergibt 

Die Ableitung der Thomsonschen Formel ist einfach 
und durchsichtig. Die Zeit, welche von einem Zusammen- 
stoß des Ions bis zum nächsten verfließt, sei x ^Xjc W&h- 



138 H. Mache. 

rend dieser Zeit steht das Ion unter dem freien Einflüsse des 
Feldes F^ legt also in dieser Zeit mit der Beschleunigung 

Y^-F 

' m 

den Weg 

r , eF l* 
2 2 m c« 

in der Eichtung des Feldes zurück und würde somit in einer 
Sekunde, falls sich nicht bei jedem Zusammenstoß die mole- 
kulare Geschwindigkeit änderte, im ganzen den Weg 

1 eF X 
$•— = 

T 2m c 

zurücklegen. Es ist also für das Einheitsfeld 

1 e l 

11=: . « . 

2 m e 

Wir können nun, wie dies in der Gastheorie ja allgemein 
üblich ist, X, die Weglänge des Ions, als von der Temperatur 
und somit auch von der Geschwindigkeit c unabhängig be- 
trachten. Dann läßt es sich aber leicht nachweisen, daß der 
Mittelwert von A/c dem Produkte aus den Mittelwerten von 
l und 1/c gleich ist^) Es wird also auch der Mittelwert von 
u durch das Verteilungsgesetz der molekularen Geschwindig- 
keiten eindeutig gegeben sein. Die Zahl der Teilchen, deren 
molekulare Geschwindigkeit zwischen c und c + de liegt, ist 
nach Maxwells Gesetz gleich 

_^- c^e "^ de, 

a^yn 

1) Fassen wir nämlich aus der sehr großen Zahl N der verschie- 
denen X/e diejenigen heraus, welche im Zähler das gleiche X, etwa Xi, 
aufweisen und nennen wir ihre Zahl n^ , definieren wir femer in gleicher 
Weise A,, n,, A,, n, etc., so wird: 

fii ^J e n^ ^J c fi( ^^ c 

Da aber l und c voneinander unabhängig sind, so ist auch 

-2-= ' 2- = -2-= ••• = ;!r2- = P)- 

Hieraus ergibt sich dann die Richtigkeit unseres Satzes. 



Spezifische Tonengeschcindiffkeit 139 

worin a die wahrscheinlichste Geschwindigkeit bedeatet und N 
die Zahl der Teilchen ist, welche in der Volumeneinheit ent- 
halten sind. Es ist weiter nach Thomsons Formel 

de ^ 1 — du 

el 

und somit die Zahl der Teilchen^ deren lonengeschwindigkeit 
zwischen u und u + du liegt, gleich: 

Multiplizieren wir diesen Ausdruck mit u, integrieren von bis 
00 und dividieren durch iV, so erhalten wir ü, multiplizieren wir 
hingegen mit u^, integrieren von bis oo, dividieren durch N 

nnd ziehen aus dem Resultate die Wurzel, so erhalten wir Vu* . 
Eis ist also: 

4 a»i» fl -tS^U ^ 2 ei f _,«, 

ft — ~ I -^e *■»'«'•*' du = ; - I xe dx 



= — * A 

Ersetzt man die wahrscheinlichste Geschwindigkeit a durch 
die mittlere ö nach der bekannten Formel 



80 wird auch: 






ö=^-- ..^ und fu-^]/^ V^ 

Der Koeffizient 2/;r = 0,637 unterscheidet sich also nur 
wenig von 0,667, dem Koeffizienten der Ri ecke sehen Formel. 

Auch den wahrscheinlichsten Wert der lonengeschwindig- 
keit wollen wir noch berechnen. Wir haben zu diesem Behüte 
nur den Ausdruck, welcher uns die Zahl der Teilchen gibt, 
deren Tonengeschwindigkeit zwischen u und u + du liegt, nach u 



140 H, Mache, Spezifische Tonengeschwindigkeit. 

zu differenzieren, den erhaltenen Ausdruck gleich Null zu setzen 
und nach u aufzulösen. Wir erhalten so: 

77— 1 e X ^ 1 B l 
2 }/2" m ff |/27r m c 

Führt man diesen wahrscheinlichsten Wert in das Ver- 
teilungsgesetz der lonengeschwindigkeiten ein, so läßt sich das- 
selbe auch in der Form schreiben: 



TP - 



e «*• du. 



In allen Formeln für die lonengeschwindigkeit bedeutet 
jetkt A den arithmetischen Mittelwert der Weglänge und a den 
der Geschwindigkeit In allen erscheint der Ausdruck 
e/m.A/a. Von den in ihm enthaltenen Größen sind drei, 
nämlich 6, m und a durch die Natur des Ions und durch 
die Temperatur bestimmt Von dem Gase, in dem sich das 
Ion bewegt, erscheint somit u nur insoweit abhängig, als X 
hievon abhängt. Bezeichnen wir mit A die mittlere Weg- 
länge des Gasmoleküls, so schwankt, welche Größe wir auch 
immer dem Ion zuschreiben, der Wert von X zwischen Null und 
AA. Die hohen Geschwindigkeiten, welche die Träger der 
Eathodenstrahlen aufweisen, würden also zur Annahme nötigen, 
daß gegenüber diesen allerdings als sehr klein angenommenen 
Teilchen die Moleküle des Gases sich so verhalten, als ob sie 
bis zu einem gewissen Grade durchdringbar wären. Auch die 
hohen Werte, welche die mittlere Weglänge der Elektronen 
nach den Berechnungen Pattersons^) in Metallen annimmt 
und welche von derselben Größenordnung sind, wie die mittlere 
Weglänge der Gase bei Atmosphärendruck, scheinen dafür zu 
sprechen. 



1) J. Patterson, PhiL Mag. (6) 3. p. 643. 1902. 

(Eügegangen 28. Juli 1903.) 



141 



20. Gibt es unendlich große Geschwindigkeiten? 

Von Ludwiff Matthieflsen in Rostock. 

Wenn es sich um Oeschwindigkeiten fortbewegter Massen 
handelt, so wird man die gestellte Frage jedenfalls mit fiein 
beantworten müssen, sowohl was terrestrische als auch kosmi- 
sche Bewegungen anbetrifft. Bei Bejahung der Frage würde 
man auch die Möglichkeit unendlich großer Kräfte annehmen 
müssen. Es kommen jedoch unendlich große Geschwindig- 
keiten bei Erscheinungen vor, welche auf dem Gebiete der 
Interferenzen liegen. E^ mögen hier derartige Fälle behandelt 
werden. 

Wenn man mit Hilfe zweier uuisoner Stimmgabeln auf 
Quecksilber oder irgend einer anderen Flüssigkeit zwei sich 
durchkreuzende Kreiswellensysteme erregt, so beobachtet mau 
bekanntlich stehende hyperbolische Interferenzlinien, deren 
Scheitel in der Verbindungslinie der Erregungszentra liegen. 
Daneben treten aber zugleich fortschreitende Wellen auf ellipti- 
schen und hyperbolischen Interferenzlinien auf^ deren Bewegung 
wir yerfolgen wollen. 

Wir setzen voraus, daß jene Transversal wellensysteme eine 
gleiche und konstante Wellenbrcite k, gleiche und konstante 
Amplituden a und eine gleiche konstante Geschwindigkeit c be- 
sitzen; femer daß die Vibrationen in den Zentren I und II 
gleichzeitig und gleichsinnig erfolgen, die Zcntra um eine 
gerade Anzahl von Wellenbreiteu voneiuander entfernt sind. 

Bezeichnen l^ und /, die rad. vect irgend eines Moleküls P 
der erregten Niveauiläche, so sind die partiellen DeviatioiK>ii 
zur Zeit t von der Ruhelage angerechnet 

y, =asin2ji(~--J-), y, = a8iu27r(J - J), 

also die gesamte Deviation 

^' = yi+y, = 2flC0s;r '^ ^ '' sin2>T (J, - ^Y^ ' 



Die resultierende Amplitude ist also 



Die BdBultante verschwindet für 

/, - ^ = -^^ l , (feste Hyperbeln S) , 
außerdem fUr 

'i + ^ = ± [m Jl - 2 A ~] , (fortschreitende EUipsen C). 




Zwischen den ersteren liegen andere feste Hyperbeln / 
von der Gleichung 

also 

coe n ^-^ =±1, A= ±2a. 



Daraus resultiert 

" 21 } 



r= ±2fl8in2H 



Auf diesen Hyperbeln schreiten demnach peripherisch 
Wellen fort und zwar mit abnehmenden Wellenbreiten und 
Geschwindigkeiten. Die variahle Geschwindigkeit sei v; ist 
dann e die Geschwindigkeit der Elementar wellen, m der Winkel, 
welcher die Tangente eines Punktes P des hyperbolischen Wellen- 
Strahles J mit seinen rad. vect ^ und l^ bildet, r die lilnge der 
Tangente bis zur Zentrale I II, so findet man 



Unendlich große Geschwindigkeiten, 143 

folglich 

worin <f die Distanz der Vibrationszentra bezeichnet. 

Nun ist im Anfangspunkte der Bewegung des Wellen- 
strahles ^ also in der Zentralen^ sowohl cosq> = 0^ als auch 
T = und (/j + /j)* — i/* Ä 0; folglich die Anfangsgeschwindig- 
keit t; s 00. Für unendlich entfernte Punkte P wird, wenn tt 
den Asymptotenwinkel bezeichnet 

d , d 

1, ■■ T — ~ cos a , /j = T + — cos a , 

mithin 



Lim t; = 2 cl/r* cos «- : yi r^ — rf* 

und wegen r » oo, Lim v = c. 

Ist nun X die Wellenbreite des hyperbolischen Wollen- 
strahles in P, so ist auch 

cos fli = Ä:i/, t;:j& = c:As=n. 

Handelt es sich um monochromatische Lichtwellen, deren 
Schwingungsebenen auf der Niveaufläche senkrecht stehen, so 
wird ihre Farbe in den betreffenden Richtungen nicht ver- 
ändert Bei Schallwellen sind die Verhältnisse ähnlicher Art; 
nur unterscheiden sie sich von dem Verhalten der Transversal- 
wellensysteme insofern, als bei den Schallwellen jene hyper- 
bolischen Wellenstrahlen abwechselnd Longitudinal- und Trans- 
Tersalwellen sind. Die Tonhöhe wird in den ersteren nicht 
yerändert; die letzteren überhaupt nicht gehört Ein homo- 
loges Verhalten findet bei Interferenzen von monochromatischen 
Lichtwellen statt, bei denen die Elementarwellen senkrecht 
gegeneinander polarisiert sind. Es treten zirkuläre und ellip- 
tische Schwingungen, transversal und longitudinal schwingende 
Wellenstrahlen auf. In diesem Falle wird ebenfalls die Farbe 
nicht geändert und zwar in den Transversalwellen; die Longi- 
tudinalwellen sind überhaupt nicht sichtbar. 

Wir wollen der Allgemeinheit wegen auch noch den Fall 
betrachten, wo mit verschieden gestimmten Stininigaboln Wollen 
▼on verschiedener Breite und Geschwindigkeit auf der Niveau- 



144 L. Matthiessen. 

fläche einer Flüssigkeit erregt werden. Für diese hydrodynami- 
schen Wellen ist nach William Thomson 

c* = -y-T, n^A'=5Const 

Es tritt dahei; wieLissajous zuerst beobachtete^ eine so- 
genannte Wanderung der Interferenzlinien ein.*) Es treten dabei 
die i>-Kurven auf, auf welchen sich die seitlichen Wellen fort- 
bewegen. Ihre Gleichung ist 

i- - ^ = 2^<^('H + "*) - "•("» - "«)' = -2^« = '^'^ 

Auf diesen Kurven schreiten also die seitlichen Wellen 
fort und sie sind ebenso wie die Interferenzlinien B und C 
Cartesische Ovale. Dieselben laufen also von der Zentrale 
aus und kehren an einer anderen Stelle in dieselbe zurück. 
Um die Orter dieser beiden Punkte auf der Zentrale zu 
finden, führen wir rechtwinklige Koordinaten y. und x ein. 
Es ist dann 

Für y = erhält man 

Um die Richtung der Bewegung der Wellenstrahlen D in 
diesen Punkten zu erhalten, diflferenzieren wir die vorige 
Gleichung. Es resultiert 

Für y = ergibt sich daraus 

dy _ J^(d^x){}^ +^ _ 
dx y[X,d-{l,-[')^)x] "^• 

Der betreffende Wellenstrahl geht also senkrecht zur Zentrale 
aus und kehrt in derselben Weise zur Zentrale zurück. 

Die Fortpflanzimgsgeschwindigkeiten der Interferenzwellen 
auf den i>-Kurven werden nim bestimmt durch folgende Re- 
lationen: 



u. 



1) L. MatthieBsen, Wied. Ann. 32. p. 689. 1887. 



Unendlich große Geschwindigkeiten, 145 

dl _ ^k _ 

dt ""^^ dt ^^^' 

BE dl dly 

d i cos ad t C08 ^ d ^ 

Für den Ausgangspunkt wie für den Eückkehrpunkt auf der 
Zentrale sind nun a und /} = 90^ also wiederum v = cc. 

Ähnliche Verhältnisse treten auf, wenn ein Kreiswellen- 
system von einem Fokus eines Kegelschnittes auslaufend an 
der Kurve z. B. einer Parabel reflektiert wird. Die Elementar- 
wellen werden an der Parabel als geradlinige der Directrix 
parallele Systeme reflektiert. Ist die Entfernuug irgeud eines 
Punktes P von der Directrix gleich /j, vom Fokus gleich l^, so 
ist die Bedingung der Interferenz 

/j — /, = ^ l (feste Parabeln). 

Dazwischen in der Mitte liegen die parabolischen Wellen- 
strahlen 

/j — i^ = n A . 
Dann ist weiter 

v = c : cos (0 ^ c —■ . 

r 

Für die axialen Ausgangspunkte der Interferenzwellen ist 
o) «■ 90® und T = 0, also v = oo. Für unendlich entfernte 
Punkte P ist T =s 2 i^, also Lim t; = c. Da auch Z = A : cos ct> 
ist^ so ist für unsem Fall für jeden beliebigen Punkt P 

vrZ = c: A = n. 

Mithin wird in den Wellenstrahlen bei Licht- wie bei 
Schallstrahlen die Farbe und die Tonhöhe nicht verändert 

Rostock, 15. Juli 1903. 

(Eingegangen 29. Juli 190S.) 



BoltnBUiB-F«ttMfaria 10 



146 



21. Ans der Statistik 
der Prflfnngsstelle fflr Normalstimmgabeln in Wien. 

Von Anton Iiampa in Wien. 



Die mit dem I. physikalischeo Institut der Wiener Uni- 
versität verbundene Prüfungsstelle für Normalstimmgabeln hat 
bis jetzt rund 16000 Stimmgabeln verifiziert In den ersten 
Jahren wurden die Schwingungszahlen der als richtig befun- 
denen Gabeln (zulässige Fehlergrenze ± 0,5 g. Schw.) proto- 
kolliert Das Protokoll umfaßt 8000 Stimmgabeln. 5449 Stück 
dieser Gabeln stammen von einem Erzeuger (Feinzeugschmied 
J. Desort in Wien), welcher die Abstimmung aller dieser 
Gabeln nach einer von der Prüfungsstelle abgestimmten Normal- 
stimmgabel vorgenommen hat; diese Gabeln erscheinen hier- 
nach als ein geeignetes Objekt für eine statistische Unter- 
suchung betreffend das Verteilungsgesetz der Schwingungszahlen. 
Eine Aufzeichnung über die Schwingungszahl jener Gabel, nach 
welcher der Erzeuger die übrigen Gabeln gestimmt hat, ist 
nicht vorhanden, da deren Abstimmung noch vor der Akti- 
vierung der Prüfungsstelle stattfand. Eine Nachprüfung heute, 
nach zwölf Jahren, wäre zwecklos; jedenfalls wird die Schwin- 
gungszahl dieser Gabel nahe an 435 gewesen sein. 

Aus dem Protokoll wurde die nachstehende Tabelle I zu- 
sammengestellt ; die Schwingungszahlen sind hierbei auf 
Hundertstel angegeben, wozu noch weiter unten eine Bemerkung 
gemacht werden soll 

Die größte Zahl von Gabeln, 268, entfällt zufällig auf die 
Schwingungszahl 435, das Mittel der Schwingungszahlen aller 
Gabeln liegt dieser Zahl ziemlich nabe, es beträgt nämlich 
434,981. Nimmt man für die weitere Rechnung der Einfach- 
heit halber das Mittel = 434,98 und berechnet die miiüere 



Au* der Statistik der Prüfung$stelle für Normalstimmgabeln. 147 

Abweichung E (Wurzel aus dem Mittel der Quadrate aller Ab- 
weichungen), 80 lindet man 

^1 = '^^fy = 0,042024 , i? = ± 0,205 , 

5449 ' -u > 7 

während die durchschnittliche Abweichung (das Mittel aller 
Abweichungen ohne Rücksicht auf das Zeichen) 

€= ^®*'^^ = 0,16416 ist 

a449 ' 

Tabelle I. 



o> e CS 'S 

''^ 11 
^1 

484,91 
92 
9H 
94 
95 
96 
97 
98 
99 
435 

435,01 
02 
03 
04 
05 
06 
07 
08 
09 
10 



|5 



8 
50 
52 
33 

128 

44 

58 

79 

4 

188 
22 
98 
90 
47 

192 
67 

182 

95 

6 

176 






^^ 



O 



a-S 






0) a 



II !:: 



tS^ 



120 

10 

268 

9 
58 
51 
49 

178 
58 
81 

127 
7 

142 



14 


435,11 


9 


98 


12 


66 , 


111 


18 


72 ' 


68 


14 


54 


202 


15 


132 ' 


120 


16 


67 


183 


17 


60 



24 
25 
26 
27 
28 
29 
80 



,5 a « 



485,31 
82 
88 
34 
35 
36 
87 
88 
39 
40 
41 
42 
43 
44 
45 
46 
47 
48 
49 
50 



58 
57 
47 
70 
46 
52 
41 
9 
54 



1^ 



10 

85 

83 

19 

86 

18 

18 

41 

12 

49 

11 

28 

12 

10 

10 

6 

2 

2 



n 



Nach einem Satze von Cornu^ ist der Quotient 2/>^/e' 
gleich der Zahl n^ wenn die Abweichungen einer Reihe von 



* Cornu, Annales de rObservatoire de Paris \X 1870). Vitcnso 
da Im liuni^, p. 820. (Vgl. Violle, Lehrbuch der Physik. DeuUche 
Auigabe 1. p. 85.) 

10* 



148 



if. LampcL 



Zahlen von ihrem arithmetischen Mittel dem Gesetz der zu- 
fälligen Fehler Genüge leisten. Man findet nun hier 

2Jg?« 457,9862.6449 o^^nao 
~?~" ~~b94;M^ ==^'^^^^^' 

welche Zahl sich von itt = 3,14159 um 0,02397 unterscheidet 
Die Verteilung der Schwingungszahlen entspricht also dem 
Gesetz der zufälligen Fehler. 

Die Tabelle I zeigt nun eine ziemlich sprunghafte An- 
ordnung der Anzahlen der Gabeln. Diese rührt jedoch davon 
her, daß jede Gabel, wenn es angeht, nur einmal beobachtet 
wird, nachdem es sich ja bei der Verifikation bloß um die 
Feststellung handelt, ob die Gabel innerhalb der zulässigen 
Fehlergrenze liegt Die Abrundung auf Hundertstel bringt 
dann eine weitere Bevorzugung einzelner Schvringungszahlen 
mit sich,' die in der Tabelle zum Ausdruck kommt. Ein 
wesentlich anderes Bild erhält man aber, wenn man die Inter- 
valle größer wählt, etwa 0,1 Schwingimg. Bezeichnet man die 
Abweichungen nach der Richtung der kleineren Schvringungs- 
zahlen als negativ, jene nach der Richtung der größeren als 
positiv, und bildet die Intervalle 0—10, 11—20, 21—30, 
31 — 40, 41 — 50 Hundertstel von dem Mittel der Schwingungs- 
zahlen 434,98 aus, auf welches 120 Gabeln entfallen, so erhält 
man folgendes Bild der Verteilung: 





Tabe 


lle n. 






Intervall 


Zahl der Gabeln 

+ ' 


Im 
Sinn 


+ und — 


0-10 


879 


1028 


1902 


11—20 


694 


914 




1608 


21—80 


540 


483 




1028 


81—40 


273 


302 




575 


41—60 


187 


84 




221 


0—50 


2523 


2806 




5829 



Die Zahl der Abweichungen nach der negativen Seite ist 
größer, als die nach der positiven, was vielleicht auf einen 
Zufall bei der Herstellung zarückzuführen ist, der sich bei 
der betrachteten Zahl von Gabeln noch nicht gleichmäßig 
geltend macht Nachdem der Erzeuger stets größere Sätze 
von Gabeln auf einmal herstellt und die einzelnen Gto^beln jedes 



Ahm der Siaiistik der PrüßangssteUe für Normahtimmgabeln. 149 



Satzes möglichst gleich macht, würde eine gleichmäßige Ver- 
teilnng der Abweichungen erst bei einer viel größeren Zahl 
von Gabeln zu erwarten sein, wo die Zahl der vor der Ab- 
stimmung höheren und vor der Abstimmung tieferen Gabeln 
ungeAhr gleich sein würde. Immerhin zeigen die beiden Al>- 
weichungsreihen gleichen Gang. Für die Aufstellung des Ver- 
teilungsgesetzes wird man sich aber zweckmäßig nur auf die 
Absolutwerte der Abweichungen, also auf die letzte Kolumne 
der Tabelle IE beschränken. Diese Zahlenreihe läßt sich nun 
annähernd durch die Gleichung 

darstellen, wenn man die Anzahl der Abweichungen y dem 
Mittel der Interralle in Hundertsteln, also x = 5, 15, 25, 35, 45 
zuordnet. 

Man erhält so die folgende 





T 


abelle III. 




Intfirvall 


Zahl der Gabeln 






beobachtet 


berechnet 


0-10 




1902 


1908 


11—20 




1608 


1557 


21—80 




1028 


1042 


31-40 




575 


578 


41-60 




221 


257 


0-50 




5829 


5887 



Durch die Verteilung der Schwingungszahlen der Gabeln 
wird also das Gesetz der zufälligen Fehler bestätigt 

(Eingegangen 29. Juli 1908.) 



150 



22. Dd röle des corpnscnles dans la formation da 
faiscean anodiqne des tnbes ä gaz rar6fi6s. 

Par H. Fellat k Paris. 



La difförence trcs grande dans Taspect du faisceau ca- 
thodique et du faisceau anodique des tubes de Geissler 
pourrait faire croire que^ si le premier est du au mouTement 
des corpusculeS; ou ions n6gatifs^ le second provient du mou- 
vement des ions positifs. Tel n'est pourtant pas Tavis de 
J. J. Thomson^ qui a ötö amenö ä penser que le faisceau 
anodique lui-meme est du au choc des corpuscules sur le gaz; 
la laminescence rösulterait de ces chocs et de la dissociation 
en ions qui en serait la consöquence.^] Les exp^riences qui 
fönt Tobjet de ce Memoire me paraissent foumir une preuve 
döcisive de la justesse de la maniere de voir de J. J. Thomson. 

Si Ton place un tube de Geissler, de forme cylindrique, 
perpendiculairement aux lignes de forces d'un champ magoö- 
tique assez peu intense pour que les ph6nom^nes de magn^to- 
friction ne se fassent pas encore sentir^, il se produit le 
Phänomene bien connu de la döviation du faisceau anodique. 
II m'a sembl6 que la forme que prend le faisceau d^viö per- 
mettrait de döcider facilement si la luminescence du gaz suit 
la trajectoire que la th^orie assigne k la marche des corpus- 
cules ou ä Celle des ions positifs, ou encore participe de Tune 
et de Tautre. 

Ce Memoire sera diyis^ en deux parties: dans la pre- 
miere, je chercherai la forme thöorique de la tngectoire des 
ions positifs ou des ions n^gatifs soumis a la fois k un champ 
^lectrique et a un champ magn^tique; dans la deuxieme, je 
comparerai le r^sultat de la thöorie avec ce que donne l'exp^- 
rience pour la luminescence du faisceau dövi^. 

1) J. J. Thomson, Phil. Mag. 5* s^rie. 50. p. 282. 1900. 

2) H. Pellat, Journ. de Phys. 4*^ s^rie. 2. p. 241. 1903. 



Ptfrmation du faisceau anodique, 151 

I. 

Je commencerai par chercher la forme de la trajectoire 
d'un point ^lectrisä plac6 Beul dans un espace oü r^gne k la 
fois nn champ 61ectrique et un champ magn^tique, ces champs 
ötant uniformes et leurs lignes de forces rectangulaires, le 
point p4n6trant brusquement dans le champ avec une vitesse 
parall&le au champ ^lectrique. Ce calcul a döjä öt6 indiqn^ 
par J. J. Thomson^); mais je crois n^cessaire de Texposer 
ici, tel que je Tavais fait avant de connaltre le travail du 
physicien anglais, pour Tintelligence de ce qui va suivre. 

En assimilant un courant ä une file de particoles de 
meme Charge 61ectrique e se suivant avec une vitesse commune v, 
les lois de TEHectromagnötisme conduisent aisöment k voir 
qa*une de ces particules, en se d^plagant perpendiculairement 
aox lignes de forces d'un champ magn6tique d'intensit^ //) est 
soamiae k une force normale au plan d^terminö par la direction 
de son döplacement et par celle du champ, dirig^e k la gauche 
d'un obser?ateur regardant dans le sens du champ et tel que 
le döplacement aille de ses pieds ä sa tete, si la Charge est 
positiTe, yers la droite de cet observateur, si la charge est 
n^gaÜTe, l'intensitö de cette force ötant doonöe par f^evH. 

Soient X et OY deux axes de coordonnöes rectangu- 
laires, le premier dans la direction et le sens du champ 
flectrique, le second perpendiculaire ä la fois aux lignes de 
forces des deux champs 61ectrique et magn^tique. D^signons 
par X et par y les coordonn^es au temps t d'un point ölectris^ 
de masse M et de charge 61ectrique e animö d'une vitesse 
dans le plan XOY. D*apr^s ce qui vient d'etre exposö, ce 
point est soumia de la part du champ magn^tique, supposö dans 
le sens d'avant en arri6re, k une force dont les composantes 
Buivant X et OY sont respectivement 

^ eH /- et e H-j- ; 

Oft Oft 

en y joignant la force etp due au champ 61ectri(|uc d'intcu- 
sit^ 9, dirigfe parallMement ä OX, on obtient pour les 
öqnations du mouvement les deux relations: 



1) J. J. Thomson, Phil. Magaic .V serie. 4S. p. 547. 1899. 



152 //. Pellat 

/ix ij <^a; ijdy TLt^y u^^ 

(1) ^^rf> =«T-«^^rf,. ^dt^='^dt 

ou, cn posant pour abr^ger l'^critare: 

(2) « = i , 

/oN fiPa; /. dy rf*y ,, dx 

(3) rf-^. — «»--«^'-dT' d'^"^^^ 

e fdt a 6tant positifs si le point est ^lectrisö positivement, 
n^gatifs dans le cas contraire. De ces deux relations on 
d^duit : 

Cette ^ijuatioD a pour integrale gön^rale: 
(5) x:= Ä sin(a//^ + a) + B, 

oix A, B et a sont trois constantes d'int^gration. On tire de 

(5) et de la premiere des relations (3): 

(6) 2^ = | + ^afi^sm [aHt + a) 
qui donne par Integration: 

(7) y ^ li^" AGo^[aUt + a) + C 

oü C est une nouvelle constante d^nt^gration. Les relations 
(5) et (7) sont en termes finis les ^quations du mouvement du 
point electris^. 

Si nous posons: 

(8) -^- +(o = aHt + €^ 

et si nous d^placjons parall^lement a eux-memes les axes de 
coordonn^es OX et 07 de fagon a donner des yaleurs con- 
venables aux termes constants dans les deux relations, Celles- ci 
deviennent: 

(9) jr = // (l — cos (o) y = — ^ (0 — .^ sin CO . 

On reconnalt lä les ^quations d'une cyclolde döform^e 
engendröe par un point du plan d'un cercle de rayonqp/afl* 
roulant sur une parallele a OY, En nous donnant la yitesse 
V du point ölectris^; quand celle-ci est parallele au champ 



Ftßrmation du faisceau anodique. 153 

^lectriqae, nons pouTons ezprimer A. En effet, on tire alors 
de (9) en tenant compte de (8): 

(10) V=^ AaHmiai^ = ^ - -<a//co8 »j, 
d'oü: 

(11) A^a^U^^V^+t^ ou .^«V'^t^^. 

Ponr r^tude que j'ai en vue, le poiut ölectris^ 6tant un 
ion positif ou n^gatif se d^pla^ant dans un tube oü la pression 
reste sup^rieure si un dixicme de millimetre de mercure^ la 
vitesse V est, d'apres les travauz de M. Langevin^), de Tordre 
de 10~~^ 9". Meme avec des champs magn^tiques de 400 
uniMs C. 6. S., qui sont les plus iutenses que j'ai employös, le 
produit VH est ainsi de Vordre de 0,004 tp, et son carrö V^II^ 
tout-k-fait nögligeable devant <p\ H en r^sulte que 

et que, dans le cas qui nous occupe, les 6quations de la tra- 
jectoire se r6duisent a: 

(12) X = 7^(1 - cos CO) y = -^- (oi - sin «), 

c'est-a-dire que celle-ci est une cyclolde ordinaire. 

Si nous supposons maintenant qu'un tube cylindrii^uc, de 
forme allongöe, soit dispos6e de fa^on que son milieu seul se 
troaye dans un champ magnötique uniforme, que brusquement 
ä droite et ä gauche de cette portion du tube le champ 
magnötique soit nul, enfin qu'un champ ^lectrique uniforme 
parallfel k Taxe du tube regne partout h Tint^rieur de celui-ci, 
nous pouTons dessiner facilement la trajectoire que suivra un 
ion suppos^ seul dans le tube. Suivant que nous consid^rerons 
un ion positif ou un ion nögatif, la trajectoire sera eztr^mement 
difförente, parce que la masse M de Fion n^gatif est au plus 
la 1/2000 partie de la masse d'un ion positif, tont en ayant 
la mdme Charge 61ectrique en yaleur absolue; ceci fait que le 
rayon du cercle g^n^rateur de la cyclolde (3/9-/^//^ sora dans 



*) M. Lange vi n, Ann. de Chim. et de Phys. V serie. 2S« 
p. 488. 1908. 



154 



H. Pellat 



le cas des ions positifs au moins 2000 fois plus grand que dans 
celui des corpuscules. 



j? 



Cöte (tnoi 



corpuscules 




Fig. 1. 



^m^aHu>düfUjt 



lote OTtOffu 



Trqfcttofre th^^ariqtte. des 
iona poaiiifii d'^rdngrTU 




f'Z.TxlO* 
Fig. 2. 



lifUS. 



Cöte' ftrti 



Tixgectmre. tMari^e des 
ions poirUffi d'Q^rjSline 




S -373 

Fig. 3. 

Le champ magn^tique n'eziste qa*entre ^il et BB^ oü il est uniforme. 
La ligne en pointilI6 reprösente la trajectoire d^un point ^lectria^ qai 
p6n^ti'erait seol dans le champ magnötique en rasant la paroi införieure 
du tube. La partie couverte de hachores et limit^e par an trait plein 
repr^nte la marche de Tensemble des ions de m^me natare, qni 
remplissent tout le tube avant d'entrer dans le champ magn^tique. 



Prenons, par exemple^ les donn^es d'une de mes ex- 
pöriences sur ud tube ä hydrog^ne: champ 61ectrique tp » 
2,7 X 10^ unit^s ölectromagnötiques C.&S., champ magnötique 
-ff = 394 unitds C. G. S. Le quotient a = elM pour un cor- 
puscule ^tant, d'apres les exp6riences de J. J. Thomson, 6gal 



ii fl,b4 X 10", on obtient pour le rayoii du cerele g6uäratour 
de la cyclolde ^y/e//* = 0,0018 cm, c'est-ä-dire 2 centiemes 
de millimetre enviroii. La trajectoire 8e confoud donc sen- 
siblement a«ec la droite eur laquelle roule le cercle, <iui est 
one perpeudicQlaire h l'axe du tube. 

Au contraire, supposons un ion positif d'hydrogene. Meine 
s'il n'eutralne avec lui que sa propre masse, celle-ci ätast 
3000 fois celle du corpuscule, le rayun du cercle gönörateur 
de la cyclolde est 2000 fois le pr6c6deQt, c'est-ii-dire 3,61 cm. 
Comme l'ion p^netre dans le champ magnätiquo avec une 
vitesse dans la direction du l'axe de tube, c'eat une toute petite 
partie de la boucle d'une cyclolde que l'ioD d^crira dans la 
purtion du tube soumis au champ magnötique: c'est par une 
cutirbe allong^e qu'il gaguera la paroi du tube, sur laquelle il 
glisaera eusuite dans le seua du champ ölcctrique. A fortiori 
eu sera-t-il ainsi, si tious cousid^rons l'ion positif d'oxygfene, 
16 fois plus massif que celui d'hydrogi-ne, auquel correspond 
uu rayon 16 fois plus grand (58 cm) du cercle g6nörateur de 
la cyclolde, ou si üous admettous, avec M. Rntherford et 
M. Laugevin, que l'iou peut avoir Ba masse augment^e par 
Ventratnement d'un certain uombre de motäcules uon ilissociöes. 
Les ligures 1, 2 et 3 repr^sentent, par un trait eu poiutill^, 
la trajectoire d'un iou. seul dans le tube, qui raserait la partie 
införieure de celui-ci avant de pönötrer daus le champ 
magn^tique. 

Cest 8ur cette diff^^rence du tout au tout dans ia forme 
de la trajectoire qu'est fondöe la möthode que j'ai employöe pour 
d^cider si cl* sont les ions pOBitifs ou n6gatifs qui produisent 
la luDiinescence du faisceau anodique. 

Mais dans un tube de Geissler, il n'y a paa qu'uu seul 
ion qui se d^place, et nous devons nous occnper de la modi- 
ficatioD qu'apportera dans l'ensemble des trajectoires les actions 
routuelles des ions. Ces actions produisent, en l'absence du 
cbamp magn^tiiiue. un öparpillement: les ions tendenti'i remplir 
tout« la sectioD du tube et la remplissent efi'ectiveraent, si ce 
n'ert tout prt'S de l'anode, Ces actions mutuelles daus la partie 
I au cbamp magu^tique auront puur effet d'empecher 

t'lB faisceau anodique ne se r^duise k une ligne dänu^e 
) long de la paroi du tube: au lieu d'attaindre 




156 IL Pellat 

tous le verre, les ions se troaveront canalis^s ä l'int^rieur d'un 
cylindre parallele au tube et le touchant En tenant compte 
de l'effet trös Evident de Taction mutuelle des ions, on Yoit que 
la partie occup6e par Tensemble de ceux qui sont de meme 
nature dans le champ magn^tique uniforme, limit6 brosquement 
ä droite et k gauche par les plans AA et BB (fig. 1, 2 et 8)^ 
pr^sentera les aspects indiqu^s par la partie ombr^e sur les 
trois figures, suivant qu'on a affaire soit ä des corpuscoles, 
soit a des ions positifs d'hydrogfene ou d'oxyg^ne.^) 

n. 

J'ai röalisö un champ magn^tique sensiblement uniforme 
sur un trongon AB di^ mes longs tubes de Geissler, ayec 
champ sensiblement nul en dehors du trouQon Ä JB, en pla^ant 
le tube perpendiculairement a Taxe d'une longue bobine de 
7 centimätres de diametre coupöe en son milieu pour laisser 
passer le tube (de 1,7 cm de diametre). L'^paisseur des deux 
couches de fil qui la recouvraient ^tait 4 mm. he nombre 
de tours de file par centim^tre ^tait 10,8 pour Tensemble des 
deux couches; Tintensit^ du champ magnötique 6tait calcul^e par 
la relation H =i 4 7t A0,8.i, d'aprfes la mesure de Tintensit^ 
i du courant. 

De cette faQon, si Ton ne r^alisait pas rigoureusement une 
entr^e brusque d'une portion du tube dans un champ uniforme, 
on la röalisait k peu pr^s: dans Tespace de moins d'on centi- 
m^tre le faisceau anodique passait d^un champ magn^tiqoe 
sensiblement nul a un champ sensiblement uniforme ayant des 
valeurs pouvant atteindre 400 unit^s.^ 

L'effet d'une transition qui n'est pas brusque, entre la 
partie soumise au champ magn^tique et celle qui y est 
soustraite, est övidemment d' allonger un peu la trajectoire des 



1) RemarquoDis que, pour les pressions des tubes mis en exp^rienee, 
le libre parcours moyen des corpuscules entre deux chocs successifr est 
d^environ 4 mm. Comme chaque boucle de cycloide occupe une longneur 
0,018 X 2 71 = 0,11 mm, il y a en moyenne une quarantaine de boudes 
d6c.rites entre deux chocs successifs des corpuscules dans une direction 
perpendiculaire k Taxe du tube. 

2) Pour de pareils champs, il fallait employer des coorants de 
80 ampöres; mais, comme Texp^rience ne durait que quelques secondes, 
les fils ne chauffaient pas trop fort 



Pn-rrnntinn du fa 



anoiüque. 



ions siiirant Taxe du tube. Nous devrons en tenir compte daos 
la comparaiaon des resultats de la thöorie avec rexp^rience. 




1 forme de demi-rcrcle provient de U riflexiui: 
•ur les psroLa internes de la bobine. 



II (^tait difäcile d'övaluer exactemeat i'inteasiti'' maximum 
du ciiaiup ^lectrique, oeluiqui exist« aumomeatde lilluniiDatioii, 




158 //. PeUat. 

d'autant plus quc, daus les r^gions ä stratifications nettes, ce 
champ n'est probablemeot pas uniforme. Mais, d'une part, les 
stratifications ötaient peu nettes vers le milieu des tubes, 
d'autre part, unc errenr meme du simple au double n'aurait 
que peu d'influence pour le but de mes exp^riences. Aussi 
me suis-je bom^ k mesurer, au moyen d'un microm^tre a 
^tincelles, la longueur de T^tincelle äquivalente dans Fair k la 
döcharge dans le tube. De cette distance explosiye, je d4- 
duisais la diff6rence de potentiel des ^lectrodes au moment de 
la d^charge; comme le tube avait une forme cylindrique trfes 
allong^e, on pouvait admettre, sans grande erreur, que la chute 
de potentiel y ^tait lin^aire, et qu'on obtenait Tintensit^ du 
champ en divisant la diffi^rence de potentiel des ^lectrodes 
par leur distance (86 cm).^) 

C'est d'apres ces donnöes qu'ont ^t6 construites les courbes 
(fig. 1 , 2 et 3) pour la trajectoire des ions n^gatifs ou positifs. 
En comparant k ces courbes th^oriques les photographies 
(fig. 4 et 5) du faisceau anodique plac^ dans les conditions de 
champs indiqu^es, aucun doute ne peut subsister: la forme du 
faisceau est exactement celle que la th^orie assigne k la marche 
des corpuscules (fig. 1)^, et n'a aucun rapport ayec celle que 
la th^orie indique pour la marche des ions positifs (fig. 2 et 3). 
On remarquera, en particulier, que la courbe d'entr^e dans le 
champ magn^tique se trouve sur les photographies du cöt6 de 
la cathode et non du cot^ de Tanode, comme cela devrait 
avoir lieu si la luminescence suivait la trajectoire des ions 
positifs. 

L'axe de Tappareil photographique colncidait ayec Taxe 



*) Pour le degr^ de raröfiEiction des tabes employds la chute de 
potentiel 4 la cathode 6tait de 200 k 800 volts. Cette quantit^ est n^gli- 
geable, au degr^ de pr^cision d^ir^, devant les 2800 yolti, ou plus, 
observ^s entre les ^lectrodes. 

') La partie n^buleuse que la Photographie da tube k hydrog^e 
präsente k Tentr^e du champ magnötique du c6t6 d^oüi viennent les cor- 
puscules me parait tenir k an commencement de magn^tofriction. Cette 
nebulosit^ n^existe pas sur les photographies du m§me tube faites poor 
des champs magn^tiques plus faibles. On n*en voit pas trace non plos 
sur la Photographie du tube k oxyg^ne. Ce gaz, comme je Tai montre, 
ne Bubit l'e£Fet de la magnetoMction qae pour des champs magn^tiques 
beaucoup plus intenses que Thydrog^ne. 



Formation du faisceau anodique. 159 

de la bobine produisant Ic champ; aussi les parois de celle-ci 
ont-elles empdchö de se dessincr sur la plaque ce qui se passait 
en dehors de la bobine. Du cot^ de la cathode, le tabe avait 
le meme aspect jusqu'ä Tentr^e a rint^rienr de la bobine que 
si celle-ci n'oxistait paa. Ceci montre bien qu'en dehors de 
la bobine le champ 6tait pratiquement nul. Mais le faisceau, 
resserrö contre la paroi du tube a Tint^rieur de la bobine, ä 
rext^rieur du cöt6 anodique s'^largissait; par une courbe 
limitant un de ses bords il gagnait la paroi oppos^e, et d^s 
lors remplissait toute la section du tube. Ce ph^nomene ^tait 
fädle k prtfvoir, et il est indiquö sur les figures th^oriques 
I9 2 et 8. 

En rösum^, Tillumination du gaz d^signde sous le nom 
de faisceau anodique suit la trajectoire des corpuscules et non 
la tngectoire des ions positifs. II est donc legitime de con- 
clore de la que ce sont les corpuscules qui par leur choc 
contre les mol^cules du gaz donnent lieu ä la luminescence 
do faisceau anodique, comme ä celle du faisceau cathodique. 
L'aspect dissemblable des deux faisceaux pourrait s'expliquer 
par une diffSrence dans Fintensit^ des chocs due a une 
difffirence de vitesse. 

<£ingegangen 31. Juli 1903.) 



160 



23. Über eine fiöntgenröhre mit TeriLnderlichem 
Härtegrad nnd Aber einen nenen Härtemesser. 

Von A. Wehnelt in Erlangen. 



Den Härtegrad einer Röntgenröhre beurteilt man im 
allgemeinen nach dem Entladungspotential derselben , aus- 
gedrückt durch die Schlagweite einer der Röhre parallel ge- 
schalteten Funkenstrecke. Mit zunehmender Härte , also mit 
zunehmendem Entladungspotential; wächst die Geschwindigkeit 
der Kathodenstrahlen und damit die Durchdringungskraft der 
Röntgenstrahlen. 

Die Herstellung verschiedener Härtegrade wird bei der 
Fabrikation der Röhren durch passende Wahl des Vakuums 
erreicht. Während des Betriebes zeigen jedoch die Röntgen- 
röhren durch Absorption des Gases eine starke Selbstevakuie- 
rung und werden dadurch härter. 

Um die Röhren wieder auf ihren ursprünglichen Härte- 
grad zu bringen^ sind eine Reihe von Vorrichtungen ersonnen 
worden, die mehr oder minder ihren Zweck erfQlIen. 

Sie beruhen teils auf Änderung des Druckes ^) im Rohr, 
teils auf einer elektrostatischen Beeinflussung ^ des Eathoden- 
strahlenbündels von außen und teils auf an passender Stelle 
eingeschalteten Funkenstrecken. ^ 

In einer Arbeit über den dunklen Kathodenraum ^) habe 
ich die sehr eigenartige Erscheinung eingehend verfolgt , daB 
in einem zylindrischen Entladungsrohr mit scheibenförmiger 



1) B. Walter, Elektrotechn. Zeitschr. 18. p. 10. 1897; Ed. Guil- 
laame, La Nature 26. 2. Sem. p. 161--162. 1898; Siemens &Halske, 
Mechaniker b. p. 87. 1897. 

2) Wm. W. Graves, The Americ. X-ray Jonm. 4^ p. 241. 1898; 
A. Berliner, Elektrotechn. Zeitschr. IS. p. 81—82. 1897. 

8) Wm. W. Graves. 1. c; F. Dessauer, Med. Centralzeit 71. 
p. 527—628. 1902. 

4) A. Wehnelt, Wicd. Ann. 65. p. 511—542. 1898. 



über BSntgenröhren und Härtemesser. 161 

Kathode mit abnehmendem Drucke das an der Kathode auf- 
tretende Strahlenbflndel immer mehr nach der Mitte zu- 
sammengedrängt wird. Der immer geringer werdende Quer- 
schnitt des Bündels bedingt ein ständiges Wachsen des Ka- 
thodenfidles. Bei YöUiger Zusammendrängung des Bündels 
werden die ElnÜadungen disruptiv und die Kathodenstrahlen 
sind stark entwickelt 

In einer späteren Arbeit ^) habe ich gezeigt^ daß das Zu- 
sammendrängen des Kathodenstrahlenbündels durch starke 
Potentialdifferenzen verursacht wird, die zwischen den Rohr- 
wandnngen und der Mitte des Rohres vorhanden sind. Der 
Sinn des G^ftlles ist der^ daß die auf die Kathode zueilenden 




Fig. 1. 

positiven Teilchen (Kanalstrahlen) nach der Mitte zusammen- 
gedrängt werden müssen. Da negative Teilchen überwiegend 
nur dort ausgesandt werden, wo positive Teilchen auf die Ka- 
thode auftreffen, so nimmt gleichzeitig mit dem Kanalstrahlen- 
bündel auch das Kathodenstrahlenbündel an Querschnitt ab. 

Da die Potentialdifferenz von der Rohrwand zur Mitte 
fast nur vom Drucke abhängt, so folgt daraus, daß bei engen 
Röhren viel früher eine Abschnürung des Kathodenbündels 
eintreten muß, als bei weiten Röhren. Demgemäß steigt auch 
mit abnehmendem Druck das Entladungspotential in engen 
Röhren weit schneller, als in weiten Röhren. 

Diese Ergebnisse veranlaßten mich zu untersuchen, ob 
dorch Änderungen des Rohrdurchmessers um die Kathode bei 



1) A. Wehnelt, Ann. d. Phys. 10. p. 542—580. 1903 und Physik. 
ZeitMlir. & p. 51S— 587. 1901. 

BottmaB-FwlMbrUi H 



162 



Ä. Wehnelt 



konstantem Druck eine starke Variation des ICntladungs- 
potentiales, d. h. eine starke Geschwindigkeitsänderung der 
Kathodenstrahlen und damit zusammenhängend eine Variation 
der Durchdringungskraft der Röntgenstrahlen zu erzielen seL 

Zu diesem Zwecke benutzte ich ein kugelförmiges Ent- 
landungsrohr (Fig. 1) von 12 cm Durchmesser. Dasselbe ent- 
hielt eine Anode A und eine Kathode K von 2 cm Durch- 
messer, deren Zuleitungsdraht durch ein Glasrohr isoliert war. 
Über dieses ßohr war leicht verschiebbar ein zweites etwas 
weiteres Rohr R angebracht mit einem erweiterten Ansatz- 
rohr By dessen innerer Durchmesser 2,2 cm war. Durch 
Neigen des Entladungsrohres konnte man bewirken, daß das 
Ansatzrohr B mehr oder weniger über die Kathode geschoben 
werden konnte. 

EiS wurden bei verschiedenen Drucken mit Hilfe der 
Sonde 8 die Kathodenpotentiale gemessen, wenn das Rohr B 
mehr oder weniger über die Kathode geschoben war. Als 
Stromquelle diente eine 20 plattige Influenzmaschine; die Po- 
tentiale wurden mit Braunschen Elektrometern, die Drucke 
mit dem Mc Leod-Manometer gemessen. 

Folgende Tabelle enthält die Resultate: 

Tabelle I. 



Druck 


Kathodenfall in Volt, wenn die Länge des über die 


in 


Kathode geschobenen Ansatzrohres B war 


mm Hg 


- 1 cm») 


cm«) 


+ 1 cm 


+ 2 cm 


+ 8 cm 


+ 4 cm 


+ 5 cm 


0,096 i 


1 750 ' 920 

i 


1210 


1800 


1290 


1800 


1810 


0,064 1 


' 800 


1100 


1900 


2200 


2800 


2400 


2800 


0,04 


1100 


1800 


2700 


8500 


4000 


4000 


4100 


0,025 


1800 


1900 


8400 


4800 


5600 


6000 


6200 


0,019 


1500 


2000 


4100 


6400 


7500 


7700 


8000 



Zur Veranschaulichung der in der Tabelle enthaltenen 
Werte diene die Kurve Fig. 2. Als Abszissen sind die Längen^ 



1) Der negative Wert — 1 cm bedeutet, daß das Ende des Rohres B 
sich noch 1 cm hinter der Kathode befand, dieselbe also vom und hinten 
völlig frei war. Der Wert Null soll bedeuten, daß das Ende des Rohres B 
gerade in der Kathodenebene liegt, letztere also hinten gegen Entladungen 
geschützt ist. 



Ober RSntgenrSkren tau/ ffärtemetter. 163 

um welche das Bohr B über die Kathode hinausragt, als 
Ordioaten der jeweils dazu gehörige Eathodenfall aufgetragen. 
Die Karren zeigeo folgendes: 

1. Bei freier Kathode steigt mit abDehmendem Druck der 
KathodeD&ll nur sehr langBam an. Während sich z. B. der 
Dmok TOtt 0,096 mm bis 0,019 mm ändert, also circa auf ■/; 
sinkt, steigt der Eathodenfall nur von 750 Volt auf 1500 Volt, 
also um das Doppelte. 

2. Je tiefer sich die Kathode im Rohr S befindet, um so 
st&rker w&chst der Kathodenfall mit abnehmendem Druck. 
Betindet sich z. B. dieKa- t 
tbode 5 cm tief im Rohr J3, 
so steigt der Kathodeofall ' 
Ton 1210 Volt bis 8000 Volt, ^ 
also nm das 6,6 fache, wäh- 
rend der Dmck anf ^/^ sinkt ' 

S. Betrachtet man den ^ 
Verlanf der Kurren, so 
sieht man, daß der Ka- * 
tbodenfall bereits steigt, , 
wenn das Rohr B sich der 
BOokseite der Kathode ^ 
D&bert Es hat dies seinen , 
Grand darin, daß die Rück- 
seite der Kathode nun nicht 
mehr an der Entladung teil- 
nehmen kann, letztere sich 





















^ 




" 








1 












/ 










1/ 












'. 


^ 












_i_ 




— 


^ 


<y 




' 



















Rg. 2. 



also anf der Vorderseite der Kathode, also auf einen kleineren 
Querscbnitt zusammendrilngen muß. 

Die Kurren steigen am steilsten an, wenn das Rohr B 
nnr wenig über die Kathode hervorragt, und nähern sich 
ujmptotiach einem Haxünam, welches sie erreicht haben, wenn 
der ganze dunkle Kathodeuraum sich im Rohr B befindet. 
Diejenigen Stellungen des Rohres B, bei der dies gerade der 
Fall ist, sind in den Kurven durch kurze gestrichelte, TCrtikalc 
Linien angedeutet Ein noch weiteres Verrilcken des Rohres B 
ober die Kathode hat dann keinen Einfluß mehr. 

Dieses Resultat steht in vollem EinklHOg mit früheren 
Untersadtangen tou mir Über die Gestult der Niveaufläclien 

W" 



164 A. Wehnelt 

au ebenen Kathoden. ') Ich fand, daB die Niveauflächen keines- 
wegs zur Eatbode parallele Bbeaea, Bondern eigentümlicti aus- 
gebauchte Flächen bildeten, d, h. daß Potentialdifferenzen in 
jedem Querschnitt eines Eohree zwischen Rohrwandung und 
der Achse des Rohres bestehen. Die stärksten Potential- 
difFerenzen finden sich in nnmittelbarer Nähe der Kathode, es 
muß also an diesen Stellen die Bohrwand das stärkst« Zu- 
sammendrängen der Strablenbtlndel an der Kathode bewirken. 
Glegen £^de des dunklen Kathodenraumea , also nahe dem 
Glimmlicht, sind die Niveautlächen nahezu znr Kathode parallele 
Flächen, d. h. es sind hier nur noch geringe Potentialdifferenzen 
zwischen Rohrwand und Rohrachse Torhanden, daher ist hier 




der Einfluß der Glaswandungen auf den Kathodenfall nur noch 
gering. 

Befindet sich schließlich der ganze dunkle Katbodenraum 
im Rohre B, so hat eine weitere Verschiebung desselben keinerlei 
Einfluß mehr auf den Kathodenfall. 

Auf Grund dieser Versuche hat Hr. W. Berger, In- 
genieur der Firma Reiniger, Gebbert & Schall, Erlangen, 
dem ich an dieser Stelle meinen besten Dank für seine Be- 
mühungen ausspreche, ein Röntgenrohr konstruiert, bei welchem 
sich über die Kathode , genau wie bei dem Versuchrobr 
(Fig. 1, p. 161], ein Bohr S durch Neigen des Rohres und 
sanftes Klo])fen an den Kathodenhals vor- und rUckwärts Ter- 
schieben läßt [Fig. 3). 



1) A. Wehnelt, Ann. d. Phj's. 10. p. Mi— 580. 1801 und PbTsUt. 
Z«it>clir. 8. p. 518— Ü2T. 1901. 



über Röntgenröhren und Härtemesser, 



165 



Diese Regulierung ermöglicht es, mit demselben Rohre 
sehr weiche nnd sehr harte Röntgenstrahlen zu erzeugen. 
Ist das Rohr B zurückgezogen, d. h. die Kathode frei, so zeigt 
die Röntgenröhre blanes Licht und ist nun ganz besonders 
geeignet zur kontrastreichen Auüiahme dünner Objekte (Hände, 
Arme). In dem Maße, wie das Rohr B über die Kathode 
herübergeschoben wird, werden die Strahlen durchdringender, 
so daß mit demselben Rohre auch Beckendurchleuchtungen 
ausgef&hrt werden können. 

Zur Veranschaulichung der Regulierfähigkeit der neuen 
Röhren habe ich einige Härtemessungen nach den oben an- 
gegebenen Prinzipien angestellt 

Als Stromquelle diente ein Induktorium für 30 cm Funken- 
länge, als Unterbrecher ein Turbinenunterbrecher der Allge- 
meinen £lektrizitätsgesellschaft Berlin. Die Unterbrechungs- 
zahl betrug immer 50 pro Sekunde. 

Bei der gleichen primären Stromstärke im Induktorium 
worden die Funkenlängen gemessen, wenn sich die Kathode 
frei im Rohre befand und wenn sie vom Rohre B bedeckt 
war. Die ersten vier Versuchsreihen nachstehender Tabelle 
beziehen sich auf dasselbe Rohr bei verschieden starken Primär- 
strömen. Die letzten drei Messungen beziehen sich auf drei 
weitere Röhren. Neben den Funkenlängen sind in der Tabelle 
die denselben entsprechenden Potentialdifferenzen ^) angegeben. 

Tabelle IL 



PrimAre Strom- 
stirke im 


FankenUnge in cm, 
wenn die Kathode 


Fankenpotentiale in Volt, 
wenn die Kathode 


Indoktoriom 


frei 
2,6 


- - -. 


bedeckt 
8,2 


frei 
19 000 


bedeckt 


1. 1 Amp. 


22 500 


«. 2,2 „ 


7,2 




8,7 


88 000 


42 000 


S. 8,2 „ 


10,0 




15 


45 400 


57 500 


4.4,7 „ 


11,8 




18,2 


49 000 


66 000 


5. \fi „ 


8,4 




8,6 


24 000 


41 5(H) 


6. 2,0 „ 


4,8 




11,5 


29 000 


48 (KH) 


7. 8,0 „ 


8,0 


1 


24,0 


22 000 


V 

• 



1) Die den Fankenstrecken entsj^recheuden Potentialdifferenzcn 
habe ich den Tabellen des Hrn. A. verbeck, Wied. Ann. 64. p. 2uS. 
1898 entnommen. 



166 A. Wehnelt 

Aus dieser Tabelle folgt, daß die Funkenlängen und da- 
mit die Durchdringungskraft der Röntgenstrahlen bei yor- 
geschobenem Bohr B wesentlich größer sind, als bei freier 
Kathode und zwar ändert sich die Funkenlänge beim ersten 
Rohr je nach der Belastung um das 1,2- bis 1,6 fache, bei den 
andern Bohren sogar um das 2,5- bis 8 fache. 

Zur Beurteilung der Härte von Böntgenröhren benutzt 
man neuerdings das Badiochromometer von L. Benoist^) Das 
Prinzip dieses Apparates ist folgendes: 

Nach Benoist ändert sich die Durchlässigkeit yon Silber 
nur sehr wenig, diejenige von Aluminium hingegen sehr stark 
mit der Härte der Böntgenstrahlen. Er vergleicht daher die 
Helligkeit eines Leuchtschirmes hinter einem 0,11 mm dicken 
Silberblech mit derjenigen hinter verschieden dicken Aluminium- 
blechen (12 Stück von 1 mm bis 12 mm Dicke von 1 zu 1 mm 
steigend). Weiche Böntgenstrahlen werden schon in dünnen 
Aluminiumschichten ebenso stark wie in Silber absorbiert, 
harte Strahlen erst in sehr viel dickeren Aluminiumschichten. 

Diejenige Dicke des Aluminiumbleches, hinter welchem 
der Leuchtschirm ebenso stark leuchtet, wie hinter der 0,11 mm 
dicken Silberplatte, gibt ein Maß fiir die Beurteilung der 
Härte einer Böntgenröhre. 

Der Apparat ist so angeordnet, daß die 12 verschieden 
dicken Alumininmplatten als Bingsektoren um eine kreisförmige, 
0,11 mm dicke Silberplatte herumliegen. 

Hr. B. Walter*) hat den Apparat dadurch verbessert, 
daß er die Dicken der Aluminiumbleche in arithmetischer Reihe 
zweiter Ordnung ansteigen läßt, dadurch werden die Kontraste 
auch zwischen den dickeren Schichten noch hinlänglich groß. 
Er behält jedoch die kreisförmige Anordnung von Benoist 
bei, welche ungünstig ist, da die simultanen Kontraste eine 
genaue Beurteilung der Stellen gleicher Helligkeit sehr er- 
schweren. 

Diesen Ubelstand habe ich vermieden durch folgende Ab- 
änderung des Apparates. 



1) L. Benoist, Compt rend. 134. p. 225—227. 1902. 

2) B. Walter, Fortschr. a. d. elektr. Grebiet der Böntgenstrahlen %. 
p. 68. 1902. 



über RÖiUgenrÖhreJi und Uärtemesser, 



167 



IL 



Statt einer spningwcisen Änderung der Dicke des Alu- 
miniambleches benutze ich einen Alominiumkeil von 20 cm 
Länge [K, Fig. 4, zeigt den Querschnitt^ K^ zeigt den Keil ?on 
der Seite gesehen), dessen Dicke nach einer arithmetischen Reihe 
zweiter Ordnung von 0,1cm bis 1,6 cm 
an seinem dicken Ende ansteigt Neben 
diesem Keil liegt eine Silberplatte von 
0,01 cm Dicke und 1 cm Breite. Dieses 
System 2 aus zwei Metallen läßt sich 
an einem 0,5 cm breiten und 2 cm hohen 
Spalt S in einer dicken Messingplatte 
vorbeiziehen, die sich amEmde eines weiten 
Rohres R beiindet, welches dazu dient, 
fremdes Licht von den Augen fem zu 
halten. Zwischen JS und dem Spalt liegt 
ein Leuchtschirm B, Durch Verschieben 
von 2 kann man leicht die Stelle finden, 
bei der die obere vom Aluminiumkeil be- 
deckte Spalth&lfte die gleiche Helligkeit mit der unteren vom 
Silber bedeckten Spalthälfte zeigt. Die Einstellung läßt sich 
sehr genau ausführen, da nur auf gleiche Helligkeit zweier 
ITlächen eingestellt wird, bei völliger Abwesenheit hellerer 
und dunklerer Stellen. Die mittlere Dicke des Keiles zwischen 
den Spaltr&ndem gibt ein Maß für die Härte von Röntgen- 
röhren. 

Der Apparat, der von der Firma Reiniger, öebbert & 
Schall in Erlangen angefertigt wird, hat sich bisher durch- 
aus bewährt. 

Erlangen, Phys. Inst d. Univ., Juli 1903. 




Fig. 4. 



(EingegaDgeu 81. Juli 1908.) 



168 



24. Elektrische Strömung in einem ionisierten Lufi^ 
ranme, der Yon zwei konzentrischen Zylinderflächen 

begrenzt ist 

Von Eduard Rieoke in Gröttingen. 



1. Der B&ttdgungSBtrom. 

Der Halbmesser des inneren Zylinders sei b, der des 
äußeren a; das elektrische Potential des inneren By das des 
äußeren Null. Bezeichnet r den Abstand irgend eines Punktes 
im Inneren des zylindrischen Hohlraumes von der gemeinsamen 
Achse der Zylinder^ so ist der Wert des Potentiales in diesem 
Punkte: 

log- 

log^ 

Für den Fall des Sättigungsstromes ergeben sich, wenn 
wir die auch sonst gebrauchten Bezeichnungen benutzen^ die 
folgenden Gleichungen: 

V e div e 



ive« 


c 


Jve = 


c 


BV(Ü •{• V) 



+ 



+ 



ü •{• V 4we 

u d div e 



div(ediv®) = 4;i8-?^y 



+ V 
UV 



+ 
Die lonendichten N und N, sowie die Feldstärke @ sind 

lediglich abhängig von der Entfernung r = j/x* + y', von der 

Zylinderachse. Somit ergibt sich: 

diT(£-«+^, diy((gdiv(£)-^^* + |.^. 

r dr ' ^ ' 2r dr ^ dr^ 

Zur Bestimmung von @^ erhält man daher: 

dr^ r dr v U V ^ 



EUhirüche Strömung in ionisiertem Lufträume. 169 

daraus folgt: 

Zur Berechnung der Integrationskonstanten c^ und c^ er- 
geben sich die folgenden Bedingungen. An der Oberfläche des 
inneren Zylinders wirkt nur die auf diesem selber befindliche 
Ladung. Die Menge von Elektrizität^ welche auf einem Zylinder- 
abschnitt von der Länge 1 verteilt ist, werde mit e bezeichnet. 
Dann ist die elektrische Feldstärke an der Oberfläche des 
inneren Zylinders gegeben durch: 



«. = ^ 



Wir haben also: 



Die zweite Grenzbedingung ist: 

Daraus folgt: 

Substituiert man diesen Wert in der vorhergehenden Glei- 
chung^ so ergibt sich: 

e, = 4c* + ~y- + nt~^yqb\ 
und: 

£2ndlich zur Bestimmulig der lonisierungsstärke q: 
(3) Äc» = i«y(a*-*«). 

2. Nicht gans gee&ttiffter Strom. 
Bei einem nicht ganz gesättigten Strome tritt an die Stelle 
der letzten Gleichung die folgende: 



170 E. Rieche. 



a 

+ - 



(4) *C^ = i«7i(«^- b^-uBJNNrdr, 

b 

wo a den Koeffizienten der Wiedervereinigung, y, den ver- 
besserten Wert der lonisiernngsstärke bezeichnet. 

+ 
Setzt man hier für N und N die aus dem vorhergehenden 

folgenden Werte, so ergibt sich: 

a 

Benützt man für @^ den ersten Näherungswert 
80 erhält man die Gleichung: 

Die Berücksichtigung der höheren Glieder in dem Aus- 

+ 
drucke für & ist überflüssig, solange man für N(S und iV(S 

die in den Gleichungen (2) gegebenen Werte nimmt. 

Setzt man an Stelle von b Cj den Ausdruck j- fi y (a^ — b*), 

so wird: 

(^^ ? = 9i - -96^^. («' - *^'- 

um zu ^ner vollstäruligeren Entwickelung der Gleichungen 
(4) und (4') zu gelangen, wollen wir zunächst in den Grund- 
gleichungen des Problems in den Gliedern, welche den Ko- 
effizienten a und die Koeffizienten der Diffusion enthalten, an 

+ 
Stelle von iV und N die durch die Gleichungen (2) bestimmten 

Werte einfuhren. Wir erhalten dann das folgende System von 
Gleichungen: 

divgj =4^€(i^i -iVj), 
Bv[UN^ + FN,)Q, = c + «~(A J^- kN), 

V i/div(.A^, ej = y, - a A^JV + * ^ i^, 
- V rdiv [N^ ej = yi - « A^V + /T J A . 



Elektrische Strömung in ionisiertem Lufträume. 171 

Mit BOcksicht auf die schon im yorhergeheiiden ange- 
gebenen Grenzbedingungen ergeben sich die Integrale: 



(5) 



• _ _ 

JV ffi - '• ri"* -\\ - " y~ fNÜrdr - ■'^- ~ 



r 
a 



|«y,(a» — Ä*) = iCj + at^NNrdr, 



(«) 



« r 

+ - / + - 



(gj = ««+2;r8-^,t/ra -/, ^!/ I rNNdr^2l rNNdr 



6 

r 



+ fjfr^NJVdr 



+ 



h 

+ : + - 

8; 






6 

Setzen wir zur Abkürzung: 

m r r 



li..—*:'/-. IrNNdr -21 r 



p _ li-.—';'/-. r^Ndr-2 rNNdr+ \ r'NA'dr 
" ' J J "J 

b b h 

p-^jr^äj^flldr. 

h 

a r 

^1 =" i [^irz^J^Nrdr ^JNNrdr] , 



» 6 



*» =' r {$^/^'^' '•'''• -j^A'rdr] . 



172 E. Biecke. 

80 können wir einfacher schreiben: 

Man kann nun eine noch weitere Annäherung erreichen^ 

+ 
wenn man in den allgemeinen Gleichungen an Stelle von N 

und N in allen mit a^ K oder K multiplizierten Gliedern die 

+ 
Werte N^ und N^ einführt. Es möge dies bei der Gleichung 

a 

(7) \iq^[a^-b^ = bt^ + atJN,N^rdr 

h 

weiter ausgeführt werden. 
Zunächst wird: 

«* iüNR^+VNK^ o NNP\ 

+ Vüv \ g 2^ • "e«~l ' 

näherungs weise: 

aN^N^^aNN + a^ ^L___.x. 

Da ic^ = ■J-8y(a* — Ä*), so ergibt sich: 



• + 



fr fr 

Berechnet man die Integrale mit Hilfe der Werte ^ die 
früher fiLr die unter den Integralzeichen enthaltenen GrOBen 
angegeben wurden^ so erhält man die Näherungsformel: 



EUktriMche Strömung in ionisiertem Lufträume, 173 

Benützt man sie zu der Berechnung von a, so ergibt sich : 

(8) a = '^^"^ • ^'-^^ f 1 - 0,2 ?yr ^) . 

Bezeichnet man die Dichte des Sättigungsstromes an der 
Oberfläche des inneren Zylinders mit S^, die Dichte des 
wirklich beobachteten Stromes mit c^, so kann man die ge- 
fundene Gleichung auch auf die Form bringen: 

(80 a = ^:'\lr^ - ^* -^ f 1 - 0,2 •?'-.'') . 

(EiDgegangen 2. August 1903.) 



174 



25. Theorie eines bewegten lenchtenden Ponktes. 

Von W. Wien in Wünbuig. 



Nachdem Boltzmann^) den von Maxwell aus der elektro- 
magnetischen Lichttheorie gefolgerten Strahlungsdruck mit dem 
zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie in Ver- 
bindung gebracht hat, ist dieser Druck zu einem wichtigen 
Fundament für die Theorie der Strahlung geworden. Aus ihm 
berechnet sich ohne weiteres die Arbeitsleistung, die zur Be- 
wegung eines strahlenden Flächenelementes notwendig ist Diese 
ist unendlich groß, wenn das Flächenstück mit Lichtgeschwindig- 
keit bewegt wird. 

Anders gestaltet sich die Frage, wenn es sich nicht um 
die Bewegung eines strahlenden Flächenstückes, sondern eines 
einzelnen Zentrums handelt, das elektromagnetische Strahlung 
aussendet 

Der einfachste Fall eines solchen strahlenden Zentrums, 
das man sich entweder als einen beständig die Ladung wechseln- 
den elektrischen Doppelpunkt, oder als einen sehr kleinen, 
Schwingungen ausführenden elektrisierten Punkt vorstellen kann, 
ist von H. Hertz ^ theoretisch behandelt. Es fragt sich nun, 
wie die Strahlung eines solchen Zentrums durch die Bewegung 
geändert wird. 

Wir können zur Lösung dieser Aufgabe von den Lorentz- 
schen Gleichungen^ ausgehen, obwohl sich diese auch um- 
gehen lassen, worauf hier indessen nicht näher eingegangen 
werden soll. 

Die Lorentz sehen Gleichungen lauten, wenn wir mit S 
und ^ den elektrischen und magnetischen Vektor, mit c die 
Lichtgeschwindigkeit bezeichnen, für einen mit der Geschwindig- 
keit V in der Richtung x sich fortbewegenden Körper 



1) L. Boltzmann, Wied. Ann. 22. p. 291. 1884. 

2) H. Hertz, Wied. Ann. 36. p. 1. 1889. 

3) H. A. Lorentz, Versuch einer Theorie der elektrischen and 
optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. Leiden 1895. 



Theorie eines betreff ten leuchtenden Punktes. 175 

Ist die Geschwindigkeit v konstant, so ergibt die Trennung 
von S und ^ in der bekannten Weise die Gleichung 

Eine Integration dieser Gleichung ergibt die Verallgemeinerung 
eines für ruhende Körper geltenden Zustandes^ für den v = 
ist, auf den Fall, daß dieser Zustand bei gleichförmiger Be- 
wegung stattiindet 

Ein allgemeines Integral der Gleichung (2) lautet: 



F[ckt--^^.-r] 



WO 



Ä«=i-:;, r^^t+if'+^ 



ist. F ist eine beliebige Funktion eines Argumentes. Bei 
o s geht das Integral in die gewöhnliche Strahlungsinnktion 

F(c t- r) 

r 

über. Durch die Integration der Gleichung (2^ ist die Lösung 
des Problems noch nicht beendet. Vielmehr müssen die sechs 
Differentialgleichungen (1) erftlllt werden. Bei symmetrischer 
Anordnung des Feldes um eine Achse hat es keine Schwierig- 
keit, die Ausdrücke aufzustellen, die den Gleichungen (1) ge- 
nügen, sobald ein Integral von (2) gefunden ist 

Ist diese Symmetrie nicht vorhanden, so können Schwierig- 
keiten auftreten, weil sich dann nicht notwendig alle @ und ^ 
aus einer einzigen Funktion ableiten lassen, so daß die Ein- 
deutigkeit der Lösung dann einer besonderen Untersuchung 
bedarf. 

Theorie einei bewegten in der Richtung der Bewegung 

Bchwingenden Dipols. 

Für die Theorie der elektromagnetischen Strahlung ist 
die Hertzsche Theorie eines schwindenden elektrischiMi Dipols 
maBgebend. Diese ist für die Bewegung zu verallgemeinern. 



176 r. Wien. 

Zunächst betrachten wir den Fall, daß die Schvnngung in der 
Richtung der Bewegung erfolgt. Wir setzen 

g d*q> ^ \ ( d*q) .. ö'fjp 

y "^ dxdp 



^y e\dxdt dxdxj' 



(5 — _ ^*?_ Ä — 1 / d"<p 

Dann ist di? (S = und div ^ = identisch erfüllt und 
die Gleichungen (1) sind zum Teil identisch, zum Teil dann 
erfüllt, wenn die Funktion der Gleichung (2) Genüge leistet 

Als Lösung für (p nehmen wir die Funktion 



,,= Aco8*(*c*-|?-r), 



X* 



r» = y» + z» + ^. 
In der Nähe des Punktes r = ist 

CD = —r cos bkct, 

^ rk 

q> genügt der Gleichung 
und wir haben 

«.=-»'Ä(lf). «.--Ä(tI). «.--Ä(lf). 

so daß wir ein elektrisches Eonvektionspotential von der Form 

-r- COS bkct^— 
k ox 

haben. Dies entspricht einem elektrischen Dipol vom Moment Ä, 
der mit der Schwingungszahl n=^ bkc schwingt 

Für ^ s geht die Lösung in die eines mit der Ge- 
schwindigkeit V bewegten konstant geladenen Dipols nach der 
Theorie von Heaviside^) über. 

Für die elektrischen und magnetischen Vektoren ergeben 
sich hiemach ziemlich verwickelte Ausdrücke. Sie sind jedoch 
von geringerem Interesse. Von Wichtigkeit ist hauptsächlich 



1) 0. Heaviside, Electr. papera 2. p. 495. 



Thitorie eines bewegten leuchtenden Fnnktes, 177 

der Betrag der elektromagnetischen Strahlung in großer Ent- 
fernung vom strahlenden Funkt 

Unter der Voraussetzung, daß r groß gegen \jb ist, braucht 
man nur nach den im Argument des cos enthaltenen Yariabeln 
zu di£ferenzieren. Dann ergibt sich, wenn wir 



setzen 



b[hct-*^^-T) = a 



rt- Avb* y , Ab^xy 

% = ^1^- ^ C08« + ii "TT COS«' 

- Ab* X ( , X \ 

- Ab* y ( , X \ 

Die ausgestrahlte Energie berechnen wir nach dem 
Poyntingschen Satz, indem wir den Strömungsvektor über 
eine geschlossene, sehr weit vom strahlenden Punkt entfernte 
Fläche integrieren. 

Wir wählen für diese Fläche ein EHlipsoid mit der 
Gleichung 

5 + y* + ^* = r* 

mit der Vorschrift, daß r gegen alle anderen in Betracht 
kommenden Längen unendlich groß ist 

Wir haben es dann mit einem Rotationsellipsoid zu tun, 
das in der Richtung der Bewegung um so mehr abgeplattet ist, 
je schneller die Bewegung erfolgt. 

Um die gesamte Ausstrahlung zu finden, müssen wir dann 
das Integral 



p 



d(o (@, cos N^ + @ cos iV + B, cos A,) 

über die Fläche des Ellipsoids erstrecken, wenn 3 den 
Poyntingschen Vektor bezeichnet 

Nennen wir q die Größe j/y* + r*^ so ist das Flächeu- 
element des EUlipsoids 

BottauuBn-FaHMfarlft 1'^ 



178 r. Wien. 

wo der Umdrehungswinkel der Ellipse x^jk^ + p» »_ ^.a ^^ 
die IT- Achse und ds das Linienelement dieser Ellipse ist. 
Nun ist 

cosiV;=^ y = psine, 

cos iV^ = — -r^ z = p cos ö . 

Ferner 

cos JV^j^ = cos i\^ sin , 

cos N^ = cos Nf, cos , 

Setzen wir nun noch auf der Oberfläche des ElUpsoids, wo 
r = const». ist 

p = r sin !?• do = r cos ^dd- 

X = rk cos 0- dx == — rk sind-dO- , 

so ist 



2.T 



r@ r/oi =Jdefd&{r^ cos i^ sin //©, + >lr* sin^ & sin 06^ 



+ Är2 8in»i9-cos0@,}. 
Femer ist 

Nehmen wir das Integral über eine ganze Schwingung und 
dividieren durch die Schwingungsdauer, so ist 



bke 





die in der Zeiteinheit im Mittel ausgestrahlte Energie. 

Für ü = c wird S unendlich, wenn nicht b mindestens von 
der Ordnung k unendlich klein wird. 



Theorie eines bewegten leuchtenden Punktes, 179 

Theoria eines eenkreoht aar Bewefiningsrichtang eohwingenden 

Dipols« 

Die oben gefundene Lösung fär eine longitudinale Schwin- 
gung schließt sich unmittelbar der Heavisid eschen Lösung 
f&r eine bewegte Ladung an. In der Tat erhalten wir die 
Heavisideschen Ausdrücke für einen in der Richtung der Be- 
wegung liegenden Dipol ^ wenn wir die Schwingungszahl un- 
endlich klein wählen. 

£^ ist nun sehr bemerkcDSwert und f&r den weiteren 
Ausbau der Theorie bewegter Ladungen von großer Wichtig- 
keit, daß für einen transversal schwingenden Dipol die Lösung, 
welche sich den Heaviside sehen Ausdrücken für einen mit 
konstanter Geschwindigkeit fortschreitenden Dipol anschließen 
würde, den allgemeinen Maxwellschen Gleichungen nicht ge- 
nügt, sondern einer Ergänzung bedarf durch ein elektrisches 
Feld, das für unendlich langsame SchwiDgungen nicht ver- 
schwindet 

Setzen wir 

®. = - **/'J . 

• oxox 

ff _ _ ^*<r 

^y" dydx' 

so hätten wir für (p = const/r, da dann die Gleichung 

dx^ "^ dy* dx* 

erlUllt ist, 

was der Heavisideschen Lösung für einen Dipol entsprechen 
würde, dessen Achse parallel der z Achse liegt. 

Mit diesen Ausdrücken läßt sich aber das System unserer 
Gleichungen im Falle einer Schwingung nicht erfüllen. Viel- 
mehr müssen wir setzen 

ff = — Ä« d* g) _^ r" ö* <jp _ __ d*(f 
« dxdx c^öxdx dxdx ^ 

" dydx' 
ff « A«^'5 4- ^^^ j. ^'^*9> :_ 0*7 , o»v 

12* 



180 JT. Wien. 

^» c \dydt dyox]^ 

*» o\dxdt . ^dx*)' 

WO (p der Gleichung (2) zu genügen hat. Dann sind die 
Gleichungen (1) erf&llt 

Wir haben dann ein zweites elektrisches Feld mit den 
Komponenten 



e.-- 


e^dx [dxj' 


e.= 


e^dx [dx)' 


e. = o. 


■ 



das sich über das erste lagert Diese Kraftlinien sind sämtlich 
parallel der xz Ebene. Sie werden durch die Gleichungen 

^ =s const. 
ox 

dargestellt Es sind dies also keine Linien^ die an einer 
Ladung im endlichen enden, sondern Kurven, die in sich 
zurücklaufen. 

Auf diese Weise erhalten wir für einen Dipol, der senk- 
recht zu seiner Achse bewegt wird, zwei mögliche Lösungen: 
Einmal die durch die Heavisidesche Lösung bestimmte 

ff - A li^\ ^ — 1 i_ (^^\ 

«' dy\dxr *^y- edx[dx)' 



e = - 



dx 



/d^\ Ä _ V d (dgf\ 
[dx)' ^« c dy\dx)' 



und anderseits aus unserer Lösung, wenn wir qp als unabhängig 
von der Zeit annehmen 

ff ^ (i^\ 

^•~ dx\dx)' 

S. - - 8T (k) • 

/y d_ (d(p\ v*d*q> __d*q) d^ 

^''" dx\dx) '^'o^dx^ dx*'^dy*' 



Theorie eines bewegten leuchtenden Punktes, 181 






e dydx * 
~ed^' 



$. =0, qp= ~ . 

Man sieht ohne weiteres durch E^insetzen in die Glei- 
chungen (1), daB anch diese Lösung möglich ist 

Diese zweite Lösung ist dadurch ausgezeichnet, daß bei 
ihr keine magnetischen Kraftlinien um die x-Achse vorhanden 
sind. Unter welchen umständen sie den tatsächlichen Ver- 
hältnissen entspricht, mag vorläufig dahingestellt bleiben. 

Für den Fall der Schwingungen des Dipols ist diese 
Lösung die einzige, die den Gleichungen genügt Wir haben 
dann die in sich zurücklaufenden elektrischen Kraftlinien an- 
zunehmen, welche die magnetischen Kraftlinien um die x- Achse 
zum Verschwinden bringen. 

In großer Entfernung ist in diesem Falle 



«.= 



j(b*v , b*x\ X 



ej b*yx 



-. jb^COBa ix* V , V X (. v^\ 

Bilden wir hieraus @^ @^ @^ und dann 



Cd efd & {r* cos » sin i9- @, + A r» sin» * sin Ö S^ 



+ Ar»sin«i9-cose@J, 
so findet sich 

*» ll5 ^ 15 *• ^ 15 *♦ ^ 15 e' /» ^ ir. <•« k* ^ 15 c* H ' 



182 W. Wien. Theorie eines bewegten leuchtenden Punktes, 

Die Strahlung ist also bei transversaler Bewegung größer 
als bei longitudinaler und wird bei der ersteren auch bei kon- 
stantem bjk unendlich, sobald o = c ¥m:d. 

Dies Ergebnis steht im Gegensatz zu dem von Abraham 
gefundenen, wonach die longitudinale die transversale über- 
treffen soll. ^ 

Übrigens würde der gewöhnliche Maxwellsche Strahlungs- 
druck bei XJberschreitung der Lichtgeschwindigkeit unendliche 
Arbeitsleistung bedingen. 

Lassen wir parallele Strahlung von der Intensität e senk- 
recht auf einen Spiegel fallen, der der Richtung der Strahlen 
entgegengesetzt bewegt wird. Dann ist die Energiedichte 



2e , l dx,\ 1 



wo \pdx die durch Überwindung des Strahlungsdruckes ge- 
leistete Arbeit bezeichnet, die in Strahlung gleicher Sichtung 
verwandelt wird. 

Hieraus folgt, wenn äxfät^v ist 

Für r = c wird \p unendlich, weil die durch Arbeits- 
leistung entstandene Strahlung sich nicht von dem bewegten 
Spiegel fort ausbreiten kann. 

1) M. Abraham, Ann. d. Phys. 10. p. 156. 1908. 

(Eingegangen 2. August 1903.) 



183 



26. Über die Passivität des Nickels. 

Von M. Le Blano in Karlsruhe und Mario Q. Levi in Padua. 

(Mitteilung aus dem Institut für physikalbche 
Chemie and Elektrochemie der Technischen Hochschule Karlsruhe.) 



Während die Passmtät des Eisens der G^enstand zahl- 
reicher Arbeiten gewesen ist, und die zugehörige Literatur 
sehr reich ist^), hat man die Passivität des Nickels bisher 
wenig studiert. Wohl die erste Arbeit, die sich damit befaßt, 
ist die von Nickifes *): Über den passiven Zustand von Nickel 
und Kobalt. Dieser Forscher fand, daß Nickel und Kobalt 
in rauchender Salpetersäure eine Passivität von nur kurzer 
Dauer erlangten, außer wenn sie über einer Weingeistlampe 
oder im Kohlefeuer bis zum Anlaufen erhitzt wurden; dann 
wurde die Passivität stabil. In beiden Fällen erwiesen sie 
sich etwas weniger negativ als Eisen. Auch in gewöhnlicher 
Salpetersäure wurden sie schon passiv und vermochten auch 
Eisen in dieser Säure durch Berührung passiv zu machen. 

Abgesehen von kurzen gelegentlichen Bemerkungen ist 
dann unserem Wissen nach bis zum Jahre 1900 nichts mehr 
über die Passivität des Nickels bekannt gegeben worden; in 
diesem Jahre erschien die Untersuchung von Hittorf.^ Doch 
auch in ihr finden sich speziell über diesen Punkt nur kurze 
Andeutungen. Er maß die elektromotorische Kraft folgender 
Elemente : 



1) Die neuesten erst in den letzten zwei Jahren erschienenen Ar- 
beiten sind die von A. Finkelstein (Zeitschr. f. physik. Chem. 39. p. 91. 
1908), von C. Fredenhagen (Zeitschr. f physik. Chem. 4^. p. 1. 1908) 
und von M. Magd an (Zeitschr. f. Elektrochem. 9. p. 442. 1903). Daselbst 
finden sieh weitere Literaturangaben. 

2) Compt rend. 37* p. 284. 1853. Vgl. auch St Edme, Compt rend. 
10^ p. 1079. 1888. 

3) W. Hittorf, Zeitschr. f. physik. Chem. 34. p. 386. 1900. 



184 M. Le Blanc und M. 0. Zevi. 

Einige Zeit nach 
Vor Stromschlnß Stromschlofi 

Ni-NaNOg-LöBung— H,CrO-Lö8ung-Pt 1,48 Volt 1,16 Volt 

Ni-KjCrsO,- „ „ „ „ 0,85 „ 0,27 „ 

Ni-NaC,H30,- „ „ „ „ 1,44 „ < 0,27 „ 

Ni-Na,S04- „ „ „ „ 1,54 „ <0,4 „ 

Vergrößert man die elektromotorische Kraft dieser Strom- 
kreise durch Zuschaltung einer genügend starken neuen elektro- 
motorischen Eraft^ so löst sich Nickel nicht mehr auf^ sondern 
es entweicht Sauerstoff an ihm. Hittorf meint, daß Nickel 
nur in Lösungen von Sauerstoffsalzen passiv wird. 

Das soeben Angeführte ist so ziemlich alles, was über 
die Passivität des Nickels bekannt ist. Außerdem finden sich 
in elektrometallurgischen und galvanoplastischen Büchern ^) An- 
gaben, daß sich das Nickel nicht unter allen umständen quan- 
titativ nach dem Faradayschen Gesetz auflöst; auch wird 
in dieser Hinsicht ein Unterschied zwischen gewalzten und 
gegossenen Nickelanoden gemacht Durch entsprechende Wahl 
der Anodenstromdichte kann man die Bildung einer bestimmten 
Säuremenge erzwingen, und man macht davon in der Praxis 
Gebrauch^ um das an der Kathode entstehende schädliche 
Alkali zu neutralisieren. 

Schließlich sind noch einige bisher nicht veröffentlichte 
Beobachtungen zu erwähnen, die Hr. Schick im hiesigen 
Laboratorium machte. Er fand, daß Nickel bei gewisser 
Stromdichte in Lösungen von Schwefelsäure, Cyankalium und 
schwefelsaurem Natrium inaktiv war. 

Es schien uns nun eine lohnende Aufgabe, das Verhalten 
des Nickels gegenüber verschiedenen Lösungen bei wechseln- 
der Stromdichte ^ wechselnder Temperatur und Konzentration 
systematisch zu untersuchen^ zumal wir hoffen durften, daß 
die bei dem Studium des sogenannten Luckow sehen Ver- 
fahrens im hiesigen Laboratorium gesammelten Erfahrungen^ 
vielleicht einiges Licht auf das allgemeine Phänomen der 
Passivität werfen könnten. 



1) W. Pfannhaaser, Elektroplattierang p. 367. 1900. 

2) M. Le Blanc und £. Bindschedler, A. Isenburg, G. Jast, 
Zeitsehr. f. Elektrochem. 8. p. 255. 1902; 9. p. 275 u. 547. 1908 



Passivität des Nickel», 185 

Wir benutzten zu unseren Versuchen stets Elektroden 
aus gewalztem Nickelblech, das Von den vereinigten Nickel- 
wericen in Schwerte geliefert war; der Nickelgehalt betrug 
ca. 99 Proz. Die Elektrolysen wurden in einem Becherglas 
angestellt, das durch einen Kork geschlossen war. Durch 
diesen gingen die Zuftihrungen zu den Elektroden, die ver- 
mittels Klemmschrauben an letzteren befestigt wurden. Die 
in der Flüssigkeit befindliche einseitige Anodenoberfläche be- 
trug etwa 12 qcm; die Anode befand sich zwischen zwei gleich 
entfernten (ca. 3 cm) Kathoden. Bei den meisten Versuchen 
waren Anoden- und Kathodenraum durch ein neues oder mit 
destilliertem Wasser gründlich ausgekochtes Diaphragma ge- 
trennt Die Lösung im Kathodenraum wurde, falls es sich 
um Neutralsalze handelte, durch Zutropfenlassen der zuge- 
hörigen Säure möglichst neutral gehalten, um ein Herüber- 
wandem der durch Elektrolyse gebildeten OH' zu verhüten; 
sie wurde stets mit Wasserstoff gerührt, so daß die Luft in 
dem ganzen Elektrolysiergefäße fast ausgeschlossen war. Ein 
Kupfervoltameter gestattete, die darchgegangene Elektrizitäts- 
menge zu messen; außerdem war noch ein passendes Ampfere- 
meter und ein Voltmeter (zur Messung der Klemmspannung) 
vorhanden. Gewöhnlich dauerte die Elektrolyse so lange, bis 
etwa 80 — 100 mg Kupfer ausgeschieden waren. Nach der 
Elektrolyse wurden die Nickelanoden sorgfältig mit destilliertem 
Wasser und mit Alkohol abgespült, vorsichtig über einer 
Flamme getrocknet und wieder gewogen. Der Mektroden- 
verlnst ist in Prozenten des gemäß dem Kupfervoltameter zu 
erwartenden gegeben. 

L 
1. Versuche mit 1,5 proz. Lösungen, die einen einzigen 
Elektrolyten enthalten, bei Zimmertemperatur und bestimmter 
Stromdichte. 

Ellektrodenverlast Klemmspannung 



Elektrolyt 


Vqdcm/ 


in Proz. 


in Vi 


NaCa 


0,5 


100 


2,1 


CaCl, 


0,5 


100 


1,1 


NaC10.<) 


0,5 


8 


4,2 



1) Das Sals und die zum Nentralisieren benutzte Chlorsäure ent- 
hielten eine Spar Chlorid. 



186 



M. Le Blanc und M. 6. Leoi. 



Elektrolyt \qdcin/ 


NaNO, 


0,5 


Ba(NO,), 


0,5 


Cn(N08), 


0,5 


Na,S04 


0,5 


(NHJ,S04 


0,5 


MgSO« 


0,5 


NiSO* 


0,5 


Na,CO, 


0,5 


KOH 


0,5 


(NH4COO), 


0,5 


NaCH.COO 


0,5 


>» » 


0,42 


>» >» 


0,32 


HgCl, 


0,15 


KCN 2 n. 1 ohne Dia- 

> 

HgSO« 1 n.J phragma 


0,75 


1,0 


KJ 


0,5 


KBr 


0,5 



Elektroden verlast 
in Proz. 


Klemmspannang 
in Volt 


5 


8,15 





4,5 


1 


2,7 


2 
2 


8,6 
8,2 


8 


8,8 


2 


3,6 





8,8 



7 


2,15 
2,8 


45 


4,6 


63 
42 


4,8 
4,1 


101 
100 
100 
101 


7.7 
1,0 

0,5 
3,2 


102 


2,9 



Überblicken wir die Beobachtungen, so sehen wir, daß 
Nickel unter den gewählten Bedingungen in halogen- und 
cyanhaltigen Lösungen sowie in Schwefelsäure quantitativ in 
Lösung geht, in allen anderen praktisch ungelöst bleibt. Eine 
Ausnahmestellung nimmt nur die Acetatlösung ein, in der 
sich etwa 50 Proz. der theoretischen Menge auflöst. Letztere 
Lösung bietet noch insofern Interesse, als die Resultate, die 
bei verschiedenen Versuchen erhalten wurden, stark schwankten, 
was bei den anderen Elektrolyten im allgemeinen nicht der 
Fall war. Bei näherem Zusehen entdeckten wir, daß bei 
diesen Elektrolyten die größere oder kleinere Aktivität völlig 
von der Vorbehandlung und von der physikalischen Beschaffen- 
heit der Oberfläche abhängig war. Nachstehende Tabelle zeigt 
dies deutlich: 

2. Versuche mit 1,5 proz. Natriumacetatlösung bei 0,5 Amp. 
pro qcm Stromdichte und bei Zimmertemperatur. 

Beschaffenheit der Anode. Elektrodenverlust in Proz. 

Neu, ganz glatt, poliert 

Nach Gebrauch als Anode in einer NaCl-Losung, in der sie an- 
gegriffen war; mit Wasser und Alkohol gewaschen und 
getrocknet 64 



Passivität des Nickels, 187 

Beflchaffenheit der Anode Elektroden verlust in Proz. 

Neu, im Wassentoffiitrom geglüht und darin erkaltet .... 2 

Die Torige Anode nach Angriff in Chlomatriamlösung ... 67 
Weiterhin wurde die yorige Anode in einem Schrank auf einem 

Uhrglas 24 Standen an der Luft liegen gelassen ... 4 
Darauf nochmals in Chlomatriumlösung angegriffen .... 86 
Darauf wieder 10 Tage im Schrank gelassen und im Wasser- 
stoff geglOht 

Neu, ganz glatt, poliert 10 

Die yorige Anode nach starkem Abreiben mit Schmirgelpapier 30 
Die yorige Anode stark gehämmert und dann mit yerdünnter 

Schwefels&ure, Wasser und Alkohol gewaschen ... 56 

Das Nickel zeigt deutlich das Bestreben^ falls es sich 
selbst überlassen wird, passiy zu werden. Ähnliches ist ja 
bekanntlich auch beim Chrom beobachtet worden. 

In Tabelle 1 ist auch bemerkenswert, daß die Aktiyität bez. 
Inaktiyitilt des Nickels (innerhalb der yorliegenden Versuche] nur 
yon der Natur des Anions und nicht yon der des Kations ab- 
hängt; so erweist sich Nickel in allen NitratlOsungen als inaktiy, 
auch in Lösungen yon Metallen, die yiel edler als Nickel sind, 
wie z. B. Kupfer. Diese Erscheinung veranlaßte uns, einmal zu 
prüfen, ob neues Nickel, wenn es längere Zeit in eine CuSO^- 
Lösung und eine AgNOg-Lösung (beide 2 proz.) gestellt wird, 
keine Umsetzung zeigt Tatsächlich erwies es sich noch nach 
30 Stunden yoilkommen intakt und ließ keine Gtewichtsänderung 
erkennen. In 2 proz. CuCl^-Lösung konnte dagegen, wie zu er- 
warten, ein Verlust (von 12 mg) und Bildung einer grünlich 
aussehenden kristallinen Verbindung, die sich in der Flüssigkeit 
absetzte, festgestellt werden. Kupfermetall war nicht zu sehen, 
es hatte sich also jedenfalls Kupferchlorür gebildet; doch haben 
wir den Niederschlag nicht weiter untersucht. 

Ein einziges Kation scheint die Aktiyität des Nickels zu 
beeinflussen: das Wasserstoff ion. Wenigstens löst sich Nickel 
in 1 n. HjSO^ bei Stromdichte 1 quantitatiy auf, während es 
in anderen Sulfaten (auch bei höheren Konzentrationen) selbst 
bei nur 0,5 Stromdichte ungelöst bleibt 

3. Einfluß der Temperatur. 1,5 proz. Lösungen. 0,5 Amp. 
pro Qnadratdezimeter. Es wurde so gearbeitet, daß zuerst der 
Versuch bei Zimmertemperatur mit einer neuen Anode ge- 
macht und dieselbe Anode dann bei 80^ benutzt wurde. 



188 



M. Le Blanc und M. G. Lern. 



Elektrolyt 


Temperatur 


in Proz. 


xxicuiuJBuauu 

iniVolt 


NajSO* 


Zimmertemp. 


3 


8,8 


99 


80 


100 


2,4 


» 


Zimmertemp. 


2 


8,6 


» 


80» 


98 


2,4 


(NHJ,80« 


Zimmertemp. 


2 


3,2 


n 


80« 


98 


2,2 


MgSO« 


Zimmertemp. 


3 


3,8 


» 


800 


100 


2,6 


NiSO^ 


Zimmertemp. 


2 


3,6 


»» 


80« 


90 


2,2 


NaNO, 


Zimmertemp. 


5 


3,15 


>» 


SO« 


88 


2,3 


Ba(NO,). 


Zimmertemp. 





4,5 


» 


80« 


75 


3,1 


Cn(NO,). 


Zimmertemp. 


1 


2,7 


9» 


80« 


90 


»,7 


KOH 


Zimmertemp. 





2,1 


19 


80« 





2,1 


NaCHgCOO 


Zimmertemp. 


31 


4,2 


n 


80« 


38 


2,5 


(NH4COO), 


Zimmertemp. 


7 


2,8 


19 


80« 


9 


2,6 


NaClO, 


Zimmertemp. 


8 


4,2 


9» 


80« 


100 


2,6 



Erhöhung der Temperatur begünstigt im allgemeinen den 
Übergang in den aktiven Zustand, was ebenfalls mit den an 
anderen Metallen gemachten Beobachtungen übereinstimmt. 
Nur in KOH ist Nickel auch bei 80® völlig passiv, in Ammoninm- 
oxalat und Natriumacetat behält es die teilweise Passivität, 
die es bei gewöhnlicher Temperatur zeigt, auch bei 80® bei. 
Zu bemerken ist noch, daß bei 80®, zumal in Sulfatlösungen, 
in geringer Menge die Bildung eines schwarzen Niederschlages, 
der meistens ganz gut an der Anode haftete, beobachtet wurde. 
Da er bei gelindem Erwärmen mit HCl Chlor entwickelte, 
darf er als ein Nickelperoxyd angesprochen werden. In EOH 
und (NH^COO), trat der Niederschlag nicht auf.^) 

1) Ein Versuch, der mit elektrolytisch hergestelltem Nickel bei 
0,5 Amp. pro qdcm in 1,5 proz. Na|S04 -Lösung gemacht wurde, ergab bei 
Zimmertemperatur 10 Proz., bei 80^ 100 Proz. Anodenverlust, also nicht 
wesentlich verschiedene Resultate wie das andere Nickel. Die Anode 
erhielt ein körniges Aussehen. 



Passivität des A'ickels, 



189 



4. Einfluß der Stromdichte. Die Versuche in H,SO^ und 
KCN wurden ohne Diaphragma ausgeführt Die Elektrodeu- 
entfemung betrug ca. 1,5 cm. 



Elektrolyt 


^Ä 


Vqdcm/ 


Proz. Ni 
gelöst 


KlcinmspanD 


2 n. KCN 




0,75 


100 


1,1 


» 




4,7 


64 


2,6 


1 n. H,SÜ4 




1,0 


100 


0,5 






1,88 


100 


0,9 






2,8 


99 


1,0 






8,3 


88 


1,0—2,5 






3,7 


69 


1,0—2,6 






5,4 


12 


1,2-2,7 






7,4 


4,5 


2,6 






8,7 


3,5 


2,7 


»s. Na,804 


(bei 8O<0 


0,5 


100 


'A4 


n 




3,5 


90 


6,1 


n 




5,0 


58 


T,4 



In den Versuchen mit D^ = 3,3—5,4 in 1 n H,SO^ voll- 
zog sich der Anstieg der Spannung nicht allmählich, sondern 
nach einigen Minuten Versuchsdauer plötzlich; beim Spannungs- 
anstieg trat heftige Sauerstoffentwickelung ein, die vorher nicht 
zu beobachten war. Dies deutete darauf hin, daß in den 
ersten Minuten das Metall noch quantitativ in Lösung ging 
und dann auf einmal inaktiv wurde. Ein besonderer Versuch 
bestätigte diese Annahme. Die Verhältnisse liegen also hier 
anders, wie z. B. bei manchen Versuchen in Natriumacetat- 
Lösung, wo wir während der ganzen Versuchsdauer mäßige 
Sauerstoffentwickelung und ziemlich konstante Spannung 
wahrnahmen und ca. 50 Proz. der theoretischen Menge sich 
auflöste; bei letzteren Versuchen trat Metalllösung und 
Sauerstoffentwickelung nicht nacheinander, sondern neben- 
einander auf. 

5. Einftufi der Konzentration. Bei 0,5 Amp. pro Quadrat- 
dezimeter Stromdichte wurden in 1,5 proz., 7 proz., 0,1 4 proz. 
Na^SO^-Lösung bei Zimmertemperatur und bei 80^' Versuche 
ansgef&hrty die keinen Konzentrationseinfluß erkennen ließen. 



190 M, Le Blanc und M. G, Levi. 

II. Versuche mit gemisohten Elektrolyten. 

Der Grundgedanke, der uns bei diesen Versuchen leitete^ 
war folgender. In dem schon anfangs erwähnten Luckow- 
schen Verfahren zur Darstellung schwer löslicher Verbindungen 
auf elektrolytischem Wege verwendet man als Elektrolyten 
eine Lösung, die außer dem Salz mit dem gewünschten Säure- 
rest noch ein anderes indifferentes Salz enthält, dessen Anion 
mit dem Anodenmetall eine leicht lösliche Verbindung bildet. 
Will man z. B. Bleichromat herstellen, so elektrolysiert man 
eine Lösung von Natriumchromat und Natriumchlorat (oder 
-nitrat, -acetat etc.] zwischen Bleielektroden; es geht jetzt das 
Blei quantitativ in Lösung und es bildet sich in gewisser Ent- 
fernung von der Anode quantitativ ein schöner Niederschlag 
von Chromgelb, der von der Anode abzurollen scheint^ während 
diese selbst ganz blank bleibt. Li reiner Natriumchromat- 
lösung geht keine Spur Blei in Lösung, es bildet sich auch 
kein Niederschlag in der Flüssigkeit, nur die Elektrode selbst 
überzieht sich mit einer fest haftenden Schicht unter gleich- 
zeitiger Sauerstoffentwickelung. Li reinem Natriumchlorat findet 
quantitative Lösung des Bleies ohne Niederschlagsbildung statt. 

Das passive Verhalten des Bleies bez. anderer Metalle 
wird also bei derartigen Elektrolysen dadurch bewirkt, daß 
sich die Metallanode mit einer schwer löslichen, festhaftenden 
Schicht bedeckt. Man kann die Passivität stets durch Zusatz 
einer genügenden Menge eines passenden indifferenten Salzes 
beseitigen, weil dadurch das Haften des Niederschlages an 
der Anode verhütet wird; die entsprechende schwer lösliche 
Metallverbindung entsteht dann quantitativ. 

Wir haben nun versucht, ähnliche Erscheinungen beim 
Nickel hervorzurufen. Ist das Nickel in einem bestimmten 
Elektrolyten passiv, und ist diese Passivität durch die Bildung 
eines Niederschlages bedingt, so wird man nach den vorstehend 
geschilderten Versuchen erwarten dürfen, daß durch Zusatz 
eines Elektrolyten, in dem sich Nickel anodisch quantitativ zu 
einer löslichen Verbindung löst, auch hier quantitative Lösung 
bewirkt wird, aber auch gleichzeitig ein schwer löslicher NicheU 
niederschlag von der Anode abrollt 

Nachstehend sind die Resultate einer Reihe von Versuchen 
mit Mischungen verzeichnet. Die Versuche sind ebenso wie 



Passivität des Nickels, 101 

die früheren in verdünnter Lösung angestellt, weil darin das 
Lnckowsche Phänomen besonders glatt eintritt; wegen weiterer 
Einzelheiten vergleiche die angezogenen Arbeiten. Die Strom- 
dichte war stets 0,5 Amp. pro Quadratdezimeter. Temperatur, 
falls nicht besonders erwähnt, Zimmertemperatur. 

1. l^Sproz. Lösung, bestehend aus 80 Proz. NaCl und 
20 Proz. Na^CO, (dem Gewicht nach). Spannung 2,7 Volt 
Das Metall ging quantitativ in Lösung; gleichzeitig entstand 
im Anodenraum ein (nicht näher untersuchter) Niederschlag von 
Nickelkarbonat, der glatt von der Anode abrollte. 

2. 1,5 proz. Lösung, bestehend aus 90 Proz. NaCl und 
10 Proz. KOH. Spannung 1,9 Volt Das Metall ging quanti- 
tativ in Lösung; von der Anode rollte ein Niederschlag von 
Nickelhydroxyd ab. 

3. 1,5 proz. Lösung, bestehend aus 80 Proz. NaCl und 
20 Proz Na^SO^. 1,9 Volt Spannung. Das Metall ging quanti- 
tativ in Lösung, ohne daß eine Spur Niederschlaff entstand; die 
Anode war völlig blank. Das gleiche Resultat erhielten wir 
bei folgenden Mischungen: 

4. 1,5 proz. Lösung, bestehend aus 20 Proz. NaCl und 
80 Proz. NaNO,. Spannung 2,6 Volt 

5. 1,5 proz. Lösung, bestehend aus 20 Proz. EBr und 
80 Proz. NaNO,. Spannung 2,7 Volt 

6. 1,5 proz. Lösung, bestehend aus 20 Proz. NaCl und 
80 Proz. NaClO,. Spannung 8,0 Volt Bei einer Stromdichte 
von 5 Amp. pro Quadratdezimeter ist noch keine Sauerstoff- 
entwickelung wahrnehmbar, das Nickel scheint also auch dann 
noch quantitativ in Lösung zu gehen. 

7. 1,5 proz. Lösung, bestehend aus 95 Proz. Na^SO^ und 
5 Proz, (NH^COO), bei 80 •. Hierbei gingen nicht 100, sondern 
nur 80 Proz. in Lösung unter gleichzeitiger geringer Gas- 
entwickelung an der Anode; minimale Spuren eines an der 
Anode festhaftenden Niederschlages bemerkbar; in der Lösuvff 
knm Niederschlag. 

Während die Versuche in Na^CO, und KOH von dem 
eingenommenen Standpunkt aus die Möglichkeit offen lassen, 
daB in diesen Elektrolyten die Passivität durch eine schützende 
feste Anodenschicht hervorgerufen ist, muß diese Annahme 



192 M. Le Blanc und M. G. Zevi. 

für die anderen Lösungen wohl als ausgeschlossen betrachtet 
werden. Zu diesem Schluß sind ja auch andere Forscher bei 
anderen Metallen auf anderem Wege gekommen.^) 

Die Frage, wie die Passivität der Metalle zu erklären ist, 
ist gerade in letzter Zeit öfters erörtert worden. Wir werden 
. durch die yorliegenden Versuche noch mehr in der Auffassung 
bestärkt, daß wir es hier häufig nur mit reinen Phänomenen 
der Reaktionsgeschwindigkeit zu tun haben, was schon vor 
mehreren Jahren der eine von uns ausgesprochen hat.') Wir 
kennen doch eine ganze Menge von Reaktionen, deren Ge- 
schwindigkeit nicht nur durch Änderung der Temperatur, 
sondern durch Zusatz scheinbar indifferenter Stoffe weitgehend 
geändert wird; gerade die letzte Zeit hat uns ja viele der- 
artige kataljrtische Beeinflussungen kennen gelehrt.') Wir wissen 
femer, daß außerordentlich viele Reaktionen mit mäßiger 
Schnelligkeit verlaufen, so daß man ihren Verlauf bequem ver- 
folgen kann. Wäre es da nicht geradezu wunderbar, wenn 
wir bei den Metallen ausnahmslos finden würden, daß ihre 
lonenbildungsgeschwindigkeit stets praktisch unendlich groß 
ist? Es scheint uns, daß man die Erscheinungen, die man 
mit dem Namen , Passivität' bezeichnet, in den untersuchten 
Fällen beim Nickel und in analogen (z. B. fehlende anodische 
Auflösung von Platin in Gyankaliumlösung, worin es nach 
F. Glasers*) Versuchen unter Wasserstoffentwickelung löslich 
ist) in völlig ungezwungener Weise auf zu geringe lonen- 
bildungsgeschwindigkeit /urückf&hren kann, ja, daß die Tat- 
sachen geradezu dazu drängen. Der bei der Elektrolyse an der 
Anode beobachtete Potentialanstieg und die Sauerstoffent¥ricke- 
lung — denn das Faradaysche Gesetz muß ja natürlich 
stets erfüllt sein — ist die notwendige Folge einer zu geringen 



1) Bemerkt sei, daß Ruer (Zeitschr. f. physik. Chem. 44* p. 110. 
1903) neuerdings für die Annahme einer Oxydschicht plaidiert 

2) M. Le Blanc, Zeitschr. f Elektrochem. 6. p. 472. 1900. Lehr- 
buch 8. Aufl. p. 237. 1903. 

8) Wir erinnern speziell an die Katalysen in inhomogenen Systemen. 
Vgl. K. Drucker, Zeitschr. f. physik. Chem. 36. p. 178. 1901 und 
L. Wahl er, Berl. Ber. 36. p. 3198. 1903. Letzterer fand, daß sich das 
wasserarme, schwer lösliche Platinoxydul viel schneller in Salzsfture löst, 
wenn man Spuren von Platinchlorür als Katalysator hinzufQgt. 

4) F. Glaser, Zeitschr. f. Elektrochem. 9. p. 11. 1908. 



Passivität des Nickels, 193 

lonenlieferung von Seiten des Metalles; letzteres muß ein 
edleres Verhalten zeigen als es eigentlich seiner Natur (d. h. 
bei Annahme stets genügender lonenlieferung] entspricht Wir 
sehen nirgends eine Beobachtung, die der gemachten An- 
nahme widerstreitet Das Vorhandensein von Gasschichten 
und ähnlichem ist, wie bei jeder Elektrode, auch bei den 
passiven aufzunehmen, und diese Gasschichten werden sich bei 
ihnen wie bei den edlen Metallen unter Umständen elektro- 
motorisch betätigen können. Bei den unedlen Metallen in ihrem 
gewöhnlichen Zustand kommt die Beteiligung der Gasschichten 
nicht in Betracht Das Vorhandensein derartiger Gtisschichten 
jedoch als Ursache der Passivität hinzustellen, dazu scheint 
uns jeder Anhaltspunkt zu fehlen. 

Die Zurückfbhrung der Passivität auf mangelnde lonen- 
bildungsgeschwindigkeit scheint uns insofern einen Gewinn zu 
bieten, als dieses Phänomen seines eigenartigen Charakters 
dadurch entkleidet wird, und die Passivität jetzt nur noch 
einen besonderen, wenn auch merkwürdigen und interessanten 
Fall in dem Studium der Reaktionsgeschwindigkeiten vorstellt 

Wie wir vorher gefunden hatten, wird die lonenbildungs- 
geschwindigkeit unter anderem durch Zusatz von Chlor- und 
Wasserstoffionen erhöht. Es schien uns von Interesse, die 
Menge festzustellen, welche bei bestimmter Stromdichte nötig 
ist, um quantitative Lösung des Metalles zu bewirken. Wir 
fanden, daß eine 1,5 proz. Lösung, bestehend aus 95 Proz. 
Na^SO^ und 6 Proz. NaCl bei 0,6 Amp. pro Quadratdezimeter 
Nickel noch quantitativ auflöst, während bei 98,6 Proz. Na^SO^ 
und 1,4 Proz. NaCl nur wenig über 10 Proz. Nickel in 
Lösung geht 

Man könnte vielleicht der Meinung sein, daß bei länger 
dauerndem Versuch die Wirksamkeit der Ghlorionen in dem 
MaBe^ als sich die Lösung an Nickel anreichert, nachläßt. Dies 
ist jedoch nicht der Fall: Wir elektrolysierten eine 1,5 proz. 
Lösung, bestehend aus 93 Proz. Na^SO^ und 7 Proz. NaCl, also 
eine Lösung, die in den 60 ccm, die das anodische Diaphragmen- 
gef&B faßte, die absolute Menge von nur 0,060g NaCl (= 0,0037 g 
Chlorionen bei Annahme völliger Dissociationen] enthielt, so 
lange, bis der Anodenverlust 0,373 g erreicht hatte, und noch 
immer löste sich das Nickel quantitativ auf. 

13 



194 M, Le Blanc und M, G. Levi, 

Die Kathodenlösung hatte dieselbe Zusammensetzung wie 
die Anodenlösung und wurde durch Zutropfen von H^SO^ 
neutral gehalten. Besser wäre es gewesen, reine Na^SO^-Lösung 
auf die Kathodenseite zu nehmen, doch lehrt eine leichte Über- 
schlagsrechnung, daß keinesfalls mehr als 0,022 g Ghlorionen 
auf die Anodenseite herübergewandert sind, so daß zum Schluß 
insgesamt nur 0,059 g Chlorionen auf mindestens 0,31 g 
Nickelionen in Lösung vorhanden waren, wobei schon in Be- 
tracht gezogen ist, daß auch die Nickelionen sich an der 
Wanderung beteiligt haben. Es kamen also auf zwei Ghlor- 
ionen mehr als sechs zweiwertige Nickelionen. 

Durch diesen Versuch wird die etwaige Annahme, daß 
die Auflösung des Nickels nur so lange erfolge, als die Bildung 
einer Doppelverbindung zwischen Chlomatrium und Nickelsalz 
stattfände, hinfällig. 

Zusatz von H^SO^ ist viel weniger wirksam als der von 
Chlorid. Eine Lösung, die 1,5 Proz. Na,SO^ und 1 Proz. H,SO^ 
enthält, löst noch nicht ganz 10 Proz. Nickel bei 0,5 Strom- 
dichte; erst bei 2 Proz. H^SO^ gehen 100 Proz. in Lösung. Es 
stimmt dies mit der Beobachtung überein, daß in den Lösungen, 
in denen das Nickel sich bei der Elektrolyse inaktiv zeigte 
und infolgedessen der Säuregehalt im Anodenraum stetig stieg, 
das Nickel trotzdem während der nicht langen Yersuchsdauer 
inaktiv blieb. 

Die Potentialmessung einer neuen Nickelanode in NiSO^ 
gegen eine Kadmiumelektrode ergab denselben Wert wie nach 
Zusatz von NaCl. Bei so schwacher Stromentnahme scheint 
also die Bildungsgeschwindigkeit der Ionen auch in reiner 
Sulfatlösung groß genug zu sein. 

Schließlich mögen noch einige Versuche mitgeteilt sein, 
die einen etwaigen Einfluß von Nichtelektrolyten bei der Elektro- 
lyse feststellen sollten. Zusatz von Zucker (1 Proz. und 10 Proz. 
zu 1,5 proz. NaCl-Lösung bei Zimmertemperatur, 1 Proz. zu 
1,5 proz. Na^SO^-Lösung bei Zimmertemperatur und bei 80^ 
ließ keinen Einfluß erkennen, ebensowenig Zusatz von Aceton 
(1 Proz. zu 1,5 proz. NaCl- und Na^SO^-Lösung bei Zimmer- 
temperatur). Die Stromdichte war stets 0,5 Amp. pro Quadrat- 
dezimeter. 



Passivität des Nickels, 195 

Dagegen wurde in einer l^Sproz. Na^SO^-Lösung, die mit 
1 Proz. Harnstoff versetzt war, bei Zimmertemperatur 26 Proz. 
Nickel in Lösung erhalten (anstatt 2 Proz. in reiner Na,SO^- 
Lösung). Möglicherweise kommt der beschleunigende Einfluß 
etwaigen Zersetzungsprodukten des Harnstoffes zu, die während 
der Elektrolyse sich bilden. 

Anfang August 1903. 

(Eingegangen 4. August 1903.) 



13 



u» 



196 



27. Die spezifische Wärme einiger Schwefelmetalle 
in ihrer Beziehung zum elektrischen Leitvermögen. 

Von Franz Streintz in Graz. 



unter den die Elektrizität leitenden Metallverbindungen 
sind einige dadurch ausgezeichnet, daß ihr Leitvermögen von 
der Temperatur in hohem Grade beeinflußt wird. ^) Ist, wie zu 
erwarten steht, dieser Einfluß durch Umwandlungen bedingt, 
denen die Verbindung unterworfen ist, dann muß bei den ent- 
sprechenden Umwandlungstemperaturen Wärme entwickelt oder 
gebunden werden, und mit der Änderung der Leitfähigkeit 
gleichzeitig eine Änderung der spezifischen Wärme vor sich 
gehen. 

Die Schwefelverbindungen von Blei, Quecksilber und 
Silber verhalten sich besonders auffallend zur Elektrizitäts- 
leitung; sie wurden daher eingehend auf ihre spezifische Wärme 
untersucht 

Zur Anwendung kam die Mischungsmethode; dabei wurde 
auf die Verbesserung der Resultate wegen Wärmeaustausch 
und -Verlust die entsprechende Sorgfalt verwendet. Trotzdem 
bleiben Bestimmungen von Wärmemengen immer noch mit 
ziemlicher Unsicherheit behaftet und stehen hinter den Me- 
thoden zur Ermittelung elektrischer Energiegrößen an Genauig- 
keit weit zurück. Das wird wohl damit zu begründen sein, 
daß die Wärme die niedrigste Form der Energie darstellt 
Stehen also spezifische Wärme und elektrisches Leitvermögen 
in einer Beziehung, so wird man sie nur in rohen Umrissen 
verfolgen können. Ob dieses bescheidene Ziel erreicht worden 
ist, möge aus folgenden Zeilen beurteilt werden. 

Die in pulverf5rmigem Zustande befindlichen Verbindungen 
wurden in zylindrische Messingbüchschen von 2 cm Höhe und 
3 cm* Querschnitt gefüllt Der Deckel der Büchschen wurde 



1) F. Streintz, Ann. d. Physik 9. p. 854. 1902. 



Spez, Wärme in Beziehung zum elektr. Leitvermögen. 197 

darauf verlötet, damit ein Eindringen von Wasser verhütet 
werde. Um bei Temperaturen, die 100® wesentlich über- 
schritten, eine Explosion des Büchschens durch die Ausdehnung 
der im Pulver enthaltenen Luft hintanzuhalten, erhielt der 
Deckel ein Eupferröhrchen aufgesetzt, dessen obere Öffnung 
verlötet wurde, sobald die Temperatur erreicht war, bei der 
später die Wärmemessung vorgenommen werden sollte. Durch 
Wägungen wurden die Wasserwerte des verwendeten Lötzinns 
ermittelt Die Erhitzung der Büchschen auf 100® erfolgte 
durch Wasserdampf, auf höhere Temperaturen im elektrischen 
Ofen. Die Temperatur des Wasserbades wurde mit einem 
Jenaer Thermometer verfolgt, das direkt in hundertstel Grade 
geteilt war. 

1. Schwefelblei (PbS) wurde in den beiden Zuständen als 
natürlicher Bleiglanz und als amorphes Bleisulfid untersucht 

In PbS sind erforderlich 86,6 Proz. Blei; die chemische 
Analyse, die ich Hm. J. Donau verdanke, ergab für den 
Glanz 85,9, für das amorphe Pulver 85,8 Proz. Blei. 

Die Untersuchung des Bleiglanzes selbst erstreckte sich 
auf einen großen Kristall, auf das durch Zerreiben von 
Kristallen entstandene feine Pulver, auf Stifte, die unter hohen 
Drucken aus dem Pulver hergestellt worden waren, und end- 
lich auf die durch Schmelzen der Pulver unter Luftabschluß 
gewonnenen Klumpen. 

Die kleinste spezifische Wärme besaß der geschmolzene 
Bleiglanz; die an einem Klumpen von 36,57 g Masse ange- 
stellten Messungen ergaben die gut übereinstimmenden Zahlen 
0,0526, 0,0529, 0,0532 als mittlere spezifische Wärme zwischen 
15 und 100^ Der Mittelwert beträgt demnach 0,0529. Wird 
die Molekularwärme nach dem Joule -Kopp sehen Gesetze 
berechnet, so erhält man 11,9, da für Blei 6,4 nach Behn, 
f&r Schwefel 5,5 (?) einzusetzen ist Die beobachtete Molekular- 
wärme ergibt sich unter Berücksichtigung, daß ein Mol PbS 
aus 239 g besteht, zu 12,6, einem Wert, der den theoretischen 
nicht erheblich übertrifft In bezug auf seine Struktur gehört 
der geschmolzene Bleiglanz wie der natürliche dem regulären 
System an. 

Bleiglanz in Kristallen besitzt eine größere spezifische 
Wärme; die an einem durch fremde Zusätze kaum verun« 



198 F. Streintz. 

reinigten Kristall (Masse 72,87 g) aus Bleiberg in Kärnten yor- 
genommenen Messungen betrugen in dem gleichen Temperatur- 
intervall 0,0555, 0,0554, 0,0561 und 0,0560, im Mittel also 
0,0557. Die Eänzelwerte weichen nur wenig voneinander ab; 
diese Ubereinstimmimg läßt sich aber nur erzielen, wenn man 
die Messungen in Zwischenräumen von mehreren Stunden 
vornimmt, den Kristall sich also „erholen'' läßt Erwärmt 
man ihn nach der Abkühlung im Wasserbade unmittelbar 
wieder, so erhält man regelmäßig einen kleineren Wert für 
die spezifische Wärme. So ergab eine auf die erste Messung 
unmittelbar folgende 0,0537, eine ebensolche nach der vierten 
angestellte 0,0540. 

In der Form eines feinen Pulvers besitzt der Bleiglanz 
eine noch größere spezifische Wärme, wie aus den nachstehen- 
den Zahlen zu ersehen ist. 

Bleiglanzpulver (Masse: 28,42 g). 
Mittlere spezifische Wärme zwischen 15 und 100°: 

0,0604 
0,0601 
0,0598 
0,0608 
0,0602 

Mittelwert: 0,0601. 

Mittlere spezifische Wärme zwischen 15° und 
110° 0,0686 

118° 0,0678 

146,7° 0,0684 

151 ° 0,0681 

181,5'' 0,0699 (0,0658). 

Die Zahlen zeigen, daß die spezifische Wärme z¥rischen 
100 und 110*^ eine sprungweise Änderung erfährt Es ist 
also anzunehmen, daß zwischen diesen Temperaturen eine 
Umwandlung des Bleiglanzes eintritt, die mit einem Wärmen 
verbrauch von 2 cal. für ein Mol PbS verbunden ist über 
die letztgenannte Temperatur hinaus tritt keine bemerkens- 
werte Zunahme ein. Doch findet man auch hier die Erschei- 
nung einer Nachwirkung. So wurde z. B. der zur Temperatur 
von 181,5^ gehörige zweite in Klammem gesetzte Wert ge- 
funden, indem man auf den ersten Versuch einen zweiten auf 



Spez, Wärme in Beziehung zum elektr. Leitvermögen, 199 

dem Fuße folgen ließ. Diese Nachwirkung trägt natürlich 
eine gewisse Unsicherheit in die Ergebnisse hinein, da die 
Bestimmungsmethode nicht danach angetan ist, erkennen zu 
lassen^ wann sich das System wieder erholt hat. 

Machen sich schon bei einem losen Pulver Nachwirkungen 
geltend, so stand zu gewärtigen, daß sie in dicht gepreßten 
Stiften noch mehr hervortreten werden. 

Die mit einem Stift aus Bleiglanz, dessen Masse 15,39 g 
betrug, angestellten Messungen ergaben darum keine gut über- 
einstimmenden Besultate. So fanden sich flir die spezifischen 
W&rmen zwischen 15 und 100^ die Zahlen 0,0650, 0,0628, 
0,0690 und 0,0620, im Mittel also 0,0648. Hervorzuheben 
ist, daß alle Werte größer sind, als jene des Pulvers. Mög- 
licherweise trägt die Differenz der Hysteresisarbeit Rechnung. 
Besseren Aufschluß über diese Frage könnten Versuche über 
die spezifische Wärme feiner Metallpulver (Platinmohr etc.) 
geben, bei denen die Verhältnisse einfacher liegen dürften. 

Die Untersuchung des Stiftes über 100^ hinaus war in 
noch höherem Grade abhängig von der Vorbehandlung, die er 
erfahren hatte. Ich schlug deshalb ein Verfahren ein, wie es 
bei der Prüfung von Eisen angewendet und als zyklisches 
bezeichnet wird. 

Auf eine Messung zwischen 15 und 100^ folgten solche 
zwischen 16^ und t^, wobei t ansteigend höhere Werte erhielt 
bis zu einem Grenzwert; dann wurde t wieder in gleichen 
Stufen erniedrigt, bis wieder 100® erreicht waren. Nach- 
stehend sind die Ei^ebnisse verzeichnet 





Zyklus 1 


• 




Zyklus 2. 


15 und 1(H>^ 


0,0659 A 0,0639 




15 und 100» 0,0642 A 0,0680 


15 „ 140 • 


0,0616 


0,0628 




15 „ 150* 0,0600 j 0,0582 


15 „ 180 • 


0,0588 


0,0594 




15 „ 200« 0,0620 i 


15 „ 220»> 


r 0,0642 


> 


r 0,0629 





Die spezifische Wärme des Stiftes würde demnach — im 
Gtogensatz zu dem losen Pulver — bei Temperatursteigerung 
über 100^ hinaus zunächst in Abnahme begriffen sein bis zu 
einem kleinsten Wert, der in der Nähe von 180^ gelegen ist, 
um dann über diese Temperatur hinaus wieder zu wachsen. 
Das würde also heißen, daß in einem Stift bei Erwärmung 



200 F. Streintz. 

von lOü auf 180^ eine Umwandlung eintritt, die unter Wärme- 
entwichelung vor sich geht Die vier zYrischen 15 und 100^ 
angestellten Beobachtungen weichen wieder beträchtlich von- 
einander ab; ihr Mittelwert ergibt sich zu 0,0655 und steht 
mit dem früher gefundenen von 0,0648 wohl nur zufällig in 
guter Übereinstimmung. 

Man darf nicht übersehen, daß die spezifische Wärme 
des Stiftes nach der ersten Erwärmimg auf 100^ bereits eine 
Änderung in dem Sinne einer Verringerung dieses Wertes er- 
fahren hat; eine zweite unmittelbar nach der ersten angestellte 
Beobachtung in demselben Temperaturintervall würde also 
eine kleinere Zahl geben. Wahrscheinlich macht sich dieser 
Rückgang auch dann bemerkbar, wenn man die Beobachtung 
nunmehr in einem größeren Temperaturintervall (15 — 140® 
bez. 15—150^ anstellt. Es läßt sich deshalb nicht angeben, 
mit welchem Anteil eine zwischen 100 und 140^ eintretende 
Umwandlung beteiligt ist. Eine solche tritt aber ein, da das 
Thermometer im Wasserbade nach Einbringen des auf 180® 
erhitzten Stiftes in der ersten Minute bis zu einem Maximum 
ansteigt, um dann zunächst langsam zu fallen. Dabei war 
Sorge getragen, daß der Stift beim Herumschwenken im Bade 
die Thermometerkugel nicht etwa berührt hatte. Der Verlauf 
der Temperatur soll durch ein Beispiel gekennzeichnet werden. 
In dem Augenblicke, in dem der Stift in das Kalorimeter- 
gefäß eingetaucht wurde, betrug die Temperatur des Wassers ' 
15,130®, die Temperatur der Umgebung 19,4®; dann wurde 
gefunden: 



nach 30 Sek. 


iMiD. 


1 Min. 30 Sek. 


2 Min. 


2 Min. 30 Sek. 


17,180« 


17,280« 


17,240« 


17,236« 


17,235« 




8 Min. 


8 Min. 30 Sek. 


4 Min. 






17,235« 


17,240« 


17,245« 





Der Stift hat also von der an die Flüssigkeit bereits ab- 
gegebenen Wärme einen Teil wieder für sich verbraucht. 
Dieser Vorgang steht in Übereinstimmung mit der Abnahme 
der spezifischen Wärme über 100®. 

Die Untersuchung des amorphen Bleisulfids ergab zwischen 
15 und 100® die gut tibereinstimmenden Werte 0,119, 0,116 
imd 0,117, woraus sich ein Mittelwert von 0,117 ergibt 



^pei. Warme in Beziehfmg ztam elektr, LeitvenrnSgen. 201 

Das amorphe Sulfid besitzt mithin unter den untersuchten 
Modifikationen den größten Energieinhalt, der geschmolzene 
Bleiglanz den kleinsten. Es wurde gezeigt, daB der ge- 
schmdzene Bleiglanz ein sehr guter, das amorphe Sulfid da- 
gegen ein schlechter Leiter der Elektrizität ist Der natür- 
liche Bleiglanz und die aus dessen Pulver gepreßten Formen 
stehen in bezug auf ihr Leitvermögen in der Mitte und 
werden von der Temperatur in hohem Grade beeinflußt Auch 
in bezug auf ihre spezifische Wärme halten sie die Mitte 
zwischen geschmolzener und amorpher Modifikation und sind 
mit der Temperator Teränderlich. Ejrwärmt und kühlt man 
einen Stift wiederholt, so zeigt er, immer wieder bei Zimmer- 
temperatur gemessen, eine fortschreitende Erhöhung seines Leit- 
vermögens bis zu einem Grenzwert Das Herabsinken der Werte 
Ar die spezifische Wärme nach unmittelbar vorangegangener 
EIrwännung ist wohl gleichfalls als Analogie hierzu anzusehen. 

2. Schwefelquecksüber (HgS) besteht in zwei durch Farbe 
und Dichte wesentlich unterschiedenen Modifikationen. Die 
schwarze durch geringe Dichte ausgezeichnete verhält sich zur 
Elektrizitätsleitung wie Bleiglanz, der rote Zinnober dagegen 
ist Nichtleiter. Da die schwarze Modifikation die größere 
Löslichkeit besitzt und außerdem bei entsprechendem Drucke 
in die rote unter Volumenverminderung übergeht, so ist man zur 
Annahme berechtigt , daß sie den größeren Energieinhalt be- 
sitzt und daher als die weniger stabile anzusehen ist Die 
Bestimmungen der spezifischen W^ärmen der Pulver rechtfertigen 
diese Annahme. Für den kristallinischen Zinnober , dessen 
Masse 53,89 g betrug, fanden sich innerhalb der Temperatur- 
grenzen von 15 und 100<^ die Werte 0,0544, 0,0555, 0,0545, 
im Mittel also 0,0548, f&r das schwarze amorphe Sultid, 
dessen Pulver 22,985 g wog, die Einzelwerte 0,1022, 0,1030 
und 0,1026, woraus sich ein Mittelwert von 0,1026 ergibt 
Der Energieinhalt des schwarzen Sulfids ist also doppelt so 
groß, als der des roten. Während das Bleisultid sein bestes 
Leitvermögen in jener Modifikation besitzt, der die kleinste 
spezifische Wärme zu eigen ist, verhält es sich beim Queck- 
nlbenralfid umgekehrt 

3. SehwefeUäbeTf Ag^S. Die Untersuchung erstreckte sich 
nur auf die amorphe Modifikation im pulverförmigen Zustande. 



202 F. Streintz. 

Die bereits beim Bleiglanz erwähnte Erscheinung einer Ver- 
minderung der spezifischen Wärme, wenn das Pulver gleich 
nach der Abkühlung einer neuerlichen Erwärmung unterworfen 
wird, zeigte sich auch hier imd in noch auffälligerer Weise. 

Im nachstehenden sind die mittleren spezifischen Wärmen 
zwischen 15 und 100^ angegeben, die mit einer Pulyermenge 
von 16,72 g an yerschiedenen Tagen gefunden wurden. 

22. Juni 0,0800 25. Jnni 0,0794 

24. Juni 0,0818 0,0762* 

0,0762* 26. Juni 0,0795 

0,0808 0,0743* 

0,0809 

Die mit * bezeichneten Werte beziehen sich auf Versuche, 
die auf vorangegangene unmittelbar folgten. Läßt man diese 
Zahlen beiseite und nimmt aus den übrigen das Mittel, so 
erhält man 0,0804 als mittlere spezifische Wärme zwischen 
15 und 100^ Das Joule-Eoppsche Gesetz verlangt eine 
spez. Wärme von 0,0706, wenn man nach Behn für die Atom- 
wärme des Silbers den Wert 6,0 einsetzt. Die Überein- 
stimmung mit dem Gesetze ist mithin mangelhaft; wahrschein- 
lich wird sie auch nicht besser, wenn man das amorphe durch 
das natürliche kristallinische Pulver ersetzt, da auch das 
elektrische Leitvermögen von der Natur der Modifikation 
kaum beeinflußt wird. 

Die Bestimmungen bei höheren Temperaturen erfolgten 
in mehrstündigen Zwischenpausen; es ergaben sich folgende 
Werte: 



Temperaturintervall 


Sp4 


sz. Wärme 


15 und 138 <> 




0,0814 


15 „ 160* 




0,0823 


15 „ 164« 




0,0923 


15 „ 171,8« 




0,104 


15 „ 182« 




0,112 


15 „ 186« 




0,114 


15 „ 209,5« 




0,118 



Aus der Tabelle geht hervor, daß von 100° aufwärts zu- 
nächst eine langsame Zunahme der spezifischen Wärme ein- 
tritt; zwischen 160 und 170°, wahrscheinlich in unmittelbarer 
Nähe von 164°, tritt eine sprungweise Änderung in der 
spezifischen Wärme ein. Diese ist offenbar einer Umwandlung, 



Spez. Wärme in Beziehung zum elektr. Leitvermägen» 203 

die wie bei Bleiglanz unter Wärmebindung vor sich geht, zu- 
zuschreiben. Über 170^ findet wieder eine alhnähliche Zu- 
nahme statt. 

Die Untersuchung war bereits beendet^ als ich auf eine 
Arbeit von Bellati und Lussana^) aufinerksam wurde, die 
gleichfalls die Untersuchung der spezifischen Wärme des 
Schwefelsilbers bei yerschiedenen Temperaturen zum Gegen- 
stande hat Die Abhängigkeit der spezifischen Wärme von 
der Temperatur wird von den beiden Physikern durch die 
Gleichung y = 0,07177 + 0,0000678 t zwischen den Grenzen 
/ = 7® und =175® ausgedrückt Bei 175® trat eine Umwand- 
lang ein, so daß die mittlere spezifische Wärme zwischen 175 
and 220® den Wert 0,0891 annahm. Diese Angaben konnte 
ich nur Beferaten entnehmen, die in verschiedenen deutschen 
Zeitschriften erschienen sind. Ich konnte keinen Aufschluß 
darüber erhalten, ob sich die Untersuchung auf das Pulver, 
auf Kristalle oder auf das geschmolzene Produkt bezog. Der 
physikalische Zustand spielt aber, wie aus der Untersuchung 
des Schwefelbleies hervorgeht, eine bedeutsame Bolle. 

Der Temperaturkoeffizient der spezifischen W^ärme ist bei 
AgjS größer als bei PbS, Pulver mit Pulver verglichen. Die 
Zunahme des Leitvermögens ist bei dem ersten Sulfid gleich- 
falls größer als beim zweiten. 

.Das Leitvermögen eines Silberglanzstiftes wird durch 
vorangegangene Erwärmungen gleichfaUs erhöht; di^ spezifische 
W^ärme des Pulvers nach unmittelbar vorangegangener Er- 
wärmung erniedrigt 

Gäbe es Methoden, die Änderung der spezifischen Wärmen 
von Grad zu Grad ebenso rasch als sicher zu bestimmen, wie 
Änderungen des Leitvermögens, so ließen sich wohl die 
Analogien zwischen beiden Eigenschaften viel weiter führen. 
Vielleicht reicht die Mitteilung aber doch hin, daß man zu 
einer beiläufigen Vorstellung gelangt, in welcher Weise das 
elektrische Leitvermögen durch den jeweiligen molekularen 
Zustand der Verbindung beeinflußt wird. 

Graz, Physik. Inst d. Univ., Juli 1903. 

1) M.BelUti n. S.Lussana, Atti del Inst Yen. (6) 7. p. 1051. 1888/8». 

(Eingegaugen 6. August 1903.) 



204 



28. Periodic Golor Distribntioiis in Belation to the 
Coronas of Glondy Gondensation, with a Beyision 

of Goronas. 

By Carl BaniB in Providence. 



Introduotion. 

1. Purpose and plan, — The growing importance of cosmic 
dust ^) in relation to geophysic phenomena, suggested the need 
of developing a method by which the atmospheric dust con-. 
tents could be speedily and systematically detennined. An 
appropriate method for this purpose was tested in a number 
of my earlier papers ^ which gave promise of being in a 
measure independent of merely local or accidental dust distri- 
butions. It is based on the measurement of the angular 
apertures of the Coronas produced on suddenly cooling moist 
atmospheric air under deiinite conditions. Observations of 
atmospheric nucleation made in this way for about a year 
show results of considerable interest. 

There is some difficulty, however, in reducing these data 
to absolute values (number of nuclei, n, per cubic centimeter), 
inasmuch as the Coronas obtained with lamplight yery fire- 
quently pass beyond the ordinary white centered normal type, 
into the more complex forms corresponding to very smaU 
particles. I have therefore been obliged to make an extended 
study of Coronas.^) The method pursued consisted in highly 
nucleating the air stored within a given receiver over water 
(with adequate provision for continued Saturation) ^ and then 



1) The pioncering work of Aitken is well known and cited in my 
earlier papers. 

2) Science 16. p. 948. 1902; Physical Review 16. p. 193. 1902: 
1. c. 17. p. 234. 1903. 

3) Phil. Mag. (6) 6. p. 24. 1902; American Joum. of Science (4) 
13. p. 81. 1902; 1. c. 15. p. 335. 1903; Physical Review 1. c; Smith- 
soniau Contributions to Knowledge, No. 1873. 29. p. 1—186. 903. 



Periodic color distributions, 205 

withdra¥ring deiinite amounts of it bysuccessive partial exhaustion. 
If the nucleated air is replaced by filtercd air free from nuclei, 
the residual number of nuclei in the receiver must decrease 
in geometric progression with the number of partial exhaustions. 
The latter, moreover, produce the sudden cooling bj which 
the Coronas are obtained. Let m be the moisture precipitated 
per cubic centimeter, in any exhaustion, n the number of cloud 
particles contained, d the diameter of each: then n^6mjnd^. 
Since for the successive partial exhaustions m is constant, 
n foUows from d^ and yice versa. 

Two methods are available for the absolute measurement 
of d. One may determine the apertures of the Coronas (so 
long as these are normal) by a suitable goniometer, or one 
may find the rate of subsidence of the cloud particles. Both 
are approximate and limited in scope. Two methods, fur- 
thermore are available for measuring the nucleation, n, or 
at least relations of n. Aitken's dust counter may be applied 
[work*) with this end in view is in progress] or the values 
of n may be made to decrease geometrically in the way just 
specified until normal Coronas are obtained, for which d fol- 
lows from aperture. For the last of these methods I have 
already published data; but in the course of over a years 
additional experimentation a number of new devclopments 
have shown themselves which it is my purpose here to eluci- 
date. In the first place the method formerly used for deter- 
mining m, gave results much too small. These are corrected 
in the present paper. In the second place, the Coronas were 
sapposed to be observed under adiabatic conditions of tem- 
peratore; direct experiments in this paper show that the air 
temperatares during which the Coronas are observed are nearly 
isothermaL Moeroyer the new results prove that in addition 
to the systematic loss of nuclei by exhaustion as thus fally 
computed, there is an additional loss which has hitherto 
escaped me. Each exhaustion in fact is accompanied by a 
definite loss of nuclei, for which reasons must be investigated. 



1) Aitken*8 dost connter may be dispensed with, and the intensity 
of the nneleator detennined by condensation in benzol vapor, in which 
the Coronas are all normal. See Smithsonian Contributions 1. c. 
p. 55 et seq. 



206 



C. Barua. 



Kinally I have in this paper used both eleclric and mono- 
chromatic light as a source, as well as tlie Welsbacb mantel 
employed for practica! purposes. Naturally from the iutro- 
duction of intense violets the Coronas become more complicated 
but it is only in this way that their tme nature may be 
detected. 

Tabulated data and descriptious of apparatuB, etc., will 
be omitted in what foUows, for lack of room, The latter may 




Fig. 1. 

be found in my earlier papere. The chief results of the for- 
iner are gi^en by the accompaBying chart. The coDdeneation 
Chamber was 20 cm deep, 26 cm high, 35 cm long and lined 
with wet cloth. The Coronas were observed through plate 
glasB. The chamber was placed 85 cm irom the goniometer 
and 250 cm from the source of light and the eye focussed for 
long distances. 

2. Color distributions. — In classifying the Coronas a state* 
luent of the colore of the tirst two or tliree anuuli connted &om 



Periodic color distributions. 207 

the Center Mrill usually suffice. For the caso of the electric 
light the central patch remains white, or at least opalescent 

For conyenience in specifying color the foUowing abbreyia- 
tions will be used throughout: w white, p purple, c crimson, 
r orange-red, br brown, o orange, y yellow, g green, b blue, 
V yiolet. 

Mixed colors are written together, thus bg is blue green, 
rv red violet A dash denotes an approximation to the color; 
thus V is bloish, which has been otherwise indeterminable. 
A dot denotes a deep or dark color; thus h is dark blue. 
A mere line denotes a color ring too narrow or dark to be 
recognized. This is the frequent transition from red to green, 
marked torfg. 

Beginning with the most intense nucleation obtainable, 
i. e. with particles of the least size producible, the foUowing 
Coronas appear in succession, at first tilmy and fleetingy but 
eventually brilliant and dense. The numerals attached to the 

series are arbitrary. 

1/ / 
, , , , w o ... 

IL tDvg'\ b'hr\ wgv\ wyvbg: wyovg\ wcygv, 

There is thus an obyious tendency for the colors succeed- 
ing white to foUow each other in the order of wavelength, 
as the particles continually increase in diameter. All inter- 
mediate gradations are represented. The second cycle is nearly 
complete, the firs^ can not be obtained except in the opale- 
scent orange tint, unless the steam jet is employed. The se- 
cond annulus of any Corona is apt to vary in width so as to 
be unequally important 

The next series (IQ) for successively larger particles is a 
contraction of the preceding. There is obviously much OYcr- 
lapping. The foUowing types of Coronas may be cited. The 
colors are very brilUant The second „green^^ Corona is par- 
ticolarly characteristic, consisting of three broad color bands 
and the disc is green with the Welsbach lamp. 

ITT. wvphgr\ wgbp\ wyo{b)gbf\ tor(b)gr\ 

Bie next series (IV) is a Variation of tcr' bgr approaching 
the steady normal Coronas of the next cycle. The colors are 

very olosely packed together, so that it is difiicult to produce 



208 C. Barus. 

definite types of them at will. Incidentally however the „green" 
Corona toghp is obtained particularly with the Welsbach 
lamp^ while the red of the first ring changes from 1/ to &r'. 
wrjg is frequeni 

In succeeding Coronas the normal type is practically per- 
manent and the observable Variation is merely in diameter. 

All apertures, s, will be measnred to the outer edge of 
the first ring as the contrast here is always sharp. K 9) is 
the angular radius of the goniometer (arm ^ = 30 cm), 
2 sin 9 = sjR. 

Method of Beduotion. 

3. Con^tants of the Geometrie Progression. — To determine 
whether the factor of the geometric progression of successive 
nncleations, numbered z, was to be computed isothermally or 
adiabatically, a series of direct temperature measurements was 
deemed necessary. These were made by aid of a thermo- 
couple of extremely thin wires (0,007 cm in diameter), of 
copper and german silver. The results (omitted) showed that 
after the lapse of one minute following the sudden exhaustion 
the temperature has been regained to vdthin a degree. I have 
therefore computed the density ratio of nucleation p/(>' = n/n', 
before and after exhaustion as follows. 

Since /? = Ä(>i9- in the usual notation of Boyles law, 
and p = P — /?' where P is the reduced reading of the mer- 
cury gauge and p' the vapor pressure of water vapor, 

üIq' ^{P ^ p)l[F -^ p')[l ^ 8»ld). 

The correction Sd-l», being by the table 0,7/293 = 0,0024 
or about ^4 perc, may be neglected (§ 4). Hence 

where Sp is .the pressure diflference selected. Thus the relative 
nucleation iV^, not corrected for time losses etc., would be 
iV^==y«= l0»io«y where y = 0,77 and JV^= lO-O'^^ss«, 

4. Time losses. — Nuclei apparantly decay spontaneously 
in the lapse of time, t, and a correction is to be added to N. Since 
this loss is relatively small in view of the short time intervals 
occurring in the observations, n = n^ 10^ <'-"'>\ may be assu- 
med for convenience. Hence if n be the nucleation due to a 



Periodic color distributions, 209 

giyen Corona seen at low pressure or the identical nucleation at 
atmospheric pressure after filtered air has been added^ the next 
Corona after z exhaustions and t minutes will correspond to 
Tij =s nlO«'^ y + ^^'-'j^ Thus it is merely necessary to know 
the relative values of n or the nucleation ratios to find /?. 

The Chief result of this paragraph is the relatively small 
Talue of the coefficient {b = 0,002) of time loss of nuclei. Its 
effect on the results may therefore be neglected (tested), par- 
ticularly as the effect is in part compensated by the tcm- 
perature factor of the preceding paragraph. 

5. Exhauation losses» — I shall next consider the inde- 
pendent destruction of nuclei which accompanies each ex- 
haustion. This loss did not appear in my original investi- 
gations, probably because the spherical receiver used was not 
lined witii wet cloth. 

From what has preceded the relative number of nuclei 
after z exhaustions is 10«^<>8y, whereas in the region of nor- 
mal Coronas the absolute number is certainly very ncarly 
n' s= Cs*, where C is a known constant Honce the ratio 
r «s C*'/10«**«» should be constant whereas cxperimcnt 
shows roughly that r = r^^ (1 — r^ r), a being the coefficient of 
exhaustion loss and r^, = Cs^^ the arbitrary initial ratio for 
z r»0, This result is a mere approximation and the phcno- 
menon may be fuUy explained in terms of subsülence of fog. 
In this case 10*Ä = O)/», where H is the radius of the water 
particle and v its rate of subsidence. Since 2 7? = </ = 0,0032 /.<?, 
approximately, v = 1,78*/ä*, or if v refers to minutes v = 1 90/ä^. 

The relative loss, Z per minute is for a vessel of hcight h 
and nucleation n, l = vjh = "i^Ol hs^, If as in the above 
condensation Chamber, the height is h = 26,5 cm, / = 7,2/«-. 

6. The optic constant, Diameters hy diffraction, — The 
proportionality of diameter of particle with the inverso apor- 
tnre may be assumed for normal Coronas. The occurrence of 
periodicity in the higher Coronas modifies thcse simple con- 
ditions. It is well known that for a Single particle, the 
masterly work of LommeP) has given a complete treatmcnt 



1) £. Lommel, Abhandl. d. k. bayr. Akad. d. Wissensch. [21 !'>« 
p. 229. 1884. 

BoltaaaaB-F««MbrUt H 



210 a Barus. 

of the difiractions in terms of B es sei fimctions. It is tbe 
object of the present paper to indicate the divergences for a 
group of particles and vanishing diameters. 

In meteorological work for a particle of diameter d and 
for uniformly normal Coronas, the equation sinqp =s 1,22X1 d 
is usnally assumed, if the angular radius of the Corona is qp 
and the wave length in question, A. Since in my goniometer 
2 sin qp =s s/B, where Ä = 30 cm, ds ^ a^ 73,2 h 

In view of the theoretical uncertainty of these values in 
the case of the distribution of particles met with in the 
above experiments, I have usually relied on the results of 
direct comparisons with the Corona of lycopodium spores where 
d^ = 0,0032 cm. Here a = dj, 5^ = 0,0034 for measurements 
to the outer edge of the first ring. 

7. The optic constant Diameters from subsidence. — In 
my earlier work the condensation Chamber was not cloth lined, 
and the subsidence data quite untrustworthy. In the present 
cloth lined receiver kept wet on all sides, subsidence data are 
reasonably satisfactory. The Coronas however change character 
during subsidence and in case of the initial opalescent Coronas 
(Series II, § 2) all Coronas vanish into a mere fog before 
subsidence is even appreciable. Finally the upper plane boun- 
dary of the fog which at the outset appears as a sharp hori- 
zontal line even 50 cm long, even after 1 or 2 min. becomes 
more and more vague. Subsidence is here accelerated. Hence 
it is chiefly for the normal Coronas that subsidence data are 
available, and fortunately it is precisely here that they are 
wanted. 

8. Summary of optic constants, — The following series of 
values of a ^ ds has been obtained when the measurements 
of aperture are made to the outer edge of the first ring. 

Optioally (blue) a = 0,00344 

From lycopodium {d^ = 0,0082) a = 0,00336 
From Bubsidence a = 0,00291 

The latter is decidedly the smaller corresponding dosely to 
optical puce-violet (0,00293). The datum for subsidence will 
nevertheless be chosen; being simplest in character it is appa- 
rantly the most trustworthy. Since n s= (6 7w/;ra')«', if the 



Periodic color distributions, 211 

method of Wilson and Thomson^) be used for the compu- 
tation of m the following values in grams per cubic centim. 
are applicable at the temperatures stated, for the pressure 
difference J/? = 17 cm. 

ö= 10« 20« 80« 
10« X w = 8,7 4,6 6,7 

9. Restdttng equations applied. — From what has been 
stated it follows that the first quantity to be found is tho 
initial nucleation, n^, i. e. the nucleation which obtains when 
z ^ Z. This depends on incidental conditions such as the 
intensity of the ionizer, the first Corona seen {Z) etc., and is 
therefore quite arbitrary. In the tables, for instance, n^ == n^. 
Hence 

which will be abbreviated 

n^^n^ 10(«-*) »o« y'ffCl - 5/5»). 

This equation affords in the first place a means of Com- 
puting 5. For in the region of normal Coronas n is givcn by 
the apertures of the Coronas. Thus 5 = 2,65. With this 
value of 5, the data iV^/7(l — 5/**) may be computed throughout 
Then in the region of normal Coronas the fundamental con- 
stant of the reduction follows as n^ ^370 s^ 1^11(1 - Sjs^ 
With this constant the true yalue of the nucleation (number 
of particles per cub. cm) is computed for all Coronas as 

10. Bemarks on the table». — The graphs show four in- 
dependent series of observations of diameter, d, and nucleation 
(particles per cub. cm), in terms of the relative apertore 
« &3 60 sin 9> where (p is the angular radius. The partial ex- 
haustion is to 17 cm and the standardization is by subsidence, 
§ 8. If standardized by difiraction, the n data would be 
about 0,6 smaller or the upper ^^green" Corona, for instance 
showing II -> 98 000 would then show n = 60 000 nuclei. The 
oorresponding d effect is much smaller, being + 0,2. 

1) Cf. J. J. ThomsoD, Phil. Mag. (5) 46. p. 58b. 189b. 

14* 



212 



C. Barus. 



The graphs, n in terms ois, give evidence of three cycles. 
In the eecond Beides Ütere are apparantlj four cycles, the two 
lover being distmct The horizontal position of the cnsps is 
as closely in accord as the measuremente justify. The vertdcal 
positioQ suffers from the shift and difficalty surroouding Üie 
absolute evaluation of n. Throughout their eztent, howerer, 
the fundamenUd smäarity of the graphs is unmistakable, as 




Kg. 2. 



is furthor shown in the corresponding eures for ruby light, 
since n'=s6ni/«rf' = (6m/n;a^»'tsi23(«/10*Jl)', approximately, 
the äuctuatioü of n with X is obvious; but the feature of the 
phenomenon is none the less the oecvrrence of cycUc variattom 
in the coior of the innermoit ring. The correction implied 
in the last equation wonld be more than snf&cieat. The 
violet Coronas are to be depressed as regards n and the red 
Coronas Tsised in their n ralues. 



Feriodk color distribuUous. 213 

11. Dkameiers of fog parädes. — HaTing detennined the 
tme Tafaies of n, the diameters of fog particles mar be oom- 



pated for each apeitare sinoe d = yWmJun = 0,021 n^'«. 
The lesnks aie plotted in the oonesponding graphs. Each 
of theee (if as a fimction of $) shows the thiee cjrcles already 
detennined and the cosps lie at </ = 0,0007 to 0,0008 cm 
and if s 0,0006 to 0,00055 cm, or that the intermediate and 
particnlariy fauninoos cjrcle corers a ränge corresponding to 
abont ten times the wäre lengths of the visible spectmm. 
Bnt two of the cnsps are nnmistakably marked, wfaile in other 
respects the graphs retain the hyperbolic contour, ds » const 

Since a~'^ is the cnbical Yolome which contains one 
fog particle, dfn ^ '« is the ratio of the diameter of par- 
ticles to the distanoe between particles, constant thronglK>nt. 
The distanoe between centers is thos abont 48 times the dia- 
meter of particles for the temperatnre and pressure conditions 
prerailing dnring the exhanstions. 

One may note that the diameters foond are independent 
of m; after rednction since the same eqoation also holds for Z, 

l/i/» = (*^/a)»10f— ^*««f J7(l -Sj^ 

where j^ is the iq>ertare of the normal corona nombered Z, 
Tlins d depends on a, y and s and does not therefore differ 
mach firom my earlier yalues exoept insofar as a and y were 
differently detennined and 8 not obsenred. 

Imalfy since «</* = 6 »1/7 = oonst, the relation of n and 
d are reciprocal and maxima in n thns oorrespond to minima 
in d. The cnrres bear this out The periods ' indicated by 
the cnq» in the d corres may be placed in oonformitr with 
§ 11, and their mean position may be rated at </ = 0,00072, 
0,00054, 0,00036 or in the ratio of 4, 3, and 2. In other 
woids thej aie ronghly multiples of the cycle datom 0,0001 8 cm 
and throng^nt large as compared with wäre length. 

12. MomHckrwmaiic UghL — The two independent corves 
in the chart for mby light^ snbstsntiaie the conclusions already 
drawn. I need merely add that cusps in the pctsitions 



214 C, Barus. Periodic color distributions, 

d =: 6, 4, 3, 2 X 0,00018 cm have been recogniz^d. Further- 
more nV« j d = bO. 

13. Axial color 8. — Little need be added to my earlier 
observations (1. c.) on these important accompaniments of the 
higher Coronas (series I and II), except that the white Light 
is colored by the action of more than one particle. 

Providence, Brown University, U. S. A., July 1903. 

(Eingegangen 11. August 1908.) 



215 



29. Der schiefe Wurf im luftleeren Räume als Zentral 

bewegung. 

Von E. I«ampe in Berlin« 



Nimmt man an, daß die Richtungen aller Schwere- 
beschleonigongen durch den Mittelpunkt der Erde gehen, 
und daß die GhröBe dieser Beschleunigungen dem Quadrat des 
Abstandes Ton umgekehrt proportional ist, sieht man femer 
Ton der Botation der Erde um ihre Achse ab, so kann die 
Bewegung eines unter dem Abgangswinkel a gegen die Hori- 
zontalebene mit der Anfangsgeschwindigkeit v^ geschleuderten 
(als Punkt betrachteten) Greschosses nach den bekannten Gesetzen 
der Zentralbewegung unter der Einwirkung einer dem Quadrate 
der Entfernung umgekehrt proportionalen Kraft behandelt wer- 
den. Das im folgenden angegebene Verfahren, das sich nur 
der Eepl ersehen Gesetze und der Elemente der analytischen 
Geometrie bedient, ist von mir vor längerer Zeit im Unter- 
richte zu dem Zwecke durchgeführt worden, damit die Gesetze 
der Planetenbewegung an diesem Beispiele veranschaulicht 
und die Analogien mit den Sätzen der parabolischen Wurf- 
bewegung aufgedeckt würden. 

unter anderem brauchen wir die folgende bekannte Kon- 
struktion des Krümmungsmittelpunktes M für einen Punkt P 
eines E^elschnittes. Die Normale des Kegelschnittes in M 
schneide die Brennpunktsachse in N\ das in N auf NP er- 
richtete Lot treffe den nach P von dem Brennpunkte F ge- 
zogenen Fahrstrahl in L: dann schneidet das in L auf FP 
errichtete Lot die Normale iV^P im Krümmungsmittelpimkte M. 

In Fig. 1 sei der Erdmittelpunkt, Ä der Abgangspunkt 
des Geschosses, A B die AnfangsrichtuDg, daher Winkel AB 
^ a '\' \n. Das auf AB m A errichtete Lot A M ist die 
Normale der Bahnlinie in A\ folglich Winkel MAO^a, 
Die Schwerebeschleunigung ^ in A hat die Richtung Ä0\ ihre 
in die Normale AM der Bahnlinie fallende Komponente ist 



216 



E. Jjümpe» 



daher ^ cos a. Die Bahnlinie selbst ist eine Ellipse mit als 
Brennpunkt, A£ als Tangente in A. Ist nun q der Krüm- 
mungsradius der Ellipse in A, so ist die Zentripetalbeschleunigting 
in A einerseits v^^Iq, andererseits ff .cos a, mithin 

Q =z Vq^ I g cos a ^ QqI cos cc , 

wenn zur Abkürzung v^^ I ff ^ q^ gesetzt wird. 

Man trage q = AM auf die Normale der Bahn in A auf, 
so ist M der Ejümmungsmittelpunkt der Ellipse für A. Aus M 

fälle man das Lot ML 
auf OA, aus L das Lot 
Z N auf A Mj so ist N ein 
Punkt der Brennpunkts- 
achse der Ellipse, N also 
diese Achse. Macht man 
noch Winkel N AF ^ 
AN =^ Uy so ist F der 
zweite Brennpunkt der 
Ellipse, 0A^AF^2a 
die Länge der großen 
Achse. 
Aus der hiermit gefundenen Konstruktion der gesuchten 
Bahnlinie folgt die Berechnung ihrer Elemente. Man setze 
noch Winkel NOA=0. Es war AM =: o =^ q^j cos a\ also 
L A = Q^y AN = Qq cos a. Der Winkel ö folgt mm mit Hilfe 
der Sinusregel aus dem Dreiecke ONA. Setzt man den Erd- 
radius A = B^ so ergibt sich 




Fig. 1. 



(1) 



tgO = 



Qq sin a cos a 



Ä — ^Q cos' OL 

Ebenso erhält man AF=^ r aus dem Dreiecke OAF: 



(2) 






Dieser Abstand r ist unabhängig vom Abgangswinkel a. 
Für eine konstant gehaltene Abgangsgeschwindigkeit Vq und einen 
variablen Abgangswinkcl a ist also der Ort von F eine Kugel- 
fläche um A als Zentrum mit r als Radius. Der Mittelpunkt 
der zugehörigen Wurfellipse hälftet OF, Mithin liegen die 
Mittelpunkte aller Bahnellipsen bei konstanter Anfangsgeschwin- 
digkeit und variablem Abgangswinkel auf einer Kugelfläche 



Schiefer Wurf als Zentralbewegung, 217 

Tom Badius ^ r um den Halbieningspunkt von ^^ als Mittel- 
punkt 

Die Länge der großen Achse 2 a ist gleich OA + AF; 
mit Eiinsetzung von r ^ AF, 2a = Ä + r, 

also unabhängig von a, d. h. bei konstanter Abgangsgeschwin- 
digkeit t;^ haben alle Bahnellipsen große Achsen von derselben 
Länge 2a. 

Aus dem Dreiecke OJi^ folgt 0^: sin2a = J : sin(2a + Ö), 
oder -F. sin (2 « + Ö) = Ä . sin 2 a. Setzt man -P. cos ö = x, 
OF.anO =sy, so hat man für den Punkt F die Gleichung: 

xBim2a + g cos 2 cc = iZsin2fir^ 

eine leicht zu konstruierende Gerade; auf derselben bewegt 
sich F, wenn a konstant gehalten wird, v^ sich ändert 

Bekanntlich ist die Projektion der Normale AN auf den 
Radiusvektor A gleich dem halben Parameter p der Ellipse, 
d. \l p ^ Alf. cos cc = Qq cos^ a «=3 a (1 — a*), wenn 8 die nume- 
rische Exzentrizität ist, also 1 -- t^ = Q^cos^a/a, oder: 

W I 

(4) /> = p^, cos* a, «=s-^, wo W' = yÄ* — Pq(2B — pojcos^a. 

Die Gleichung der Bahnellipse in Polarkoordinaten u, 6, 
bezogen auf als Pol, 0^^ als Polarachse ist nun endlich: 

^ ' 1 — e C08 (9 — ö) 

Aufgabe. Gegeben der Abgangspunkt A, der Zielpunkt B, 
die Anfangsgeschwindigkeit v^; gesucht die Bahnellipse. 

Losung. Von der Bahnellipse sind bekannt: 1. der 
Brennpunkt 0, 2. der Punkt A, 3. der Punkt £, 4. der Orts- 
kreis fllr F, 5. die große Achse 2 a = Ä + r (Fig. 2). Man be- 
schreibe um als Mittelpunkt mit R + r als Badius den 
Kreis, femer den Kreis um A als Mittelpimkt mit r als Radius. 
Die Verbindungslinie B trefife den ersteren Kreis in C, so ist 
O (7 = 2 o. Dann ist B C der Abstand des zweiten Brenn- 
punktes der Ellipse von B. Der Kreis um B als Mittelpunkt 
mit J9C als Radius treffe den Ortskreis für F in den beiden 
Punkten F^ und F^. Die beiden Ellipsen durch A (und B) mit den 
Brennpunkten 0, F^ und 0, F^ sind die verlangten Wurflinien. 



218 



E, Lampe» 




Fig. 2. 



Wenn der Kreis um B mit j&C7 als Radius den Ortskreis für 
Fwm A nicht schneidet, so gibt es keine Wurf linie, d. h. der 
Punkt B ist mit der Anfangsgeschwindigkeit i;^ yon Ä aus 
nicht erreichbar. Wenn der Kreis um B den Ortskreis um A 
berührt, so gibt es nur eine einzige Wurfellipse. Der Ort 

solcher Punkte B^ liefert 
die überhaupt noch er- 
reichbaren Punkte. Setzt 
man den Radius B^ C^ des 
um B^ beschriebenen 
Kreises gleich r^, so ist 
offenbar B^0 + B^A^^ 
Ä + r — r^^ + r + r^ = 
Ä + 2 r, d. h. die „Sicher- 
heitskurve" , außerhalb 
deren die nicht erreich- 
baren Punkte liegen, ist 
die Ellipse mit den Brenn- 
punkten und Ay der 
großen Halbachse iZ + 2 r. 
Der Scheitel 8 der Ellipse hälftet das Segment des Fahr- 
strahles OF zwischen dem Ortskreis von F und dem Kreise 
vom Radius 2 a um 0, Danach kann der Ort von 8 ohne 
Schwierigkeit bestimmt werden; derselbe ist jedoch keine der 
bekannteren Kurven. Wenn ins Unendliche rückt, wird der 
Kreis um zur Tangente des Ortskreises von F\ in diesem Falle 
geht der Ort von S, wie leicht ersichtlich, in eine EHlipse mit 
den Halbachsen r und \r über (bekannter Satz beim para- 
bolischen Wurf). 

Nach dieser synthetischen Betrachtung mag nun auch die 
analytische Untersuchung folgen. 

Die Wurfweite w soll unter der Voraussetzung berechnet 
werden, daß die Erde eine Kugel vom Radius R ist. Dann 
ist ti7 = 2jRÖ, weil die Wurfellipse symmetrisch zu 0^ in 
Fig. 1 liegt, also nach (1) 

(6) w = 2Rd^2R arctg -?^-«l!^"-^V^ , 

^ ' ^ Ä — ^0 cos « 

oder da man tgö mit ö für kleine Winkel vertauschen darf, 

angenähert: 



W M'urf als 



219 



oa IT = * - 

/? — ^ coe* « 
Das MATimnm ar' Ton ar findet man hiernach für cos 2 er 
=s p^ / '2Ä — pj, und zwar 

(6b) ir' = 2i?arctg ^— -.- . 

angenihert gleich j^ 



Die Wnifireite ar^ wird bei der Annahme einer para> 
boliachen Wnrflinie bekanntlich durch Formel 

ir^ = r^* sin 2 alg =s p^ sin 2 er 

gegeben. Setzt man nach Formel 

(6a) « = 7-==^^ -Ä = ?• «"» -« 
80 eigibt sich 



1+ -^— + 7^ +••• 



n 0W cos' « 

p^sin2ir.^?--^^ — 



1 + 



et cos- « . et' C06* «I 



R 



iP 



5— + ... 



Diese Differenz betragt z. B. för r^ == 500 m, ir = 30^ 
J? B 2 . lOVx, g = 9,81 etwa 66,4 m, nämlich ir == 22 136.4 m, 
tp^ s 22 070 m. Daß diese Differenz einen solchen Betrag er- 
reicht» li^ jedoch daran, daß bei ir^ die Entfemong aof der 
Horizontalebene gerechnet ist, während ir als die Entfernung 
auf der gekrümmten EugelHäche genommen ist Liegt im 
ersieren Falle der Aufschlagspunkt h Meter über der Erd* 
oberfliche, so ist ir^' = A (A + 2i?), also angenähert h = w^*j2B. 
Das Geschoß treffe die Erdoberflache i Meter hinter dem Fuß- 
punkte Ton A, so hat man alle Bogen als gerade Linien in 
Bechnnng gestellt) x = Aeotger = ir0-cotgflr/2i?, oder 



et* an* 2 a cotg s ^ 
27? 



• rin 2 «I . cos' a 



d. h. ^eich dem ersten Gliede der Differenz in ir — ar^. Li 
dem obigen Zahlenbeispiele ist x = 66,26. Mit Berücksichtigung 
dieses ümstandes ist also praktisch die Differenz der berech- 
neten Wurfweiten bei Annahme parabolischer oder elliptischer 
Bahnlinie zu Temachlässigen. Interessant ist dagegen der im 
vorangehenden begründete Umstand, daß bei großen Wurf- 
weiten die Krümmung der EIrdoberfläche sich merklich macht 



220 E. Lampe, 

Die Höhe U des Scheitels der Wurfellipse über der Elrd- 
oberfläche ist offenbar a '\' at ^ R. Nun war nach (4): 



= vPo8in*a 



« = i/l _ go (2 ^- go) ^^^g2 ^ _ 1^1 _^ cos« a [vergl. (3)]. 

Also 

jy = 2 a — — Oft cos* a — rr^ -^ C08*a — ... — Ä. 

Da aber 

SO kann man H nach Einsetzung des Wertes von a in die Reihe 
wie folgt schreiben: 

U^ Jp,sin«a + l^"(l-cos*a) 

+ y^'(l + co8*a- 2cos«a) + ... 
1+^(1+ cos««) 

+ -^^(1 + cos«a + 2cos*a) + ...1. 

Beim parabolischen Wurfe ist die Höhe H^ des Scheitels der 
Parabel H^ = v^^ sin* a/2 ^r = ^ p^ sin* ct. 

In dem obigen Zahlenbeispiel findet man jETssSlOBm, 
H^ = 3185,5 m, also H ^ H^ = 10,5 m. Da aber i?^ sich auf 
die Horizontalebene bezieht, so sind beide Zahlen nicht direkt 
vergleichbar; man hat If^ noch um ein leicht zu berechnendes 
Stück zu yergrößem und erhält dann nahezu die gleiche Zahl 
wie für H. 

Die analytische Behandlung der Sicherheitsellipse kann 
man elementar wie folgt in Angriff nehmen. 

Aufgabe, Gegeben die Abgangsgeschwindigkeit i;^, die 
Polarkoordinaten u und (f> des Zielpunktes; den Abgangs- 
winkel a zu berechnen. In die Gleichung (5) der Bahnellipse 
setze man nach Entwickelung von cos (qp — ö) die Werte von 
sinö und cosö nach (1) und von € nach (4) ein, so folgt: 

W \ R ^ Qo coß* a , Oq sin a cos a \ « 

u-u. ^ jcosT^. ^^ + smqp.'^* ^ j^Po^s^» 

oder aber 



Schiefer Wurf als Zentralbewegung, 221 

2Ru{\ — cos tj>) + Po («* cos (f ^ E)^ cos 2 cf . (>q (Ä — « cos qp) 

+ sin 2 of . Yi ÜQ sin qn. 
Um diese Gleichung für a zu lösen^ setze man 

Po (Ä — tt cos qp) — Ä . sin t/; , m p^ sin <jp = ä . cos t/;, 
so wird 

k = p.yiü»-2ÄtiC0Sa) + trS igt/; = (ig-t^cosy)^ 

A8in(2a + i/;) = 2i^ti(l — cosqp) + (>o(ucos<)p — Ä). 

Aus dieser letzten Gleichung erhält man zwei spitze Winkel a, 
solange sin (2 a + t^) < 1 > keinen reellen Winkel a, sobald 
sin(2a + 1^) > 1* ^^ einziger Winkel a ergibt sich, falls 
8in(2 IT + t^) = 1- Dann ist • 

{2 22 1£ (1 — cos tp) + Qq [u cos (f> — B)Y 

= Qq^[[R — ttcosqp)* + u%\Xk^rf], 

oder nach einigen Reduktionen unter Fortlassung des Faktors 
tt(l — cos^): 

(7) . = --"^^-^0" 



, 2 Ä - ^0 

Diese Bedingungsgleichung zwischen den Koordinaten u, qp 
des Zielpunktes gibt die äußersten mit der Geschwindigkeit v^ 
Ton Ä aus erreichbaren Treffpunkte. Es ist dieses die Polar- 
gleichung der oben konstruierten Sicherheitsellipse. Ihre 
Schnit^unkte mit der E^oberfläche ergeben die maximale 
Wurfweite. Setzt man zu diesem Behufe u^ R, so findet man 

In diesem Falle ist t^ =» J^y, sin (2 cs^ + t/;) = 1 , 2 cs^ + J^ gn = 90^, 

Sucht man den Schnittpunkt der Sicherheitsellipse mit der 
Tangentialebene der Erdoberfläche in Ä, so muß man u^ Rj cos (p 



222 



E, Lampe, 



setzen; dann wird sin-i/; = 0, rp ^ 0, also sin 2 c^ = 1, a = 45®, 
wie beim parabolischen Wurf. 

Liegt überhaupt der Zielpunkt des Wurfes in der Tan- 
gentialebene, so folgt aus u cos ^ = 7^ für c^ die Gleichung 



2 Ä M (1 — cos qp) = M (>o sin qp sin 2csf , sin 2 c^ = 



2Ru 
9o 



^\V>> 



also ergänzen sich die beiden Abgangswinkel zu 90®. Der 
höchste zulässige Wert für tg^cp ist (>q/2 7?. Daraus be- 
rechnet man die größte Wurfweite in der Tangentialebene 
Rigtp = 4R^QqI{4II^ — Qq^ = dem halben Parameter p^ der 
Sicherheitsellipse. Beim parabolischen Wurfe ist das Maximum 

der Wurfweite in der Horizontal- 
ebene gleich Qq] die Differenz 

Po - Qo ist (>oV(4Ä* - Qo^ 

Will man die Gleichung 

der Wurfellipse in die der 
Wurfparabel überflihren, so hat 
man in (5) kartesische Koordi- 
naten einzusetzen und den 
Eoordinatenanfang nach A zu 
verlegen. Man erhält für A als 
Nullpunkt, A als negative 
X-Achse: 




Fig. 3. 



0:2 {l - (l - J^ C082 «)'} -15^ ^o_ /j _ ^ cQg2 ^j sin ^ cos « 

+ y2 ^ .^oM?"^^^??!^! +2x()^cos^a - 2y(>oSinacosa = 0. 

Setzt man hierin Ä = cx), so folgt 

y^ + 2xQq cos* a — 2y (>^j sin a cos a = 0, 

die bekannte Gleichung der Wurfparabel. 

Soll man endlich auch die Geschwindigkeit und die Zeit 
des Wurfes berechnen, so ist der Flächensatz heranzuziehen. 
Ist in Fig. 3 AA'=ds, so ist Sektor AO Ä= ^l^ds^ wenn 
OL = Iq = Rco^a das Lot von A auf die Tangente in A ist. 
Femer ist ds = v^dt; also, wenn noch c die Sektoren- 
geschwindigkeit ist, Sektor ^Oi:/'=ce/^=|/y.t;or/^,c=^Äco8a.ü^j. 



Schiefer Wurf als Zentralbewegung, 223 

Daher f&r einen vollen Umlauf in der Ellipse mit der üm- 
laofiszeit T: 



abn^\^Rv^co^aT, T^ 



^ahn 



2 0-- •* > Ärocos« 

Nun ist 

i = a yi — 6* = V^^ • ^8 a [vgl. (4)]. 
Also 

y _ 2 oVt n _ _1_^»? 

unabhängig von a. 

Um die Flugzeit t fbr den in A beginnenden Sektor S zu 
finden^ hat man den Inhalt dieses Sektors in bekannter Weise 
mit Hilfe der exzentrischen Anomalie v zu finden: 

**T'''"|/r-"a"^T^' *'=«yi -€^(r + €8int;). 

Dann ist /» T.Sjabn. 

Die G^chwindigkeit v in einem Punkte der Bahn findet 
man aus dem Lote / auf die Tangente des Punktes von 
nach der Formel vi ^v^ Z^. So gewinnt man unter anderem 
die G^eschwindigkeiten in den beiden Scheiteln angenähert: 

i/ = ü.cosafl-,?^sin«a), t?" = -^^- (l - ^' cos»«) . 

(Eingegangen U. August 1903.) 



224 



30. Über elektrische Strömungen in zylindrischen 

Leitern, 

Von A. V. Bäokland in Lund. 



Das Folgende wird allein von derartigen elektrischen 
Strömungen handeln^ die^ einmal in einem zylindrischen Leiter 
erregt, sich dort eine längere Zeit erhalten können^ wenn der 
Leiter entweder frei ist, also etwa von trockener Luft um- 
geben, oder auch mit einer koaxialen zylindrischen Hülle 
leitenden Charakters versehen ist Solche Ströme werde ich 
als Eigenströme des Leiters bezeichnen und mit den folgenden 
Zeilen besonders versuchen, einen Beitrag zur Erledigung der 
Frage zu liefern, wie durch äußere magnetische Kräfte die 
Eigenströme eines Leiters verändert werden. 

1. Eigenstrbme eines homogenen zylindrischen Leiters, wenn er 
keiner äußeren magnetischen Kraft ausgesetzt wird. — Wenn 
von äußeren magnetischen Kräften abgesehen werden kann, 
hat man für das Innere eines vollkommenen Leiters die 
Maxwellschen Gleichungen in der folgenden Form anzu- 
wenden : 

A^u = 4nkfjL^, J^v = inkfjL ^-- , A^w = ink/jL^rj 

dx dy dx~~ 

Aus den drei ersten dieser Gleichungen leuchtet sofort ein, 
daß, wenn drei Integrale u, v, w derselben der durch die vierte 
Gleichung ausgedrückten Bedingung zu einer Zeit genügen, sie 
dies auch zu jeder folgenden Zeit tun. Denken wir uns jetzt 
einen homogenen metalUschen Leiter zylindrischer Form vor- 
gelegt, und nehmen wir die Zylinderachse zur ^- Achse und 
ihren einen Endpunkt zum Koordinatenanfang, so finden wir aus 
den drei ersten jener Gleichungen (1) elektrische Strömungen 
in den Querschnitten des Leiters durch folgende Ausdrücke 
ihrer Komponenten u, v, w dargestellt: 



Elektr. Strömungen in zylindrischen Leitern, 225 

(2)1 ^,^ ^W 

(^'•1.. sin ni/; + iT^,, cos n t/;), 
117 = 0. 

Hierbei sollen wir unter r die Länge des Lotes vom 
Piuikte [x, y, z) auf die Zylinderachse, unter ip den Winkel 
dieses Lotes mit der X-Achse und unter Z die Länge jener 
Zylinderachse verstehen. Es wird übrigens B der Differential- 
gleichung genügen: 

(8) ^ = («»-?. ««-jÄ, 

e^ma r^ n eine positive ganze Zahl, besonders 



(4) 



V 4(n+l) ^ 4.8(n + l)(n + 2) 

g-'^ + ) 

4.8.12(n+ l)(n + 2)(n + 8) ^ " ')' 

wobei (>^ eines der obigen p<^^), pj^, pj^^), ... ist und diese q^'^ 
Wurzeln der folgenden Grenzbedingung sind: 

a der Badius eines Querschnittes des Zylinders. Sämmtliche 
diese Wurzeln werden reell, wegen folgender Relation, die 
wir aus (8) sofort ableiten: 



a 



/rÄ(pi;'>,r)Ä((>J),r)rfr-0, igÄ, 



und daher auch, wegen der wechselnden Zeichen der Glieder 
von (5), alle p^'> positiv. Die Koeffizienten A, £, A\ B' in 
(2) lassen sich bekanntlich, nach den Untersuchungen von 
Sturm und Liouville ^), so bestimmen, daß für alle Werte 
Ton r zwischen und a 



1) Storni Q. Liouviile, Journal von Lioaville 1. p. 106. 269. 1836. 

15 



226 A. F. Bäcklund. 



QC 00 



2 



■<... -K (f i". -■) . 2 ^... » «'. >•) . «^ 



•=1 #=1 



beliebig vorgeschriebene Funktionen von r wiedergeben. Dem- 
zufolge können diesen Koeffizienten solche Werte beigelegt 
werden, daß im ganzen zylindrischen Leiter, seine äußere 
Begrenzung und seine Achse ausgenommen, jene u und v ftLr 
^ = beliebige Werte f[xy y, z) und (p (ar, y, z) annehmen. Sei nur 

dx ^ dy ~"' 

so müssen, nach meiner anfangs in dieser Notiz gefällten Be- 
merkung, die gefundenen Ausdrücke (2) f&r w, r und ti? (=0) 
auch immer für ^ > die vierte der Gleichungen (1) erfüllen. 
Besonders einfach wird der Fall: ^^^^ = — •5'^^^, -^«it> -^'«i* 
sowohl als alle übrigen A, . . . F Null. Die Strome werden 
dann kreisförmig mit der Z^Achse als gemeinsamer Achse, 

2. Einfluß einer konstanten, der Z^Ächse parallelen magneti' 
sehen Kraft — Jetzt nehme ich an, daß eine bedeutende 
magnetische Kraft vdrksam ist, die der ^-Achse parallel geht 
und im ganzen Leiter eine konstante Intensität C aufweist. 
Nach dem, was ich in meiner Abhandlung: Über die magneto' 
optischen Erscheinungen ^) auseinandergesetzt habe, geben jetzt 
die allgemeinen Max well sehen Gleichungen für einen voll- 
kommenen Leiter statt der obigen (1) die folgenden Formeln: 



(6) 



im Verein mit der jedenfalls geltenden Gleichung: 
(7) 4li + |£ + |^ = 0. 

^ ' dx dy dx 

Bremer wissen wir, daß, faUs g die Dichtigkeit der freien 
Elektrizität im Punkte (ar, y, z) des Leiters bedeutet: 

/Qx xC f dv du\ 

1) A. V. Bäcklund, Arkiv for Matematik etc., utgifvet af K. Svenska 
Vetenskapsakademien 1« p. 1. 1908. 



Blekir. Strömungen in zylindrischen Leitern. 227 

Beionderi auf drei Schlüsse aus diesen Gleichungen möchte 
ich hier die Aufmerksamkeit lenken. E^tens gilt^ wie vorher^ 
daß irgend drei Integrale der Gleichungen (6)^ die zur Zeit 
^ =3 die Gleichung (7) befriedigen, dies auch zu jeder folgen- 
den Zeit tun. Zweitens finden wir^ daß, wenn zu einer Zeit 

OmaO, 10 = 0, -= — h -ä h-=— =0, 

^ ' ' ax oy 0% ' 

auch zu jeder folgenden Zeit dieselben Belationen statthaben, 
und drittens folgt, daß im letzteren Falle {q ^0, ir = für 
t maO) die Stromkomponenten u und ü durch die folgenden 
Gleichungen gegeben werden: 

Eine Lösung dieser Gleichungen, die der Lösung (2) der 
Gleichungen (1) am meisten ähnlich ist, finden wir leicht, näm- 
lich durch die folgenden Gleichungen ausgedrückt: 

u^ytänaze' *^^Uucos «"^^ t + T sin ''"'^ t] , 

^Jq ^ \ 9 4nfA 1 4nti)' 

OfH n 

die Sommierung über alle positiven und ganzen Zahlenwerte 
Ton m erstreckt, und 27 , V^ solche Funktionen von x und 
y darstellend, die sich durch Auflösung einer Funktion von 
*+yy — ^ ergeben, also 

Hierzu ist noch die für die gekrümmte Fläche des Leitera 
geltende Bedingung zu erfüllen, die aber bei der Gegenwart 
der magnetischen Kraft C nicht durch die obige Gleichung (5), 
sondern eher, wenn das umgebende Mittel keine Einwirkung 
▼on jener Kraft erleidet, durch die folgenden Gleichungen 
auszudrücken ist: 

15* 



(») 



228 A. r. Bäcklund, 

du 



= — A(m + kxCv), 
^^ = — A(t7- kxCu), {r^a), 



dr 
dv 



die wir zu der einzigen zusammenziehen können: 

(10) ^^ {u + V Y^^) = - Ä(l - kxCy - l)(tt + v^~ 1"), (r == a) , 

woraus folgte daß flir r = a : 
x' dF^ dFg 



a d%' dr 



= -.A(l+Äx67-l)i;, {^ + yl/^l = /), 



und die Koeffizienten von F^ werden demnach komplex. Nur wenn 
>l = 0, können wir U^ und V^ durch bloße Eonstanten ersetzen. 
Sonst steht die ^Achse als Ort singulärer Punkte der Funk- 
tionen U und V, die gewiß ohne derartige Singularitäten Null 
wären. Die erwähnten Ströme (9) setzen daher eine Elektri- 
zitätserregung zur Zeit ^ = der einen oder anderen Art bei 
der ^Achse voraus. 

3. Fortsetzung, — Es waren oben ti? = und p = 0. 
Wenn dagegen zur Zeit ^ = zwar tr, aber nicht q verschwindet, 
so muß schon zu der nächsten Zeit w von Null differieren. 
Aber immerhin wird dann der Wert von to, wenn kxC so klein 
ist, daß seine zweite Potenz vernachlässigt werden kann, auch 
selbst von derselben Größenordnung klein werden, und wir 
können somit annäherungsweise statt der zwei ersten der Glei- 
chungen (6) die folgenden anwenden: 

j A^u^Ankii jj-'kxCj^, 

{ A^v =^4nkfi-jj + kxCj-i, 

deren wir leicht eine Lösung herleiten der Form: 

u = Reeller Teil von (sin gze-""* J^{q, r) [A' sin ni/; + -ff' cos n t^)), 

ü s Reeller Teil von V — 1 und das nämliche Produkt, 
wobei 

R die ebenso bezeichnete Funktion des Abschnittes 1 und (> 
Wurzel der Gleichung (10), d. i. hier 



Sektr. Säramta^en m zylmdrisehen Leitern. 229 

alao 

^m' ßm ^^^^ ^^^ /^M ^^ Uein. Die erste dieser Großen miiB 
positiT, nftmUch Wurzel der Gleichnng sein: 

Wenn femer gesetzt wird 

ü^ V fSa reelle r reell, so gelangen wir zur folgenden, der 
obigen Lösnng (2) ganz analogen Lösnng gegenwärtiger Auf- 
gabe: 

8in^^-e"(*^"*""» 7 {(£^^,C08«+ F ,sinc») 

+ {0^^8in<o— F^^cosi») 

(C^,,siniitp + 2>^,,cosinp)}, 

ü = ± 222^*^ *?£- ^-(*" + <^'0'{(£^,,sina>- F,,co8a>) 

(^•«.8in«v+»«,.C08ntp) 
— (i7^,co8io+ I^,8ina>) 

(C^,,siniivr+ Z>^^,cosiii^)}, 

to sehr klein wie knC, 

Znr Abkürzung haben wir geschrieben 9'*, cr'^'^ /92'\ (o 
statt 



(12). 




inkf^Iß 4nAu' 4nibju 



(i^'M^C+^r^*))^ bez. 



Wemi X eben so klein itt wie kxC, — wie fQr einen gut isolierten 
Leiter eintreffSsa* möchte, — fallen sowohl alle ß' als alle V weg. 
W&hrend also die Ströme des Abschn. 1 aus einfacheren zu- 
sammengesetzt sind, die an jeder Stelle ihre Richtungen un- 
Ter&ndert bewahren (aber nicht jede für sich allein möglich 
•uid, da sie nicht je für sich der vierten Gleichung (1) genügen), 
werden dagegen <Ue eben gewonnenen Ströme in gleichförmigen 



280 A. r. Bäcklund. 

Drehungen inbegriffen sein Yon der vom einen zum anderen 
Strome variierenden Zeitperiode 

doch ß' verschwindend klein. 

4. Der Leiter ist von einer Hülle umgeben und keiner be^ 
deutenderen magnetischen Kraft ausgesetzt — Wenn der Leiter 
von einer Hülle umgeben ist^ werden seine Eigenströme Ton 
denjenigen der Hülle wesentlich modifiziert^ indem beide stö* 
rend aufeinander einwirken. Es würden sogar im Leiter elek- 
trische Strömungen entstehen können, die wir im Falle, daß 
der Leiter und seine Hülle zylindrisch sind, und keine be- 
deutende magnetische Kraft tätig ist, aus den Ergebnissen des 
Abschn. 1 einfach dadurch ableiten, daß wir in (5), wenn wir 
diese Gleichung auf die Grenze zwischen dem Leiter und seiner 
Hülle beziehen, ^ = ju^ + (ij ]/^ 1, ii^ und jti^ reell und positiv, 
annehmen. Keine der Wurzeln q^^^ wird jetzt reell, sondern 

sämtlich werden sie der Form a<^»> + /J^*) )/^ 1 , mit allen ß^ 
von Null verschieden. Wenn wir daher in 7? (4) statt q^ die 
Größe a^ + ß^ ^— 1 einführen, wodurch wir bekommen 

U und V reell, so finden wir mit den Bezeichnungen des vor- 
angehenden Abschnittes statt der Ausdrücke (2) für u, Vy w 
die folgenden: 

+ (j;. sin /92'X-r,. cos /?;(•>/) 

(^«,. sin ni^ + 5',„ cos n i^)}, 

(C,„8inni// + 2>,„cosni/») 

(C,„ sin ni/; + i> „,. cos ii v)}, 
w = 0. 



(13) 



♦' = 2228'° 



m 



(16) 



Skktr. Strömlingen in zylindrischen Leitern, 231 

Es werden doch hier «^^»> + /9J^»)/— 1, .s • = 1, 2, ... die Wur- 
zeln Q^*^ der folgenden Gleichung sein: 

Sei außerdem noch Folgendes bemerkt. Wenn wir die 
(konjugierten) Ströme [u', Vj vo) einführen: 

-(^«.co8/9:C)^+r,,sin/S;c)^) 

(^'in.si^^V' + ^in.cosnv;)}, 

etCy so sehen wir aus (14), daß an der Grenze zwischen dem 
Leiter und seiner Hülle: 

Bu . / i. Ott' , . 

^7= -1^0«' + 1^1«, etc., -gy-H-jU^tt -/lijtt, etc., 

gerade als wenn f)ir die Strömung (13) die Strömung (15) die 
Bolle einer, von außen kommenden Strömung spielte, und an- 
dererseits f&r diese Strömung jene die entsprechende Bedeu- 
tung h&tte. 

Wenn auch die Hülle völlig leitend ist, gelten flir ihre 
Ströme ebenfalls Gleichungen von der Form (2), aber mit R 
als allgemeinem Integrale von (3) gleich c^R^ + c^R^y c, und 
c^ komplexe Integrationskonstanten, deren Werte erst durch 
<Üe Grenzbedingungen der Hülle zu bestimmen sind. Diese 
Grenzbedingungen lauten, für r =» a > a: 

nnd fbr r m» a: 

Aber es müssen flir die Hülle immer die Werte von g'^ + ce^ 
und ß^ gebraucht werden, die wir oben für den Leiter ge- 
funden hatten, und in R also die daraus fließenden a^ und ß^, 
5. ffie jene elektrischen Oszillationen van einer magnetischen 
Kraft in mehrere zirkuläre Strömungen gespalten werden. — Aus 
den Gleichungen (11) der N. 3 folgt fast unmittelbar, wie die 
Ströme (18) durch das Auftreten einer der ^ Achse parallelen 
magnetischen Kraft konstanter Intensität C verändert werden, 



282 A. Y. Bäcklund, Elektrische Strömungen etc. 

vorausgesetzt, daß sowohl das Qaadrat Yon kxC wegen seiner 
E^leinheit, als auch das Produkt von kxC m erster Potenz 
mit iIq oder (jl^ zu Seiten dieser /u^ oder (ji^ zu vernachlässigen 
sind. Für die Hülle des Leiters sei das entsprechende x Nnll. 
Statt der vorangehenden Ausdrücke für u, o, ir entspringen 
nämlich jetzt folgende: 

u = 222 ^^° "^L * ^"^"^ "" ""'" ^ ' (£^«. cos (» + r,. sin ö>) 

+ (?7^,sinw- r^,cos(») 

(^ «n. sin ni/; + F^^, cos n t^)}, 

(16){ «=±222 ^''''^^"^^''""'^^'(^«•^'^'*'" r,.coscu) 

(^in.sinntp + Ä.^.cosnV;) 
— (£^^, cos CO + F^, sin w) 

i^'mn. sin n 1/; + ^^^, cos n t^)}, 
ir sehr klein wie kxC, 

Die beiden Zeichen in v gehören bez. mit den gleichen Zeichen 
in (o zusammen. 

Statt der in (13) stehenden SchwingungszcJil ß"^"^ erseheint 
folglich jetzt zu beiden Seiten derselben die Reihe von Schwingungen 
zahlen 

ff(.)±I^^^ m=l, 2,..., 

wobei zu bemerken ist, erstens, daß jenes Änderungsglied sowohl 
von n als s unabhängig wirdy zweitens, daß zu den verschiedeneUj 
dem doppelten Zeichen dieses Gliedes entsprechenden PcLoren ebi^ 
zelner Schwingungen verschiedene Ä^^^, etc. gehören, weshalb diese 
Schwingungen, in welche die frühere der Periode 2n:ß'^*^ durcft 
den Magnet jetzt gespalten worden ist, sehr verschiedene Inten^ 
sitäten erreichen. 

Die jetzt erörterten Schwingungen werden aus zirkulären 
Schwingungen gebildet. Letztere existieren nicht isoliert, 

(Eingegangen 14. Aa^^t 1908.) 



238 



31. Einfloß der Änderung der spezifischen Wärme 

anf die Umwandlnngsarbeit. 

Von X H. ▼an*t Hoff in Gharlottenbarg. 



Veranlaßt durch eine Arbeit von Th. W. Richards^) 
über die Beziehung zwischen Ändemng der spezifischen Wärme 
bei einer Umwandlung und dem Temperaturkoeffizient der 
elektromotorischen Kraft habe ich den Einfluß der Temperatur 
auf die Arbeit^ welche eine Umwandlung leisten kann (freie 
Energie) eingehender yerfolgt und das Resultat der Rechnung 
auf die Beziehung von Richards sowohl wie auf Umwandlungs- 
erscheinungen im aUgemeinen anzuwenden gesucht 

1. Ableitung der Grundgleiohung. 

Die Beziehung zwischen freier Energie {E in Kalorien)^ 
Wftrmeentwickelung (Q) und Temperatur gestaltet sich sehr 
einfach bei den durch eine Umwandlungstemperatur (P) oder 
Schmelzpunkt charakterisierten Verwandlungen^ falls Q als 
konstant betrachtet wird. Eb entsteht dann der Ausdruck:^ 

(1) £=Q^~p'^, 

der die drei fundamentalen Beziehungen in sich enthält: 

1. daß beim absoluten Nullpunkt die freie Energie der 
Wärmeentwickelung gleich ist: 

(2) ^0 = «; 

2. daß bei der Umwandlungstemperatur dieselbe Null wird: 
(3) ^P = 0; 

8. daß sie sich mit der Temperatur ändert nach dem 
bekannten Gesetz: 

iA\ d E ^^ E — Q 

W Jf y - • 

1) Th. W. Richards, Proc. of the Amor. Acad. of Arts and 
Seienees p. 293. 1902. 

2) Etadct de djnamiqae chimiqae p. 197. Amsterdam 1884. 



234 /. U. van't Hoff, 

In dieser vereinfachten Form ist jedoch gerade die von 
Richards verfolgte Änderung der spezifischen Wärme durch 
die Umwandlung nicht berücksichtigt oder vielmehr als Null 
angenommen. Wird dieselbe hinzugezogen und, allgemein, die 
Verwandlung eines Systems ^^ in ein zweites B betrachtet, 
welche bei der absoluten Temperatur T unter einer W&rme- 
entwickelung Q pro Kilogramm vor sich gebt, und sind die 
bez. spezifischen Wärmen 8ji und 8b, so ändert sich Q mit der 
Temperatur nach der Gleichung: 

(5) dq = [Sj,^SB)dT=SdT, 

worin S die Differenz der spezifischen Wärmen bedeutet Wird 
dieselbe als konstant angenommen, so entsteht: 

(5a) Q^Qo + ST 

und bei Einführung in Gleichung (4) 

Durch Integration entsteht hieraus: 

E^q^r=AT^STlT, 

worin Ä eine Integrationskonstante bedeutet; für 7=0 wird 
das zweite Glied gleich Null, also: 

somit: 

(4b) E=^E^ + AT'-STIT 

und 

(4c) ^=^-5(1 +/r), 

welche erste Gleichung in vieler Hinsicht mit einer von Lewis ^) 
erhaltenen übereinstimmt 

Die physikalische Deutung des Ausdruckes (4 b) ist inso- 
weit möglich, daß die freie Energie sich aus drei Teilen zu- 
sammensetzt, wovon der erste E^ die Umwandlungsarbeit 
bei absolutem Nullpunkt, also die Abnahme der potentiellen 
Energie bei der Verwandlung unter diesen Umständen bedeutet 

Auch das zweite Glied Ä T erscheint einer Deutung fähig, 
indem man Verwandlungen betrachtet, bei denen die ganze 
Arbeitsleistung diesem Glied zuzuschreiben ist Es sind dies 



1) G. N. Lewis, Zeitschr. f. physik. Chemie 32. p. 368. 1900. 



Bmfl. d. Änderung d. spez. Warme auf d. Vmwandlungsarbeit 285 

Eonzentrationsändemngen ohne innere Arbeitsleistung^ im ein- 
fachsten Falle die Ausdehnung eines verdünnten Gases oder 
Verdünnung einer entsprechenden Lösung; der Arbeit^ welche 
dann quantitativ aus mitgeteilter Wärme entsteht^ entspricht hier: 

pro Eilogrammmoleküly falls Cß und (7^ die bez. Konzen- 
trationen sind. 

Das dritte Glied 8TIT hängt wohl mit Änderung der 
potentiellen Elnergie unter Einfluß der Temperatur zusammen. 

2. Die Besiehung von Biohards. 

Richards fand^ daß, bei Verwandlungen ohne Konzentra- 
tionsftnderung, wie z. B.: 

Mg + ZnSO^-Aq = Zu + MgSO^- Aq , 

falls die Konzentration der ursprünglichen Zinksulfatlösung mit 
deijenigen der entstehenden Magnesiumsulfatlösung überein- 
stimmt^ der Temperaturkoeffizient [dEldT) der elektromotorischen 
Kraft das umgekehrte Zeichen hat, als die von der Abnahme 
der Wärmekapazität [8a -- Sb=s 8); daß beide einander an- 
scheinend proportional sind, während entsprechend für 8=^0, 
dBIdTwn und ^» Q ist. 

Diese Beziehung geht aus (4 c) unmittelbar hervor, unter 
ForÜassung des auf die Konzentrationsänderung sich beziehen- 
den Gliedes A und es entsteht: 

(4d) JJ=_5(l+/7), 

der Proportionalitätsfaktor würde für die Beobachtungstempe- 
ratur 18^ etwa 6J betragen, also: 

Vergleichen wir damit Richards' Tabelle, worin dEjdT 
und 8 in Mayers ausgedrückt sind, dann ist allerdings ein 
konstantes Verhältnis zwischen beiden nicht vorhanden, was 
ganz gut davon herrühren kann, daß 8 als Differenz gn^ßer 
Zahlen erhalten wurde, wie z. B. für Ni + CuSO^: 

8^8a^8b^ 14997 - 14966 « 31 . 



236 /. H. varCt Hoff, 

Darum sind in der untenstehenden Tabelle die höchsten 
Werte vorangestellt und dann S und dJSjdT summiert: 





S 


dE 
dT 


ZidT' 


Mg + ZnS04 


124 


- 623 


5 


Mg + CUSO4 


106 


- 620 


6,4 


Mg + NiS04 


76 


- 550 


5,9 


Mg + PeS04 


65 


-540 


6,3 


Zn +FeS04 


- 60 


76 


7,3 


Zn + NiS04 


- 50 


75 


8 


Fe + CUSO4 


41 


- 76 


7,5 


Ni +CnS04 


31 


- 69 


7 


Zn +CUSO4 


- 17 


10 


T,4 


Fe +NiS04 


10 


- 3 


7,1 



Es hat also allen Anschein, daß der Quotient sich um den 
berechneten Wert 6,7 bewegt. 

3. SohmelBung und Umwandlung. 

Bei der Schmelzung und ähnlichen, bei bestimmter 
Temperatur vor sich gehenden Umwandlungserscheinungen läBt 
sich in den Gleichungen: 

JE^ Eq + äT- STIT 
und 

nicht mehr von vornherein Ä vernachlässigen, nur wird A eine 
wesentlich untergeordnete Bolle spielen. 

Dies vorausgesetzt, seien die zwei Fälle gesondert be- 
trachtet, worin 

iS > und S<0 

ist Im ersten Falle wird Q mit der Temperatur linear an- 
steigen, im zweiten abnehmen (siehe Fig. 1 und 2). Was £ 
anbelangt, so wird für 0^ dieser Wert gleich Q^ sein [A in 
Fig. 1 und 2) und die Anfangsänderung mit der Temperatur: 



flir5<0 (J5, = -oc. 



Einfl. d. Änderung d, gpez. Warme auf d. Vmwandlungsarbeit, 287 



Da bei aDsteigender Temperatur schlieBlich: 

dE 



für Ä > j^ negati? , 

d E »j» 
i-f positiv 



ftr 5<0 



Mrird, muß dEjdT gleich Null werden, bei einer Temperatur, 
wobei £ ^ Q ist, und diese Temperatur liegt, entsprechend dem 





Fig. 1. 



Fig. 2. 



voraussichtlich kleinen Wert von A, ziemlich tief (B in Fig. 1 
und 2). Graphisch werden die zwei Fälle durch B^ig. 1 und Fig. 2 
wiedergegeben (in B hat die Kurve eine horizontale Tangente). 
Der erste Fall: 

5>0 

entspricht offenbar den Bedingungen der Umwandlungserschei- 
nung, da hier E schlieBlich durch Null geht und sein Vor- 
zeichen wechselt (P in Fig. 1). Für diese Erscheinung ist also 
allgemein: 

Sä>Sb, 

d. L die in höherer Temperatur stabile Form hat die größere 
spezifische Wärme. 

Wenden wir dies zuerst auf die einfachste Form der Um- 
wandlungserscheinung, auf die Schmelzerscheinung an, so er- 
gibt sich die bekannte Tatsache, daß die spezifische Wärme 
des flüssigen Körpers größer sein muß als diejenige des festen. 
Wiewohl vielleicht überflüssig, sei dennoch die folgende Zu- 
sammenstellung der Daten gegeben: 



238 



/. H. van't Hoff. 





(Sp. W. 
flOssig) 


Apiol 
Benzol 


0,88 
0,48 


Benzo^äure 


0,37 


Betol 


o,2r 


Blei 


0,036 


Brom 


0,11 


Ghlorblei 


0,1 


ff-Crotonsäure 


0,52 


Diphenjlamin 
p-Dibrombenzol 


0,45 
0,21 


Essigsäure 
Jodblei 


0,48 
0,065 


Kalium 


0,25 


Kaliumnitrat 


0,83 


Laurinsäure 


0,53 



^B 




^Ä 


^B 


(Sp. w. 
fest) 




(Sp. W. 


(Sp. w. 
ftet) 




flüssig) 


0,8 


Myrisünsäure 


0,54 


0,46 


0,85 


Naphtalin 


0,44 


0,88 


0,27 


Naphtjlamin 


0,89 


0,88 


0,22 


Natriumnitrat 


0,41 


0,28 


0,084 


Nitronaphtalin 


0,86 


0,88 


0,084 


PhenyleRsigsäure 0,49 


0,88 


0,071 


Phosphor 


0,2 


0,18 


0,44 


Quecksilber 


0,084 


0,082 


0,81 


Schwefel 


0,24 


0,16 


0,15 


Schwefelsäure 


0,085 


0,068 


0,46 


SUber 


0,075 


0,06 


0,03 


p-Toluidin 


0,6 


0,46 


0,17 


Wasser 


1 


0,5 


0,24 


Wismut 


0,086 


0,08 


0,46 


Zinn 


0,064 


0,056 



Verfolgen wir Q und E für Benzol, mit dem Schmelz- 
punkt 5^ und der latenten Schmelzwärme (Q^^g) 30,7, so ist: 

S^Sa^Sb = 0,43 - 0,35 = 0,08 Q == 8,5 + 0,08 T, 

femer: 

£^E^ + AT-^ 0,08 y/T = 8,5 + AT ^ 0,08 TIT, 

worin für 

r=278, E=0, 

also 



somit: 
für 

ist dann 



^ = 0,08/278-1^ = 0,42^), 



^ = 8,5 + 0,42 y- 0,08 7/ 7; 
dE 



dT 



= oder ^ = Q 



0,08/7=0,34, 



7=70. 



Dieselbe Beziehung, daß die in höherer Temperatur stabile 
Form die größere spezifische Wärme aufweist, läßt sich auch 
bei den Umwandlungen allotroper Elemente oder polymorpher 



1) A ist im allgemeinen etwa 6 S, 



Minfi, d, Änderung d. spez. Warme auf d. Umwandlungsarbeit. 239 

Verbindungen erwarten. Nur ist zu berücksichtigen, daß, indem 
8 klein ausfällt bei kleinen Schmelzwärmen [S ist 0^5 beim 
Eis, mit einer maximalen Schmelzwärme von 80; 0,02 beim 
Phosphor mit der minimalen Schmelzwärme 6), bei den hier 
▼erliegenden kleinen Umwandlungswärmen schon eine sehr 
genaue Bestimmung von 5^ und Sß nötig ist, um das richtige 
Vorzeichen für 5^ — Sß zu erhalten. 

Für Eilemente liegen die folgenden Daten vor: 

Kohlenstoff 0,114 (Oraphit bei - 50 <^ 0,0685 (Diamant bei - 50<) 

Kohlenstoff 0,467 (Graphit bei 1000 <0 0,459 (Diamant bei 1000<) 

Phosphor 0,17—0,2 (gelb) 0,17 (rot) 

Schwefel 0,18—0,2 (prismatisch) 0,16 (rhombisch) 

Zinn 0,56 (metallisch) 0,55 (grau) 

Für polymorphe Verbindungen liegen folgende Daten vor, 
Ton denen sich wiederum S^ auf die bei höherer Temperatur 
stabile Form bezieht:^) 





^A 


Sb 


AgJ 


0,0577 


0,0544 


(}n^,.12AgJ 


0,058 


0,0588 


Cnjj,. 4AgJ 


0,0702 


0,0565 


dUf«^!* 8 AgJ 


0,0726 


0,0596 


PbJj.AgJ 


0,0567 


0,0475 


KNO. 


0,285 


0,208 


NH4NO,(81 ^ 


0,355 


0,407 


NH4NO,(82»5) 


0,426 


0,355 



Hier liegen also yereinzelt Abweichungen vor, die jedoch näher 
zu prüfen wären. Sie könnten bei verhältnismäBig kleinen 
Q- Werten auftreten und würden da das sehr eigentümliche 
Verhalten zur Folge haben, daß ein Paar Modifikationen zwei 
Umwandlongstemperaturen hat. 

Schließlich läßt sich auch dieselbe Beziehung bei den 
mehr komplizierten Vorgängen erwarten, wofür jedoch bis 
jetzt das vorliegende Material sich auf die Scheinschmelzung 
einiger Salzhydrate bezieht, welche Schmelzung bekanntlich durch 
Krietallwasserabspaltung bedingt ist Folgende Daten sind 
anzuführen: 

1) M. Bellati und B. Romagneoe, J. B. p. 170. 1884; p. 200. Ib85. 



240 



J.H. 


vanU Hoff. 






Sä 


Sß 


Na,S,0..5H,0 


0,569 


0,445 >) 


CaGlt.6H,0 


0,56 


0,845 «) 


Na,HP04.12H,0 


0,784 


0,408 *) 


H,S04.H,0 


0,438 


0,227 ^ 


CaN,0e.4H,0 


0,519 


0,897 ^ 



Sie bestätigen durchweg die Regel 

4. Erweiterung des Bataes vom beweglichen Qleiohgewioht. 
Die Gleichung: 

erlaubt noch eine dritte Anwendung, welche von einer Annahme 
über die Größe von A unabhängig, dafür aber auch nur quali- 
tativer Natur ist 

Als von mir der sog. Satz Yom beweglichen Gleich- 
gewicht hervorgehoben wurde und betont, daß eine Qleich- 
gewichtsverschiebung sich bei Abkühlung immer zu gunsten 
des unter Wärmeentwickelung entstehenden Systems vollzieht, 
wies ich auch auf die Konsequenzen hin, daß bei tiefer Tem- 
peratur die Gleichgewichte den unter Wärmeentwickelung ge- 
bildeten Systemen entsprechen vrürden; bei hoher Temperatur 
umgekehrt. 

Die erstere Schlußfolgerung ist auch in der obigen Glei- 
chung enthalten, indem E und Q beim absoluten Nullpunkte 
zusammenfallen und somit dann Q die Reaktionsrichtung be- 
herrscht. Diese Schlußfolgerung ist vollkommen bindend und 
spricht sich noch bei unserer gewöhnlichen (ziemlich niedrigen) 
Temperatur aus in der vielfachen Gültigkeit der Thomsen- 
Berthelotschen Regel, daß die Reaktionen im Sinne der 
Wärmeentwickelung vor sich gehen. 

Die Verschiebung der Gleichgewichtslage bei hohen Tem- 
peraturen in umgekehrtem Sinne ist jedoch, nach der obigen 
Gleichung, nicht nur an das Zeichen der Wärmeentwickelung 
gebunden, sondern auch daran, daß S einen positiven Wert hat, 
und so werden bei hoher Temperatur nur diejenigen Reak- 



1) G. Tarn mann. Kristallisieren und Schmelzen, p. 45. 1908. 

2) £. C. Pickering, Beiblätter 16, p. 511. 1892. 



Einfl, d, Änderung d, spez, IVärme auf d. Umtcandlungsarbeit 24 1 

tionen im Sinne der Wärmeabsorption erfolgen, bei welchen die 
spezitische Wärme der gebildeten Produkte die größere ist. 

Diese weitere Bedingung erklärt eine ganze Gruppe von 
sonst befremdenden Tatsachen. Überblickt man nämlich die 
sog. Dissoziationen, d. h. die bei hoher Temperatur im um- 
gekehrten Sinne sich vollziehenden Reaktionen, so sind es 
durchaus nicht allgemein diejenigen, welche sich unter Wärme- 
absorption YoIIziehen, wiewohl dies offenbar eine Bedingung 
ist Vielmehr sind es diejenigen Umwandlungen, die man als 
ein Zerfallen bezeichnen kann, und wobei, entsprechend der 
vermehrten Molekülzahl, auch die spezifische Wärme ansteigt 
Das war auch die alte empirische Auffassung, wogegen aller- 
dings einige Beispiele, die Bildung des Acetylens, Schwefel- 
kohlenstoffs, Tellurwasserstoffs usw. sich anführen ließen. Durch 
den neuen Zusatz, welcher sich auf eine notwendige Zunahme 
der spezifischen Wärme bezieht, scheint sich nun die Yoraus- 
sagung mit den Tatsachen vollständig zu decken. . 

(Eingegangen IS. Augast 1903.) 



Doltuimnii-Fwtochrin. 16 



242 



32. On some Problems in the Distribution of a Gas. 

Bj Qeorge W. Walker in Cambridge. 



1. Introduotory. 

My object in the present paper is to give the complete 
Solutions of some differential equations which occur in this 
subject I shall further indicate the kind of problem to which 
these Solutions may be applied. The application to any par- 
ticular case will then involve merely the determination of the 
arbitrary constants of integration for the special circumstances 
of the case. 

The question of the distribution of a gas under its own 
gravitational attraction is of great importance in astronomy. 
The distribution of free negatively charged particles (cor- 
puscles) in an electrical field, is also an important question. 
We shall find that both questions depend, on the Solution of 
the same type of differential equation. 

First The distribution of a gas at constant temperature 
at rest under its own gravitation. 

Let p be the pressure and q the density at any point 
Further let x ^^ the gravitational potentiaL Then the com- 
ponents of force in the directions x, y, z are 

Let US assume that the ordinary gaseous law holds so that 
p ^ QJh where A is a constant which is inversely proportional 
to the absolute temperature. Then the equations of hydrostatic 
equilibrium may be written 

m (L^P ^ iP 1 ^\^( ^x Jx dx\ 

^^^ [q bx ' Q dy' Q dx) " \dx'' dy' ~dx)' 

or 

m (^^JS9 i^lge l^A^l^x dx dx\ 

^"^^ \h dx ' h dy ' h d%l'^\dx' dy' dx)' 



Distribution of a gas, 243 

Hence by Integration we obtain 

(4) (> = (io « + *' 

where {f^ is the density where / = . We must also have 
Poissons* equation 

where y is the gravitation constant 
Hence substitating from (4) we get 

<•) s+-i^-+f.^ --")•<...". 

The Einetic Theory of Gases leads to the same equation 
provided the number of particies is sufficienüy great. 
Equation (6) will thus be fundamental in the theory of a dis- 
tribution of meteorites. 

Second. The equilibrium distribution of a large number 
of free negatiyely electrified particies (corpuscles) under the 
influence of an electrostatic field. 

Let p be the pressure, and q the mass density then 
pisxQlh as Professor Drude ^) has shown. 

Further let — <» be the Charge (negative) and m the mass 
of a particle, and V the electrostatic potentiaL 

The components of electrical force are given by 

Hence the equations of hydrostatic equilibrium are 

^*^ \h dx ' h dy ' h dx ] " m\dx ' By ' di\' 
Therefore by integration we get 

Now the electrical density is (— eQJm), Thus Poissons' 
equation is 

^ ' dx* ay* ox* m ^ w ^" 

This equation is fundamentally the same as (6). 



1) P. Drude. Anh. d. Phy. I. p. 572. 1900. 

16* 



244 0. r. Walker. 

In a former paper ^) I applied this equation to the qaestion 
of striations in a vacuum discharge tube. The equation has 
recently assumed a new interest on accoant ofBichardson's^ 
experiments on the corpascles giyen off by hot conductors. In 
his paper Richardson considers the problem of the distribation 
of the negative corpuscles in the vicinity of a hot charged 
conductor which is an infinite plane. The Solution which he 
gives is not howeyer the most general. 

2. The equation for one dimension. 

If we take x as the independent variable^ equation (6) 
takes the form 

(10) |^=_4«yp,«*x. 

It may readily be verified that the general Solution is 

(11) 8-*':= "-l»-^ {«>•* + » + e-^»-«j* 
or 

(12) p = p^ e + '•« = 2VfÄ ' co8h«^(l x + «) 

where Ä and a are arbitrary constants (cosh is the hyperbolic 
cosine). 

The gravitational problem in one dimension has little 
practical interest» so that I pass to the electrical problem. 

Equation (9) takes the form 

The complete Solution is 
.... _ [^^y _ _ J^m^ 1 

\^v e -9o^ - 2 TiV h ' co8h« (ä ar:fV) • 

The matter density must be always positive. Hence we must 
take new constants so that 

and the Solution then takes the form 

l^v B«iw* 1 

1W i_^ 



(15) Po«-* =1 



2,7«»// coB*{Bx + ß) 



1) Phil. Mag. 1900. 

2) 0. W. Richardson. Phil. Trans. A. 201. p. 497. 1903. 



Distribution of a gas. 245 

and the potential is giyen by 

The Solution may be applied to the distribution betweeu 
two parallel infinite plates, kept at the same temperature, bat 
at different potentials. 

The three arbitrary constants of integration q^^ ß and B 
may be determined from the given potentials of the two plates^ 
and the pressure at some point 

It is to be observed that the suppositiou p ^ gjh involves 
the possibility of infinite density. In practice this cannot 
occur and the Solution must break down if cos [Bx + ß) va- 
nishes anywhere in the ränge. 

8. The equation in two dimensions. 
The equation (6) takes the form^ 

Let t// be the general Solution of 

that is 

(19) i/; = /;(x + iy) + /;(x-iy). 

where F^ and F^ are arbitrary functional forms. 

Then it is easily verified that the Solution of (17) is 

By giviug t// variou» forms we get a variety of possible 

distributions. The case of circular symmetry is of considerable 

interest 

Take 
(21) ^t)^Ä{x + iyY + B{x + iy)-- 

where Äy B and n are arbitrary constants. Further let (o^ = 
X* + y* and tan = y/x. 

Then we find that (20) becomes 

^ ^ ■" 2n*ÄB 

or 



246 G. r. Halker, 

2n« 6)»('»-i) 



C^Po«'*' = 



(23) '^ ^** r^V. ^V 






Since the Solution involves two arbitrary constants n and 
AjB it is the most general Solution for cylindrical symmetry. 

Since the density must always be real and positive. 
j^l*JB^l* must be real and n must be real. The symmetry of 
(22) shows that we need only consider positive values of n. 

There are three cases: 

1"^ If n is < 1 the density is infinite at the origin and 
is everywhere eise finite, 

2°^ if n is =: 1 the density is finite at the origin and 
finite everywhere eise, vanishing at infinity, 

3^^ if n is > 1 the density is zero at the origin, rising 
to a finite maximum as w increases and then diminishing to 
zero as (o increases to infinity. 

The last case seems to me of particular interest; iu 
astronomy. 

The total quantity of matter between two planes at unit 
distance apart and perpendicular to the axis of symmetry is 



OD 





An^AB rw(2n-i)(/(y 



/, 



hv J (Iw»»» +5)« 


= — ** 

and is thus finite. 

The Solution (23) may also be applied to a mass of gas 
outside a solid circular cylindrical core. 

In the electrical case equation (9) takes the form 

and so the complete Solution takes the form 
(25) 6 • --^^Po m^Tdfpy /ä>y 

where tp =^ F^{x + iy) + t\ [x - ty). 



Disträmtion of a gas, 247 

In the case of circular symmetry we obtain 

^^y _ 2n« ft)«(»-i ) 

(26) Po« """" ^ «• r^V. . ^'Z 






In Order to obtain a real positive matter density we 
may take 

(Fürst) ^Vt I jßVt purely imaginary and = i /u . 
Then we have 



'4 y 2n« w«(«^l) 



(27) ^''' ""r?T~r~z TT. 






The Solution is invalid at the point (o ^ \ j ^y^, but it 
may be applied to the distribntion between two cylindrical 
circular conductors at the same temperature and at different 
Potentials provided the point o? «= 1 / ^u^^^ does not lie between 
the two cylinders. 

(Secand.) We may take n ^ in' and 

and the Solution then takes the form 

-^-y _}_ n^ w' 

(28) Po« -2 «« {co8(n'lgai+'o)j« • 

4. Solution in the oaae of a steady aleotrioal ourrent between 
two parallel oonduoting planes at the same temperature and at 

different potentiali. 

Let US take the axis of x perpendicular to the plates, 
and let fA be the average velocity of the particles in the 
direction of the axis of x at any point x, 

The dynamical equation is 

(29^ « - ^ = - - ^^ + "^ — ^ 

^ ' dx Q dx m dx 

mnd the equation of continuity is 

(80) %^^0 



248 



G. ». »'alier. 



and the eqnation for F is 

(81) 






Integrating (30) we obtam 

(32) gu^ A 

where ^^ is an arbitrary constant 
lutegratiDg (29) we obtain 

(33) |„2=_|lgt,+ 

where C is an arbitrary constant. 
Sabstituting in (31) we get 

d 



m 



y + t 



(34) 






Let 



»IT 



Theü 



j, 1 ^•, 1 , 



^ ' dx \qh q^\ dx 

Now (34) becomes 
(36) 



da;' m" ^ 



(37) 



Hence multiply by dfjdx and integrate. We get 



where B is an arbitrary constant. 
Using (35) we obtain 



and hence 

where a is an arbitrary constant. 



(39) 



r + a = 




Distribution of a yas, 249 

The integral is reducible by means of elliptic funciions. 



Let 

(40) Q = -/r-v: 

in the usual notation for elliptic functions, where /u is a con- 
stant. V, a new yariable, is the argument of the function and 
k is the modolus. 

We find that (39) takes the form 
MIN x + a= ^. _r/|, — ., 8n*ölr/t7 

where the modalus is given by 



and (jL =s A^jk*. 
Hence we get 



A* = - 1 - ^ . 

4nc* 



l . 2 



(42) 



A 






I f 1 , 2 + *• , 2 (1 +*«) ^ 1 



where i^(v) is the second elliptic integral given by 



Jg(t;) = Cdn^vdv. 



The equations (33), (40) and (42) give the complete Solution. 
Whether the modnlus thus determined is real and less than 
unity depends on B, bnt in any case the transformation to 
a real modnlus less than unity can always be effected by 
recognized methods in the theory of elliptic functions. 

We have thus obtained the Solution of an important 
question in the theory of the electrical discharge between two 
conductors, and the Solution may be tested experimentally, 
although no doubt the numerical labour of applying the Solution 
would be yery considerable. 



250 G. r. IValker. 

5. The eqailibrium distribation between two parallel oonduottn^ 
planes at different potentialB and at different temperatnre«, 

We can solve this question when the temperatore yaries 
in any specified manner between the two planes. 
Let 

(43) p = CQÖ 

where 6 is the temperature at any point and c is a constant. 
The hydrostatic equation is 

(44) 14^= -«- 1-^- , 
^ ' Q ax m ox 

we also haye 

Differentiating (44) and using (43) we get 

(46) ^^_1^ cpö = 4«— ,(> 

^' OX Q ax ^ nr^ 

or 

Hence putting 

cgd =^ bx 

and supposing that d is a specified function of x, let us take 
a new variable | so that 



-/ 



dx 
then we obtain 

(48) 1^ = 4«-^;.. 

and this is the one dimensional equation already considered. 



6. Conolusion. 

I have spent some time on the equations (6) and (9) in 
three dimensions, but with small success. I have only obtained 
a particular Solution even in the case of spherical symmetry. 

Equation (6) takes the form 



Distribution of a gas. 251 

and equatiou (9) takes the form 

A particular Solution of (49) is 

(51) «*'=o ^-A". 
and of (50) 

(52) a^"= -/ . 

m 

Equation (51) may be of some limited value, but (52) is 
quite meaningless. 

The Solutions in the case of one and two dimensions may 
be of some practical value, and it is with this hope that 
I venture to offer them. 

(Eingegangen 21. August 1903.) 



252 



33. Über die sogenannte absolute Bewegung. 

Von C. Neumann in Leipzig. 



1. Allgemeine Betraohtangen. 

Die von Galilei und Newton begründete, und sodann 
namentlich von Lagrange und Laplace weiter ausgebildete 
Theorie der analytischen Mechanik nötigt uns, alle Teile des 
Universums auf ein und dasselbe rechtwinklige Achsensystem zu 
beziehen. Es beruht nämlich diese Theorie auf den bekannten 
Differential-G-leichungen : 

und bei Anwendung dieser Differential-Gleichungen sind wir 
(falls nicht einander ganz widersprechende Resultate zum Vor- 
schein kommen sollen) schlechterdings gezumngen, die Bewegungen 
aller überhaupt vorhandenen Massenpunkte auf ein und dasselbe 
rechtwinklige Achsensystem zu beziehen, welches etwa kurzweg 
mit Alpha bezeichnet werden mag. 

Allerdings ist dabei eine gewisse Ausnahme zu ver- 
zeichnen. Man kann nämlich, falls es beliebt, neben dem 
Systeme Alpha, auch ein anderes rechtwinkliges Achsensystem 
Beta benutzen. Nur muß dieses letztere alsdann im Kaume 
des Systemes Alpha entweder festliegen, oder wenigstens in 
diesem Baume eine nur translatorische Bewegung von kon- 
stanter Geschwindigkeit besitzen. 

Das System Alpha pflegt man ein ruhendes oder absolut 
ruhendes zu nennen, und demgemäß pflegt man Orts- 
bestimmungen, Geschwindigkeiten und Bewegungen, die' auf 
dieses System Alpha sich beziehen, als absolute zu bezeichnen. 
Selbstverständlich sind das alles nur Epitheta ornantia, nämlich 
Worte ohne Inhalt In der Tat könnte man, falls es beliebt^ 
diese Epitheta ganz fallen lassen, und etwa kurzweg vom 
Systeme Alpha sprechen. Alsdann hätte man z. B. die absoluten 
Bewegungen als Alphabewegungen zu bezeichnen etc. — Doch 



über die absolute Bewegung. 253 

würden derartige Neuerungsvorschläge keinerlei Aussicht auf 
Erfolg haben, und — im Interesse der Kontinuität der £nt- 
¥ricklung der mathematischen Sprache — auch gar nicht einmal 
empfehlenswert sein. 

Das System Alpha repräsentiert offenbar, weil alle Be- 
wegungen auf dasselbe zu beziehen sind, eine gewisse indirekte 
Verknüpfung zwischen allen im ganzen Universum stattfindenden 
Prozessen^ und involviert also, — kann man sagen, — ein ebenso 
rätselhaftes wie kompliziertes üniversalgesetz. 

Von hervorragenden Physikern und Philosophen, namentlich 
z. B. von E. Mach, ist das System Alpha beanstandet worden. 
Und in der Tat muß man zugeben, daß die auf dieses System 
Alpha sich stützende analytische Mechanik eigentlich eine recht 
wunderbare Theorie ist. Viel angenehmer würde es jedenfalls 
sein, eine Theorie zu besitzen, bei der das System Alpha über- 
flüssig wäre, und bei welcher man — unter Vermeidung eines 
solchen metaphysischen Elementes — nur allein von dem 
physisch Oegebenen ausgeht.- 

Das System Alpha kann nicht in starrer Verbindung mit 
den Fixsternen gedacht werden, weil diese ihre relative Lage 
zueinander von Augenblick zu Augenblick ändern, ff'o befindet 
sieh nun aber das System Alpha? Welche Mittel haben wir zu 
seiner näheren Bestimmung? Es liegt in der Natur der Dinge, 
daß man diese Frage nur mit Hilfe der Theorie, und auch in 
der Theorie nur a posteriori zu beantworten vermag. 

Zu ihrer Beantwortung könnte man etwa hinweisen auf 
die Laplacesche invariable Ebene. Denkt man sich nämlich 
die Theorie der Bewegung unseres Planetensystemes entwickelt 
auf Grund des noch ganz unbekannten Achsensystemes Alpha 
und unter Anwendung des Newtonschen Gravitationsgesetzes, 
so wird man sicher sein können, daß die Richtung der in 
solcher Weise für unser Planetensystem sich ergebenden 
Laplaceschen Ebene invariabel ist in bezug auf jenes un- 
bekannte System Alpha; wodurch alsdann für die Lage des 
Syttemet Alpha ein gewisser Anhalt gewonnen sein würde. 
Allerdings involriert diese Methode die Voraussetzung, daß die 
Bewegung unseres Planetensystemes von Seiten der Fixsterne 
nicht merklich beeinflußt werde. Eine solche Voraussetzung 
aber ¥mrd berechtigt sein, sobald man dem Newtonschen 



254 C, Neumann, 

Grayitatiousgesetz für sehr große KntfermiJigen eine gewisse 
Modifikation zuerteilt, wie solche schon von Laplace^), dann 
in neuerer Zeit von Seeliger^ und endlich in etwas anderer 
Form auch von mir (in meinem Werke: Über das Newtonsche 
Prinzip der Femwirkungen, Leipzig, 1896) in Vorschlag gebracht 
worden ist^ 

Etwas ausfuhrlicher würde die gestellte Frage — jedoch 
ebenfalls unter Voraussetzung der soeben genannten Modi- 
fikation des Newton sehen Gesetzes — folgendermaßen zu be- 
antworten sein: 

Man ziehe von der Sonne S zwei Linien nach irgend zwei 
Fixsternen F und G, Die relative Lage des noch unbekannten 
Achsensystemes Alpha in bezug auf diese beiden Linien SF und 
SG wird abhängig sein von sechs Argumenten, die ihrerseits 
unbekannte Funktionen der Zeit sind, und es handelt sich 
alsdann also um die nähere Bestimmung dieser sechs un- 
bekannten Zeitfunktionen. 

Denkt man sich zuvörderst die Theorie der Bewegung 
unseres Planetensystems entwickelt auf Grund des Achsen- 
systemes Alpha und unter Anwendung des (modifizierten) 
Newtonschen Gesetzes, so kommen hierbei jene sechs Zeit- 
funktionen offenbar gar nicht in Betracht, so daß also die 
Resultate der Theorie von jenen sechs Zeitfunktionen ganz un* 
abhängig sein werden. 

Diese theoretischen Resultate sind nun aber zu vergleichen 
mit den Beobachtungen. Letztere können von Hause aus etwa 
bezogen gedacht werden auf die beiden Linien 8F und SO, 
sind alsdann aber zu übersetzen in den Raum des Systemes 
Alpha, und werden, nach Ausführung dieser Übersetzung, mit 



1) Laplace, M^capiqae Celeste. Tome V, Li vre XVI, Cbap. IV. 

2) Seeliger, Astron. Nachr. Nr. 3278 (1895). 

3) Anschaulicher werden die Dinge, wenn man gleichzeitig xwei 
Planetensysteme in Betracht zieht, an ganz verschiedenen Stellen des 
Weltraums, und von solcher Lage, daß jedes derselben von den 
umgebenden Fixsternen, bei Zugrundelegung des (modifizierten) Newton- 
scheu Gravitationsgesetzes, keinen merklichen Einfluß erleidet Alsdann 
nämlich wird die Theorie für jedes dieser beiden Planetensysteme eine 
gewisse Laplacesche Ebene Uefem, und die Richtungen dieser beiden 
Ebenen werden in bezug auf das System Alpha invariabel, mithin auch 
xueinander invariabel sein. 



Üier die nhsohtte Beweffuntf. 

jenen secki Zeitfunktionen hthafitt sein. Vergleicht luikii also 
diese BeoliachtungBresultate mit den Resultaten der Theorie, 
so wird man zu Formeln gelaogeu, die ebenfalls mit jenen 
Hechs Zeitfunkttonen behaftet sind. Und alsdann würde es 
sich nun scblieBlicb darum handeln, jene sechs Zeittiinktionen 
derart einzurichten, dati die in Rede stehenden Formeln 
möglichst genau erfüllt aind, u. h. w.i) 

Ich habe mich hier in Gebiete hineingewagt, die mir ver- 
hältnismäßig fern liegen. Die Astronomen von Fach dürften 
meine Anseinandersetzuns-en, namentlich in praktischer Be- 
ziehung, bedeutend besser und vollständiger zu gestalten im- 
stande sein. Im wesentlichen aber werden sie, wie ich hoffe, 
mit meinen Auseinandersetzungen einverstanden sein. 

^ 2, HlBtorisohe Notiian. 

Das Achsensjstem Alpha ist von mir in meiner Antritts- 
vorlesung') kurzweg als ein slarmr Körper Alpha bezeichnet 
worden, was leider zu Mißverständnissen Veriiulassuug gegeben 
hat. Wenn ich damals einer solchen Ausdrucksweise mich 
bediente, so geschah das niimentlich mit Rücksicht auf meine 
damaligen Zuhörer, unter denen Terhältnisniaßig nur wmiffe 
Mathematiker sich befanden. 

Kaum bedart' es der Bemerkung, daß meine damalige 
Vorlesung in voller Übereinstimmung sich befindet mit La- 
grange undLaplnce. üo z. B. spricht Lagrange in seinem 
berlihint«n Werk*) von der Eulerschen Mechanik von 1736, 
und fährt sodann fort: 

Man habe seit einiger Zeit die Eulerschen Formeln fast 
ganz fallen lassen, weil man eine einfachere Methode entdeckt 
habe. Diese einfachere Methode bestehe darin: „u rapporter U 

II Selbitveratftndlicli wird iiiui iii solcher Weise die eeefas Zeit- 
fhDktionen iind du Sjstem Alpha nicht vollBtändig bestimmen können. 
Vielmehr wird man nar die Oeaamtheif des SjBlemes Alph& und der lu- 
gehilrigen Systeme Beta (von denen m Anfang die Rede wnri lu er- 
mittaln imttuide sein. Aber man wird altdann ans dieser Gesamtheit 
trgtnä «itfct herausgreifen, und dfieselbe speiiell ala das Sj'alem Alpha 
ansehe]) dürfen. 

2) Über die Printipien der Galilei-Newtonscben Theorie, Leipiig, 
bei Tenbner, IBTO. 

3) Lagrange. M«caniqiie aualTtiqoe. Tome I. Part II. ßect. I. Nr.8. 





256 C. Neumann. 

mouvement du corps, et les forces qui le soilidtent, ä des di- 
rections fixes dans Vespace/' (1788.) 

Und Laplace beginnt das erste Kapitel des ersten Buches 
seiner M6canique Celeste mit folgenden Worten: 

,yUn Corps nous paratt se mouvoir, lorsqv!ü change de st" 
tuation par rapport ä un Systeme de corps gue nous jugeons en 
repos; maiSy comme tous les corps, ceux mime qui nous semblent 
jouir du repos le plus absolu, peuvent Stre en mouvement, on 
imagine un espace sans borneSy immobile et penetrable ä la 
matiere^): (fest aux parties de cet espace rSel ou ideal que nous 
rapportons par la pensee la position des corps, et nous les con^ 
cevons en mouvement lorqHls repondent successivement ä divers 
lieux de Vespace.^^ (1799.) 

Wären mir diese Aussprüche von Lagrange und La- 
place damals beim Druck meiner Vorlesung (von 1870) bekannt 
gewesen, so würde ich schon damals nicht unterlassen haben, 
auf dieselben aufmerksam zu machen. Denkt man sich näm- 
lich den Laplace sehen espace immobile an die Spitze der 
ganzen Betrachtung gestellt^ so werden jene Lagrangeschen 
directions fixes, und ebenso auch die drei Achsen meines Systemes 
Alpha dadurch charakterisiert sein, daß sie festliegen in jenem 
Laplace sehen espace immobile. 

Bei dieser Gelegenheit mag mir gestattet sein, von neuem 
einzugehen auf eine gewisse in jener Vorlesung (von 1870) von 
mir angestellte Betrachtung. Die betreffende Stelle (Seite 27) 
lautet etwa folgendermaßen: 

Man denke sich einen rotierenden, aus flüssiger Materie 
bestehenden Himmelskörper Ä, der (infolge der durch die 
Rotation erzeugten Zentrifugalkräfte) die Gestalt eines ab- 
geplatteten Ellipsoides besitzt. Alsdann kann in dem Zustande 
dieses Körpers £ durch ein plötzliches Verschwinden aller 
übrigen Himmelskörper nichts geändert werden. Seine Bo- 
tationsbewegung und seine abgeplattete Gestalt we]^den also, 
trotz des Verschwindens der übrigen Himmelskörper, umgeändert 
fortbestehen. Hieraus geht deutlich hervor, daß man die Be- 



1) Wenn Laplace hier von einem anbeweglichen and für die 
(ponderable) Materie penetrablen Räume spricht, so erinnert das un- 
willkürlich an die heutzutage bei vielen Physikern vorhandene Vor- 
stellung des unhetcfglichen Äthers, 



über die absolute Bewegung. 257 

wegung eines Körpers als etwas Absolutes, und nicht als etwas 
Uotx Relatives anzusehen hat; oder (genauer ausgedrückt), daß 
man die Bewegung eines Körpers zu definieren hat als seine 
Lagen Veränderung im Laplace sehen espace immobile, nicht 
aber als seine Lagenveränderung in bezug auf irgend welchen 
andern Körper. 

Hier habe ich nun derjenigen Einwände zu gedenken, 
welche von E. Mach in seiner Mechanik^) gegen meine Aus- 
einandersetzungen erhoben sind. Diese Einwände des berühmten 
Physikers und Philosophen richten sich teils im allgemeinen 
gegen den Begriff und die Definition der absoluten Bewegung, 
teils aber auch speziell gegen meine Betrachtung über den 
Körper ß, bei welcher „die Methode des Gedaukenexperimentes" 
von mir in gar zu freier Weise gehaiulhabt worden wäre. 

In erster Beziehung habe ich von neuem hervorzuheben, 
daß ich in betreff der Definition der absoluten Bewegung in 

voller Übereinstimmung mich befinde mit Lagrange und La- 
place. Allerdings will ich gerne einräumen, daß diese an den 
Laplaceschen espace immobile oder an mein System Alpha 
sich anlehnende Definition im Grunde genommen stets etwas 
sehr Unbefriedigendes und Rätselhaftes behalten wird. Aber 
jene ganze von Galilei, Newton, Lagrange und Laplace 
geschaffene Theorie der analytischen Mechanik, so vollkommen 
and erhaben sie auch sein mag, wird ja vielleicht dereinst 
einer noch höher stehenden Theorie Platz machen, hei welcher 
alsdann die in Bede stehenden Bätsei vielleicht verschwinden 
werden. 

In &tzler^ Beziehung (nämlich in bezug auf den rotierenden 
Körper R und die gar zu freie Handhabung der Methode des 
Gedankenexperimentes) möchte ich bemerken, daß es sich in 
der Physik und Astronomie doch um die Auffindung der der 
Materie wirklich inhärenten Gesetze handelt, und daß derartige 
Gesetze unter allen Umständen anwendbar sein müssen. Nach 
meiner Ansicht ist jene Betrachtung über den rotierenden 
Körper R ein unmittelbarer AusHuß aus der gan/.on Theorie* 
der analytischen Mechanik, und durchaus dazu anget-an, diese 
Theorie zu illustrieren und zu charakterisieren. Allerdings 



1) £. Mach, Mechanik p. 290. Leipzig 1901. 
BoUouM-FvlMhrlft H 



258 C. Neumann, 

tritt gerade das unbefriedigende und Rätselhafte dieser Theorie 
bei jener Betrachtung über den Körper R besonders stark 
heryor^ wodurch alsdann das Bedürfnis nach einer andern und 
höher stehenden Theorie nur noch fühlbarer wird. 

Wenn hier von einer höheren Theorie die Bede ist, so 
bedarf es wohl kaum der Bemerkung, daß darunter auch eine 
passende Modifikation oder VenroUständigung der jetzigen 
Theorie verstanden werden kann. Es scheint aber recht schwer, 
eine solche zu finden. 

§ 3. Bemerkungen über die Max well sehe Theorie. 

Die von Maxwell oder vielmehr von Hertz in der 
Elektrodynamik aufgestellten sechs Gleichungen sind bekannt- 
lich (wie schon Hertz selber bemerkt hat, und wie solches 
später auch von mir konstatiert ist], invariant in bezug auf das 
der Betrachtung zu Grunde zu legende rechtwinklige Achsen- 
system. Versteht man also z. B. unter Gamma ein recht- 
winkliges Axensystem, welches gegen das vorhin besprochene 
System Alpha in ganz beliebiger (teils progressiver, teils 
rotierender] Bewegung begriffen ist, so werden jene sechs 
Gleichungen mit Bezug auf Gumma genau dieselbe Form haben 
wie mit Bezug auf Alpha. ^) 

Könnte man also aus den sechs Hertzschen Gleichungen 
die von Galilei, Newton, Lagrange und Laplace ge- 
schaffene Theorie der analytischen Mechanik mathematisch ab- 
leiten, so müßte letztere ebenderselben Invarianz sich erfreuen. 
Das aber ist nicht der Fall, und demgemäß dürfte es ein 
ganz vergebliches Bemühen sein, eine solche Ableitung ver- 
suchen zu wollen. 

Das bezieht sich aber nur auf die Hertzschen Gleichungen, 
nicht z. B. auf die Lorentzsche Theorie. Denn diese letztere 
geht von der Vorstellung aus, daß die elektrischen Teilchen 
(Elektronen) träffe Masse besitzen, (eine Vorstellung, die übrigens 
schon von W. Weber, und, nach Webers Vorgange, auch 
von mir gelegentlich in Untersuchung gezogen worden ist). 
Hieraus aber dürfte hervorgehen, daß dieLorentz'schen Formeln 



1) Vergl. meinen Aufsatz in den Abb. d. Rgl. Sachs. Gesellsch. d. 
Wissensch. 1901. p. 238—256. 



über die absolute Bewegung. 259 

jene fiagenschaft der Invarianz nicht 1)esitzeu, und daß daher 
gegen die Möglichkeit, die analytische Mechanik aus diesen 
Formeln abzuleiten, prinzipielle Bedenken nicht vorliegen. Auch 
habe ich in dieser Beziehung hinzuweisen auf die schätzbare 
Arbeit von Wien.^) 

Wien hat in seiner Arbeit — nach dem Vorgänge von 
Hertz und Boltzmann — die Quatemionenstenographie ver- 
mieden, und der ausführlichen Sprache der Mathematiker sich 
bedient Es w&re dringend zu wünschen, daß dieses Verfahren 
von Hertz, Boltzmann und Wien zur allgemeinen Regel 
würde. Denn gerade bei wichtigen und schwierigen Unter- 
suchongen dürfte man doch wohl gut tun, weniger der Kürze, 
als vielmehr der Strenge und Klarheit sich zu befleißigen. 



1) W. Wien, Recaeil de travauz, oflferts p. 1. aut k H. A. LorentS| 
La Uaye. 1900. p. 96. 

(Eingegangen 22. August 1908.) 



1 



T« 



260 



34. Die thermodynamischen Beziehungen. 

Von C. Bunge in Hannover. 



In seiner Arbeit ,;die thermodynamischen Beziehungen 
antithetisch entwickelt" hat von Oettingen^) darauf auf- 
merksam gemacht, daß die Größen der Thermodynamik eiue 
gewisse Symmetrie und Korrespondenz zeigen. Indem er 
hierauf fußte, gelang es ihm, die wichtigsten thermodynami- 
schen Beziehungen in übersichtlicher Weise zu entwickeln. 
Ich habe hier denselben Qedanken befolgt, nur daß ich die 
Relationen mehr vom mathematischen Standpunkt aus be- 
trachte und von den thermodynamischen Potentialen ausgehe, 
die bei Oettingen erst in zweiter Linie erscheinen. 

Bezeichnet u die innere Energie, t die Temperatur, s die 
Entropie, p den Druck und v das Volumen eines Körpers, so 
gehe ich von der Relation aus 

(1) du ^ tds — pdv, 

wo t und p Funktionen von s und v sind. 

Der zweite Hauptsatz kann nun dahin präzisiert werden, 
daß die rechte Seite ein vollständiges Differential ist, dessen 
Integral eben die innere Energie bildet. 

Aus diesen beiden Annahmen, daß tds—pdv ein voll- 
ständiges Differential ist und daß t und p Funktionen von s 
und 17 sind, folgen alle übrigen thermodynamischen Relationen, 
um sie übersichtlich abzuleiten, stelle ich neben die Glei- 
chung (1) noch drei andere, die man durch Subtraktion des 
Differentials von ts und durch Addition des Differentials von 
pv aus ihr erhält. 

(2) d{u — t8)=— sdt — pdv 

(3) d{u+pv)==tds + vdp 

(4) {u — ts+pv)==— sdt + vdp. 



1) A. J. V. Oettingen, Mem. de Tacad. de» scienses de St Paters- 
boorg (82) 7. No. 17. 1885. 



Die Aermodynamischen Beziehungen, 261 

AuBer der inneren Energie u hat man also noch drei 
andere Ghrößen u — ts, u + pv, u + pv — ts, die in den 
Öleichongen eine analoge Bolle spielen. Die Größe u — ts 
nennt Helmholtz die freie Energie^ u + pv nennt Oettingen 
die totale Energie, und u + pv — /«könnte man nach Gibbs 
als die nutzbare EJnergie bezeichnen. Ich führe mit Oettingen 
die Buchstaben ^yX^St für sie ein. 

1. du ■■ tds — pdv 

2. d^ = - sdt - pdv 
8. dZ= tda + vdp 
4. d9l - - sdt + vdp. 

Die unabhängigen Veränderlichen sind 1. s und v, 2. t und 
V, 3. s und p, 4. t und p, dagegen kommen die Kombinationen 
tt s und Pf V Ar die unabhängigen Veränderlichen nicht vor. Ihre 
Einführung würde andere Formen des vollständigen Differentials 
eigeben. Diese vier Gleichungen sind einander äquivalent Aus 
jeder von ihnen folgen die drei anderen durch Hinzufügen oder 
Abziehen der Differentiale von ts oder pv. Daher sind auch 
die vier Gleichungen einander äquivalent, welche ausdrücken, 
daß die vier Ausdrücke vollständige Differentiale sind. 

m m. - - mi 

m (Hi- {ZI 

Der Index der Klammer bezeichnet dabei jedes Mal die andere 
onabbftngige Veriknderliche. Die Gleichungen (I) bis (IV] gehen 
in sich über, wenn man t und p und gleichzeitig s und v ver- 
tauscht 

Neben diese Relationen (I) bis (IV) treten nun eine Reihe 
von anderen Gleichungen zwischen den Differentialquotienten 
der Großen e, t,p, v. Sie ergeben sich daraus, daß man je zwei 
dieser ChrOßen als unabhängige Vei^nderliche auffassen kann. 
Im ganzen hat man 24 Differentialquotienten erster Ordnung. 
Denn jede der vier Größen kann nach jeder der drei übrigen 
in doppelter Weise differentiiert werden, je nachdem man die 



262 C. Runge, 

eine oder die andere der beiden übrigen Größen als zweite 
unabhängige Veränderliche wählt 

Wenn man zunächst von den Relationen (I) bis (IV] ab- 
sieht und nur von der Annahme ausgeht, daß von den vier 
Größen je zwei Funktionen der anderen beiden sind, so zeigt 
sich sogleich, daß von den 24 Differentialquotienten nicht mehr 
als vier voneinander unabhängig sind, durch die man die übrigen 
rational ausdrücken kann. Denn wenn z. B. s und t7 als un- 
abhängige Veränderliche gewählt werden, so ist 

Aus diesen Gleichungen kann man irgend zwei Differentiale 
dsy dv, de, dp, durch die anderen beiden ausdrücken. So kann 
man z. B. ds und dv durch dt und dp ausdrücken und findet 
wenn D die Determinante bezeichnet 

Mithin ist 

Oder wenn man dt und ds durch dp und dv ausdrückt: 

^'-(iT)y(if)/^-v(j-f)/" 

und daher 

•) (H). - v(if ). . " mr-m.m.' 



Die thermodynamisdien Beziehungen. 263 

Auf diese Weise kann man also durch die vier Diiferential- 
quotienten 

U«").' [ji]: vöt).' \dv), 

die übrigen 20 Differentialquotienten rational ausdrücken. 

Dasselbe gilt von den vier Differentialquotienten^ die man 
erh&lt, wenn man statt s und t; irgend eine andere der sechs 
möglichen Kombinationen nimmt Jede Kombination liefert 
20 Gleichungen. Im ganzen erhält man also 120 Gleichungen. 
Es ist aber unnötig sie alle hinzuschreiben, da sie aus den 
oben abgeleiteten Gleichungen a) bis h] durch Vertauschung 
der Buchstaben hervorgehen. 

Diese 120 Gleichungen sind lediglich aus der Annahme 
entwickelt, daß je zwei von den vier Größen t^s^py v Funktionen 
der anderen beiden sind. Sie hängen also nicht von den acht 
Gleichungen (I) bis (IV) ab, welche die mathematische Formu- 
lierung des zweiten Hauptsatzes enthalten. 

Wenn man nun aber eine dieser Gleichungen (I) bis (IV) 
dadurch umformt, daß man die Differentialquotienten durch 
die in den 120 Gleichungen enthaltenen Ausdrücke ersetzt, 
oder wenn man umgekehrt eine der 120 Gleichungen durch 
die Gleichungen (I) bis (IV) umformt, so entstehen andere 
Formulierungen des zweiten Hauptsatzes, und durch Kom- 
bination solcher Gleichungen können natürlich eine unbe- 
schränkte Anzahl neuer abgeleitet werden. 

Werden z. B. s und t7 als unabhängige Veränderliche be- 
trachtety so zeigt sich, daß von den vier Differentialquotienten 
von i und p nach s und v infolge der Gleichung (1) nur drei von- 
einander unabhängig sind. Denn die Gleichung (1) besagt, dass 



(dr). " (dsiv' 



EJb sind demnach, sobald man die Gleichung ,1) bis (IV) zu 
Hilfe nimmt^ die 24 Differentialquotienteu durch drei von ihnen 
rational ausdrückbar. 

Wenn man die Gleichungen a), b), c), d) für den Fall bildet, 
daß t und s als unabhängige Veränderliche gewählt sind und 
nun di und dM durch dp und dv ausdrückt, so wird 



264 C. Runge. 



c 
wo 



m.—W'- ^ mr mj^' 



^^ [dtlAdsJt [dsltldt)/ 



Wenn man hier die Gleichung c) mit der Gleichung (I) 
kombiniert und bedenkt, daß nach der Gleichung e) und der 
analogen Gleichung 

ist, 80 ergibt sich J = 1. Für J = 1 sind eben die Glei- 
chungen a), b), c), d) nur andere Formen der Gleichungen (I) 
bis (IV). 

In derselben Weise ergibt sich auch 

" \d~p)v\dv)p ■" \dvjp[jp)v ■" 

Es sind dabei nur t und p und gleichzeitig s und v miteinander 
vertauscht, wobei, wie schon oben bemerkt, die Gleichungen (I) 
bis (IV) ineinander übergehen. 

Man kann die Gleichungen zJ = J' = 1 auch als Formu- 
lierungen des zweiten Hauptsatzes auffassen; denn wenn man 
die Annahme hinzufügt, daß von den vier Größen t, s, p, v zwei 
als Funktionen der anderen beiden angesehen werden können, 
so folgen aus der Gleichung J = 1 oder J' = 1 die Glei- 
chungen (I) bis (IV). 

Wenn man s und v als unabhängige Veränderliche wählt, 

so ist 

du = tds — pdv 



und daher 
Nun ist 



d^u = dids -^ dpdv , 



""-(^).'"+(k),'"'. 

und da nach 11 

[dv), [dtjv' 

80 wird 



Die thermodynamischen Beziehungen. 265 

Solange also 

m. "' - m. 

{lositiv sind, ist d* u notwendig positiv. Oder geometrisch aus- 
gedrückt, wenn man s und v als Koordinaten in einer hori- 
zontalen Ebene und den Wert von u als dritte Koordinate 
nach oben aufträgt, so ist die entstehende Fläche nach unten 
konvex soweit 

m. -°^ - m. 

positiv sind. 

Werden p und t als unabhängige Veränderliche genommen, 
so ist 

dyi = ^sdt + vdp 
und daher 

rf»W - - dsdt + dvdp = - (l'^ldt^ + [^l^dvK 
Unter der Voraussetzung, daß 

m. - - m. 

positiv sind, wird also «P92 notwendig negativ sein. Oder 
geometrisch gesprochen, wenn man t und p als horizontale 
Koordinaten und 9t als vertikale Koordinate aufträgt, so wird 
die Fläche nach oben konvex. 

Analog ergibt sich wenn t und v die beiden unabhängigen 
Veränderlichen sind 

d«gi - - d.dt -dpd.^- (I^lds' - (llldv^ 

und wenn s und p die beiden unabhängigen Veränderlichen sind 

d»Z - dtds + dvdp^ [llld.' + ['/^Idv^. 

(Eingegangeu 22. Augast 1908.) 



266 



35. Znr Geometrie der gewöhnlichen Differential- 
gleichungen. 

Von E. Caaber in Wien. 



Die geometrische Betrachtungsweise der Differentialglei- 
chungen hat darch Sophus Lie die mächtigste Förderung 
erfahren und hat auch auf die Ausbildung der analytischen 
Methoden zur Integration befruchtend eingewirkt. 

Die folgenden Zeilen sollen einen Beitrag nach dieser 
Bichtung Uefem durch Beibringung einiger Bemerkungen, be- 
treffend die geometrische Verwertung der Clairautschen Diffe- 
rentialgleichung und die Geometrie der gewöhnlichen Differential- 
gleichungen zweiter Ordnung. 

I. 

1. Zu jeder ebenen Kurve gehört eine Clairautsche 
Differentialgleichung, als deren singulare Lösung die Kurve 
erscheint, nämlich die Differentialgleichung des Systems ihrer 
Tangenten. 

Ist 

(1) F[X, 7) = 

die Gleichung der Kurve , so kommt die Bildung ihrer 
Clairautschen Gleichung darauf zurück, den Abschnitt der 
Tangente auf der Ordinatenachse, der in der eben erwähnten 
Gleichung: 

y^xy+ fif} 

durch /'(y') vertreten ist, als Funktion des Richtungskoeffi- 
zienten y' der Tangente darzustellen. Aus der Tangenten- 
gleichung des allgemeinen Punktes X, Y: 

ergibt sich durch die Differentiation in bezug auf x: 

(2) y = r 



Geometrie der gewohntiehen Uiffereiitialgleichungen, 267 

und der Tangentenabschnitt drückt sich hieruach durch 

Y- Xy 

aus; setzt man hierin fbr X, Y diejenigen Werte, welche sich 
aus dem Gleichungspaar (1), (2), d. i. aus 

(3) /'(X,7)-o, i;' + /;'y = o 

dall&r ergeben, so erhält man die für die Clairautsche Gleichung 

charakteristische Funktion f{y'). 

Für die Parabel 
(4) Y^^2pX 

findet sich auf diese Weise die Clairautsche Diiferential- 
gleichung : 

(5) y-'y'+aV' 

f&r den Kreis 

(6) X^+ 7»-2*} +a*=»0 
die Clairautsche Gleichung: 

(7) yxy' + b+ /(*=«"- 'a^{\+Y^ , 

wo die Quadratwurzel in ihrer vollständigen Bedeutung zu 
nehmen ist 

Bei jeder algebraischen Kurve ist f[y') eine algebraische 
Funktion von y. 

Wenn die Kurve parametrisch gegeben ist, etwa: 

dann ist mittels der Gleichung 

y ^ 9' iu) ' 

v als Funktion von y und hiermit Y — -Y // in gleicher Weise 
darzustellen, um f{tf) zu erhalten. 

Bei der Zykloide 

(8) X « a (tt — sin m), }' = a (1 — cos ?/) 

hat man beispielsweise zur Bildung von fiy') den Ausatz: 

sinu / 

1 — cos I* • ' 

mit dessen Hilfe 

Y — Xy = a [1 — cos w — (w — sin u)y] 
in y' auszudrücken ist; zu diesem Zwecke ermittelt man: 



268 E, Czuber. 

(9) sinw = YTT^' 1 - cos« = y^j^, « = Arcsin ^^, 
und findet hiermit die Glairautsche Gleichung dieser Kurve: 

(10) i^ = ory + a [2 - y' Are sin -^-^] . 

2. Hat man die Glairautsche Gleichung einer Kurve auf- 
gestellt, so findet die Aufgabe, an sie durch einen Punkt Xq/i/^ 
Tangenten zu legen, ihre Lösung in dem Ansätze: 

yo = ^oy' + /'(y'); 

jede Wurzel y' = m dieser Gleichung führt zu einer Tangente, 
deren Gleichung, in den laufenden Koordinaten |, rj geschrieben, 
lautet: 

es ist also der Grad der Clairautschen Gleichung in bezug 
auf y übereinstimmend mit der Klasse der Kurve. 

Die Glairautsche Gleichung der Parabel (4), in ganzer 
Form geschrieben, führt zu 

« 

und liefert für y' die beiden Werte: 

2a?o 

hiermit ergeben sich die Gleichungen der Tangenten aus x^ jy^ : 

Durch Einsetzung eines speziellen Wertes m für y erhält 
man aus der Glairautschen Gleichung unmittelbar die Glei- 
chungen der Tangenten von der durch m gekennzeichneten 
Richtung, deren Anzahl durch die Wertigkeit von /'(y') be- 
stimmt ist. 

So ist bei der Parabel 

einwertig, daher 

P 

y = mx + 7;^— 

die Gleichung der einzigen Tangente von der Richtung m; bei 
dem Kreise (6) ist 



Geometrie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. 269 
zweiwertig, und somit sind 

die Gleichungen der beiden Tangenten dieser Bicbtung. 

3. EIrsetzt man in der Clairautscben Gleicbung der 
Kurve F: 

(11) y=^y + /W 

y durcb — 1/y', so erbJÜt man in 

(12) ,= -;.+/•(-;.) 

die Gleichung einer zweiten Tangente, die auf der ersten 
normal steht; läßt man beide Gleichungen zugleich bestehen, 
so bestimmen sie in or, y den Scheitel eines der Kurve um- 
schriebenen rechten Winkels, und die Elimination von y zwi- 
schen (11) und (12) führt zu dem Ort dieser Scheitel. 

Bei der Parabel (4) hat man zur Erledigung dieses 
Problems das Gleichungspaar: 

V- y' 2 ' 

durch Subtraktion ergibt sich daraus 

• - H 'i) ' v ■■ 

der genannte Ort besteht also aus der Geraden jt = —p/^ 
und aus jenem Punkte, durch welchen die Tangenten absoluter 
Richtung gehen, nämlich dem Brennpunkt 
Nimmt man zu der Gleichung (10): 

g^xg +a 2 -y Are sin - ^^^,, 
die nach der Vorschrift (12) gebildete 



y - - ~ + a 



2+^,Arcsin ^^j;,j 



hinxQ, die sich auch in der Form: 

2+^{(2A + l)« + Arc8mj'/^,/|] 
Iftßt^ 80 liefert die Auflösung nach x, y: 



— ^- + « 



270 E. Czuber. 

(2L- + 1)71 . . . 2y' 

^ L 1 + y ' 

mit Beachtung der Qleichungen (9) schreiben sich demnach die 
Gleichungen des Scheitelortes der der Zykloide umschriebenen 
rechten Winkel in demselben Parameter u wie diese: 

*= -|-[(2Ä;- 1)^(1 -cosw) + 2m], 

y=|-[(2Ä + 2);r8int/ + 4]; 

darin bedeutet k eine beliebige ganze Zahl. 

4. Der Gleichung (12) kommt auch eine selbständige Be- 
deutung zu. Sie geht nämlich aus der Gleichung (11) durch 
die Transformation: 



Vi 

hervor; diese Transformation bedeutet aber eine Drehung der 
in (11) enthaltenen Linienelemente um ihre Punkte durch einen 
rechten Winkel; folglich stellt (12) ein System von oo^ Linien- 
elementen vor, welche durch dieselben Punkte gehend auf den 
Linienelemcnten von (11) senkrecht stehen; ein Elementverein 
aus (12) ist hiemach eine Evolvente der Kurve, zu welcher die 
Gleichung (1 1) gehört, mit anderen Worten: (12) ist die Diffe- 
rentialgleichung der Evolventen dieser Kurve. 
5. Sei 

(13) ;i^(X,r,y) = 

die Differentialgleichung eines einfach -unendlichen Kurven- 
systems; die Clairautsche Gleichung seiner Einhüllenden 
läßt sich in der Weise ableiten, daß man aus (13) und 

X, ¥ als Funktionen von y berechnet und hiermit den Aus- 
druck T— Xy als Funktion von y bildet; diese ist dann die 
zur Herstellung der Clairautschen Gleichung erforderliche 
Funktion f{i/y 

Aus der Differentialgleichung 

2 7»y2 ^ 2 X jy + J» + 72 _ ^2 ^ 0, 



Geometrie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. 271 

welche den Kreisen zukommt, die man über den zur :r-Achse 
senkrechten Sehnen des Kreises 

als Durchmessern beschreibt, und aus der daraus durch Ab- 
leitung nach y herrorgehenden Gleichung 

ergibt sich auf dem angegebenen Wege 

als Clairantsche Gleichung der jene Kreise einhüllenden 
Ellipse. 

6. Die Clairautschen Differentialgleichungen zweier 
Kurven F{X, }') = 0, G[X, i^) = : 

y^xy + fiy') 
y=-^y+ff(yl 

gestatten die Lösung yerschiedener , die beiden Kurven be- 
treffenden Probleme, vor allem die des Problems der gemein- 
samen Tangenten, dessen Lösung aus dem Ansätze: 

(14) fV)=ff(lf') 

hervorgeht; jede Wurzel dieser Gleichung filhrt zu einer ge- 
meinschaftlichen Tangente, so daß der Grad dieser Gleichung:: 
die Anzahl der gemeinsamen Tangenten bestimmt. 

Die Clairautschen Gleichungen zweier Kreise mit den 
Mittelpunkten f^^lßi, o^lßi ^^^ ^^^ Radien r^ r,: 

y = ^y + »-1 yi + .'/* + /^, - «,// 

geben zur Bestimmung der gemeinsamen Tangenten den Ansatz: 

»•i yi + y'*" + ,^i - «. y' - r, >'l + y* + /?,-«, //' , 
oder in rationaler Form das folgende Paar quadratischer 
Gleichungen: 

[(«, - «,)» - (r, ± r,)»]y'« - 2 («^ - «,) ß, - ,^,) 1/ 

+ 0^1 - ßt)* - ('•. ± »■*)* = » • 

and die Diskriminanten dieser: 

[(«, - «,)• + (/?,- ./?,)* - (r, ± r,)»] (r, ± r,)» 
liefern die vollständige Analyse des Prolilems. 



272 



E. Czttber. 



(15) 



7. Da die Gleichungen 



X 



y = -j,'+^ 



(-^-) 



bei jedem Werte von y zueinander senkrechte Tangenten je 
einer der beiden Kurven F^ 6 bestimmen, so gehören x, y, 
aus diesem Gleichungspaar gerechnet, dem Scheitel eines rechten 
Winkels zu, dessen Schenkel die beiden Kurven in je einem 
Punkte berühren. Die Elimination von y zwischen den Glei- 
chungen (15) gibt somit den geometrischen Ort der Scheitel 
der dem Kurvenpaar in der Weise umschriebenen rechten 
Winkel, daß jeder Schenkel eine andere Kurve berührt. 
Zu den beiden Parabeln 

gehören die Clair au t sehen DiiTerentialgleichungen: 

ersetzt man in einer, z. B. der zweiten, y durch — 1/y', so 
erhält man zur Ableitung des Rechtwinkelortes die Gleichungen : 

2xy*-2yy'+p = 0, 

py^-'2yy '-2x = 0; 

daraus ergibt sich seine Gleichung: 



2x 


_2y 


P 








2x 


-2y 


P 


P 


_2.y 


-2x 








P 


-2y 


-2x 



= 0, 



oder ausgeführt: 

der betreflfende Ort ist also eine zirkuläre Kurve vierter Ord- 
nung, welche außer den Kreisasymptoten die zur Ordinaten- 
achse parallelen Asymptoten x= ±.pj2 besitzt. 

n. 

1. Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in den Varia- 
bein X, y\ 



Geometrie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, 273 

(1) />,y,yy") = o 

defioieri ein System von cx^' Krümmungselementen ^ d. h. jede 
dieser Gleichung genügende Wertverbindring x,y^y\y" bestimmt 
einen Punkt xjy und einen durch ihn gehenden Kreis vom Mittel- 
punkte 

Der Begriff des Krümmungselementes ist die naturgemäße 
Fortbildung des Begriffes des Lifnenelementes, den Lie mit so 
großem Erfolg in die Theorie der Differentialgleichungen rrster 
Ordnung eingef&hrt hat. 

Jedem Linienelement der Ebene ist vermöge der Glei- 
chung (1) ein Erümmungselement zugeordnet, indem durch 
die Koordinaten x, y, y des Linienelementes aus (1) sich y' 
und hiermit der Mittelpunkt 1/?; des zugehörigen Krümmuugs- 
elementes ergibt. 

Man kann auf unendlich viele Arten Scharen von on^ 
Krümmungselementen aus (1) zusammenfassen, indem man 
einen Punktort o){xyy)=zO beliebig annimmt, jedem seiner 
Punkte ein Linienelement nach irgend einem Gesetze zuordnet 
und das diesem Linienelement vermöge (1) korrespondierende 
Krümmungselement bestimmt. Insbesondere kann man die 
Linienelemente des Punktortes ro {x, y) = selbst hierzu ver-* 
wenden; die zu diesen Linienelementen gehörigen Kreise bc 
rühren dann den Punktort 

Eine Schar von oo^ KrUmmungselementen, deren Punktort 
▼on den zu seinen Linienelementen gehörigen Kreisen oskuliert 
wird, soll als Ferein von Krümmungselementen definiert werden; 
der Punktort selbst heißt eine Integralkurve der Differential- 
gleichung (1). 

um die analytischen Bedingungen zu finden, welche die 
Koordinaten x, y, y\ y" der Schar genügen müssen, damit sie 
einen Verein bilde, benutzt man den Gedanken, daß die in- 
finitesimale Bewegung längs des Puuktortes der Schar zu- 
sammeDfallen muß mit derjenigen längs des zugehörigen Kreises, 
soweit die zwei ersten Differentialquotienten dabei in Betracht 
kommen. 

-FiBrtMhrift. Iti 



274 E. Czuber. 

Bezeichnet man den Radius des zum Erümmungseläment 
x\y\y\i/" gehörigen Kreises mit q, so schreibt sich des letz- 
teren G-leichung: 

da fbr die Bewegung l&ngs dieses Kreises |, tj, q konstant 
bleiben, so gilt für die Wegkomponenten die Beziehung: 

(3) (^-|)^^ + (y-^)rfy = 0, 

woraus mit Rücksicht auf (2) die Gleichung 

entspringt, aus der die Schlußfolgerung 

(4) dy-^y'dx^{) 

zu ziehen ist. Vermöge dieser verwandelt sich (3) in 

^ — I + (y - ^)y = 

und neuerliche Differentiation längs des Kreises gibt 

dx +y dy -{-{y — ii)dy = 0, 

was sich mit Rücksicht auf (2) und (3) verwandelt in 

^-^{y"dx-^dy^^O 

und zur Folge hat die Beziehung: 

(5) dy' ^y"dx^O. 

ffiemach ergibt sich der Satz: 

„Eine Schar von co^ Krümmungselementen ^\y\y'\y" 
bildet einen Verein^ ihr Punktort eine Integralkurve nur dann, 
wenn die Koordinaten den beiden Differentialgleichungen 

dy ^ y rfa: = 

genügen.^' 

2. Der Vorgang der Integration der Gleichung (1) stellt 
sich hiemach geometrisch wie folgt dar. 

Von einem beliebig angenommenen Linienelement ^olyol^o' 
ausgehend bewege man sich längs des ihm durch die gegebene 
Gleichung zugeordneten Krümmungselementes ar^l^ol^o l^o' '^^ 
dessen benachbartem Linienelement 



Geometrie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. 275 

JTj = JTj, + dx 

bestimme mittels (1) das zugehörige Krümmuugselemeut 

'i !yi lyi'lyi "» 8^^® *^f diesem zum benachbarten Linien- 
element etc. Auf diese Weise erhält man einen aus Ereis- 
bogenstücken zusammengesetzten Linienzug, einen Korbbogen, 
dessen Grenzform f&r ein gegen Null abnehmendes dx eine 
Integralkurre von (1) ist 

3. Aus den Gleichungen (2) folgt: 

f y' = -- *. 



(7 - y)* 

diese Werte in (1) eingesetzt ergeben eine Gleichung zwischen 

'f y» fe n- 

(7) ^(ar,y,|,i7) = 0. 

Diese läBt folgende Auffassung zu: Bei festem x, y in den 
▼eriüiderlichen Koordinaten |, 7/ geschrieben stellt sie den 
Ort der Mittelpunkte' jener Krümmungselemente dar, deren 
Ponktort xjy ist; bei festem |, r; bestimmt sie den Punkt- 
ort jener Krümmungselemente, deren gemeinsamer Mittel- 
punkt {/17 ist 

Um Beispiele anzuführen, ergibt sich aus der Differential- 
gleichung 

y" + ay = 

durch die Substitution (6): 

(I - x)> + [n-y? + ay[n-yf = 0, 

so daß der Ort der Mittelpunkte 1/?/ zu einem Punkt xjy 
eine Kurve dritter, hingegen der Ort der Punkte xjy zu einem 
Mittelpunkt f/i; eine Kurve vierter Ordnung ist 
Aus der Differentialgleichung 

i+y'* = Äyy". 

welche Kurven definiert, deren Krümmungsradius der Normale 
proportional ist, folgt 

so dafi beiderlei Orte zur ^r-Achse parallele Gerade sind. 

lö* 



276 E, Czuber, Oeometrie der ffew. Differentialgleichungen. 

Die Differentialgleichung 

(1 + yy = a^y\ 

welche Kurven von konstantem Krümmungshalbmesser zu- 
kommt, führt auf die Gleichung: 

beiderlei Orte sind also Kreise vom Kadius a, woraus leicht 
zu schließen ist, daß die letzte Gleichung bei willkürlichem |, 17 
schon die Integralgleichung darstellt 

Wie aus der Form der Substitution (6) zu ersehen, hängt 
die Gleichung (7), sobald die vorgelegte Differentialgleichung (1) 
weder x noch y enthält, lediglich von den Differenzen | — jt, 
ri — y ab; dies hat zur Folge, daß sie den Translationen der 
Ebene gegenüber invariant bleibt; das gilt dann auch von 
dem durch die Differentialgleichung dargestellten System von 
Krümmungselementen und schließlich von dem allgemeinen 
Integral, das hiernach die Form tf)(a: + C^, y + (^,) = be- 
sitzen muß. Enthält die Differentialgleichung nur eine der 
beiden Variabein, so bleibt die Invarianz gegenüber den Trans- 
lationen parallel zu der durch die fehlende Variable gekenn- 
zeichneten Achse aufrecht, so daß also Differentialgleichungen 
Von den Formen /*(ar, y\ y") = 0, /'(y, y\ y") = Integral- 
gleichungen von der Struktur <P{x,y + C^, C^) = 0, beziehungs- 
weise *(a: + C;, y, Q = haben. 1) 



1) £. Czuber, Sifzungsber. d. Akad. d. Wissensch. zu Wien 102« 
IIa. p. H41— 1187. 1893; 103. IIa. p. 295— 316. 1894. 

(Eingegangen 25. August 1908.) 



277 



36. Über eine Beziehnng zwischen dem Lösnngsdrnck 
nnd der lonisationswänne der Metalle. 

Von A. Korn nnd SS. Strauss in München. 

An das Problem der Dissoziation der Gase ist Boltz- 
mann^ als der erste mit exakten mechanischen Vorstellungen 
herangetreten. Die Methoden^ welche er zur Behandlung dieses 
Problems angewandt hat, sind Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen 
über die chemische Bindung eines Atomes mit einem gleich- 
artigen, unter Annahme einer zwischen den Atomen tätigen 
anziehenden Ejraft, auf deren rein mechanische Erklärung zu- 
nächst kein Gewicht gelegt wird. Der Versuch, solche zwischen 
den Atomen tätige Kräfte in speziellen Fällen mechanisch zu 
erklären, hat Anlaß zu den Untersuchungen gegeben, die zu 
einem recht einfachen, den Gegenstand der vorliegenden kleinen 
Abhandlung bildenden Resultate über den Lösungsdruck der 
Metalle geführt haben. 

Sicherlich können ganz allgemein die chemischen Wechsel- 
wiriningen nicht lediglich Funktionen der Entfernungen der 
Mittelpunkte der Atome sein^, aber in besonders einfachen 
Fällen wird es sich doch st«ts empfehlen, zuzusehen, ob 
nicht die Voraussetzung einer Anziehungs- bez. Abstoßungskrafb 
zwischen zwei Atomen oder Atomgruppen von der Form: 

M, MJ[T) 

[M^ und M^ Massen der Atome bez. Atomgruppen, /'(r) Funktion 
ihiier EIntfemung r) zu Resultaten Aihrt, die mit der Erlahrung 
gut in Einklang stehen.*) Für Anhänger der rein mechanisch- 



1) L. Boltsmann, Vorlesungen über Gastheorie 2. p. 177 — 217. 
Leipsig 1898; hier findet sich eine zn£iammeufassende Darstelhing seiner 
frftlieran Aibeiton über den Gegenstand. 

%) VgL fj. Boltsmann, 1. c. p. 177. 

8) Man vg^. W. Vaubel, Liehrbuch der theoretischen Chemie 1. 
p. n^llS. Beriin 1908. 



278 Ä, Korn und E. Strauss. 

materialistischen Theorien ergibt sich bei solchen Wechsel- 
wirkungsgesetzen der Vorteil, daß sich die betreflfenden Kräfte 
mechanisch, z. B. als Folge von universellen Schwingungen ^) der 
Atome interpretieren lassen. 

Wir haben nun versucht, uns auf diesem Wege eine 
mechanische Interpretation des Lösungsvorganges zu ver- 
schaffen. Es erhob sich hier zunächst die prinzipielle Frage: 
Haben wir, abgesehen von den elektrostatischen Ejräften, 
zwischen Metall und Lösungsmittel anziehende Kräfte oder 
zwischen den einzelnen Metallteilchen abstoßende Kräfte an- 
zunehmen? Die erfahrungsmäßige Unabhängigkeit des sogen. 
Lösungsdruckes, welcher die Fähigkeit des Metalles, in Lösung 
zu gehen, mißt, von der Beschaffenheit des Lösungsmittels, 
spricht für die zweite Alternative, und man kann sich die 
folgende Vorstellung bilden: Den Abstoßungskräften zwischen 
den Metallteilchen wird durch die elektrischen Anziehungs- 
kräfte zwischen positiven und negativen Teilchen, welche 
größere Gruppen zusammenhalten, entgegengearbeitet; wenn 
sich nun das Lösungsmittel mit seiner verhältnismäßig großen 
Dielektrizitätskonstante als Dielektrikum einschiebt % gewinnen 
die Abstoßungskräfte zwischen den Metallteilchen die Oberhand, 
und es gehen Metallteilchen in Lösung, bis der den gelösten 
Teilchen entsprechende osmotische Druck einen gewissen für 
das Metall charakteristischen Wert, den Lösungsdruck, er- 
reicht hat. 

Wenn wir diese Vorstellung zugrunde legen und an- 



1) Wenn man die ponderablen Teilchen als schwach kompressible Teil- 
chen auffaßt, die in einem (empirisch) inkompressibeln Äther schwimmen, 
80 ergibt die mathematische Analyse die Möglichkeit einer unendlichen 
Zahl von Eigenschwingungen des Systems, und jeder Eigenschwingung 
gehören gewisse scheinbare Femkräfte zwischen den ponderablen Teilchen 
zu, der Grundschwingung die Gravitation, der ersten Oberschwingung 
die Mazwel Ischen Abstoßungskräfte etc., allgemeine Ejrftfte von der 
Form: 

zwischen zwei Gruppen von den resp. Massen M^ und If,, wenn in 
kleinen Räumen im Mittel keine Richtung bevorzugt ist und die Ab- 
stände der beiden Gruppen groß gegen die Entfernungen innerhalb der 
einzelnen Gruppen sind. 

2) Man vgl. W. Nernst, Theoretische Chemie 2. p.865. Stuttgart 1898. 



Lonmgidruck und Tonisationswärme. 279 

• 

nehmen, daB vor der Lösung die Metallteilchen zu Gruppen 
▼ereinigt sind, die um so mehr Teilchen umfassen, je größere 
Elektrizitätsmengen in einem Atom enthalten sind, und für 
deren Anzahl in der Volumeneinheit der Avogad rösche 
Satz^) gilt, so ist die den Abstoßungskräften der einzelnen 
Gruppen entsprechende innere Energie der Volumeneinheit 
löslicher Metallteilchen: 

(1) £^ =a^n».m», 

wo a' eine Eonstante vorstellt^ die für alle Metalle denselben 
Wert haty m das Atomgewicht, n die Valenz des betreffenden 
Metalles bezeichnet Wir wollen dabei voraussetzen, daß wir 
stets bei ein and derselben konstanten Temperatur arbeiten. 

Nun bestehen aber noch zwischen den einzelnen Teilchen 
jeder Omppe, welche durch die elektrostatischen Ejräfte zu- 
sammengehalten werden, Anziehuugs- oder Abstoßungskräfte, 
die sich als negative oder positive lonisationswärme bei dem 
Lösungsforgang bemerklich machen; die diesen Kräften ent- 
sprechende innere Energie ist pro Volumen einheit: 

(2) JS^^bKQ + c, 

wo b^ and c Eonstanten sind, die für alle Metalle denselben 
Wert haben, and Q die lonisationswärme, d. h. die Wärmenge 
vorstellt, die bei dem Übergang in den lonenzustand fi^ei wird. 

Die Summe 

(8) E^ + E^^ a^n^m^ + 41^^^ 

wird offenbar ein Maß fUr das Bestreben des Metalles sein, 
Ionen in die Lösung zu senden, d. h. die lieihe der Lösungs- 
drmeke muß mä der Beihe der Größen: 

(4) V'-Q + a'n^TW« 

parallel gehen, wobei a* eine Konstante ist 

Wir haben auf Grundlage dieser einfachen Betrachtung 
versacht, ob man nicht eine Zahl a so finden kann, daß 
dieses Gesetz durch das vorliegende Beobachtungsmaterial 
verifiziert wird, and es hat sich in der Tat gezeigt: Wenn 



1) Dieselben können ja, wie Gasteilchen, die Zwischenräume zwiäclicn 
das feste Metall bildenden größeren Komplexen erfüllen. 



280 A. Korn und E, Strauss. 

wir für die Q die von Ostwald ^) angegebenen Werte (ge- 
messen in lOOg-caL^ zugrunde legen und 

(5) a^ ^ 



80 

setzen ; ordnen sich alle bisher untersuchten Metalle dem 
obigen Gesetze unter, mit Ausnahme des Bleis, das ja auch in 
so vielen anderen Beziehungen eine Ausnahmestellung ein- 
nimmt. Schon bei ziemlich geringer Veränderung von a geht 
der Parallelismus der \p mit der Reihe der Lösungsdrucke 
verloren. 

Zur Verifikation unseres Gesetzes stellen wir die Reihe 
der Lösungsdrucke jener Metalle voran, für welche die loni- 
sationswärme bekannt ist: 

Mg, Zn, Cd, Fe<«), Tl, Co, Ni, Cu^^), Hg«», Ag 

(für Mg ist der Lösungsdruck am größten, für Ag am kleinsten), 
und wir wollen durch die folgenden Zahlen zeigen, daß die 
t/;-Reihe dieselbe ist. 

1. Mg: Q = + 1067, n = 2, m = 24,36; 

1/; = 1070. 

2. Zn: Q=+326, n = 2, tw = 65,4; 

rf) = 345. 

3. Cd: Q= + 162, n = 2, »1 = 112,4; 

xp = 218,2. 

4. Fe^*» : Q = + 200, n = 2, m = 56; 

%fj = 213,9. 

5. Tl: Q = + 10, w = 2, m = 204,1 ; 

\f}^ 195,1. 

6. Co: Q=+146, 71 = 2, tw = 59,0; 

1/;=: 161,5. 

7. Ni: Q= + 135, n = 2, 7n = 58,7; 

1/; = 150,3. 



1) W. Ostwald, Zeitschr. f. phys. Chem. 11. p. 501. 1893. Die 
Abweichungen der Zahlen anderer Forscher sind nicht groß genug, um 
auch eine Abweichung von dem obigen Gesetz erkennen zu lassen. 

2) Wenn man eine andere Einheit zugrunde legt, ändert sich 
natürlich n entsprechend. 



Loitmgsdruck und lonisationitwärme, 281 

8. Cu**>: Q= - 175^), n = 2, tu = 63,6; 

t// = - 157,0. 

9. Hg<<»: Q = - 205, »=»1, m = 200,3; 

t/; = - 160,4. 

10. Ag: Q = - 262, w = 1, m = 107,9; 

t/; = - 249,1. 

Für Blei ordnet sich der t/;-Wert nicht, wie es sein sollte, 
zwischen die t//-Werte von Nickel und Kupfer ein. Bei diesem 
Metall mQBten daher die einfachen Grund Vorstellungen, von 
denen wir ausgingen, eine Modifikation erfahren. 

München, Juli 1903. 

1) Nach anderen Autoren ist für Kupfer {— Q) etwas kleiner, etwa 
160, wodurch sich der ^-Wert (— 142) etwas weiter von dem ^-Wert von 
Hg«>) entfernen würde. 

(Eingegangen 28. August 1903.) 



282 



37. A Pecnliar Class of Wayes.') 

By Ch. E. Curry in München. 



y. Helmholtz examined briefly in bis ,, Vorlesungen über 
die elektromagnetiscbe Tbeorie des Lichts'' the electromagnetic 
waves represented by the functions 

dx dy 

where (p denotes any purely spherical waye-function, that is^ 
a spherical wave-function of the distance r from the centre of 
disturbance and of the time t only; these quantities U, F, W 
are connected with the component electric moments Xy Y, Z 
by the differential equations 



-X dW 
D dy 


dV 
dx 


Y du 


dW 


D ~ dx 


dx 


Z dV 


du 



m 



D dx dy 

where B denotes the electric inductive capacity of the medium. 
The waves represented by these component moments are now 
the Hertzian waves^ the analytic expressions for the same 
being identical to those theoretically established by Hertz 
himsell y. Helmholtz has now obseryed in bis lectures aboye 
cited that the electric oscillations of these wayes take place 
at right angles to their direction of propagation only at con- 
siderable distance from the centre of disturbance or^ more 
exactly, at such distances from the same that the terms of 
the higher Orders of magnitude in 1/r in the expressions for 



1) Eztract from my „Electromagnetic Theory of Light'* (in print) 
MacmUlan & Co., London. 

2) Vgl. y. Helmholtz*s lectures. 



Ä peculiar Class of ff'aves. 283 

the component moments may be rejected when compared with 
those of the first order. Aside from a certain analog}' between 
electromagnetic wayes of this class and inducted currents, let 
uBi for breyity at least, designate here the waves or motions 
represented by the terms of the first order of magnitude in 1/r 
as y^primary'' and the others or those represented by the terms 
of higher Orders than the first^ as ^^secondary^' waves. The oscil- 
lations of the former will now be found to take place always 
at right angles to their direction of propagation, whereas those 
of the latter will make an entirely arbitrary angle with that 
direction. The primary and secondary waves are, in generale 
dependent on one another, that is^ the presence of the one 
demands that of the other or, in other words, neither can exist 
alone; this follows, since the analytical expressions for either 
wa?e singly are not particular integrals of our fundamental 
differential equations (Maxwell's equations), whereas the sums 
of the expressions for both waves are such. Besides the above 
class of electromagnetic waves, a primary disturbance accom- 
panied by a secondaiy one, we can of course have simple 
electromagnetic disturbances or primary waves, if we may 
then term them such, that are unaccompanied by secondary 
ones. Electromagnetic waves of this latter class are represented 
by purely spherical wave-functions <p and not by their deri- 
vatives; their behaviour is one and the same along all vectors. 
On the otherhand, an irregulär distribution of intensity over 
any sphere with centre at source of disturbance evidently 
indicates the presence of secondary waves in the medium. 

The object of the present paper is a brief examination of 
the socalled i^secondary" waves; they will be found to exhibit 
most peculiar properties. For the present purpose we shall 
examine the more general problem instead of the above parti- 
cular one, the Hertzian waves; we concieve namely the latter 
as particular case of the general one 



^ ' dy dx dx dx dx dy * 

where fPitVvVt ^^^^^ purely spherical wave-functions, that 
is, ibnctions of the form 

Vi = lf\ir±vt) etc. 



284 C. ß. Curry. 

These yalues (2) for U, F, W satisfy the conditional equaüon 

du dV dW _ ^. 
dx ^ dy '^ dx "■" J' 

which must hold between these quantities. 

Oq the assumption that the fanctions f^ff^^fz ^^re giyen 
in the form 

fi=^(ii sin — ^ {vt ^ r) etc., 

we find, by formulae (2), the following expressions for the 
functions U, F, W: 

t/ = -^(a, y - «3 /?) cos w + -^(03^-03/?) sin ö> 

and analogous expressions for F and Wy and then, by formulae 
(1), the following for the component electric moments 

X 4 71* 



(3) 



D X*r 



[«1 (/S^ + y^ - a (o, /9 + «3 r)] sin m 



+ i^v [2«! - 3a, 092 + y^) + Sa(a^ß + a^r)] cosco 

and analogous expressions for Y and Z, where a, ß, y denote 
the direction-cosines of the vector, along which we are exami- 
ning these oscillations or waves, and 

Q? = —7— (t? ^ — r) . 

The first terms of these expressions for the component 
electric moments represent the primary and the second (and 
third) terms the secondary wave. It is evident that for light 
waves proper or waves of wave length X that is small com- 
pared with measurable distances from the source of disturbance 
— A of the dimensions 10"~^mm — the second and third terms 
of these expressions for the moments will be very small com- 
pared with the first, so that they may thus be rejected not only 
at Short distances from the source but also in its immediate 
proximity; in other words, we may conceive all light waves 
proper as unaccompartied by secondary disturbances. For electric 
waves, as the Hertzian, the second and third terms of the 



1) Vgl. y. Helmholtz's lectures. 



Ä pecfdiar Claim of H'aves, 285 

giren expressions will vanish when compared with the fir8t 
only at greater distances from the source; the primari/ electric 
tcave will, therefore, be accompanied by a secondary electric one 
to a oonsiderable distance from its source, the intensitiy of the 
latter remaining of the same order of magnitude as that of the 
former in the immediate proximity of the source, but decreasing 
somewhat more rapidly thau that of the primary wave^ as we 
recede from the same. On the otherhand, the secondarv wave 
will evidently be represented approximately by the second terms 
alone of the giyen expressions^ except in the very next proxi- 
mity of the source; we shall, therefore, refer to the secondary 
wave as that represented by the terms of the second order of 
magnitude in Ijr, unless otherwise specitied. 

It is now easy to confirm the general law ,,the total 
resultant electric oscillations take place at right angles to the 
total resultant magnetic ones that are accompanying them'^ 
for the given waves. It is also easy to show that both the 
primary electric oscillations and the magnetic ones are taking 
place here at right angles to their direction of propagation. 
On the otherhand, the secondary oscillations will be found to 
make arbitrary angles with their direction of propagation: the 
angle they make with that direction along any given vector r 
will eridently be 

cos (/;, r) = cos (/;, x)a + cos {/;, f/)ß + cos (/;, z) y ; 

if we replace here these cosines by the quotients of the niomcnts 
in question from formulae (3), we find 

V a,» + o,« + (ij' + 3 (o, o + (I, (? + o, ;-)' 

It is evident from this formula that the secondary elec- 
tric waves will be longitudinal along the vectoi*s 

Along these vectors the primär}' waves will now vanisli, 
and also the magnetic ones^ by which the primär}* and 
secondary waves are otherwise accompanied. We can state 
this resolt in the general form: ,Jn ever}' System of electro- 
magnetic waves, in which secondary waves appear, there is 
always a vector, along which the secondary wave is propa- 



286 C. E. Curry. Ä peculiar Class of Waves, 

gated as a longitudinal wave; in which case it is then accom- 
panied (along that vector) neither by a primary (electric) nor 
by a magnetic disturbance/' 

The more thorough examination of the above and similar 
Systems of wayes leads to the following general reanlta: 

1. Along those vectors, where the primary (electric) and 
the magnetic waves do not appear^ the secondary wave is 
either longitudinal or it does not appear at alL 

2. Along those vectors^ where the secondary (electric) wave 
is transverse^ its amplitude is independent of the direction- 
cosines and, conversely, in those regions^ where the ampli- 
tude of the secondary (electric) wave is independent of the 
direction-cosines^ the wave itself is transverse. 

3. The transverse secondary wave is accompanied by a 
primary electric and a magnetic wave^ whose amplitudes are 
independent of the direction-cosines, and, conversely, along 
those vectors^ where the amplitudes of the primary (electric) 
and magnetic waves are independent of the direction-cosines, 
the secondary (electric) wave is transverse. 

4. The electric oscillations represented by the terms of 
the third order of magnitude in 1/r make the same angle of 
oscillation with their direction of propagation as the secon- 
dary oscillations proper. 

5. The electric and magnetic waves represented by terms 
not only of the same but also of dififerent Orders of magnitude 
in 1/r take place at right angles to each other; it would, 
therefore, be impossible to separate or pair off electric and 
magnetic waves of the same order by means of the property 
that they are taking place at right angles to one another. 

6. Both the primary and the secondary waves obey the 
same laws of reflection and refraction as ordinary plane waves; 
whereas their amplitudes after reflection and refraction are 
determined by similar expressions to those for the amplitudes 
of reflected and refracted plane waves. 

Beute^ Ammersee. 

(Eingegangen 30. Aogust 1903.) 



287 



38. Das Yaknnm als Isolator. 

Von O. Lehmann in Karlsruhe. 



John WaUh (1778), William Morgan (1785), Davy 
(1822) und Plücker (1859) glaubten durch ihre Versuche fest- 
gestellt za haben, das vollkommene Vakuum lasse die Elek- 
trizit&t nicht durch. Im Gegensatz hierzu ergaben Versuche 
Ton Hittorf (1868), daß der groBe Widerstand sogenannter 
absoluter Vakuumröhren lediglich auf ihren geringen Dimeo- 
sionen beruht, durch welche die freie Ausbildung des nega- 
tiren Olimmlichts und des Eathodendunkelraums beeinträchtigt 
wird. Unter Verwendung der größten technisch herstellbaren 
Bezipienten gelang es mir in der Tat bei Drucken, bei wel- 
chen in einer gleichzeitig an die Pumpe angeschlossenen Röntgen- 
röhre Röntgenstrahlen auftraten, Entladungen schon mittels 
ganz mäßiger Spannungen (400—500 Volt) zu erhalten. Bei 
noch höherem Vakuum, in welchem der Eathodendunkelraum 
den ganzen Bezipienten (von ca. 60 — 70 cm Länge und 30 cm 
Weite) aasfüllte, gingen auch hier Entladungen selbst dann 
nicht mehr hindurch, wenn an einer Parallelfunkenstrecke die 
Schlagweite 16 cm betrug. Wäre es möglich, noch größere 
Bezipienten zu beschaffen, so wäre es sicher möglich, auch bei 
diesen minimalen Drucken — Anwendung hinreichend großer 
Elektroden vorausgesetzt — Entladungen oder Ströme selbst 
mittek der oben genannten sehr mäßigen Spannung zu er- 
halten, da nach Warburg (1887) der normale Eathodenfall 
unabhängig ist vom Druck des Gases. 

Die Enge der Gefäße ist es auch, welche es unmöglich 
macht» mit gewöhnlichen elektrodenlosen Röhren oder kleinen 
erakoierten Kugeln den Entladungsgradienten dadurch zu be- 
stimmen, daß man sie plötzlich einem gcladenon Konduktor 
siliert oder davon entfernt, vorausgesetzt, daß die Verdünnung 



288 0, Lehmann, 

soweit getrieben ist, daß sich Donkelraum und Glimmlicht, 
welche hier ebenso entstehen wie in Röhren mit Elektroden, 
nicht mehr frei ausbilden können. Solche Röhren pflegen neu 
hergestellt nicht ^^anzusprechen'S wohl aber, wenn einmal durch 
Anwendung eines übermäßig hohen Spannungsgefälles Ent- 
ladung hervorgerufen und dadurch das Vakuum verschlechtert, 
somit die Dicke des Dunkelraumes vermindert wurde. Bei 
Anwendung großer elektrodenloser Rezipienten, welchen ein an 
Seidenschnur aufgehängter geladener großer Konduktor sich 
pendelnd nähert und entfernt, kann man deutlich erkennen, 
daß auch hier gelber Saum, Dunkelraum und blaues Glimm- 
licht ungefähr in gleichen Dimensionen auftreten, wie in 
Rezipienten mit Elektroden. Läßt man den Konduktor fest- 
stehen (oder verwendet äußere Elektroden) und bewirkt die 
Spannungsänderungen dadurch, daß man ihn an eine Wechsel- 
stromquelle, speziell einen Hochfrequenztransformator anschließt, 
so wird die Dicke des Dunkelraumes mit steigender Frequenz 
geringer, wie auch in Röhren mit Elektroden, die Elntladungen 
erfolgen deshalb leichter, d. h. bei geringerem Spannungsgefälle, 
die dielektrische Festigkeit des Gases scheint vermindert. 

Gleiches gilt für die Hittorf'sche „Ringentladung'S welche 
entsteht, wenn durch eine das Vakuumgefäß umgebende Draht- 
spirale oder auch einfach einen Drahtring Hochfrequenzstrom 
hindurchgeleitet wird. Ebenso wie der pendelnde Konduktor 
bewirkt die in dem Ringe pendelnde Elektrizität das Auftreten 
von Entladungen, welche scheinbar in sich zurücklaufen und 
durch das Hin- und Herschießen magnetischer Kraftlinien be- 
dingt sind, in Wirklichkeit aber, wie man bei Anwendung 
großer Rezipienten deutlich erkennen kann, von der Glaswand 
ins Innere gehen und ebenso wie gewöhnliche Entladungen 
mit der Bildung von gelbem Saum, Dunkelraum und blauem 
Glimmlicht verbunden sind, wobei der Dunkelraum nur deshalb 
eine geringe Dicke besitzt, weil die Wechselzahl der ange- 
wandten Ströme eine sehr große ist Aus diesem Grunde ist 
auch der Spannungsabfall, bei welchem die Entladungen er- 
folgen, ebenso wie bei Röhren mit äußeren Elektroden ein ge- 
ringerer, wodurch sich die Beobachtungen von Plücker (1858) 
und Hittorf (1884) erklären, daß durch „äußere" Elektroden 
oder „induzierende'' Drabtspulen auch in Röhren, welche keinen 



Das Vakuum ah Isolator. 

Strom zwischeo den „iDDem" Elektroden bindurchlassen, Eut- 
ladimg hervorgerufen werden kann. ') 

Nach Faradaya disruptiver Theorie der Eiitladung soll 
diese eintreten, wenn das Spannungsgefälle die dielektrische 
Festigkeit des Gases übertrifft. Daß nun den genannten Ver- 
«achen zufolge 'die dielektrische Festigkeit scheinbar von den 
Dimensionen des tiefüßes abhängt, erscheint nur verständlich 
unter Beiziebimg der Hypothese, daß bereits vor Eintritt der 
leuchtenden disruptiven Entladung eine lichtlose elektrische 
Strömung im 'Tase eintritt, welche durch Bildung elektrischer 
Luftfichifliten, speziell einer positiven Schicht jin der Kathode, 
das elektrische Feld ändert oder, falls man die Faraday- 
Kchen Voratellungen fallen läßt und durch diejenigen der 
etektroly tischen Entladungstheorie ersetzt (der einzigen, welche 
bisher neben der disruptiven Theorie zur Erklärung der Gb- 
samtbeit der Erscheinungen verwendet wurde], die Beschaffen- 
heit des Gases, indem die wenigen ursprünglich vorhandenen 
Ionen, welche den hchtlosen Strom vermitteln, so starke Be- 
weRungsantriehe durch das Spannungsgefälle erhalten, daß sie 
durch ihre StoBwirkung die Bildung neuer Ionen veranlassen 
und hierdurch die Leitungafähigkeit des Gases rasch ins ün- 
gemessene steigern. 

Die disruptive Theorie soll unzureichend sein, weil die 
Kraft des Feldes nicht imstande ist, die elektrische An- 
xiehnng der zu neutralen Molekülen verbundenen Ionen (rich- 
tiger Elektronen, da Entladung auch in einatomigen Gasen 
stattfindet) zu überwinden. Indes nimmt die elektrolytische . 
Theorie an, daß schon durch die StoBwirkung der Wärme- 
bevegong einzelne Ionen gebildet werden , somit wird dies 
•ach möglich sein, wenn noch die Kraft des Feldes hinzukommt, 
ttnd die bei dieser Spaltung der Moleküle oder Atome auf- 
tretenden Strahlungen werden bewirken, daß sofort neue Mole- 
kole in solchen Zustand versetzt werden, daB sie durch Wir- 



I) Bei hochBvalinterteo groSen KeEipi«nt«ii beobachtete ieh, dafi die 
RiDgentlftdungon den Gasdruck lohr Btaric erniedrigen, bei 
Mark evakaierleii , daS eiuo ErhShang eintritt, so dsB dnnn in- 
'fclge der Vermindenuig der Dicke des Diinkelrauines die Entladung 
wieder leiobtoT bindorcfageht. 



^ 



290 0. Lehmann. 

kung des Feldes zerfallen. Jedenfalls haben beide Theorien 
das gemeinsam^ daß sie die Existenz eines der leuchtenden 
Entladung vorhergehenden lichtlosen Stromes annehmen, es 
muß also möglich sein, mag die eine oder andere Theorie zu- 
treffen^ diesen experimentell nachzuweisen. 

Die bereits vorliegenden Versuche mit Vakuümelektroskopen 
(Dessaignes 1814, Davy 1822, Hittorf 1879, Worthington 
1885, Pflaum 1900, 0. Lehmann 1902) ließen erkennen, 
daß, wenn ein solcher Strom existiert, seine Stärke so gering 
sein muß, daß die Anwendung eines Galvanometers aussichts- 
los erscheint, ebenso auch die Verwendung der gebräuchlichen 
engen Vakuumröhren mit kleinen Elektroden. Ich benutzte 
deshalb als Vakuumgefäß ein elektrisches Ei von ca. 70 cm 
Höhe und 30 cm Weite, bestehend aus zwei in vertikaler 
Stellung aufeinander gekitteten tubulierten Luftpumpenrezi« 
pienten. In den oberen Tubulus war eine Elektrode eingesetzt, 
bestehend aus einer Aluminiumkugel (Ä') von 7 cm Durch- 
messer, in den unteren eind durch Barometerverschluß ver- 
schiebbare Sonde (5), bestehend aus einer auf ihrer unteren 
Hälfte mit Glas bedeckten Messingkugel von 2 cm Durch- 
messer. Die Zuleitungen beider Kugeln waren in Glasröhren 
eingeschlossen. Der größte Teil der inneren Wandung des 
elektrischen Eies war mit Drahtnetz [N] bedeckt, welches im 
allgemeinen (eventuell unter Zwischenschaltung eines Galvano- 
meters oder Entladungselektrometers) zur Erde abgeleitet oder 
mit einem Elektrometer verbunden war. Zur Erzeugung eines 
axialen Magnetfeldes konnten über das Ei zwei Draht- 
rollen [RS) von je 1100 Windungen geschoben werden. 

Zur Messung der Spannungen dienten Braun sehe Elektro- 
meter, derart abgeändert, daß sie kein Residuum mehr zeigten, 
welches bei diesen Versuchen sehr störend gewesen wäre. 

I. Ladungsteilung. 

Das einfachste Verfahren zur Erkennung des hypothe- 
tischen lichtlosen Stromes schien die Ladungsteilung zwischen 
einem geladenen kugelförmigen Konduktor K' und der Kugel K, 
Haben beide gleichen Durchmesser und finden keine Ladungs- 
verluste durch mangelhafte Isolation . statt, so muß nach der 



Das Vakuum als Isolator, 201 

ftblichen Auffassung die Spannung, falls sie in Verbindung 
gesetzt werden, auf die Hälfte sinken. Dies würde auch zu- 
treffen, falls die Verbindung ohne Energieverlust durch Funken- 
bildung hergestellt werden könnte. Tatsächlich erhielt ich, 
wenn K' auf 1000 Volt geladen war, in Lutl von gewöhnlicher 
Dichte nur eine resultierende Spannung von ca. 300 Volt. Ganz 
dasselbe Elrgebnis wurde erhalten, wenn das Ei auf 0,00 15 mm 
Druck ausgepumpt war und zwar gleichgültig, ob positive oder 
negative Ladung verwendet wurde. 

Bei der Spannung von 300 Volt tinden also sicher keine 
Ladungsverluste durch lichtlose Ströme statt, ebensowenig er- 
folgt Bildung einer Doppelschicht an der Kathode. Allerdings 
ist diese Spannung noch erheblich verschieden von der Ent- 
ladungsspannung, so daß immerhin die Möglichkeit bestände, 
daß unmittelbar vor der leuchtenden Entladung solche un- 
sichtbare Ströme autlräten. Indes zeigte sich auch hei Drucken 
von 0,0034—0,008 mm und Spannungen von 20()0--23()0 Volt, 
welche der Entladungsspannung sehr nahe waren, bei der 
LaduDgsteilung ein Rückgang der Spannung im gleichen Ver- 
hältnis auf 700—800 Volt (V, der anfanglichen Spannung). >) 

II. Zerstreuung. 

Wurde nach der Ladungsteilung die Kugel A' wieder auf 
die Anfangsspannung gebracht und dann abermals mit der nun 
geladenen Kugel A' fbr einen Moment verbunden, so nahm 
natürlich, infolge abermaliger Ladungsteilung, die Spannung 
von A' einen etwas höheren Wert an. Man konnte so schritt- 
weise die Spannung von A' auf immer höheren Wert bringen 
und untersuchen, ob etwa hierdurch die Zerstreuung der Elek- 
trizität anomal wurde, d. h. größer als in gewöhnlicher Luft. 
Dies war aber nicht der Fall, selbst wenn die Spannun«; bis 
zum Entladungswerte gesteigert wurde. Auch hieraus kanik 



1) FortMtiang der Versuche zu noch höhereu Spaimuii^cii (bei 
0,001 mm Druck konnten bei positiver Ladung solche von mehr als 
12 000 Volt dauernd erhalten werden) schien zwecklos, da durch die b«'i 
der Ladangttellung entstehenden Funken unkoiitrolliorbarc Spannungs- 
•ehwankongen bedingt sein konnten, außerdem aber die Vorluste durch 
mugelhalle Isolmtion während der Dauer der Schwingungen der Elektro- 
nwCemadel störend wurden. 



292 0, Lehmann, 

man also schließen^ daß der Entladung kein lichtloser Strom 
vorangeht. Wurde die Entladungsspannung erreicht, so fiel 
die Spannung plötzlich^ oft erst nach einiger Zeit („ Verzöge- 
rung'^, bis zu einem Rest, welcher die Entladungsspannung bei 
Stromdurchgang darstellt. Derselbe war bei negativer Ladung 
erheblich größer als bei positiver. Die äußersten Spannungen, 
bis zu welchen K geladen werden konnte, waren natürlich 
vom Drucke abhängig, da bei niedrigen Drucken der dunkle 
Eathodenraum sich nicht mehr frei ausbilden konnte. 

Bei 0,04 mm betrug diese Grenzspannung, falls das Draht- 
netz abgeleitet war, ca. 500 Volt; bei 0,023 mm 610 Volt; bei 
0,02 mm 1100 Volt; bei 0,008 mm 2200 Volt; bei 0,003 mm 
3800 Volt; bei 0,0005 mm 8500 Volt Meist waren die Grenz- 
spannungen für positive und negative Ladung gleich, doch 
zeigten sich auch erhebliche Unterschiede und zwar war dann 
stets die positive Entladungsspannung größer. Überhaupt 
waren die beobachteten Grenzwerte keineswegs konstant; z. B. 
wurde bei 0,001 mm Druck und positiver Ladung einmal die 
Grenze 4 700 Volt beobachtet, ein andermal 10000 Volt, in einem 
dritten Falle trat die Entladung auch bei 12000 Volt noch 
nicht ein. Auch die Werte der Verzögerung schwankten in 
weiten Grenzen. 

III. Einfluß magnetiaoher Kräfte. 

Wurden die eben beschriebenen Versuche wiederholt, wenn 
die erwähnten Magnetisierungsspulen R R (oder mindestens die 
obere derselben) vom Strom durchflössen waren, so ergab sich 
bei niedrigen Drucken eine bedeutende Änderung der Grenz- 
spannung, während die Zerstreuung ungeändert blieb. Bei 
dem Druck 0,04 mm erniedrigte sich die Grenzspannung bei 
etwa 1 Amp. Magnetisierungsstrom auf ca. 470 Volt (sowohl 
für positive wie fiir negative Ladung); bei 0,018 mm auf 520 Volt; 
bei 0,01 mm auf ca. 1000 Volt; bei 0,008 und 0,002 mm 
ebenso, doch wurden auch noch niedrigere Werte bis herunter 
zu 400 Volt (bei positiver Ladung) und 900 Volt (bei negativer 
Ladung) beobachtet Bei diesen sehr niedrigen Drucken kann 
man also die Ladung der Eugel durch Erregen des Magnet- 
feldes sofort bis auf einen (fiir positive Elektrizität kleinen, 
für negative großen) Rest zum Verschwinden bringen. 



Diu Fakuum als Isolator, 



293 



Da sich diese Wirkung des Magnetismus erst dann in 
aoflUliger Weise geltend macht, wenn der Dunkelraum durch 
die Gef&Bwände eingeschränkt wird, ein Dunkelraum aber vor 
Beginn der Entladung nicht sichtbar ist, so sprechen diese 
Versache im Gegensatz zu den vorigen für das Vorhandensein 
eines lichÜosen Stromes vor Beginn der Entladung. 

Mit ELrhöhung der Stromstärke J in den Magnetisierunf^s- 
roUen wächst in manchen Fällen die Erniedrigung der Greuz- 
spannung E^), doch sinkt diese nicht unter die angegebenen, 
dem herrschenden Drucke p entsprechenden Werte; in andern 
Fällen wirkt das Magnetfeld gerade umgekehrt und erschwert 
die Elntladang. Femer wird der zurückbleibende Spannungsrest 
e mit steigender Magnetisierungsstärke im allgemeinen kleiner. 

Beispielsweise wui*den folgende zusammenhängende Worte 
beobachtet; wobei JB die anfängliche Spannung bedeutet: 



0,040 mm 


jK*« -i- 


500 Volt J =« 1 


Amp. 


e = 400 Volt 


0,018 „ 


— 


500 , 


1 




470 




0,018 „ 


— 


810 , 


6 


}V 


710 




0,008 „ 


— 


2000 , 


1 




1500 




0,008 „ 


— 


1700 , 


1 




1350 




0,008 „ 


— 


1500 , 


1 




1150 




0,008 „ 


- 


1500 , 


» ^ 




980 




0,008 „ 


— 


1500 , 


15 




900 




0,008 „ 


— 


1500 , 


25 




880 




0,008 „ 


— 


1300 , 


, 1 




1020 




0,008 „ 


— 


1200 , 


1 




1050 




0,008 ,. 


— 


1050 , 


1 




1000 




0,008 „ 


— 


1000 , 


7 




900 




0,008 „ 


— 


980 , 


15 




900 




0,008 „ 


+ 


420 , 


1 




350 





Wird die Kugel K dauernd mit einer Stromciuelle (Akku- 
mulator, Batterie Leydener Flaschen mit eingeschaltetem 
Widerstand) von -BVolt Spannung verbunden, so bewirkt Kr- 
hOhong der Stärke des Magnetisierungsstromes / Krhöhun«; der 
Stärke des EIntladangsstromcs i bis zu einem Maximum und 
sodann Verminderung derselben. Beispielsweise wurde <;efuii(len : 



1) Zuweilen ruckweise. Vgl. 0. Lehmann, Die elektrischen Lirht- 
andieünu^en oder Entladungen p. 160 a. 386. HhIIc 18»8. 







0. Lehmann. 




0,0820 mm 


E« + 


520 Volt 


J = 1 Amp. 


i = 0,0080 A 


0,0320 „ 


- 


520 „ 


1 .. 


0,0007 „ 


0,0180 „ 


+ 


620 „ 


1 >• 


0,0070 „ 


0,0180 „ 


+ 


520 „ 


* » 


0,0096 „ 


0,0180 „ 


+ 


520 „ 


1 » 


0,0101 


0,0180 „ 


+ 


520 „ 


12 „ 


0.1080 


0,0180 „ 


- 


520 „ 


1 >. 


0,0004 


0,0180 „ 


- 


520 „ 


7 „ 


0,0000 


0,0100 ., 


+ 


610 „ 


11 .. 


0,000080 „ 


0,0100 „ 


+ 


810 „ 


25 „ 


0,000 055 „ 


0,0100 „ 


- 


BIO „ 


25 „ 





0,0100 „ 


+ 


eeo „ 


B .. 


0,000115 „ 


0,0100 „ 


+ 


660 „ 


16 „ 


0,000 080 „ 


0,0100 „ 


+ 


S60 „ 


25 „ 


0,000 oeo ,. 


0,0100 „ 


- 


860 „ 


25 „ 


» 


0,0100 „ 


+ 


760 „ 


1 .. 


0,000 121 „ 


0,0I0O „ 


— 


750 „ 


6 „ 


0,0001*3 „ 


0,0100 „ 


+ 


750 „ 


6 .. 





0,0100 „ 


■1- 


»00 „ 


1 <i 


0,000 220 „ 


0,0100 „ 


+ 


900 „ 


*.5., 


0,000 176 „ 


0,0100 „ 


+ 


»00 „ 


1* « 


0,000203 „ 


0,0100 „ 


- 


900 „ 


I t> 


0,000 15» „ 


0,0100 „ 


_ 


»00 „ 


* r< 


0,000110 „ 


0,0100 „ 


- 


900 „ 


8 .. 


0,000025 „ 


0,0100 „ 


- 


»00 „ 


12 „ 


0,000 015 „ 


0,0100 „ 


+ 1050 „ 


1 „ 


0,0008 


0,0100 „ 


- 


1050 „ 


1 t. 


0,0003 


0,0080 „ 


+ ;2250 „ 


1 „ 





0.0080 „ 


- 


2250 „ 


1 „ 


0,0008 


0,0080 „ 


- 


2250 „ 


* „ 


0,0005 


0,0080 „ 


- 


2250 „ 


10 „ 


0.0018 



»+470 Volt /•■lAmp. 1 = 0,0090 Äinp. i'b — 0,0061 Amp, 
+ 520 „ l „ 0,0180 „ 0.0080 .. 



Mit BeBeiti^ung des Magnetisiemngaetromes verschwand 
auch der Entladungsstrom (in der Regel) oder es blieb ein 
Rest ^ z. B. tar 

p - 0,0400 m 
0,0100 , 
0,0400 „ -520 „ 1 „ 0,0009 „ 0,0000 „ 

Dieses Verhalten entepricht ganz dem Einfiuß des Mag- 
oetismos auf schon vorhandene Entladung. Beispielsweise war 
bei p = 0,04 mm und E = — 470 Volt, die Slrumstärke ohne 
magnetisches Feld =0,00015 Amp., die Dicke des Dunkel- 



Das Vakunm als Isolator, 295 

ranmes =10 cm; bei J^l Amp., i = 0,0006 Amp. iDiiukol- 
raum 4 cm) uud bei / = 8 Amp. erlosch die Entladung, nach- 
dem der Dunkelranm auf 2,5 cm zusammengeschrumpft war. 

Während sich nun unschwer Hypothesen ersinnen lassen, 
welche diesen £inHuß des Magnetismus während des Ent- 
ladungsprozesses erklären, erscheint der Einfluß auf den Ein- 
tritt desselben völlig rätselhaft^ wenn, wie die erst besprochenen 
Versuche ergaben, eine Uchtlose Strömung vor der Entladung 
nicht vorhanden ist Wie soll man sich z. B. deuten, daß ein 
Konduktor, welcher auf + 1300 Volt geladen, seine Ladung 
dauernd behält, sie sofort verliert, wenn ein schwaches Magnet- 
feld erregt wird, dessen Kraftlinien mit denen des elektrischen 
Feldes zusammenfallen und daß er in diesem Magnetfeld nicht 
einmal eine Ladung bis zu 420 Volt zu behalten vermag? 
Man könnte wohl daran denken, daß durch das Magnetfeld 
etwa die Struktur des Äthers und damit die dielektrische 
Festigkeit geändert wird, indes dem widerspricht die Tatsache, 
daß sich der merkwürdige Einfluß des Magnetismus nur dann 
geltend macht, wenn die freie Ausbildung des Kathodendun kel- 
raumes und des Glimmlichtes durch die GeHißwändo beein- 
trächtigt wird. 

Man wird also durch diese Ergebnisse dahin gcfllhrt, daß 
sich doch vor Eintritt der Entladung unsichtbare Strömungen 
vollziehen müssen, worauf unter anderem namentlich auch die 
Verzögerungserscheinungen hinweisen. 

IV. Influemwirkungen. 

Im Hinblick auf diese Bedenken habe ich eine weitere 
Reihe von Versuchen ausgeführt, welche bezweckten, dio In- 
fluenzwirkungen im Vakuum zu studiereu. Würde z. H. die 
Kathode vor der Entladung infolge einer lichtlosen Ent- 
ladung mit einer positiven Luftschicht umgeben, so müßte ihre 
Influenzwirkung auf einen isolierten Leiter natürlich geringer 
oder geradezu gleich Null sein, während die Anode mit vor- 
doppelter Kraft wirken müßte, da sie nicht nur direkte In- 
fluenzwirkung ausübt, sondern auch indirekt durch Entsendung 
einer positiven Luftwolke an das negative Ende des intlueii- 
zierten I^eiters. Versuche dieser Art, bei welchen die Sr)iide .V 



296 0. Lehmann. 

als influenzierter Leiter diente, die Kugel K als elektrischer 
Konduktor und das zur Erde abgeleitete Drahtnetz N als 
Schutzhülle gegen etwaige Ladungen der Gefäßwände, ergaben 
ein durchaus negatiyes Resultat. Die Angaben des mit der 
Sonde 8 verbundenen Elektrometers blieben dieselben^ mochte 
die Kugel K positiv oder negativ sein und waren hinsichtlich 
ihrer Größe bei verschiedenen Abständen von 8 und K un- 
gefähr dieselben wie in Luft von gewöhnlicher Dichte, aller- 
dings meist merklich kleiner. Die Versuche wurden sowohl in der 
Art ausgeführt, daß der konstant geladenen Kugel die Sonde 
aus größerer Entfernung genähert wurde oder so, daß sie in 
bestimmten Abstand gebracht und dann erst der Kugel Ladung 
mitgeteilt wurde, oder auch so, daß sie während der Influenz- 
wirkung abgeleitet und der nach Zurückfbhrung in die An- 
fangslage oder Entladung nach der Kugel entstehende Aus- 
schlag gemessen wurde. Femer wurden auch Kugel und Sonde 
vertauscht oder das Netz als influenziereuder Körper gewählt 
Auch der Fall wurde untersucht, daß der influenzierten Sonde 
schon von Anfang an eine gleichartige oder entgegengesetzte 
Ladung mitgeteilt war. 

Auf Mitteilung der Resultate im einzelnen muß verzichtet 
werden, da sich eine Menge von Komplikationen ergaben, in 
erster Linie deshalb, weil beim Verschieben der Sonde durch 
Reibung ihrer Glasumhüllung an dem absperrenden Queck- 
silber störende Ladungen (zugleich mit Rückstandsbildung) auf- 
traten, sodann weil bei der geringen Größe der influenzierten 
Kugel kleine Mängel der Isolation von großem Einfluß wurden. 

Auch diese Versuche sprechen also gegen die Existenz 
lichtloser Ströme vor der Elntladung. 

BohluB. 

Das tatsächliche Ergebnis der dargelegten Untersuchungen 
kann dahin ausgesprochen werden, daß, soweit die Empfind- 
lichkeit der benutzten Apparate ein urteil gestattet, bei Er- 
höhung der Spannung bis unmittelbar vor Eintritt der leuch- 
tenden Entladung auch das unvollkommene Vakuum sich als 
vollkommener Isolator erweist, daß keine auch nur schwache, 
dauernde, lichtlose Strömung eintritt, auch keine vorüber- 



Dat Vakuum als Isolator. 297 

gehende, welche etwa zur Bildung eiuer positiven Luft wölke 
am die Kathode ftüiren würde. Damit ist aber nicht aus- 
geschlossen, daß eine solche Strömung zugleich mit Beginn der 
EnUadung eintreten könnte, sowie daß Anhäufung positiv elek- 
trischer Luft während der Entladung an der Kathode statt- 
fände. Die Versuche sprechen also in dieser Hinsicht weder 
gegen die disruptive, noch gegen die elektrolytische Theorie. 
Schwer läßt sich aber nach letzterer das weitere Ergebnis 
verstehen, daß bei Ableitung der einen Elektrode die Ent- 
ladnngsspannung häufig bei positiver und negativer Ladung 
der anderen dieselbe ist und nichtsdestoweniger die positiven 
und negativen Lichterscheinungen ebenso grundsätzlich von- 
einander verschieden sind wie in anderen Fällen; daß sich 
an der Anode keine Kanalstrahlen und kein dunkler Raum 
von gleicher Art wie an der Kathode zeigen, daß die negativen 
Glimmstrahlen sich parallel den magnetischen Kraftlinien stellen, 
das positive Glimmlicht dagegen senkrecht zu denselben angeord- 
net escheint und dergleichen mehr. ^) Direkt zu widersprechen 
scheint der Theorie auch die Abnahme der Dicke des Dunkel- 
raomes mit wachsender Frequenz bei Wechselströmen und die 
geringe Verschiedenheit bei Ausbildung des Dunkelraumes an 
metallischen Elektroden und an Glaswänden. Da die Theorie 
die Entstehung des Dunkelraumes dadurch erklärt, daß derselbe 
von den Ionen (entsprechend der geradlinigen Fortpflanzung 
der Eoithodenstrahlen) frei durchlaufen wird, also wohl sehr 
viel weniger Gas enthält als der übrige Elntladungsraum, so 
habe ich versucht, diese hypothetischen Dichtigkeitsänderungen 
der Gasmasse dadurch nachzuweisen, daß ich das eine von 
zwei hoch evakuierten großen elektrischen Eiern von Strom 
dorchfliefien ließ und dann plötzlich auch durch das andere 



1) Derselbe Unterschied der Lichterscheinungen zeigt sich in freier 
Luft bei der Glimmentladung an einer Spitze gegen eine weit abstehende 
große sur Erde abgeleitete Platte, wobei nicht der Einwand erhoben 
werden kann, daß nur f&r einen kurzen Moment die Verschiedenheit be- 
steht and dann in Folge der wachsenden Zahl von Ionen die weiten* 
lonenbildung nur noch an der Kathode erfolgt. Allerdings ist hier die 
pontiTe Spannong erheblich größer als die negative, doch zeigt sich 
in der Beschaffenheit der positiven Lichterscheinungen auch nicht eine 
Annihening an die der negativen. 



298 0. Lehmann, Das Vakuum ah Isolator. 

Strom leitete. Bei der großen Empfindlichkeit der Entladungen 
gegen geringe Druckänderungen bei hohem Vakuum hätte sich 
die Verdrängung des Oases aus dem zweiten EH durch den 
mehr als die Hälfte des Inhalts einnehmenden Dunkelraum 
deutlich bemerkbar machen müssen. Dies war indes nicht 
der Fall. 

Karlsruhe, 29. August 1903. 

(Eingegangen 31. August 1908.) 



Zusätze bei der Korrektur, 

1. Während des Druckes erschien in der physikalischen Zeitschrift 4. 
p. 811 eine Abhandlung von Lech er (vom 12. Oktober), welche die 
Seite 288 dargelegte Auffassung über das Wesen der vermeintlichen 
Ringentladung bestätigt (Vgl. auch 0. Lehmann, Wied. Ann. 47. p. 483. 
1892; Elektrizität und Licht p. 299. Braunschweig 1895; Elektrische 
Lichterscheinungen p. 49. Halle 1898; Elektrische Entladungen in 
Meyers Konversationslexikon. 6. Aufl. 1903.) 

2. Während des Druckes veröffentlichte G. C. Schmidt (Ann. d. 
Phys. 12. p. 622. 1903) eine Abänderung der elektroly tischen Theorie, 
auf welche das Seite 297 Gesagte nur zum Teil zutrifft. Gegenftber der 
bisherigen (vgl. J. Stark, Die Elektrizität in Gasen, Leipzig 1902) hat 
die neue Theorie den Nachteil, daß sie im Wesentlichen nur den großen 
Widerstand des Kathodendunkelraumes (durch Mangel an Ionen) erklärt 
Ein Vergleich des genannten Werkes mit meinem Buche über Ent- 
ladungen und den ergänzenden Abhandlungen in Wied. Ann. 63. p. 285. 
1897; Ann. d. Phys. 6. p. 661. 1901; 7. p. 1. 1902 u. Verh. d. Karls- 
ruher Nat-Ver. 15. p. 33. 1902 läßt übrigens erkennen, daß auch die 
firühere elektrolytische Theorie noch keineswegs auf alle Erscheinungen 
angewendet wurde. 



299 



39. Ober sogenannte Heiligenscheine nnd andere 
gleichen Ursachen entspringende Erscheinungen. 

Von A. V. Obermayer id Wien. 

Im Jabelbande der Poggendor ff sehen Annalen definiert 
EX Lommel in einer Abhandlung: ,,Über den Lichtschein um 
den Schatten des Kopfes'' die bezügliche Erscheinung mit den 
folgenden Worten: ,,Wenn man bei hellem Sonnenscheine seinen 
Schatten im Grase, auf einem Getreide- oder Stoppelfelde, auf ge- 
ackertem Erdreiche, überhaupt auf rauher Fläche betrachtet, so 
sieht man, besonders deutlich bei niedrigem Stande der Sonne, 
den Schatten des Kopfes umgeben von einem schwachen Licht- 
scheine, welcher sich gewöhnlich über dem Scheitel weiter er- 
streckt als zu beiden Seiten. Diese Erscheinung, welche 
Heiligenschein genannt worden ist, verschwindet, wenn der 
Schatten eine ganz ebene Fläche trifft. Einen sehr hellen 
Lichtschein beobachtet man, wenn der Kopfschatten auf be- 
tautes Gras ftUt Jeder Beobachter sieht nur seinen eigenen 
Schatten mit dieser Glorie geschmückt, nicht aber denjenigen 
seiner Begleiter. Hieraus folgt, daß man es mit zwei ver- 
schiedenen Erscheinungen zu tun hat, nämlich erstens mit dem 
schwachen Lichtscheine auf trockenen, rauhen Flächen, und 
zweitens mit dem viel helleren, welcher auf betauten Wiesen 
wahrgenommen wird und als Wirkung der Tautropfen zu der 
Torigen hinzukommt.'* ^) 

Mqor Ton Winterfeld zu Niden in der Uckermark ^ hat 



1) Alle FUle, bei welchen um den Schmtten des Kopfes, wie beim 
■ogenannten Brockengespenst, farbige Ringe auftreten, sind nicht als 
HeÜigenscheine sa beieichnen. So z. h. sind in einer Ablaiidlung von 
Tait: Glories Haloes Coronae seen from Ben Nevis Observator}-. Pro- 
oeedingi of the Royal Soc. of Edinburgh 14. p. 314 u. ff. mit Plate XII. 
bis auf Fig. 8, durchwegs Beugungserscheinungen angeführt und iiidit 
Heiligenscheine, wie nach dem Titel des Referates in den Beiblättern 16. 
8. ISS SU Tennuten wAre. 

2) V. Winterfeld, Gilberts Ann. IS. p. hl. lso4. 



300 Ä. V. Obermayer. 

sich^ anknüpfend an den Aufsatz eines Beisenden im Deutschen 
Merkur vom März 1783, mit dieser Erscheinung beschäftigt, 
yerschiedene von anderen versuchte Erklärungen angeführt und 
endlich selbst eine Erklärung gegeben, welcher Lommel zu- 
stimmte, welcher aber von Brandes ^) entgegengetreten wurde. 
In allen den vorUegenden Publikationen ist nur der lichte 
Schein um den Schatten des Kopfes erwähnt. Tatsächlich tritt 
aber dieser lichte Schein stets in Begleitung eines dunklen Saumes 
am inneren Schattenrande auf, und dieser gehört ebenso zum 
Wesen der Erscheinung, wie der erstere. Auf betauten Wiesen 
kommt der durch die Tautropfen gebildete lichte Schein, wo- 
für Lommel eine sehr zutreffende Erklärung gegeben hat, hinzu. 

Das Auftreten des lichten und dunklen Saumes an der 
Schattengrenze ist indessen, wie eine einfache Beobachtung bei 
gutem Sonnenschein lehrt, nicht an die Rauhigkeit der Fläche 
gebunden. Man sieht diese Säume auch auf ganz ebenen 
Böden, auf Asphaltböden, ja selbst auf Papierflächen, und zwar 
bei jedem Stande der Sonne, auch zur Mittagszeit Diese 
Säume umziehen nicht nur die Kontur des eigenen Schattens, 
sondern auch jene des Schattens eines Begleiters, sie lassen 
sich an den Schatten von Hauskanten oder anderer feststehen- 
der Gegenstände verfolgen. Bei längere Zeit fortgesetzter Be- 
trachtung der Schattengrenze werden diese Säume deutlicher, 
und insbesondere scheint sich der helle Saum mit der Dauer 
der Beobachtung zu verbreitem. 

Auch die scharf begrenzten Schatten, welche das elektrische 
Bogenlicht auf Wandäächen erzeugt, zeigen diese Säume in 
Gestalt feiner, die Kontur begleitender Linien. 

Geradezu überraschend treten solche Säume längs der 
Kontur eines Gebirgszuges nach Sonnenuntergang auf. Der 
lichte Saum ist am deutlichsten dort ausgeprägt, wo die Sonne 
hinter dem Gebirge verschwand. Der dunkle Saum zieht sich 
breit zu beiden Seiten, fast merkbarer als der begleitende 
lichte Saum hin; das tiefe Schwarzblau desselben hebt sich 
vom dunklen Blau der Berge deutlich ab. Minder schön, aber 
auch deutlich sichtbar sind diese Säume an Dach- und Häuser- 



1) Brandes, Gilberts Ann. 19. S. 366, und Gehler, Phys. Wörter- 
buch 5. p. 439. 



Heiligenscheine und venoamlte Erschehiungeiu 301 

kanten, insbesondere wenn dieselben längere gerade Linien 
bilden. 

Endlich sieht man die Konturen fett gedruckter schwarzer 
Bachstaben oder dicker schwarzer Striche auf lichtem Grunde 
▼on diesen Säumen eingefaßt, besonders deutlich bei schlechter 
Akkommodation des Auges und starker Belichtung. 

In dem letzteren Fall kann man sich durch Abdecken des 
Randes sofort überzeugen, daß es sich um eine subjektive Er- 
scheinung handelt. Schiebt man ein schwarzes Papier von der 
hellen Seite, mit der Kante parallel zum Saume, ein, so daß 
der helle Rand gerade verdeckt wird, so verschwindet der 
dunkle Saum längs der Papierkante, bleibt aber am nicht ab- 
gedeckten Rande bestehen. 

U. Seeliger') in München findet in einer naturgetreuen 
zeichnerischen Darstellung des teilweise verfinsterten Mondes 
von L. Weinek ein dunkles Band in der Nähe der Trennungs- 
linie, welches sich durch Abdecken als subjektiv erweist. 

Im vorigen Sommer habe ich mit einem Stcreoskoj)- 
apparate den Schatten desselben und des bedienenden Beob- 
achters auf betautem Grase aufgenommen. Die Säume um- 
ziehen die Konturen der Schatten des Apparates und des 
Beobachters, sie sind subjektiv. Der vom Tau herrührende 
Schein umgibt bloß den Schatten des Apparates, nicht jenen 
des Beobachters, er ist eine Reflexerscheinung der Sonne in 
den Tautropfen. 

Ich habe im E der sehen Jahrbuche ttlr 1900 angeführt, 
daß die in Rede stehende Erscheinung die Folge eines von 
£. Mach^ mittels rotierender Scheiben nachgewiesenen physio- 
logischen Gesetzes sei, welches dieser Forscher in folgender 
Form ausgesprochen hat: 

überall dort, wo die lAchtkurve einen Knick hat, rrschcint 
die Stelle heller oder dunkler als die Umgebung. Heller ist die 
SieHOf wenn die Knickung gegen die Abszissenachse konkav, dunkler, 
wenn die Knickung gegen die Abszissenachse konvex ist. 

1) H. Seeliger, Abhandl. d. k^;!. bayr. Akad. d. Wisscnscli. in 
Manchen. IL Kl. 19. II. Abt. p. :tos. 

2) E. Mach, Sitzungabcr. d. k. Akad. d. Wis^senscli. in Wien '»2* 
p. 303. 1866. 



302 A, V, Obermayer. 

Mach bat für die Stärke e der subjektiyen Empfindung, 
welche hier der simultanen Kontrastwirkung entspringt, bei 
einer Beliohtungsintensität i den folgenden Ausdruck angegeben: 



tf = alog\^ ±k 






worin a und b die sogenannten Fe ebner sehen Eonstanten, 
k eine von Mach hinzugefügte Konstante ist. Das obere 
Zeichen ist bei konkaver Krümmung, das untere bei konvexer 
Krümmung zu nehmen. Hiemach ist der zweite Differential- 
quotient der Belichtungsintensität nach der Koordinate für die 
Stärke der subjektiven Empfindung an der betreffenden Stelle 
entscheidend. Zu demselben Resultate gelangte, von Mach ganz 
unabhängig, H. Seeliger ^) in seinen Untersuchungen über die 
Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen, welche 
hiemach ein physiologisches Phänomen ist 

Da die Lichtkurve beim Übergänge vom Kernschatten 
zum Halbschatten konvex, und bei jenem vom Halbschatten 
zur vollbeleuchteten Fläche konkav ist, treten an diesen Stellen 
beziehungsweise dunkle und lichte Säume auf. Die Lehre vom 
Schatten wäre zwechmäßigerweise in diesem Sinne zu ergänzen. 

An der Schattenerscheinung eines von einer Gasflamme 
beleuchteten Lineals, welches gegen einen weißen Grund schief 
gestellt ist, lassen sich diese Säume aufzeigen. Sie lassen sich 
selbstverständlich fixieren, wenn der Schatten auf eine photo- 
graphische Platte geworfen wird.*) 

Auch Seeliger hat (1. c. p. 398) auf diese Säume an der 
Grenze von Kern- und Halbschatten hingewiesen, und die so- 
genannten F cm m sehen Streifen, die bei Versuchen, die 
Röntgenstrahlen zu beugen, erhalten wurden, gehören hierher. 

Das Auftreten der Säume an der Kontur breiter dunkler 
Striche (Fig. 1) auf hellem Gmnde ist eine Folge der Lra- 
diation, die selbst bei genauester Akkommodation zufolge der 
Farbenzerstreuung und des Astigmatismus des Auges eintritt 
und durch Zerstreuungskreise auf der Netzhaut entsteht Das 



1) H. Seeliger, Abhandl. d. kgl. bayr. Akad. d. Wissensch. in 
München, ü. Kl. 19. II. Abt p. 397. 

2) J. M. Edera Jahrbuch 1900. p. 146. Fig. 38. 



Ileäiffetucheine itnd vtnrantlle Srtrhrintauirn 



303 



Licht breitet sich dabei vod der bellen Fläche aber deu 
danklen Grund ans, während dns Dunkle sieb über den Rand 
in das Helle hinein verbreitert Statt einer Lichtknire adch 
(Fig. 2]. welche senkrecht zain Rande c der hellen bläcbe ntc 
abfallt, erhält man eine Kurve ofb'), die ia der Nähe Ton n, 
konkav gebogen, zu einem hellen Streifen, in der Nähe Ton b, 
konvex gebogen, zu einem dunklen Streifen Veranlassung gibt 
Bei usTollkommener Akkommodation, wie dieselbe bei groBer 



Fig. 1. 




Fig. 2. 



Annäherung des Auges eintritt, erscheint der Rand verwaschen 
und wie der Halbschatten von den beiden Säumen eingefaßt. 
Große Helligkeit der Beleuchtung ist der Erscheiming günstig. 

Im Gderachca Jabrbuche 1900 habe ich nachgewiesen, 
daß die lichten Säume um die positiven Bilder dunklur Gegen- 
stände anf hellem Hintergrunde, die mitunter als niechanische 
Halation, von den Franzosen als Silhouettage bezeichnet wer- 
den, subjektive und keine Eutwickelungserscheinungen sind. 
Besonders deutlich erhielt ich die Silhouettage bei der Auf- 
nahme von Personen, die gut erleuchtet waren, mit Nebel als 
Hintergrund, auf dem Hohen Sonnblick. Es ist nicht un- 
möglich, daß unter solchen Umständen auch um den Kopf 
einer Person ein solcher lichter Schein gesehen werden kann. In 
der Literatur konnte ich hierüber nur eine Bemerkung in einem 
Konversationslexikon ohne Quellenangabe finden, worin unter 
dem Stichwort „Heiligenschein" eine solche Erscheinung mit 
der Bemerkung erwähnt wird, daß dieselbe subjektiver Natur sei. 

Zum Schlüsse möchte ich noch darauf hinweisen, daß das 
Auge zufolge der Kontrastwirkung bei vielen andern Gelegen- 
heiten die Helligkeit unrichtig schätzt. So erscheint ') der 



I) H. 



mholtE, Physiologisclie Optik ^ i:i. p. 
ri Jahrbuch p. 20&. IMI. 




804 Ä, V, Obermayer, Heiligenscheine etc. 

von schwarzen Strichen durchzogene Schatten einer Stricknadel, 
welche von einer parallelen Spalte beleuchtet ist, beiderseits 
von sehr hellen Säumen umgeben, die gegen die außerhalb 
verlaufenden Beugungsfransen an Helligkeit zuzunehmen schei- 
nen. Durch Abdecken der Fransen in einem Positiv der photo- 
graphierten Erscheinung verschwindet die Abtönung und macht 
einer gleichförmigen Erleuchtung Platz. Ich habe die Positive 
von Kollodiumnegativen abgenommen, welche ich im Jahre 1868 
im physikalischen Institute der Wiener Universität unter der 
Direktion Stefans aufnahm, als Ludwig Boltzmann dort 
Assistent war, und welche ich als ein Andenken an jene Zeit 
aufbewahrt habe. 

(Eingegangen 31. August 1908.) 



305 



40. De Terandering van de grootheid h der toestands- 
yergeiyking als qnasi-yerkleining yan het moleknnl. 

Door J. D. van der Waala in Amsterdam. 

In het yerslag der koninklijke Akademie van Amsterdam 
heb ik in een mededeeling, getiteld: y^De vloeistoftoestand en 
de toestandsvergelijking'' (Juni 1903), trachten aan te toonen, 
dat de groote yerschillen, die tasschen experiment en theorie 
bestaan in den gang der isothermen van een stof^ grootendeels 
wegrallen als men de grootheid b met het volume yariabel 
stelt Ik heb daarin doen opmerken dat men die verkleining 
Tan b met kleiner-wordend volume op tweeerlei wijzen zou 
kunnen opvatten, n. 1. 1^ als een werkelijke yolume-yermin- 
deringy door samendrukking ten gevolge van de botsiogen met 
de omringende molekulen en 2^ als een quasi-verkleining door 
het elkander bedekken der afstandssferen. Daar ik in de 
genoemde mededeeling voomameUjk ben uitgegaan van het 
denkbeeld eener reeele verkleining, zal ik in deze körte mede- 
deeling als tegenhanger uitgaan van het denkbeeld eener 
quasi-verkleining. 

Voorloopig schijnt het mij niet mogelijk te bcsUssen, welke 
der tweeerlei beschouwings wijzen voor de oorzaak dczer varia- 
biliteit van b de wäre is. Misschien werken zij beide sanien. 
Een nauwkeurig experimenteel onderzoek van een ö^n-atoniige 
stof zal hierover voorzeker veel licht kunnen doen opgaan. 

yoomamel\jk door de onderzoekingen van Boltzmann 
Bchynt het zeker dat zulk een quasi-verkleining bestaat. Ik 
schreef daarover in bovengenoemde mededeeling een enkel 
woord, dat ik mij veroorloof hier aan te halcn. 

,3oltzmann zieh in zijn Vorlesungen baseerende o]) de 
onderstelling dat de toestand van evenwicht, dus van maximum- 
entropie, samenvalt met den waarschijnlijksten toestand, heeft 

Ȇ moeten in acht nemen de kans van samenvallon van 

-FMrtMhrift. *2ü 



306 J. B. van der Waali. 

de afstandssferen: en door de uitdrukkisg welke h\j voor de 
maxünnm-entropie op deze wijze vond te yergel\jken met 

(de entropie in den evenwichtstoestand yolgens de toestands- 
yergelijking) was hij in Staat gesteld de waarden te bepalen 
yan enkele coefGci^nten in de uitdrukking: 

*=*.{! -«(4'-) +/^B'TH- 

Deze metbode is een indirekte. Ik zelf bad beproefd 
deze coefficienteu te bepalen door recbtstreeks den inyloed 
yan bet samenyallen der afstandssferen op de grootte yan den 
druk na te gaan. De waarden der coefficienten, welke yolgens 
deze twee yerscbillende metboden geyonden werden, yer- 
scbilden. Later beeft mijn zoon ^) aangetoond, dat ook yolgens 
de recbtstreekscbe metbode de waarde yan a, als men den 
inyloed op den druk anders opyat, dan ik gcdaan bad, gelijk 
aan die yan Boltzmann geyonden wordt. En sedert ben ik 
geneigd de coefficienten yolgens Boltzmann's berekening als 
juist aan te nemen." 

Nu is mijn doel in de yolgende bladzijden aan de eigen- 
scbappen yan bet kritiscb punt de waarde der grootbeden 
cc en ß door berekening te ontleenen. Voor zooyer dit namelijk 
mogelijk is. 

Voor zcer groote waarden yan r kan men als benadering 
stellen: 

(1) * = Ä,(l-a^). 

De waarde der grootbeden a, ß enz neemt yolgens de 
afleiding zeker af en waarscbijnlijk sneL Zoolang mib Iv <^ 1 
zuUen wij ons yoor de berekening yan b met weinig termen 
kunnen yergenoegen, en als b jv een kleine breuk is, zal dat 
aantal zoo beperkt kunnen zijn dat (1) de waarde yan b nauw- 
keurig genoeg wedergeeft. Nu weten wij ecbter niet yooraf 
boe groot h^jv yoor bet kritiscb punt is, en wij zijn dus 
ook niet zener dat als wij deze waarde yan h aannemen, de 



1) J. D. yan der Waals Jr., Verslag Kon. Akad. yan Weten- 
Bchappen 11. p. 640. 1902. 



De verandering van de ffrootheid b. 807 

waarde van u uit de eigenschappen van dat punt bcrekciid^ 
dicht genoeg bij de wäre waarde liggen zal. En strikt ge- 
nomen zal de aldus berekende waarde het niet tot voUedige 
bealisBiBg kannen brengen of bijvoorbeeld a = 3/8 is^ zooals 
uit Boltzmann's berekening volgt of gelijk aan ^^/j,, zooals 
oit mijn berekeningen yolgde. Dit zou evenmin het geval zijn, 
als wij meer termen in de reeks yoor b behouden haddcn. 
Daar de opTolgende termen echter afwisselend positief en 
negatief zijn laat het zieh verwachten dat de wäre waarde 
▼an a zal liggen tusschen die^ welke men door berekening 
Tindt, als men een vorm voor b aanneemt^ waarin allecn a voor- 
komt, en een waarin a en ß beide yoorkomen. 
Stellen w\j dus eerst: 



dan is 



en 






«fb „ ( b,\i 

Daar in het kritisch punt 

gelqk zijn, heeft men de drie yergemkiugen 

- ^_^ «_ * 

A_ _\ dv2_2a 

en 

rfft V — b ""»* 

Stelt men b Iv =s x, dan vindt men ter berekening van 
M^ (de waarde ran ax^ ^u stellende) 

1 + 6 tt - 3 M* 



** "" 3-1« 



20' 



808 J. D. van der Waals. 

Wij kunnen een tweede yergelijkmg tusschen x^ en t£ 
yinden^ als wij de waarde van pv j BT voor het kritisch punt 
bekend stellen. Voor vele stofifen is de waarde yan dat produkt 
circa 0,275 = \l gevonden. Voorloopig stellen wij ze voor 
door het teeken k, Wij hebben dan: 

. V a 

r - 6 2 \v " b) \ dv) 

Hieruit volgt de yergelijking: 

2 *(1 - Xjfc + ti)* = 1 - 2 x^ + 3 tt, 
welke met 

**"■ s-t* 

dienen kan om x^ en u te berekencn. 

Een stel waarden, n. 1. 2£ = 1 en x, = 2 yoldoet aan beide 
yergelijkingen, maar yoor x = 2 is de yoor b gekozen appro- 
ximatieye waarde zeker niet meer als een benadering te be- 
schouwen. Dit stel van waarden moet dus yerworpen worden.^) 
Van het stel dat overblijft levert de yergelijking: 

8Ä(1 -w)» = (3-ti) (1 -3ti) 

de waarde yoor u, 

Deze waarde hangt dus yan de grootheid h af. Mocht 
A = 8/8 zijn, dan is u = 0. Dit is de bekende waarde yan 
(pv I RT)^ als b invariabel genomen wordt, Voor u == 0,2 
wordt de waarde yan h gelijk aan 0,2785; dus zoo dicht bij 
de waameming dat wij deze waarde yan u = 0,2 als juist 
kunnen aannemen; was u = dan zou x^ = Ys ^\J^ gevonden. 
Met u = 0,2 vinden wij 

x^ == 0,748. 

1) Dit stel beantwoordt aan 

r = en ,— = 1 . 
dv 



Dß verandering van de ffrootheid b, 809 

Dit u ^ axj^ ^Qfi vinden wij xian a = 0,361, dus zeer 
dicht bij de door Boltzmann berekcnde waarde van 3/8.^) 

Mit deze waarde van 

x^ = 0,743 en u^ax^^ 0,2, 
Tinden wij 

(-H = 0,548, Ä2; = 0,283-J = -''gl--£- 

en 

p, - 0,04203 . ». = ^3^- l . 

Voor bj^ Tinden w\j dan: 

, AT» 0,042 ^ . . Ä 7» 

** = — - Äö^ öf Circa Ä. =5 - * . 

* p» 0,283 * Ipt 

Hadden wij b niet yariabel gesteld dan geldt voor b de 
waarde RT^j^p^, Maar is b inderdaad variabel, dan is de 
uit RT^jlb^ berekende waarde niet de waarde van b , dus 
de waarde van b yoor zeer verdunde gassen. Deze kan dan 
berekend worden nit 

**-= 1~ÄX^ = 0,731. 

Miasohien ligt hierin eeu yingerwijzing voor de verklaring van 
hat meermalen ppgemerkte, dat de a en 6 uit de kritische 
grootheden berekend niet volkomen aau de samendrukbaarheid 
der gassen beantwoorden. 

AI het bovenstaande zou eveuzeer gelden als a en & tem- 
peratuurfunctiSn zouden zijn. Om te zien in hoever het 
noodig is ze afhankelijk van de temperatuur te stellen, makeu 
wq gebmik van het kenmerk, dat bij de kritische temperatuur 
de waarde van dpjdT voor de verzadigde dampen gelijk is 

[dpIdT)^ Wij vinden voor {ßpjdT\ de waarde: 



en dos 



Tdp __BT 9 

11 r t 



BT (db \ _ '^ (^^\ 



pdT p9 V — b p 
1) SS« o. a. AzeL NtorL Ser. II. 8. p. 285. 



310 /. J9. van der fFaaU, 

Sclirijven wij voor deze laatste vergelijking: 



T dp _ i 



+ d. 



p dT k V - b 

Wij kunnen nu nagaan of . 

,T dp 
^Jd~f 

grooter of kleiner is dan (v / 1> — b)j^. Volgens de hierboven 
gegeyen waarde van 

(9. = 0,543, is (-^) = 2,188. 

Met k = 0,2735, zou als J gelijk was de waarde van 

T dp 
p dT 

gelijk aan 8 gevonden worden. Stellen wij dat het experiment 
daarvoor de waarde 7 heeft geleverd, dan moet dus J negatief 
zijn; wat als a niet van T afhangt voor [db fd 1\ een negatieve 
waarde zou eischen. Is b niet van T afhankelijk, iets wat 
volgens het denkbecld van quasi-verkleining te wachten is, dan 
zou a met T moeten toenemen. En dit laatste is zeker zeer 
onwaarschijnlijk en tegen ieders verwachting. Deze moeielijkheid 
blijft bestaan ook als men voor b een meer benaderde waarde 
aanneemt dan hierboven geschied is. 

Stellen wij nu: 



h-6 



dan is 



1 



1 - — = 1 -x + ÄX«-/Sx3 

-^ = ax2-.2/9x» 
dv ^ 

dv* ^ 



Dan wordt de vergelijking, welke ter bepaling van het kritisch 
volume dient, de volgende: 

3x - 1 - 5ax2 + Ißx^ = (2crx2- 6/9 x»)^^^" '*'"/,''* . 

' ^ * ' 1 - aie* -h 2/?x* 



iJe veranderinff van de f/rootheid 6. 311 

Voor {pv I XI\^ k vindt men dan: 

2*(1 -x + ax*-/?;r»)»= 1 -2x + 3ax»- 4/Sx^ 

Nemen wy weder ax^ ^ u, en stellen wij ßx^ = w, dan 
können wij deze twee vergelijkingen de volgcnde gedaaute 
geven: 

(1 - l lt g - 8 tr*) + u(e + 9w) - 8«« 
* 3-1* 

en 

2*(1 -Xj + tt-ii7)2=.(l _4ii7 + 3tt-2x^). 

Wij kunnen nu rekenen drie onbekendcn te hebben, n. 1. 
Xj^, H en tr. Deze twee vergelijkingen ziju dus niet voldoende 
om ze te berekenen. Wij zouden uit de door het experiment 
geleverde waarde van 

T dp 
p äT 

een derde vergelijking kunnen bijvoegeu. Maar alleeu als 
wy a en 6 van T onafhankelijk zoaden mögen stellen. En 
daar wy daarvan niet zeker zijn, zollen wij deze denle ver- 
gelijking moeten ontberen. Wij zuUen dan ook voorloopig ir 
als bekend aannemen. Er is weder een stel van waarden van 
j^ en »9 dat aan beide vergelijkingen voldoet, maar verwerten 
moet worden, n. L 

M a 1 + 2to en Xj = 2 + tr. 
Na eliminatie van dat stel, vindt men ter berekening van ?/ : 

S"'^" (1 - M + 2fr)* 

Voor kleine waarden van w, en die moeten wij aannemen, 
neemt by de zelfde waarde van k, de grootheid u met w toe. 
Wq zollen dos ic iets grooter dan vroeger moeten vinden. 

Voor t0 a 0,01 wordt: 

0,8892 + 6,09 K - 3u> 
'3 (1,02 "üf "" ' 



312 «7. J9. van der Waals. De verandering van de grooiheid b, 

Aan deze vergelijking voldoet voor dezelfde waarde van 
k van vroeger u =s 0,23 en daaruit volgt Xj^ = 0,77, en a = 0,38. 
Berekenden wij uit to == 0,01 de waarde van ß, dan zouden 
wy slechts circa Ys ^^ V4 ^^^den van de theoretische waarde. 
Dat wij minder moeten vinden, is uit het weglaten van nog 
verwaarloosde termen in de waarde van b vooraf af te leiden. 
Voor de waarde van (» / o — Ä)^ vinden wij een nog iets grootere 
waarde dan vroeger n. 1. 

i =2,22. 

Zouden wij dit op koolzuur mögen toepassen dan vinden 
wij met Vj = 0,0042, bj^ = 0,0023. Maar deze waarde van b 
is dan zeer veel kleiner dan b , welke volgens de hierboven 
gevonden betrekking, ^j^/ä =0,731, circa 0,00315 zou be- 
dragen. 

(Eingegangen 9. September 1908.) 



313 



41. Über die Verteilung einer nicht dissoziierenden 
Substanz zwischen zwei Lösungsmitteln. 

Von O. Jäger iu Wien. 



In der Abhandlung: ,^J9i> Hypothese varCt Hoffs über den 
osmotischen Druck vom Standpunkte der kinetischen Gastheorie'^ ^) 
hat Herr L. Boltzmann gezeigt, daß sich für den osmotischen 
Druck in analoger Weise eine kinetische Theorie geben läßt, 
wie f&r den Druck eines Gases. Desgleichen können wir llQr 
die Molekeln einer Substanz in flüssiger Lösung das Maxwell- 
sehe Ferteüungsgesetz der Geschwindigkeiten voraussetzen, unter 
diesen Annahmen wollen wir im folgenden nach der kinetischen 
jl%eorie die Verteilung einer nicht dissoziierenden Stibstanz zwischen 
zwei ebuxnder berührenden Losungsmitteln geben, welche sich 
gegenseitig nur sehr wenig losen. 

Wie die Molekeln einer Flüssigkeit aufeinander Anziehungs- 
kräfte ausüben, durch welche allein deren Zusammenhalt vor- 
steUbar wird, so müssen auch zwischen den Molekeln des 
Lösungsmittels und der gelösten Substanz Anziehungskräfte 
bestehen, da sich letztere sonst aus der Flüssigkeit vollständig 
verflüchtigen würde. Ln Linem des Lösungsmittels halten sich 
diese Kräfte nach allen Richtungen des Raumes im Gleich- 
gewicht Die Molekeln der gelösten Substanz bewegen sich 
also gerade so, als würden auf sie gar keine Kräfte wirken. 
An der Oberfläche der Lösung hingegen erfährt die gelöste 
Substanz einen Zug gegen das Innere. Um eine Molekel der 
gelösten Substanz aus der Lösung zu entfernen, ist daher ein 
bestimmter Arbeitsaufwand nötig, welcher der Verdampfungs- 
wärme analog ist, die notwendig ist, um eine Flüssigkeitsmolekel 
in Dampf zu verwandeln. Bringen wir eine Molekel der ge- 
lösten Substanz in die Lösung, so wird die entsprechende 
wiedergewonnen. 



1) Zeitsehr. f. phjs. Chem. 6. p. 474. 1890. Nachtrag 1. c. 7. 
p. 88. 1891. 



814 G. Jäger. 

Grenzen zwei Lösungsmittel, die sich nur wenig mischen, 
aneinander, so können die Molekeln der gelösten Substanz 
nach beiden Richtungen die Trennungsfläche durchsetzen. Im 
allgemeinen wird dabei nach der einen Richtung eine Arbeit 
aufgewendet werden mtlssen, die in entgegengesetzter immer 
wieder gewonnen wird. 

Wir denken uns eine horizontale Trennungsfläche. Es wird 
dann zwischen den beiden Lösungen Gleichgewicht herrschen, 
wenn in der Zeiteinheit durch die Einheit der Trennungsfläche 
gleichviel Molekeln der gelösten Substanz von oben nach unten 
und von unten nach oben wandern. Von der gelösten Substanz, 
auf die sich im weiteren alle Angaben beziehen, seien in der 
Yolumeneinheit der unteren Lösung N Molekeln, in jener der 
oberen N' vorhanden. Die Zahl der Molekeln, welche in der 
Zeiteinheit durch die Flächeneinheit von oben nach unten 
passieren können, ist dann 

(D '^, 

wobei ü den Mittelwert der positiven Geschwindigkeitskompo- 
nenten der Molekeln senkrecht zur Trennungsebene vorstellt. 
In entgegengesetzter Richtung wandern entsprechend 

oo 

•Ja 



ue du =s — - 

2yn 



(II) al/S"/ "'^ ^^ 2Vn ^ 



ma* 




2a 
m 



Molekeln.^) Wir akzeptieren also das Mazwellsche Ver- 
teilungsgesetz der G«sch¥rindigkeiten und bezeichnen mit a jene 
Arbeit, welche zur Überwindung der Molekularkräfte notwendig 
ist, wenn eine Molekel durch die Trennungsebene von unten 
nach oben geht 

Für das Gleichge¥richt muß nun I = II, d. h. 

2a 

(^) N' = Ne -"• 



sein, da a = aj^n ist. 



1) Vgl. z. B. G. Jäger, Add. d. Phys. 11. p. 1073 ff. 1908. 



Loslichheü in einamler berührenden Flüssigkeiten, 315 
Setzen wir 

2a rJ ,. 

80 haben ym anter r die Differenz der Lösungswärmen in den 
beiden verschiedenen Lösungsmitteln zu verstehen^ wenn die 
Lösungen so verdünnt sind, daß bei weiterer Verdünnung keine 
Wärmetönung mehr stattfindet. J ist das mechanische Wärme- 
äquivalent, R die Gaskonstante. 
Aus (1) erhalten wir 

(2) -^«eÄr 

Unter der Voraussetzung entsprechend verdünnter Lösungen 
ist r von der Konzentration unabhängig. Es ist daher bei 
konstanter Temperatur T e***^/^^ eine von der Konzentration 
der Lösung unabhängige Größe, und wir erhalten den Xernst^ 
sehen SatZj daß für nicht dissoziierende Substanzen das Ver^ 
häUnis der Konzentrationen in den beiden Lösungsmitteln unab^ 
hängig von der Menge der gelösten Substanz ist. Gleichzeitig 
erfahren wir, in welcher Weise sich dieses Verhältnis mit der 
Temperatur ändert, vorausgesetzt, daß die Lösungswärmen als 
Funktionen der Temperatur bekannt sind. Wir erkennen uuch, 
daß der Satz, wie es tatsächlich der Fall ist, nur für ver- 
dünnte Lösungen gilt 



1) L c. p. lOSO. 

(Eingegangen 10. September 1V)03.) 



316 



42. Über die spezifische Wärme im flüssigen Zustande 

bei niedrigen Temperataren. 

Von J. J. van Laar in Amsterdam. 



Bekanntlich hat Prof. van der Waals^), ausgehend von 
der Theorie der zyklischen Bewegung, einen Ausdruck her- 
geleitet, welcher bei zusammengesetzten Molekülen die Ver- 
änderlichkeit der Größe b seiner Zustandsgieichung mit dem 
Volumen angibt Beschränken wir uns auf den Fall zweU 
atomiger Moleküle, so ergab sich für die ^^Zustandsgleichung des 
Moleküls": 

wo die Größe b^ das Volumen des Moleküls ist, wenn die 
beiden Atome sich bei ihrer Bewegung einander so nah wie 
möglich gekommen sind. Dabei wurde vorausgesetzt, daß die 
Atome sich in der Richtung ihrer Verbindungslinie — also 
radial — hin und her bewegen, und nicht, daß dieselben sich 
in kreisender Bewegung, wie die einzelnen Sterne eines Doppel- 
stemes z. B., um einander herum bewegen. 

Dieser Umstand ist wichtig, denn er führt zu dem Er- 
gebnis, daß die kinetische Energie der Atome L^ das Drittel 
ist von derjenigen der Moleküle L^, und das spiegelt sich 
wiederum ab in dem Ausdruck für die Entropie, für welche 
(bis auf eine Konstante) gefunden wird: 

fl = Ä[log [v - b)TI* + log [b - b,)ri*i 

sodaß der Exponent von T im zweiten logarithmischen Gliede 
nicht ^/j, sondern ^2 ^rd. 

Man findet dann weiter für die spezifische Wärme bei 
konstantem Volumen aus (7^= T[drjldT)^: 



1)J. D. van derWaals, Versl. Kon. Akad. van Wetenschappen, 
Amsterdam, März, April und Mai 1901; Arch. Ne^rl. (Livre jabUaire 
offert k J. BoBscha), p. 47 ff. 



8pex. Warme im flüssigen Zustande b. niedr. Temperaturen. 317 



(2) C^^BT 



1 ldh\ 1 /rf(6-6o)V 

v-b\dTj..'^ h-b^y dT ), 



Es ist jetzt die Frage inwiefern b and vielleicht auch ^^ ^^^' 
/i^aterfanktionen sind. 

Setzen wir mit van der Waals den Ausdruck dP^^ldb, 
welcher offenbar mit den Kräften zusammenhängt, welche die 
Atome im Molekül zusammenhalten, proportional b — b^. Diese 
Annahme besagt bei radialer Bewegung der Atome, wodurch 
das Molekül die Gestalt eines Doppelzylinders bekommt, daß 
die Atomkräfte proportional der Amplitude r — r^^ wirken. Es 
wird also gesetzt: 

und daher kann statt (1) geschrieben werden: 



i 



?+",+«(*- *o) 



Bei unendlich großem Volumen wird dieses offenbar: 

(8) a{b^-b,)'=RT, 

so daß — wenn a keine Temperaturfunktion ist, und die 
Herleitung der Formel (1) aus der Theorie der zyklischen Be- 
wegung fordert, daß P^ keine direkte Temperaturfunktion sei 
— die Größe b — b^ notwendig proportional YT sein muß. 
Nun denkt sich van der Waals b^ unveränderlich; dann muß 
aber b in der angegebenen Weise von 2' abhängig sein. Nach 
einer Bemerkung von D. Berthelot liefert jedoch die Er- 
Cüirung für das Verhältnis zwischen der Temperatur, wobei 
ein Gas in äußerst verdünntem Zustande dem Boyleschen 
Gesetze folgt, und der kritischen Temperatur, den Wert 2,93 
bis 2,98. Das aber fordert b^ zwischen diesen weit auseinander 
liegenden Temperaturen = konstant, welche Annahme theo- 
retisch für den Wert dieses Verhältnisses 2,9 liefert. Es kann 
somit b keine Temperaturfunktion sein, und es bleibt nichts 
anderes übrig, als daß b^ eine solche ist 

Bei Wasserstoff, wo ich die neue van der Waals sehe 
Gleichung für b an den Ergebnissen der Amagatschen Ver- 
Sache prüfte ^)y fand ich denn auch nur dann eine gute Uber- 

1) J. D. van der Waals, Versl. Kon. Akad. van Wotenscliappen, 
AnsCerdam, April 1903. 



318 /. e/. van Lcuir. 

eiustimmung, wenn b = konstant ist^ und b^ genau in der 
nach (3) geforderten Weise von T abhängig angenommen wird. 
Und es ist der Zweck dieses Aufsatzes, noch einen weiteren 
Beweis beizubringen, daß in der Tat b^ in dieser Weise von 
T abhängt 

Daß b^ mit der Temperatur veränderlich ist, und zwar 
bei niedrigen Temperaturen größer ist als bei höheren, kann 
so gedeutet werden, daß die Atome sich einander bei höherer 
Temperatur näher kommen können, als bei niedrigerer. 

Bei höheren Temperaturen scheint die größere Geschwindig- 
keit der Atome die AtherhüUe stärker zu komprimieren, als 
bei niedrigeren Temperaturen. Auch wird vielleicht bei nied- 
rigeren Temperaturen diese die Atome umgebende Ätherhülle 
dichter sein, als bei hohen Temperatren. 

Daß b^ mit der Temperatur veränderlich ist, hat auch 
schon van der Waals bei COj gefunden^); und in seiner 
letzten Abhandlung^ weist dieser Gelehrte darauf hin, daß die 
Tatsache, daß [dpjdT]^ nicht vollkommen konstant ist, diese 
Annahme rechtfertigt. 

Setzen wir (3) in die Gleichimg (1) ein, so wird dieselbe: 



:^ + ^' + ^^(V^](*-*») = ^^' 



oder mit 



, a RT 

/^ + ;« = vitt; 



Und das ist die von van der Waals hergeleitete Gleichung, 
welche bei zweiatomigen Molekülen die Abhängigkeit der Größe b 
von Vy b und b^ angibt Da b^ eine Temperaturf nnktion ist, 
so wird auch b von T abhängig sein. 

n. 

Wir wollen jetzt weiter gehen und den Ausdruck (2) für 
C näher betrachten. 

V 



1) J. D. van der Waals, Arch. Ne^rl. (2) 4. p. 267. 

2) J. D. van der Waals, De vloeistoftoestand en de toestands- 
vergelijking, Versl. Kon. Akad. van Wetenschappen, Amsterdam, Jali 1903. 



Bpez. Warme im flüssigen Zustande b. niedr, Temperaturen. 319 
Bei t> = 00 wird 



und es wird daher: 

(5) ^'- = ^[2 + i;VV 

Setzt man nun nach (3): 

(3») *,-*« = ]/?2'=l^. 

80 wird 

T rf(6,_-*o)_, 
b,-b^ df ""*' 

und ?mr bekommen: 

(6) C..«=Ä(2 + i)-|Ä, 

in TÖlliger Ubereinstimmang mit der Erfahrung bei zwei- 
atomigen Yerdünnten Gasen. 

Man sieht hierbei deutlich, daß nur die Annahme, daß 
6 — 6^ in der angegebenen Weise von T abhängt, zu dem 
richtigen Ergebnis Cp „ qd = 5 führt ^) Nur bleibt dabei un- 
entschieden, ob b oder b^ eine Temperaturfunktion ist 

Bei sehr kleinen Volumen [FlÜMtigkeüen unweit des Er- 
starrungspunktes) nähert sich nach (4) b ^ b^fv ^ b der Ein- 
heit» und die Gleichung (2) wird in diesem Falle: 

(7) ^.-»-^[2- J,;¥fl- 

Und hierin liegt der oben erwähnte weitere Beweis, daß b^ 
eine Temperaturfunktion sein muß, und nicht b^ Denn wäre 
b^ konstant, so wäre auch C^ bei Flüssigkeiten konstant = 4, 
während die Erfahrung lehrt, daß C^ unweit des Erstarrungs- 
punktes bei zweiatomigen Stoffen etwas größer als 2 x 6 = 1 2 ist 
[Wir erinnern daran, daß das Dulong-Neumannsche 
Gesetz ftbr den festen Zustand fast genau den Wert 12 fordert] 

1) J. D. van der Waals hat bei CO, statt (6^ - b^f die Größe n 
pro p oitiopal Tangenommen, damit die Größe Tj p. dp jdT hei der kritischen 
Temperatur mit dem experimentell gefundenen Wert übeinstimme. Dann 
aber wird ^p — ^ nnabhiDgig von Ty und es gibt die Formel (2) nicht 
■ehr den richtigen Wert für Cv = ao, es wäre denn, daß andere Voraoa- 
■eCmigen Aber die Atombewegung gemacht worden. 



320 J. J. van Laar. 

Nach (Sa) wird nun, wenn b^ = konstant: 

(3b) _y^ = |(*^_Ä,), 

und daher: 

(8) ^.- = ä(2 + +*M-$) = ä(2 + ^). 

wenn wir 

Og — »0 

setzen. 

Nun geht für den flüssigen Zustand die Zustandsgieichung 



über in 



oder da angenähert 



;;,[v-b) = RT, 



7> 7? 8 a 



m 



hgip - 6) _ 8 T 
p« "" 27 Ti * 

Aus (a) geht hervor: 

* = *, = (*,-*«)^. 

und da nach (4) 

1 — »■ 

somit mit Vernachlässigung höherer Potenzen von z ange- 
nähert V — b ^ b — Öq ist, so wird auch 

V'-b^(b^-b^)z, 

und 

v=^b^ + 2(b^^b,)z. 

Wir bekommen also: 

8 T bg(bg-bo)x 



van der Waals nahm nun in seiner letzten, schon oben 
zitierten Abhandlung an, daß die Größe b^ im Flüssigkeits- 
zustande in der Nähe des Erstarrungspunktes nicht weit von 

58 g 

ST 2x 



^b entfernt ist. Dadurch wird, wenigstens angenähert: 



(9) 



27 r» (1 +'2«)« ■ 



Spex. Wärme im füssigen Zustande b. niedr, Temperaturen. 321 

H&tte man nicht 1^ = 21^^ sondern allgemein b^ = nb^ 
gesetzt, 80 wäre statt (9) gekommen: 

8 T n(n - 1)« 



(9a) 



27 Tk (1 + 2(fi-l)*)»* 



Nun liegt der Schmelzpunkt T^ hei zweiatomigen Sub- 
stanzen in der Nähe von \i T^, Der Wert von z ist alsdann = ^. 
Die Relation (8) ergibt nunmehr mit diesem Wert für z: 

(10) C,.j = 72(2 + 4J) = 6^5, 

in guter Übereinstimmung mit der EIrfahrung. 

So wurde bei flüssigem H^ der Wert 2 x 6,4 = 12,8 ge- 
funden. Und auch bei flüssiger Luft fand man das nämliche. 

Wir weisen nochmals darauf hin, daß nach (7) nur die 
Annahme, daß b^ in der durch (3 b) angegebenen Weise von T 
abhängt, in Verbindung mit b^ = 2(^Jr»ro und T^ = ^7]^, zu 
diesem richtigen Ergebnis führt 

Die spezifische Wärme von zweiatomigen Flüssigkeiten 
(Assoziation und dergleichen ausgeschlossen) ändert sich somit 
bei abnehmender Temperatur und Volumen von + 2^ R bei 
der kritischen Temperatur bis zu ± ^\ R in der Nähe des 
Erstarrungspunktes. 

Wir bemerken noch, daß die Difi^ereuz b ^ b^ wegen der 
VergrOßenmg von b^ mit sinkender Temperatur schneller ab- 
nimmt, als wenn b^ keine Temperaturfunktion wäre. 

Jetzt werden wir den allgemeinen Ausdruck für C^ herleiten. 
Wenn wir die Gleichung (4) in der Gestalt 

1 ^ 1 _ b --60 
v-b b^bo (b," 60)« 

nach T differenzieren, so bekommt man: 
dT[(v- b)* ^ (6 - 6,)« ^ (6, - 6.)« 



dT[[b- *,)« 



+ 



2(6 - 6.) d(b, - 6.) 
"^(*,-6.)' ■ dt' 



(6, - *o)'J 

oder nach Multiplizierang der beiden Glieder mit T(b — b^)*, 
und mit Bdckaicht auf (4) und (a): 

Die Olaiduing (2) geht dadurch Über in 

21 



322 



J. J. van Laar. 



d. h. in 



C, = Ä 



i^ + 



x^ U + ^ji^y + 2* ./• ^y 



6-6« 



2 - *« + *^ 



6-6o dr 



2 + ^'-=!^ 



rf(6, - 6o) _ Ij^ 



6 - 6o dT 



Nun ist jedenfalls nach (3 a]: 
80 daß ganz allgemein: 



(11) 



C,= Ä 



2 + 






1 -1** + ^** 

Für » = oo(z = 1) wird dieses C^ = 2\By und bei sehr 
kleinen Volumen nähert sich (11] mit Rücksicht auf (3 b) zu 

1 -*« 



C^R 



i** + 






wenn wir höhere Potenzen von z vernachlässigen. 

Ich weise bei dieser Gelegenheit darauf hin, daß die 
Gleichung (4] die Zustandsgieichung eines Körpers bei niedrigen 
Temperaturen (in flüssigem Zustande] transformiert in 

(p + ^){v-b,) = JiT{2-z'), 

80 daß bei z = das zweite Glied = 2IiT wird. Wie schon 
van der Waals bemerkte^ kann das so gedeutet werden, daß 
die Atome im Molekül sich als einzelne Moleküle verhalten. 
Dabei muß jedoch ins Auge gefaßt werden, daß die Größe C^ 
sich nicht dem Werte 6, wie bei dissoziierten Gasen, nähert; 
viel weniger dem Werte 12, wie das Dulong-Petitsche Gesetz 
erfordert, sondern wie ¥rir oben sahen, sich dem Werte 4 
nähert, wenn dh^fäT ^0, und dem Werte 13, wenn db^fäT 
der Beziehung (3 b] gehorcht. 

m. 

Daß in der Tat die spezifische Wärme im flüssigen Zu- 
stande bei dem Erstarrungspunkte immer etwas größer gefanden 



Spex. Wärme im flüssigen Zustande b, niedr. Temperaturen. 823 



wird als im festen Zustande, geht aus folgenden Beispielen^ 
welche leicht zu vermehren wären^ genügend hervor. 





flnwig 


fest 


Quecksilber 


6,7 


6,4 


SUber 


8,1 


6,0 - 8,1 


Zinn 


7,8 


6,7 


Blei 


8,2 


7,0 


Brom 


8,6 


6,7 


Schwefel 


7,5 


5,4 


Phosphor 


6,4 


5,4 



Die spezifischen Wärmen sind für 1 Atom berechnet 
In der jetzt folgenden Tabelle ist der Quotient T^ j 7]^ bei 
mehreren Körpern verzeichnet 

Zweiatomige Körper. 





7i - 273 


r, - 273 


^0 

Tu 


H. 


-242« 


- 252,5 • 


0,54 


N, 


-146 


-209 


0,50 


ci. 


145 


-102 


0,41 


Br, 


802 


-7 


0,46 


HCl 


52 


-114 


0,49 


NO 


- 98,5 


-167 


0,59 


CO 


-140 


-203 


0,52 



Wie man sieht, nähert sich das Verhältnis zwischen der Er- 
starrangstemperatur und der kritischen Temperatur in der Tat 
0^. Nur Ol, ist etwas zu niedrig, NO etwas zu hoch. 

Bei drei" und m^Aratomigen Körpern sind die Abweichungen 
größer. 



1 


tk 


1 


7i 
0,56 




/* 


^0 

- 75* 


T, 
1l 


N,0 


36* 


-100«' 


NH, 


130,5 


0,49 


00, 


81 


- 57 ; 


0,71 


PCI, 


285,5 


-112 


0,2t> 


CS, 


275 


-113 ' 


0,29 


♦AflCl, 


356 


- 18 


0,41 


80, 


157 


- 78 


0,45 


CH, 


-89 


-186 


0,47 


H,0 


865 


— 


0,43 


CCl, 


284 


- 25 


0,45 


H,8 


100 


- 89 


0,49 


CHCl, 


260 


- 70 


0,38 


H,8e 


187 


- 68 


0,50 


•8iBr, 


383 


- 14 


0,39 










SdCU 


319 


- 33 


0,41 










Oy, 


124 


- 34 


0,60 



21 



324 



J, «/. van haar. 



Besonders CO^, CS^, PCI3 weichen bedeutend ab. AofEallend 
ist es jedoch, daß aach bei vielen drei-, vier- und fünfatomigen 
Körpern das Verhältnis T^\T^ so oft zwischen 0,4 und 0,5 
liegt (Bei ASCI3 und SiBr^ ist T^ nicht durch direkte Be- 
obachtung, sondern durch Berechnung gefunden). 

Verzeichnen wir noch die folgenden Körper. 









7; 




U 


u 





NA 


171 


- 15 


0,47 


C,H, 


11 


-175 


0,35 


•CjH^Br, 


365 


9 


0,44 


(C,H,),0 


196 


-117 


0,33 


CH, . COOH 


322 


17 


0,49 


CeH, 


290 


4 


0,49 


C,H,C1 


361 


- 40 


0,37 



Auch hier gibt es Körper, welche für das Verhältnis 
T^\Ty^ nahezu 0,5 ergeben. (Bei CgH^Br^ ist T^ ¥riederum durch 
Berechnung gefunden.) 

Nimmt man für J^ und O3 den Wert 0,50 an, so würde 
t^ beim Jod, da ^^, = 114®, etwa 500** C. betragen. Für Sauer- 
stoff, wo ^^= — 118®, würde der Erstarrungspunkt bei un- 
gefähr — 193® C. gefunden werden müssen. 



IV. 

Wir haben gesehen, daß der Ausdruck (8) für Cp = j den 
Wert ^\B liefert, wenn 2 = Ve? ^0 = i^*' unter Annahme 
von ^= 2(Ä^)r=ro- 

Wäre nun aber die Gleichung (4) noch gültig für Tempe- 
raturen unterhalb T^^ wo der Körper in den festen Zustand 
übergegangen ist, so würde auch (8) gültig bleiben, und dann 
näherte sich C^ bei sehr niedrigen Temperaturen, da r = 
wird, zu c». 

Das widerstreitet jedoch der Eh-fahrung, daß erstens 
in dem festen Zustand C^ immer etwas niedriger ist als im 
Flüssigkeitszustande, und zweitens, daß C^ bei abnehmender 
Temperatur nahezu konstant bleibt, z. B. =2x6 bei zwei- 
atomigen festen Körpern. Wohl ist oft eine geringe Abnahme 



Spez. Warme im flüssigen Zustande b, niedr, Temperaturen. 325 

zu konstatieren y aber niemals eine Zunahme, wie doch die 
Formel (8) unbedingt fordern würde. Es sind sogar bedeutende 
Abnahmen bekannt^ wie beim Kohlenstoff, Bor, Silizium u. A., 
wo das aber auf eine weitgehende Eomplexbildung bei nied- 
rigeren Temperaturen hindeutet^) 

Wir kommen also zu der Überzeugung, daß für den festen 
Zustand eine ganz andere Zustandsgieichung gilt, als fOr den 
flüssigen und gasförmigen Zustand. In der Nähe von T=\Tj^, 
wo C^ im flüssigen Zustande dem Werte im festen Zustande 
so nahe kommt — wenigstens bei zweiatomigen Körpern 
— scheint somit mit der Molekül- und Atombewegung etwas 
ganz besonderes zu geschehen. Der ungeordnete Zustand 
des flüssig-gasförmigen Aggregatzustandes (geordnet nur in 
siaästischem Sinne) geht über in den geordneten Zustand 
des kristalUnisch'feBten Aggregatzustandes, im Gregensatz zu 
dem fflasaräff'teBten Zustande, welcher als eine (metastabile) 
Fortsetzung, nur mit sehr großer Viskosität, des flüssigen Zu- 
standes gedacht werden muß. 

Wie sich aber die Zustandsgieichung des festen Zustande» 
gestaltet, ist eine Frage, auf welche jetzt nicht näher einge- 

• 

gangen werden kann. Elin klares Bild von der Bewegung der 
z. B. zwei) Atome im Molekül, und von der Anordnung und 
Bewegung der Moleküle im kristallinischen Körper wird dabei 
jeden&lls unerläßlich sein. 



1) Auch die Tatsache, daß die spezifische Wärme des Eises för 18 g 
sieht B 8 X 6 ■■ 18, sondern nur >■ 9 ist, weist darauf hin, daß das ge- 
wdhnliehe, bei 0* G. aas Wasser entstandene Eis wahrscheinlich ganz 
ans Doppelmolekfilen besteht 

(Eingelangt 12. September 1903). 



326 



43. Über eine Methode, das spezifische Gewicht sehr 
yerdfinnter Losungen zu bestimmen. 

Von OuBtav Mie in Greifswald. 



1. Das spezifische Gewicht sehr verdünnter wässeriger 
Lösungen von Elektrolyten ist sicher eine Größe ^ die man 
möglichst genau kennen muß, wenn man die Eigenschaften 
der Ionen näher studieren will. Denn aus ihr kann man (bis 
auf eine ftir alle Ionen gleiche additive Konstante, die zu- 
nächst noch unbekannt bleibt), das scheinbare Volumen be- 
rechnen, das ein Grammäquivalent des Ions im ganzen ein- 
nimmt. Unter dem scheinbaren Volumen verstehe ich die 
Summe aus dem wirklichen Volumen der Ionen und der (nega- 
tiven] Volumenänderung, die das Wasser durch Elektrostriktion 
in ihrem elektrischen Felde erleidet Es ist wohl als sicher 
zu erwarten, daß diese Größe mit dem elektrischen Leit- 
vermögen des betreffenden Ions in einem engen Zusammen- 
hang steht 

F. Kohlrausch ^) hat gezeigt, daß bei den einwertigen 
einatomigen Ionen der Temperaturkoeffizient eine Funktion des 
Leitvermögens selber ist. Es ist zu erwarten, daß ähnliches 
ftir das scheinbare Volumen gilt, und daß man damit An- 
knüpfungspunkte für eine kinetische Theorie der elektrolytischen 
Lösungen gewinnt. Ich faßte daher die Absicht, das Äqui- 
valentvolumen der einwertigen, einatomigen Ionen bei ver- 
schiedenen Temperaturen zu bestimmen. 

F. Kohlrausch und Hallwachs ^ haben gezeigt, daß 
man das spezifische Gewicht sehr verdünnter Lösungen am ge- 
nauesten nach der Methode des Auftriebes bestimmen kann. 
Um eine gleichmäßige Benetzung des Aufhängefadens zu er- 



1)F. Kohlransch, Sitzongsber. d. Berliner Akad. d. WissenBch. 
p. 572. 1902. 

2) F. Kohlransch n. Hallwachs, Wied. Ann. 50. p. 118. 1893; 
53. p. 15. 1894. 



Spez, Gewicht sehr verdünnter Losungen. 327 

reichen, nimmt man am besten einen Platinfaden, der erst 
plaüniert und dann ausgeglüht ist^) Man mußte aber bei 
Benutzung eines Glühkörpers wegen der großen Unterschiede 
der Ausdehnungskoeffizienten von Glas und Wasser die Tem- 
peratur auf Vi 000^ ^* genau ablesen und alle Wägungen, die 
natürlich bei sehr abweichenden Temperaturen gemacht werden 
mußten 9 auf eine Temperatur reduzieren. Um sehr genaue 
W&gungen mit einem sehr großen Schwimmkörper zu machen, 
mußte Eohlrausch ^) sich sogar auf Temperaturen in der 
Gegend von 6^ C. beschränken, wo die Ausdehnung von Glas 
und Wasser wenig voneinander abweichen. 

Man vermeidet diese Schwierigkeit, wenn man als Schwimm- 
körper einfach reines Wasser nimmt, dessen Ausdehnungs- 
koeffizient als identisch angesehen werden 
darf mit dem der verdünnten Lösung. Mein 
Schwimmkörper hatte die Form der neben- 
stehenden Figur. Es war ein fläschchen 
aus Jenaer Glas, dessen Hals in eine sehr 
feine Kapillare ausgezogen war. Dieses 
Fl&schchen wurde mit ganz reinem Wasser 
gef&llt und an dem Platinfaden aufgehängt. 
Durch die lange feine Kapillare wird die 
Difiusion von Lösung in das Innere des 
Fl&8ohchens so gut wie ganz verhindert, 
und doch muß bei Temperaturveränderungen durch sie Wasser 
aas- oder Lösung eintreten. 

2. Das ganze Volumen v dieses Schwimmkörpers besteht 
aus zwei Summanden: dem großen Volumen des Wassers v^ 
und dem kleinen Volumen der Glaswand v^. Ebenso können 
wir das scheinbare Gewicht p des in der Lösung hängenden 
Körpers in zwei entsprechende Summanden p^ und p, zerlegen 

W&re nun das Fläschchen immer mit vollkommen reinem 
Wasser gefftllt, das schon vor dem Eintauchen genau die gleiche 
Temperatur hat, wie die umgebende Lösung, so ändert sich p^ 
mit der Temperatur nur wenig. Denn wenn s das spezitische 
Gewicht der Lösung und w das des Wassers im Schwimm- 
körper ist, so ist: p^ = r^ . (ir — s), eine kleine negative Zahl, 




1) F. Kohlrausch, Wied. Ann. 56. p. 185. 1895. 



828 G. Me. 

die sich bei Temperaturändeningen von 1 ^ C. jedenfalls nnr nm 
einige Zehntel Promille ändert. War die Lösnng etwas kälter 
wie das Wasser^ so tritt beim Temperatnransgleich ein wenig 
Lösang in das Gefäß und bewirkt eine ganz kleine Yergrößerong 
von w, so daß {s — w) und demnach auch p^ einen ganz kleinen 
Fehler bekommt, der aber bei Temperaturänderongen von 1^ C. 
höchstens einige Zehntel Promille beträgt. Im umgekehrten 
Fall gilt dasselbe, nur daß dann durch Austreten von Wasser 
aus dem Fläschchen s ein klein wenig heruntergesetzt wird. 

Bei Temperaturänderungen bis zu 1^ C, kann man p^ als 
konstant betrachten^ ohne daß dabei die gesuchte Größe (s-^w) 
einen Fehler von mehr als einigen Zehntel Promille bekommt 

Von p^ gilt nicht dasselbe. Ist g das spezifische Gewicht 
des Glases, so ist p^ = »^ (o* — $\ Ist femer a der Ausdeh- 
nungskoeffizient des Wassers, ß der des Glases und idt s 
nahezu 1, so ist die Zunahme 8 von p^ &i£ \^ C: 

Es wird nun der Schwimmkörper zuerst in reinem Wasser i) 
abgewogen p. Wir wollen, um ganz exakt zu verfahren, im 
folgenden die — jedenfalls sehr wenig voneinander verschie- 
denen — spezifischen Gewichte des Wassers außerhalb und 
innerhalb des Fläschchens unterscheiden als w und w. Weiter 
wird dann von einer Lösung bekannter Konzentration, <ler 
„Originallösung'', eine abgewogene Menge ^ zugesetzt, tüchtig 
umgerührt, und wieder gewogen: p^ Das spezifische Gewicht 
der durch die Mischung erhaltenen verdünnten Lösung heiße s^. 
Später werden noch mehrmals kleine abgewogene Mengen der 
Originallösung zugesetzt Die Gewichte des Schwimmkörpers 
in den so erhalteneu, etwas gehaltreicheren, verdünnten 
Lösungen seien f,, . . ■, die spezifischen Gewichte «,,... Die 
Temperaturen bei den verschiedenen Wägungen seien i9-, d-^, 
&^, . . . Alles werde auf eine Temperatur 0-^ reduziert, die 
reduzierten Größen bezeichne ich durch einen Index 0: 
p^, s^^, etc. 



1) Jedesmal wird das Wasser erst unter der Luftpumpenglocke 
luftfrei gemacht. 

2) Mit einer Pipette , die zuerst mit der Füllung und dann , nach- 
dem diese abgegeben ist, leer gewogen wird. 



Spez. Oewieht sehr verdünnter Lösungen. 829 

Eb ist nun: 

P OB »j . (W'— tr) + 17, . (o" — W)y 

reduziert: 

(2) p^ = v^^.[w'^ - ir<^ + V-(^*^ - *^^J = -Po - «'*^-»^*^ 

- ü, .(tr' - w) + r, .(7 - r, .U7[l + (/9 -a)(t9',, - i^)], 

(8) p»-p + 5.(i9-o-*)- 
Ebenso ist: 

In Formel (2) und (3) bezeichnet P^ das absolute Gewicht 
des Schwimmkörpers bei der Temperatur i^^. Man bekommt 
durch Subtraktion von (2) und (4): 

(6) 5« - iflO = ^"iJ^- . 



E^ sei das Gtewicht des Schwimmkörpers bei der Tem- 
peratur &^ in Luft: P. Daraus können wir berechnen: 

(7) »•= ^-^-- 



w^ - 0,0012 

Das absolute Gewicht des Schwimmkörpers ist: 
(8) Po = P+ü«. 0,0012. 

Wir wollen nun aus den Wägungen direkt das scheinbare 
Volumen w von 1 Grammäquivalent des ionisierten Salzes 
berechnen. Es sei M das Aqoivalentgewicht, n, die Zahl der 
gelösten Grammäquivalente in 1 g der verdünnten Lösung. 
Eine leichte Rechnung gibt: 

^ fr« \ 5i«.n, ; 

oder, in den direkt gemessenen Größen ausgedrückt: 

3. Ich beobachtete mit einer Bunge sehen Wage, die 
einen Ausschlag von 4,5 fbr 1 mg gab, und zwar meistens 
den Punkte wo der Zeiger schließlich stehen blieb. Daß eine 
derartige W&gung etwas lange dauert (2 — 3 Minuten) war kein 



330 G. Mie. 

Nachteil, da ich doch während einiger Zeit (10 — 20 Minuten) 
beobachten mußte, ob die Einstellung konstant blieb. Das 
war erst dann der Fall, wenn keine Strömungen mehr yom Um- 
rühren vorhanden waren und wenn sich die Temperatur im 
Fläschchen mit derjenigen außen ganz ausgeglichen hatte. 

Bevor ich den Schwimmkörper aufhing, prüfte ich den 
Platinfaden. Schon mit dem Auge konnte man sehen, daß 
der umgebende Wassermeniskus beim Herausziehen und beim 
Hineinschieben des Fadens in das Wasser derselbe blieb. Ein 
Faden wurde auch so geprüft, daß ich ein Stückchen Platin- 
draht an ihm aufhing und erst in Luft, dann in Wasser abwog. 
Der Auftrieb ergab sich zu 1,4 mg kleiner, als das Gewicht 
des verdrängten Wassers. Der Faden war 0,06 mm dick 
Rechnet man die Oberflächenspannung des Wassers zu 7,5, 
so ergibt sich wirklich das Gewicht des Meniskus bei voll- 
kommener Benetzung zu 1,4 mg. 

Trotzdem konnte ich, nachdem der Schwimmkörper an- 
gehängt war, keine konstante Einstellung bekommen. Stunden- 
lang konnte man verfolgen, wie der Zeiger immer weiter kroch 
in dem Sinne, daß der Schwimmkörper immer leichter wurde. 
Rührte man dann mit ihm das Wasser um, so ging der Zeiger 
plötzlich um ein beträchtliches Stück zurück. Erst nachdem 
der Körper in verdünnter Salpetersäure, Natronlauge und 
Alkohol längere Zeit bei höherer Temperatur (60 — 80^ ab- 
gewaschen war und darauf eine Nacht in reinem Wasser gelegen 
hatte, zeigte sich stets eine durchaus befriedigende Eonstanz. 

Vor jeder Beobachtung wurde mit dem Thermometer oder 
auch mit dem Schwimmkörper selbst tüchtig gerührt Das 
Thermometer war aus Borosilikatglas und in ^/j^° geteilt 

4. Die Temperaturkorrektion S ergibt sich aus (1) wie folgt 
Bei !?•() = 20^ ist der Ausdehnungskoeffizient des Wassers 
0,000 207, der des Jenaer Geräteglases i) ist 0,0 000177, also 
rund a — /9 = 0,00 019. Das Gewicht des Schwimmkörpers 
in Wasser ist: ;?^,= 13,49 g, femer das spezifische Gewicht des 
Glases ^) rr = 2,73. Man bekommt daraus 

üg = p^j[a — 1) = 7,8 cbcm. 



1) Diese Zahlen verdanke ich einer freondlichen Mitteilung der 
Firma Schott & Gen. 



Spez. Getncht sehr verdünnter LÖsunr/en. 831 

Die Temperaturkorrektion berechnet sich nun: 

^= l,5mg/öC. bei 20«. 

Der Schwimmkörper hatte ^ in Luft gewogen, das Ge- 
wicht P - 1 34,28 g. Nach Formel (7) erhält man i? = 1 2 1 , 1 5 cbcm. 
Das Volumen der Wand einer Hohlkugel von diesem Raum- 
inhalt und von der Wandstärke 0,7 mm ist t;^ = 8 cbcm. 

Die Abhängigkeit des Auftriebes von der Temperatur be- 
obachtete ich direkt in reinem Wasser. Es ergab sich flir die 
beiden Temperaturen 21,58« und 20,83« ein Unterschied von 
1,3 mg. Nun ist bei 21«, da hier der Ausdehnungskoeffizient 
des Wassers ca. 0,000 217 beträgt: d=l,6. Danach würde 
sich f&r den Temperaturunterschied 0,75« berechnen: 1,2 mg. 

5. Es sei ein Beispiel fär die Methode angeführt Die 
Originallösung war eine 0,0536 proz. Lösung von KCl. Sie 
enthielt also 719. 10~^ Grammmoleküle des Salzes in 1 g Lösung. 

Raines Wasser 697,5g 19,94* 21,188 g Einstellung 14,0 

21,190 „ „ 4,9 

p - 21,188 87 />° = 21,188 96 (^o = 20») 

Eingefüllt 4,97 g 20,08 <^ 21,161 g Einstellung 6,6 

nj = 5,12.10-« 21,100 „ „ 11,0 

Pi - 21,1602:^ ;?,• = 21,16018 {»^ = 20«) 

Eingefüllt 5,09 g 20,09 <» 21,130g Einstellung 11,9 

fi, - 10,29 . 10-ß 21,131 „ „ 7,r> 

p, = 21,18042 ;?,° = 21,13028 (i^o - -O«) 

Eingefüllt 10,48 g 20,ir>« 21,070 g Einstellung 12,6 

w, - 20,71 . 10-6 *^1,071„ „ 7,1» 

p, - 21,07056 ps« = 21,07033 {^^ = 20«l 

Wenn der Schwimmkörper abgehängt war, so brachten 
7,69935 g den Zeiger auf 10. Diese Zahl ist also von den 
eben alsf^«, ft^> • • . hingeschriebenen Größen noch abzuziehen. 
Richtig ist z. B. /?« = 18,48 961. In Luft wog der Schwimm- 
körper P« 134,28 g. Also ist: P^ = 134,32. Nun berechnet 
sich ff nach Formel (9): 



n - 5,12 . 10-6 


10,29 . 10-6 


20,71-''> 


9 » 28,1 


27,5 


27,3 



Das Molekularvolumen von ionisiertem KCl ist also bei 
20® C. ungefähr 27,5. Ks wurde u. a. noch bestimmt RhCl 
und GsGL 



332 G. Jüße, Spez, Gewicht sehr verdünnter Losungen, 

NaCl KCl RbCl CsCl 
16,5») 27,5 33,9 41,0 

Man sieht: Die Molekularyolumina nehmen mit dem Atom- 
gewicht des Metalls zu. 

Bei der Bestimmung dieser Zahlen wurde aber nur darauf 
Wert gelegt^ die Methode zu prüfen. Die Konzentrationen der 
Originallösungen dagegen sind nicht so genau bestimmt, als 
es nötig wäre^ um genügende Werte von (p zu bekommen. 
Da nun die Einzelbestimmungen, wie man auch an dem ge- 
nauer hingeschriebenen Beispiel (KCl) sieht, unter sich stets 
gut stimmen, so beabsichtige ich mit einem Schwimmkörper, 
der bei einer viel geringeren Wandstärke ein größeres Volumen 
hat, als der bisher benutzte, an die Lösung der in der Ein- 
leitung genannten Aufgaben zu gehen. 



1) Nach Kohlransch. 

(Eingegangen 12. September 1903.) 



333 



44. Magnetization and resistance in Nickel at high 

temperatures. 

Bj C. a. Knott in Edinburgh. 



1. Professor Tait's discovery in 1873 of the peculiar 
changes at certain critical temperatures in the fundamental 
thermoelectric constants of iron and nickel has suggested to 
me firom time to time various other lines of research in the 
hope of establishing other properties at these critical tempe- 
ratures. In the case of nickel the first change in the sign 
of the Thomson E^ect occurs about the temperature of 
200® C.y and the second change about 350^ C. My investi- 
gations on the change of electrica! resistance of nickel at these 
high temperatures^) brought out other relations; and these 
were corroborated by W. Kohlrausch*), who extended the 
inyestigation to the case of iron^ and established completely 
that there was a close relation between the march of resistance 
with temperature and the loss of magnetic permeability. The 
natnre of the relation in the case of nickel may be indicated 
by giying the law of resistance change with temperature of 
the nickel wire which is the subject of the present note. The 
resistance temperature graph is roughly speaking a long sloping 
S-form of cnrye and can be represented for interpolation pur- 
poses Tsry approzimately by three straight lines. Thus to 
redace the measured resistance (r) of the wire (3 ohms at 15^ 
to temperatures, the formulae were 

t = 66,7 r - 163,3 from 15^ to 200^ 

^ = 33,9r- 22,7 „ 200« „ 350 « 

^ = 96,8 r - 692,5 „ 350« „ 400« 

Temperature 200® corresponds to Tait's first bend in the 
tiiermoelectric line for nickel, and 350« to the second bend; 



1) C. G. Knott, Trans. Roy. Edinburgh .%!. p. 187. 1886. 
8) W. Kohlrauseh, Wied. Ann. 33. p. 42. 1888. 



334 C, G. Knott, 

and it is at 350^ that nickel ceases to be magnetic in the 
ordinary sense. 

2. The enquiry as to the effect of temperature upon the 
change of resistance due to magnetization in the case of the 
magnetic metals was one of the lines of research suggested; 
and the broad nature of certain results obtained for nickel 
is given below. 

Two nickel wires of nearly the same length were coiled 
in two flat circular coils about 18 cm in diameter, the con- 
tiguons parts of eax^h wire being insulated with asbestos sheei 
Round each anchor-ring so formed two layers of copper wire 
were coiled, so as to form a magnetizing coil of the usual 
anchor-ring transformer pattern. The two layers, carefnlly 
insulated throughout with asbestos, were separately wound so 
that their ends could be joined in different ways, thus making 
it possible to pass a streng current through the coils in 
succession, and yet have no magnetizing force within the core. 
By suitably interchanging the ends I could at a moment's 
notice obtain a strong field within the core. By this means, 
and by using two exactly similarly constructed coils, I reduced 
to a minimum the disturbing effects due to heating in the 
magnetizing coils. The nickel wires, L and M, in these coils 
were then made two of the branches of a Wheatstone Bridge, 
the opposite conductors X and /i being also made of nickel 
wire so as to prevent thermoelectric electromotive forces being 
set up when the coils L and M were heated to high temperatures. 

The resistance changes due to magnetization were 
measured by deflections on a delicate galvanometer after the 
Bridge was approximately balanced, a steady current being 
supplied from a secondary cell in the battery brauch. The 
galvanometer deflection was calibrated in the foUowing simple 
way. For any particular condition the current, i, through the 
galvanometer is given by the formula 

(1) D.i = [L^-MX)e 

where e is the electromotive force in the circuit, and L the 
well-known determinant involving the resistances of the six 
conductors making up the Wheatstone Bridge. 



Magnetizaiion and resistance in Nickel. 335 

Let now a known slight chaDge rf A be made in thc A 
branch, then the corresponding change di is given with 
aofficient accnracy by the expression 

(2) D.di= -MedX. 

When the magnetic field is establisbed around L, there results 
a change dL with a corresponding change St in the cnrrent, 
namely, 

(8) D,3i = fiedZ. 

Diyiding (3) by (2) we get 

II d L di 

lidl '^ " di' 

Since at the beginning the Wheatstone Bridge is almost 
accurately bahmced, we may write fijM^llL and con- 
sequently 

,A. dL dX öl 

(*) L = - i • di 

dildi is the ratio of the Galvanometer deflectiuns diie to thc 
changes in (2) and (3), and dkl?, is known; hcnce dLjL and 
therefore dLy can at once be calculak'd. The quantity L is 
the resistance of the whole branch inchiding the nickel wire 
which is the subject of experiment. Let L^ be the resistance 
of the nickel wire which is being roagnetized within the anchor 
ring core; then dLIL^ will be the reqiiired change in iinit 
resistance dae to the applied field at the cxisting teniperature. 

The wires L and M wcre heated \\\) to various teni- 
peratures in a porcelain vessel packed with asbestos wool; and 
the temperature of L was obtained from its resistance which 
was measnred accurately immediately after each ex])eriment. 
The relation between temperature and resistance was obtained 
from an independent experiment, in which a piece of the sanie 
nickel wire was used. The results have already been given 
in§ 1. 

3. When the coils L and 3/ had reached a stendy tem- 
peratare, the experiment of equation (2) was mado. The 
reästaBce A (= 3,2413 ohms) was altered by inserting 30 ohms 



386 



C. G. Knott. 



as a Shunt on a pari of X whose resistance was 0,5125. The 
resistance of X became then 

Ä + £f i = Ä - 0,5125 + ^^on ^fÜ^^^ = '^ - 0,008603 . 

80,0 1a5 

dXJX^ -0,002655. 

In a particular experiment, taken at random to illustrate 
the procesB, the resistance L was 6,04, corresponding to a 
temperature of 179,1^ C; the magnetizing corrent was 4,29 
amperes corresponding to a field of 32,2 G.G.S. anits; the 
ratio of the galvanometer deflections due to the magnetic 
change of resistance dL and the imposed change of resistance 
was 1,629; hence dL= - 1,629 x LdX\X = 0,02615. Now 
the resistance of the magnetized part of L was 5,80; hence 
d-LJ Lq =■ 0,00451, the measure of the increase of unit resistance 
of nickel at 179^ due to the application of a longitudinal field 
of 32,2 Units. A great many similar observations were made 
in various fields and at various temperatures. The results 
were plotted in a large scale, small corrections applied so as 
to obtain isotherm.al curves at the temperatures heading the 
columns in the table below, and the values read oflF for fields 
2, 4, 6 etc. up to 34. Ä selection of these will be found in 
the Table. 

Table showing resistanoe ohanges per 100,000 ohms of niokel ¥7ire 
in various longitudinal fields and at various temperature«. 



MM^etic 
field 



34 

2S 

24 

20 

16 

12 

10 

8 

6 

4 

2 



15 



65 



1040 

825 

682 

548 

411 

268 

192 

119 

53 

17 

3 



816 

679 

579 

479 

379 

255 

187 

124 

63 

23 

5 



Temperatures 
125« I 180« I 240« ' 280» 



300» 328» I 342« 



621 

529 

463 

892 

317 

231 

181 

123 

65 

21 

5 



475 

401 

350 

298 

242 

186 

158 

121 

70 

23 

5 



258 
226 
205 
179 
151 
112 
108 

85 

56 

27 
5+ 



141 

128 

119 

106 

93 

75 

64 

52 

38 

27 

5 



86 
79 
73 
66 
57 
48 
42 
37 
30 
19 
4 



45 

41 

35 

29 

18 

9 

4 

3 

2 

1 



5 

3,8 

2,6 

1,8 

1,5 

1,2 

1 



Ucyneiization and remtance in Nickel, 337 

4. Prom these numbers we may construct two sets of 
graphSy namely, the isothermals showing the relation between 
magnetizing force and resistance change at the various tem- 
peratures, and the isodynamics, showing the relation between 
the resistance change and the temperature in tlie varions 
fields. 

The first obvions result is the diminutiou of the resistance 
change in the higher fields as the temperature rises. Thus 
the effect in varions fields at temperature 15^ is from 200 to 
300 times the effect at temperature 342^. So rapid is the 
final drop above 300^ that we may safely regard the efiect 
as practically nonexistent at temperature 350 ^ It is just at 
this temperature that nickel loses its streng magnetic properties, 
the permeability being practically unity. Thus we learn that 
the change of resistance due to longitudinal magnetization in 
nickel is mainly a function of the magnetization or induction 
and not of the magnetizing force. 

In fields below 10, there is first increase of the resistance 
change as the temperature rises. In fact all the isothermals 
np to 300^ begin above the isothermal of 15^, and then cross 
it as the field increases. This is particularly well marked in 
the case of the isothermals 65 ^ 125^^ and 180^ This pheno- 
menon may be connected with the fact that the induction 
conre for nickel rises more abruptly and reaches its y,Wende- 
pnnkt^ in lower fields the higher the temperature. In other 
words the first effect of rise of temperature is to increase the 
permeability in lower fields, probably because of the greater 
ease with which the molecular groupings assume new con- 
figorations. But anything which tends to increase the per- 
meability most tend to increase the magnetization on which 
the resistance effect mainly depends. 

The isodynamic curves indicate the existence of a further 
peculiarity which declares itself at or near the temperature 
180® by a kind of cusp-like peak in the graphs of the higher 
fields. This peculiarity is also well brouglit out by calculating 
the differences between the resistance changes corresponding 
to the successive temperatures in the preceding table, and 
difiding these by the change of temperature. These avorage 
differences per degree will correspond to the mean of the 

BoltauBB-FMtMlurUt 22 



338 



a G, Knott 



extreme temperatures; and their values Ibr five of the fields 
are given in the foUowing subsidiary table. 

Table of Differenoes per Defipree oalenlated firom the former Table. 



Magnetic 
field 



40' 



Differences per Degree at Temperatures 
95 <> 152,6<>l 210<> I 260« 1 290« | 314' 



885 



34 
28 
20 
10 
6 



*fi 


3,3 


2,7 


3,7 


2,8 


2,7 


1,5 


2,9 


2,5 


2,3 


2,9 


2,5 


2,6 


1.4 


1,3 


1,5 


1,7 


2,0 


1,8 


2,0 


1,8 


0,01 


0,01 


0,4 


0,9 


1,0 


1.1 


1.4 


-0,02 


-0,003 


-0,09 


+ 0,07 


0,45 


0,4 


0,4 



2,9 
2,6 

1,4 
0,2 



From these few examples we see tbat tbere is at or near 
the temperature 200^' a peculiarity which shows itself by an 
increase in the rate per unit rise of temperature, at which 
the resistance change in a given field is diminishing. And 
this is the temperature at which occurs the first bend in the 
thermoelectric line of nickel as discovered by Tait, and also 
the temperature at which the resistance of nickel begins to 
grow rapidly with rise of temperature as established by my 
own and Eohlrausch's experiments. 

5. In Order to investigate the effects at high temperatures 
of a iransverse magnetic iield on the resistance of nickel wire, 
I prepared two helical coils carefully wound on porcelain 
cylinders and set them within and coaxial with the longer 
cylinders on which four layers of copper wire were wound with 
asbestos insulation as usual. With this form of apparatus, 
however, it was impossible up to the highest fields at my dis- 
posal to get any results. Apparently there was no effect on 
the resistance. In fact the field was not powerful enough to 
establish a sufficiently strong induction across the thin wire. ^) 
I therefore made a short compact coil which could be inserted 
axially in the air gap of a strong electro-magnet^ and proceeded 
to study the effect in much the same way in which Kelvin, 
Goldhammer, and others have done. The broad results may 
be briefly stated. 

Up to field 1500 the effect on the resistance was very 
small, sometimes indicating increase of resistance, sometimes 



1) Beetz encoantered the same difificalty when ti'ying to measure 
the effect on iron wire. 



Moffnetizatitm and resistance in XickeL 830 

decrease. This increase in the lower tields may be due to 
the presence of a Umgiiudinal efiei-t^ for it was impossible to 
make a coil of the kmd required without giving it a certain 
pitch, 80 that there was necessarily a small component of 
magnetizing force along the wire. Above Aeld 1500 the 
redstance was always diminished, and the diminution grew 
rapidly with the field. Increase of temperature had the same 
general effect as in the previous case. The quantitative results 
were, however, a litüe uncertain in their details; but here also 
there can be no doubt that the change of resistance is chiefly 
due to the induction in the wire, vanishing almost entirely at 
350^ C. In these experiments the nickel coil was heated by 
means of an enclosing coil of German-silver wire through which 
a strong current was kept steadily tiowing^ and the temperature 
was measured by the resistance of the nickel. 

6. In trying to coordinate these results along the lines 
of modern theory, we have to consider (1) the ionic whirls 
which constitute the paramagnetic quality of the nickel, (21 the 
ionic displacements which constitute the current through the 
conduetor, and (3) the various eifects on these of magnetic 
force and heat 

If we suppose that the negative and positive ions which 
build up a neutral molecule are whirling round one another 
in approzimately circular orbits, and that the effect ive forces 
depend on the charges and their distance apart, it may be 
easily shown that the magnetic molecule is at once accountcd 
for if the masses associated with the negative and positive 
ions are very different. Its magnetic moment depends on the 
difference of these ionic masses, on the number of whirls in 

Unit volume, and on some function of the distance separating 
the connected ions. 

Whatever be the mechanism by which the extenial magnetic 

orce affects the orientation or the intermolecular grou])inf; ot* 
the ionic whirls, the effect is to produce with in the motal a 
condition in which the ionic orbits on the avcra^e tcii<l to set 
themselves perpendicular to the magnetic force. Tlu* inter- 
molecular regions are traversed by lines of magnetic forcr 
whose density is great in the region betwoen the ()])posit(' 
aspects of contiguous molecular whirls. The dissociated elcctric 



840 C. G. Knott. MagneÜzation and resistanee in NicheL 

corpuscles which convey any current along the wire are driven 
towards the intermolecular Spaces where the lines of force are 
less dense. The more closely the magnetic condition of the 
metal approaches to Saturation in the direction of the 
applied electromotive force, the more pronounced will be this 
drift of the corpuscles from the denser to the less dense parts 
of the lines of force in the intermolecular Spaces. There will 
be aggregation of the corpuscles in the regions of minimum 
density of the magnetic lines of force. This, according to 
J. J. Thomson's mode of looking at the phenomenon, will 
produce a smaller average free path of the helically moving 
corpuscles and a coiTesponding increase of resistanee. 

As regards the effect of heating, it is probable that rise of 
temperature increases the rate of dissociation of the molecules. 
But this means a decrease in the number of the neutral 
molecules among which are to be reckoned the molecular 
whirls described above. Hence with rise of temperature the 
number of these molecular whirls per unit volume is di- 
minished, and the permeability is decreased, at least in moderate 
and high tields. In low fields there is an increase in perme- 
ability when the temperature is raised; but this average in- 
crease of permeability may be the result of a diminished 
mutual action between the whirls in a given region, so that 
they are able to respond more quickly to the small extemal 
magnetic force. 

But any diminution in magnetization means less inequality 
in the densities of the lines of force in regions of maximum 
and minimum densities. Hence in accordance with the views 
stated above, there will be proportionally less aggregation of 
the corpuscles and proportionally less change of resistanee at 
the higher temperature when a particular üeld is applied, so 
long at any rate as this field has not too low a value. 

As regards the undoubted molecular change which occurs 
in nickel at a temperature of about 200^, it is impossible to 
come to any clear conclusion. When the investigation has 
been extended to the cases of iron and cobalt, it may be found 
possible to coordinate all the phenomena in terms of a less 
crude theory of molecular groupings. 

(Eingegangen 12. September 1903.) 



341 



45. Intorno ad nn 
igrometro-bilancia ad indicazioni assolate e continae. 

Di Q. Qnglielmo a Cagliari. 



Si puö detenninare agevolmente il peso o la tensione del 
Tapor acqueo contenuto in un noto volume d'aria^ senza prima 
farlo assorbire dall' acido solforico (come si fa colF igrometro 
chimico e con quelli di Schwackhöfer e di EdeliDann) 
dedacendoli dalla spinta aerostatica che un corpo di gran 
Tolome e piccolo peso^ (p. es. una sfera o cilindro cavi ed a 
parete sottile) subisce nell' aria; questa spinta varia di circa 
0,6 mgr per ogni dm^ del corpo suddetto quando la teuHione 
del Tapore yaria di 1 mm ed usando un corpo di volume non 
grandissimo si puö tuttavia ottenere una grande sensibilita 
nelle indicazioni. 

Per CTitare che questo corpo appeso ad un piatto della 
bilancia ed equilibrato, funzioni da baroscopio ed indichi, oltre 
alle piccole variazioni della density dell' aria ambiente causate 
dalle variazioni della proporzione di vapor acqueo, anche quelle 
molto maggiori causate dalle variazioni della pressione e della 
temperatura, si possono usare varie disposizioni. 

La disposizione teoricamente piü semplice c quella di 
appendere ai due piatti d^una bilancia di precisione, all' esterno 
della yetrina, ed equilibrare due palloni chiusi, di ugual volume, 
uno dei quali si trovi immerso costantementc neir aria per- 
fettamente secca e Taltro nell' aria di cui si cerca il grado 
d'omiditä. Inizialmente, e poi quando lo si creda necessario 
ad intenralli piü o meno lunghi, a seconda delle circostanze, 
si determina o verifica la differenza di peso dei due palloni 
quando entrambi sono immersi nell' aria comune o entrambi 
neu* aria secca, oppure anche si scambiano i palloni che si 
troyano uno nell' aria secca Taltro nelF aria comune. 

Siano 6 e C i singoli pesi, che non occorre conoscere, 
dei due palloni nel vuoto, sia p la diiferenza nota di ({uesti 



342 G. Guglielmo. 

pesi che Don dipende dal mezzo in cui sono immersi entrambi 
i palloni^ sia V il yolume di ciascuno di questi, H la pressione 
atmosferica, T la temperatura assoluta ambiente^ T^ quella del 
ghiaccio fondente, h la tensione cercata del vapor acqueo nell' 
aria, a il peso di 1 cm' d'aria secca a 0^ e 760 mni; 8 la 
densitä di vapore riferita all' aria del vapor acqueo, p' il peso 
che bisogna aggiungere p. es. a sinistra per ottenere l'equi- 
librio quando il pallone di sinistra si trova nell' aria perfetta- 
mente secca e qnello di destra nell' aria comane. Per l'equi- 
librio dovrä essere: 

p + G- FaETjlQOT^ G^'- ra{H'-h)TJ7601 -- FaShTJlßOT 

ossia: 

h'Vail -•ä)TJ760T^p + G- & =^ p + p' 

Ä = (;?+/) 760(1 +at)jra{\ - S)=^(p + p'){\ +at)AlF 

indicando con Ä la costante 760/a (1 — S). 

Affinchö questa relazione sia rigorosamente applicabile 
occorre che i due palloni siano esattamente alla stessa tempe- 
ratura, nonostante le condizioni un po' diverse nelle quali essi 
si trovano, una dififerenza di 0^,1 darebbe origine ad una 
dififerenza nelle spinte che essi subiscono di circa 0,4 mgr per 
dm» corrispondente ad un errore di circa 0,7 mm nella ten- 
sione di vapore cercata. Non mi pare tuttavia difficile di otte- 
nere la rigorosa eguaglianza di temperatura dei due palloni 
contigui, sia evitando di coUocare l'apparecchio in modo che 
finestre, o stufe o correnti d'aria o altre cause possano agire 
piü da un lato che dagli altri, sia proteggendo Tapparecchio 
con opportuni schermi o scatole, semplici o multiple. 

Gioverebbe anche per scoprire e correggere questa causa 
d'errore Tuso di palloni provvisti di manometro nel modo con- 
siderato in seguito. 

Bisogna anche aver cnra che l'aria secca in cui fe immerso 
uno dei palloni sia perfettamente secca. Ora siccome il reci- 
piente che la contiene e necessariamente prowisto d'un foro 
alla parte superiore pel quäle passa il filo di sospensione del 
pallone, awiene che quando la temperatura s'abbassa o la 
pressione cresce, un poco d'aria estema penetra nel recipiente 
suddetto portandovi del vapore che solo molto lentamente 
viene assorbito dalla sostanza essicante. 



Intomo ad un iffrometro^hünncia, 343 

Per elitäre ci6, io sospesi il pallone nelP intonio irun 
grande recipiente cilindrico coli' orlo piano, contenente sul 
fondo un po' d'acido solforico ed un treppiede basso di vetro 
che impediTa al pallone di venir a contatto coli' acido ; qucsto 
recipiente era chiuso da un disco di vetro piano, con foro 
centrale per il passaggio del filo di sospensione; sul quäl disco 
attomo al foro collocai vari vasetti con acido solforico Qicr 
mancanza d'uno con tubo centrale) che ricoprii con una 
campana con foro in cima per il passaggio del filo suddetto. 
Inoltre al collo della campana era adattato un largo tubo di vetro 
lungo circa 20 cm che ritardava ancora la diifusione del va- 
pore verso Facido solforico, e faceva s{ che Taria penetrante 
nel modo suddetto nella campana era gia parzialmente secca 
e quella del recipiente sottostante lo era completamente. 

ün altro modo per evitare Tinfluenza delle variazioni della 
pressione e della temperatura sulF equilibrio del pallone, prati- 
camente piü semplice del precedente perche richiede un solo 
pallone e non richiede Tuso continuo di un gran recipiente 
con aria perfettamente secca, consiste nel porre T interne del 
pallone, in comunicazione coli' estemo mediante un tubo con- 
▼enientemente lungo e capillare. Questo pallone vienc appcso 
ad uno dei piatti della bilancia, all' estemo della vetrina cio6 
nell' aria comune, e viene equilibrato con pesi collocati sul- 
l'altro piatto; inizialmente ed in seguito quando lo si crede 
opportuno si determina il peso del pallone immerso nell' aria 
perfettamente secca, oppure di nota umiditTi. 

Sia G il peso nel vuoto e r il volume delle pareti del 
pallone, V la capacitä di questo, P e P — p i pesi occorrenti 
ad equilibrarlo nell' aria comune e nell' aria secca, h q k \q 
tensioni del vapor acqueo all' estemo e nell' interne del pal- 
lone, (1— <t) il fattore, che poi verra trascurato, per la corro- 
zione dei pesi numerati nell' aria; per l'equilibrio nell' aria 
doTTä essere: 

P{i -«•)== (;+ f'a[H-k)TjimT+ raturjimr 

- Fa{i/ - h) Tjim r- raAh 7;,/7(;() r 

- ü fl (// - /i) 7;/760 T^vnSh rjim t 

= G + ra(l - fS)[h - k] TJimT 



344 G. Guglielmo, 

Se la pesata nell' aria secca si fa immediatamente prima 
o dopo di quella nell' aria comune dimodoche si possa ammet- 
tere che T e k non abbiano variato nell' intervallo si avra 
similmente: 

(P«.p)(l «ö-)= (?- Fa{l -S)kTJ7eOT'-vaHTJ760T 

quindi: 

p=.h{F+v)a{l -d)yj760y 

Ä=p(l +cct)7ßOI{F+v)a{\ -dO = p(l +at)Al{V+v) 

Affinchö questa relazione possa valere anche quando la 
pesata nell' aria secca si e fatta una volta per sempre o si 
fa a lunghi intervalli e si possa quindi, con una sola pesata 
neir aria comune, ricavare la tensione del vapor acqueo in 
quest' aria, occorre far sl, che la tensione del vapore nell' 
intemo del pallone sia costante, oppure nota, o meglio nulla; 
in quest' ultimo caso, qualunque sia la temperatura alla quäle 
si fa la pesata nell' aria secca, l'aria del pallone non ha peso 
apparente, la spinta sulle pareti ^ all' incirca uguale a quella 
sui pesi, e l'equilibrio non 6 punto infiuenzato dalle variazioni 
di temperatura. 

Molti modi si possono usare per far sf, che k sia con 
sufficiente approssimazione, costante, o noto, o nuUo. ün modo 
molto semplice e facile ad usarsi e quelle di teuer ben tappato 
il tubo capillare quando l'apparecchio non si usa; la variazione 
di k durante la pesata fe certo minima, e solo potrebbe aversi 
una variazione apprezzabile nello stappare il tubo suddetto. 
Se inoltre nell' intemo del pallone fosse im po' d'acqua o di 
nota soluzione d'acido solforico, o un poco d'acido solforico 
concentrato oppure d'anidride fosforica, la tensione del vapore 
neir intemo sarebbe nota o nulla. 

ün altro mezzo per far si, che k sia nullo, mezzo valevole 
anche quando l'apparecchio debba funzionare continuamente, h 
quelle di riempire anzitutto il pallone con aria secca, e di 
usare il tubo capillare (di comunicazione coli' estemo) spor- 
gente alquanto dal pallone, ripiegato all' ingiü, che penetri e 
termini entro una boccetta contenente sul fondo un po' d'acido 
solforico. fj chiaro che esso tubo non deve mai venire a con- 
tatto coli' acido solforico che vi aderirebbe e farebbe crescere 
il peso complessivo del pallone, e che durante le pesate lo 



Intonio ad un if/rometro'öiiancia. 345 

stesso tubo Don deve toccare in nessun punto il coUo della 
boccetta affinchö i moTimenti del giogo si possaiio prodnrre 
senaui ostacoli. D'altxonde quando l'apparecchio non viene 
nsato gioverä chiadere allo stesso tempo pallone e boccetta 
mediante an tappe scorrevole attraversato dal tubo capillare 
saddetto per evitare che l'acido si diloisca inutilmente. 

E utile Stabilire approssimativamente la grandezza delle 
poBsibili yariazioni di k quando l'intemo del pallone comunica 
oontinuamente coli' aria comune mediante un tubo capillare. 
Esse possono prodnrsi in due modi cio^ per diffusione del 
Tapore da o yerso l'estemo e per effetto delle successive con- 
trazioni e dilatazioni delF aria interna in corrispondenza delle 
yariazioni della pressione e della temperatura. 

Le yariazioni di k per diffusione sono molto piccole; di- 
fatti dalle mie determinazioni del coefficiente di diffusione del 
yapore acqueo nell' aria ^] si deduce che per un tubo capillare 
lango 20 cm e di 0,10 mm' di sezione quando la differenza 
costante di tensione agli estremi ö di 5 mm escono o pene- 
trano 0,011 mgr di yapore in 24 ore, sostituenti o sostituiti 
da un ugual yolume d'aria, dimodoche la variazione di peso 
del pallone che ne risulterebbe sarebbe di circa 0,004 mgr ed 
occorrerebbe circa 1 mese perchö tale effetto fosse appena 
apprezzabile. Siccome perö la tensione del yapore estemo 
varia oontinuamente sarä or maggiore or minore di quella del 
yapore intemo, la diffusione ayyerrä in sensi opposti e Vefietto 
totale sarä praticamente nuUo. 

Inyece per un aumento di temperatura di 1^ uscini dal 
pallone un yolume F/T d'aria con vapore di tensione k che 
yerrä sostituito con aria e yapore di tensione h quando av- 
yehga la corrispondente diminuzione di T' della temperatura, 
e quindi la tensione del yapore nelF interne ayrä cambiato di 
(A — Ä)/r. Se inyece V oscillazione della temperatura fosse, 
come i possibile, di 10^ e la differenza A — A fosse 10 mm e 
fosse T » 300® ne risulterebbe una yariazione di 0,3 mm nella 
tensione k, ripetentesi con lieve diminuzione ad ogni successiva 
ed oguale oscillazione. 



1) Atti ddl* Aee. delle Scienxe, di Torino. 1882. 



346 G. Gufflielmo, 

Uti altro grave errore derivante dalla presenza del vapore 
iieir intemo del pallone; e che occorre assolutamente evitare, 
si presenta quando rabbassamento di temperaiiara sia tale che 
esso vapore si condensi in parte sulle pareti interne^ facendo 
variare il peso G del palloDe d'una quantitä incognita. 

Errori non trascurabili possono derivare altresi, da una 
piccola differenza fra la temperatura del pallone e quella am- 
biente, quäle si presenta certamente ogni qualvolta la tempe- 
ratura estema varia. Per evitare questa causa d*errore con- 
verrä anzitutto eseguire le pesate quando la temperatura 
estema e costante; gioverä inoltre che il pallone abbia la 
superficie estema annerita (per quanto ciö e possibile senza 
che il pallone sia soggetto a cambiar di peso ad ogni mi- 
nimo contatto) affinch^ a dififerenza di ciö che si richiede nei 
calorimetri siano facili gli scambi di calore coli' ambiente. 
Cosi pure sara utile che la scatola o inviluppo che e necessario 
per difendere il pallone dalle correnti d'aria sia metallicOy 
annerito intemamente, levigato invece esternamente afBnch^ esso 
riceva lentamente il calore dall' estemo e lo trasmetta rapida- 
mente al pallone. Finalmente gioverä molto l'agitare (non 
troppo) l'aria interna del pallone^ ciö che si ottiene facilmente 
come indicai in altra Nota fissando nel suo interne alcune 
Palette inclinate rispetto alla verticale e facendo ruotare il 
pallone rapidamente torcendo alternativamente in sensi opposti 
il filo di sospensione. — 

Una terza disposizione che non impedisce che il peso 
occorrente ad equilibrare il pallone varii grandemente quando 
variano la pressione e la temperatura, ma che da, modo di 
correggere facilmente ed esattamente il peso suddetto in modo 
che le sue variazioni residue dipendano solo dal variare della 
proporzione di vapore nell' aria, consiste nel separare l'aria 
interna del pallone dall' estema mediante un tubo ad U con- 
venientemente lungo e contenente un liquido che non abbia 
tensione di vapore apprezzabile come olio d'oliva o di vaseUna, 
chinolina ecc; la possibile lenta evaporazione di questo 
liquido si puö rendere praticamente nulla mediante an 
tappo di cotone collocato sull' estremita libera del tubo ad 
U, Questo inoltre dev' essere prowisto di due graduazioni, 
una millimetrica ed una volumetrica sulle quali si possano 



Intomo ad un igrometro'bilancia, 347 

misurare le yariazioni di pressione c di volumc dell' aria 
interna. 

Questo manometro che non si puö praticamente usare di 
sezione grandissima pone un grande ostacolo alle variazioni 
di volume dell' aria del pallone, e le rende molto piccole in 
confronto di quelle dell' aria libera, a paritä della altre con- 
dizioni^ quindi il pallone col manometro appeso ad un piatto 
della bilancia ed equilibrato risente le variazioni della densitä 
dell' aria ambiente in misura quasi uguale come un pallone 
chiuso. Presenta perö su questo il vantaggio che formando 
esso stesso un termo-baroscopio sensibilissimo, ofifre modo di 
correggere molto esattamente l'effetto di queste variazioni. 

Difatti se r fe la capacitä, del pallone, u il volume dell' 
aria interna contenuta nel manometro, H la pressione estema, 
H + K quella interna, essende h' indicato dal manometro, po- 
tremo porre: 

{r+u)[H+h')^[r+u')H 

e calcolare con molta esaltezza il volume V + u che avrebbe 
l'aria interna se la sua pressione fosse uguale a quella estema, 
e la variazione della spinta p che sarebbe prodotto da questa 
variazione di volume u — u, 

Se P e il peso che fa equilibrio al pallone quando tro- 
vasi nell' aria comune con vapor acqueo di tensione A, G il 
peso vero del pallone col manometro e coli' aria contenutavi, 
V il volume delle pareti e del liquide, per l'equilibrio dovrä 
essere: 

P^G-- {F+ u)aETJ7Q0T+(F+ u)a{\ - S)hTJ160T 

- vaHTJUQT--' va[\ - S)hTJ160T 
oppure anche: 

P+;, = G - {F+ u)aHTJ160T+{F + u')a{l - d)hTJ7ßOT 
- vaHTJlQOT+ va{l - S)hTJ160T 

Similmente per l'equilibrio nelF aria secca se P' e il peso 
occorrente per requilibrio, H' e T' la pressione e la tempera- 
tora ambienti, u" il volume dell' aria che trovasi nel mano- 
metro, tt'" questo volume quando la pressione interna fosse 
resa uguale all' estema, p' la variazione della spinta causata 
dalla variazione di volume m"' — m", dovrä essere 



348 G. Guglielmo, 

F =.0-^ [r+ u')aH'TJ760r - vaE'TJUOT 

oppure anche: 

P' +/ = (? - {F+ u")aH'll60T - vaH'TjlßOr 

^0- {r+ u')aH/WOT^ vaH' TJUOT 

ossia trascurando l'effetto della yariazione di T ed H sulla 
spinta subita da o, compensato in parte da nn simile effetto 
sui pesi numerati si ha: 

P-F +P--P' =^h{F+u +v)a{l'-S)TJ760T 

h^iP-^F+p-- p'){l + at)Äl[r +u + v). 

II possibile errore derivante da una differenza di tempe- 
ratura fra il pallone e rambiente viene coli' attuale disposizione 
piü facilmente scorto e corretto poiche questa differenza sarä 
proporzionale alla quantita di calore che il pallone riceve o 
perde nelU unitä di tempo, ossia alla velocitä della variazione 
della pressione indicata dal manometro; osservando la velocita 
prodotta da una nota differenza di temperatura si poträ in 
seguito da una osservata velocita. di questa variazione dedurre 
la differenza di temperatura fra il pallone e l'aria che lo cir- 
conda e calcolare Terrore che essa produce nel peso apparente 
cercato del pallone stesso. 

Ho eseguito con questi apparecchi molte esperienze^ non 
ancora complete ma sufficienti per convincermi dell' utilitä dei 
medesimi e scorgere le varie cause d'errore alle quali ho accen- 
nato. I palloni di cui mi sono servito erano cilindrici^ di 20^5 cm 
di altezza^ 16,7 cm di diametro, circa 4,5 dm^ di yolnme, di 
lamina sottile di packfong, pesanti circa 180 g. I valori tro- 
vati con essi per la tensione del vapor acqueo nell' aria libera 
furono d'accordo con quelli trovati con altri igrometri, quelli 
trovati pel vapore emesso dalla soluzione SO^H, + 17H,0 
durante vari giorni furono d'accordo con quelli dati da Re- 
gnault alle varie temperature. 

Ho anche osservato la yariazione di peso che subivano 
grandi lamine di packfong, o di latta, o di yetro da ffnestre 
quando erano immerse nelF aria secca oppure nell' aria umi- 
dissima prodotta dalla soluzione precedente allungata con un 
ugual yolume d'acqua, [d = 1,076 a 26^4). Queste variazioni 
furono minime pel packfong e la latta, maggiori (2,5 mgr per 



Intomo ad un igrometro'bilancia. 349 

16 dm*) pel vetro nudo ma sarebbero pure riuscite miiiiine 
pel vetro vemiciato. Neil* aria assolutamente satura di vapore 
molto proBsima al punto di saturazione gli apparecchi ora 
descritti non possono servire sia perchfe, come ha osservato 
Shaw^) 11 ?apore comincia a condensarsi sul solido un p6 
prima della saturazione^ sia perche questa coudensazione pu6 
essere causata da un leggero raffreddamento; gli stessi appa- 
recchi altresl non possono dare buone indicazioni in preseuza 
di vapori o gaz che alterino la densitii deir aria. 

Settembre 1903. 

1) Philosophical Transactions. 1888. 

(Eingegangen 12. September 1903.) 



360 



46. Einige Bedenken betreffend die Theorie der 
Entropieyermehrung durch Diffusion der Gase bei 
einander gleichen Anfangsspannungen der letzteren. 

Von N. SohUler in Charkow. 



Die Behauptung; daß die Entropie zweier ineinander 
diflfundierender Gase sich vergrößere, wird gewöhnlich dadurch 
begründet, daß zwei beliebige ungleichartige Gasmengen, die 
zwei gleiche und voneinander getrennte Volumenräume v und 
V einnehmen, ohne jegliche Arbeitsleistung und ohne Energie- 
vermehrung in den gemeinschaftlichen Volumenraum v auf um- 
kehrbarem Wege hineingebracht und folglich darin miteinander 
vermischt werden können. Es wird dabei als selbstverständ- 
lich angenommen, daß die Entropie der beiden Gase beim 
erwähnten Verfahren unverändert bleibt, und zwar gleich der 
Summe der Entropiegrößen, die den Gasen in ihrem getrennten 
Zustand zukommen. Betrachtet man nun zwei Gasmengen, 
die zuerst die respektiven Volumenräume v^ und «, einnehmen 
und die gleichen Spannungen p besitzen, so muß das gemein- 
schaftliche Volumen der beiden Gase gleich v^ + t;, werden, 
nachdem der Diflfusionsprozeß unter dem unveränderten Druck p 
vollendet ist. Es kann aber andererseits jedes der beiden Gase 
sich zuerst auf umkehrbarem Wege bis zum Volumen v^ + v^ 
isothermisch ausdehnen, wobei die entsprechende Entropie sich 
vergrößern muß; darauf können die beiden Gase, schon bei 
unverändert bleibender Entropie in den gemeinschaftlichen 
Volumenraum v^ + v^ hineingebracht werden. Auf diese Weise 
kommen die Gase zu demselben Endzustand, wie am Ende 
eines direkten Diffusionsprozesses. Da aber die Gase auf dem 
zuletzt beschriebenen Wege mit vergrößerter Entropie zum 
Endzustand kommen, so pflegt man daraus zu schließen, daß 
bei direktem Diffusionsprozeß auch eine Entropievermehrung 
stattfinde. 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung, 351 

Bezeichnet man also mit m die Mansenmenge eines Guses^ 
durch V dessen Volumen, durch c dessen spezitische Wärme- 
kapazität bei konstantem Volumen, durch p dessen Spannung 
und durch die entsprechende absolute Temperatur, so hat 
man bekanntlich 

(1) pv = mRO, 

und die Entropie S der betrachteten Oasmenge läßt sich in 
der Form darstellen: 

(2) S^mclgO + mJ^g''^^ +mk, 

• Im 

wobei die Konstante k so gewählt ist, daB sie von m unab- 
hängig bleibt. Sind mehrere Gase vorhanden, so ist die 
EIntropiesumme der nebeneinander gestellten Gasvolumen gleich 

Nach dem vollendeten DiffusionsprozeB nehmen die sämt- 
lichen Gase den gemeinschaftlichen Volumenraum ^t7. ein, 
and die entsprechende Entropie S wird unter der Voraus- 
setzung berechnet, daß sie dieselbe Größe haben soll, wie in 
dem Falle, wo jede Gasart das Volumen ^'w. flir sich ein- 
nimmt, und die Gase unvermischt nebeneinander gebracht 
werden. Demgemäß hat man also zu setzen: 

(4) 5=lgÖ.2'".^« + ^>|Ä,lg2n|+^„.A., 

woraus folgt, daß 

Da aber vor der Diffusion dieselbe Spannung p für jedes 
der Oase gilt, so ist 

und es ergibt sich demzufolge. 

Den eben erhaltenen Ausdruck (7) püegt man als den 
durch die Diffusion hervor^cnifenen Kntropiozuwaclis zu l)e- 
trachteu. 



852 N. ScktUer. 

Führt man die Bezeichnungen n^, n^ , . , n^ fUr die Mole- 
kularzahlen der verschiedenen Gasarten ein und berücksichtigt 
man, daß 

(8) wij R, = n^ Ry 

wobei R für alle Gase denselben Wert hat, so erhält man 

aus (7): 

(9) «-2«i = 2J«.Äig-^)'). 

Es entsteht nun die Frage, ob zwei chemisch gleichartige 
Gasmengen, die zwei gleiche voneinander getrennte Volumen- 
räume ausfüllen, auf dieselbe Weise in einen gemeinschaft- 
lichen Volumenraum ohne äußere Arbeitsleistung hineingebracht 
werden können , wie dies für chemisch verschiedene Gase der 
Fall ist. Die Möglichkeit eines arbeitsleistungslosen Inein- 
anderschiebens zweier Gasvolumina wird dadurch begründet, 
daß man sich immer eine halbdurchdringliche Wand vorstellen 
darf, die nur eine Gasart durchläßt, während sie ftir die an- 
deren Gasarten undurchdringlich bleibt. Ist aber solch eine 
Wand logisch denkbar, so scheint ja kein Grund gegen die 
Möglichkeit der Existenz einer Wand zu sprechen, die von 
allen chemisch gleichartigen Molekülen einer bestimmten Oas- 
sorte nur diejenigen durchläßt, die man auf irgend eine Weise 
von den übrigen zu unterscheiden weiß. Der genannte Unter- 
schied könnte entweder in der räumlichen Lage der Moleküle 
bestehen, oder in der Größe ihrer Geschwindigkeit, wie bei 
dem Maxwellschen Dämonenspiel, oder in irgend welchen 
den willkürlich gewählten Molekülen zugedachten Merkmalen. 

Übrigens läßt sich die Möglichkeit der von der partiellen 
Durchdringlichkeit abhängigen Erscheinungen nicht aus den 
besonderen chemischen Eigenschaften materieller Wände ab- 
leiten, sondern sie wird durch die Tatsache begründet, daß 
das Vorhandensein gegebener Massenmengen auch alle denk- 
baren auf diese Massen wirkenden Kräfte zuläßt. Eine halb- 
durchdringliche Wand ist nur als eine zufällige Realisation 
der auf bestimmte Weise wirkenden Kräfte zu betrachten, 
und keine praktisch sich erweisende Unmöglichkeit, solch eine 



1) Vgl. auch Planck, Vorles. über Thermod. p. 203. 1897. 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung, 353 

Wand zu konstruieren, darf die theoretischen Schlüsse ab- 
ändern ^ die aus den Gesetzen der Kraftwirkungen sich ab- 
leiten lassen. 

Breitet sich zum Beispiel ein gelöster Stoff mitten in 
einem Lösungsmittel aus, so sind immer solche äußere Kräfte 
denkbar, die die Bewegung des gelösten Stoffs zu hemmen 
und den letzteren ins Gleichgewicht zu bringen vermögen, un- 
abhängig vom umgebenden Lösungsmittel. Sind die kine- 
matischen Eigenschaften des beweglichen gelösten Stoffs die- 
selben, wie die der Gase oder der Flüssigkeiten, so läßt sich 
das Gleichgewicht durch die Kräfte herstellen, die nur auf die 
Oberflächenschicht des gelösten Stoffes wirken, wodurch alle 
diejenigen Verrückungen der Massenteilchen des letzteren auf- 
gehoben werden, die irgend eine Ändenmg des Volumen- 
inhalts oder der Volumengcstalt zur Folge haben könnten. 
Nun bietet aber die oben erwähnte Kräfteverteilung auf der 
Oberflächenschicht alle Eigenschaften einer halbdurchdring- 
liehen Wand, da nur die Beweglichkeit des gelösten Stoffs da- 
durch gehemmt wird, während die Bewegung des umgeben- 
den Mediums unverhindert bleibt. Es kann also jedes Gas 
wie auch jede Flüssigkeit in gegebenem Volumenraume auf 
dreierlei Weise im Gleichgewicht gehalten werden: entweder 
durch Abgrenzung des Raumes mittels absolut undurchdring- 
licher fester Wände, oder durch unmittelbar auf die (Trenz- 
Bchicht wirkende Kräfte, oder durch feste, aber nur für das 
abgeschlossene Gas undurchdringliche Wände. Wird der ge- 
gebene Volumenraum von mehreren verschiedenartigen Gasen, 
resp. Flüssigkeiten, eingenommen, so kann in demselben jedes 
einzelne Gas, resp. jede Flüssigkeit, unabhängig von den übrigen 
mittels der passenden auf die entsprechenden Grenzschichten 
wirkenden Kräfte oder mittels der liir die entsprechende Gasart 
undurchdringlichen Wände im Gleichgewicht gehalten werden. 
FaBt man umgekehrt eine homogene Gasmasse ins Auge, die 
das Volumen v ausfüllt und unter dem äußeren Druck p in 
Buhe bleibt^ so darf man dabei den Druck p als aus n Partial- 
drQcken pjn zusammengesetzt betrachten, wobei jeder Partial- 
drack p/n je den entsprechenden n**^ Teil der Ge8amtmass<} 
auf solche Weise im Gleichgewicht hält, daß der genannte 
MMsenteily unabhängig von den übrigen, den ganzen Volumen« 

23 



354 N. Schiller, 

räum ausfüllt. Soll nun der äußere Druck p auf seinen n-ten 
Teil reduziert werden , so kann dies auf zweierlei Weise ge- 
schehen und auch zweierlei Erscheinungen zur Folge haben. 
Man kann nämlich entweder jeden der n Partialdrücke auf 
seinen n^° Teil reduzieren, oder man kann nur den einzigen 
Yon allen Partialdrücken weiter bestehen lassen und die übrigen 
einfach aufheben. Bleibt dabei die Temperatur des Gases 
immerfort konstant, so hat das erstere Verfahren zur Folge, 
daß der vom Gas eingenommene Volumenraum sich erweitert 
und n-mal größer wird. Infolge des zweiten Verfahrens ver- 
flüchtigen sich aus dem Volumenraum v diejenigen Massenteile 
des Gases, denen die äußeren Partialdrücke entzogen worden 
sind, so daß nur der n^ Teil der Gasmasse im Volumenraume v 
unter dem Druck pfn übrig bleibt. Man ersieht also, daß 
beliebig große Gasmassen aus dem gegebenen Volumen ent- 
fernt oder in dasselbe hineingebracht werden können, ohne 
dadurch das Gleichgewicht der anderen in demselben Volumen- 
raume eingeschlossenen Gasmengen zu stören. Die Grenzober- 
fläche des im Gleichgewicht gehaltenen Gasteils zeigt dabei 
alle Eigenschaften einer nur für diesen Gasteil undurchdring- 
lichen Wand. Die mögliche Ebcistenz einer partiell durchdring- 
lichen Wand für besondere Teile einer homogenen Gasmasse 
kann somit als festgestellt betrachtet werden. Demgemäß wird 
es auch einleuchtend, daß die vorher gestellte Frage über die 
denkbare Möglichkeit eines arbeitsleistungslosen Zusammen- 
schrumpfens zweier gleicher und gleichartiger Gasvolumina nur 
bejahend zu beantworten ist. Das genannte Verfahren kann aber 
nur bei einer besonderen Verteilung der auf das Gas wirkenden 
und dessen Gleichgewicht haltenden äußeren Kräfte angewandt 
werden. Soll zum Beispiel das gegebene Gasvolumen v ohne 
äußere Arbeitsleistung zum n**° Teil seiner Größe reduziert wer- 
den, so muß dasselbe zuerst in ji gleiche aneinandergrenzende 
Abteilungen von der Größe r/n geteilt werden, jede Ab- 
teilung r/w^ist hierauf, unabhängig von den übrigen, mittels 
äußerer Oberflächenkräfte im Gleichgewicht zu halten. Bei 
der auf die beschriebene Weise erfolgten Kraftverteilung können 
alle n aneinanderliegenden Volumenteile entweder auf beliebige 
Entfernung voneinander gebracht werden, ohne daß dadurch 
ihr Gleichgewicht gestört wird, oder sie können ohne jeglichen 



Bedenken beireffend die Theorie der Entropievermehrung. 355 

Widerstand und ohne jegliche Arbeitsleistung so weit zu- 
sammengeschoben werden^ bis sie den gemeinschaftlichen 
Volumenraum vjn unabhängig voneinander einnehmen. Es 
liegt also kein Grund vor, den unterschied zwischen den 
chemisch gleichartigen und ungleichartigen Gasen in bezug 
auf die Möglichkeit des arbeitsleistungslosen Zusammenschiebens 
derselben aufrecht zu halten. Somit fällt auch der Unterschied 
zwischen den genannten Gasarten hinsichtlich ihrer Entropie- 
änderungen weg. Darauf erweist sich aber auch sogleich die 
Unzulässigkeit derjenigen Betrachtungsweise, der gemäß die 
Elntropie eines zusammenschiebbaren Gassystems mit derselben 
solch eines Gttsvolumens verglichen wird, dessen Zusammen- 
schrumpfen durch passend angebrachte Druckkräfte verhindert 
bleibt Vom Standpunkte der genannten Betrachtungsweise 
aus könnte man nämlich jeder gegebenen Gasmenge beliebige 
Entropiegrößen unabhängig vom eingenommenen Volumenraum 
zuschreiben. Man denke sich zum Beispiel das Gasvolumen v 
in n gleiche nebeneinander bestehende Teile von der Größe v/rt 
geteilt; man lasse jeden Volumenteil vjn bis auf die Volumen- 
gröBe V sich nicht umkehrbar ausdehnen, wobei die ent- 
sprechende Temperatur unverändert bleibt, die Spannung ra-mal 
kleiner wird und die gesamte Ehtropie sich vergrößert, man 
lasse darauf alle n erhaltenen Gtisvolumina sich ohne äußere 
Arbeitsleistung in den gemeinschaftlichen Volumenraum v zu- 
sammenschieben. Man kommt auf diese Weise zum anfäng- 
lichen Gasvolumen mit derselben Temperatur und derselben 
Spannung, aber mit der vergrößerten Entropie zurück. 

Um aus den oben angedeuteten Widersprüchen heraus- 
zukommen, ist zuerst zu beachten, daß die Definitionen, die 
bei der Herstellung des EntropiebegrifiTs den entsprechenden 
Betrachtungen zu Grunde gelegt werden, kaum zu dem 
Schluß f&hren können, daß die Entropie eines zusammen- 
gesetzten thermischen Eörpersystems der Summe der Entropie- 
gröBen gesamter Teile des Systems bedingungslos gleich ge- 
setzt werden müßte. Es ist nämlich einleuchtend, daß der 
eben erwähnte Schluß sich nur auf die Größe der Eutropie- 
änderung anwenden läßt und zwar auf folgende Weise. Sind 
d8^, d8^, . t die Ektropieänderungen einzelner Teile eines 
lengesetzten Systems und ist dS die entsprechende 

23' 



356 • N. Schüler. 

Gesamtäuderung der Entropie des letzteren, so hat man stets, 
wenn die Temperatur d für alle Teile dieselbe bleibt: 

(10) ddS = ddS^ + ddS^ + .. ., 

weil die dem System zugeftthrte Gesamtwärmemenge der Summe 
der von den einzelnen Teilen aufgenommenen Wärmequantit'äten 
unbedingt gleicli zu setzen ist. Es folgt aber aus (10), daß 

(11) S = (Sj + «2 + . . . + Konst., 

und man ersieht daraus, daß die Gesamtentropie sich von der 
Entropiesumme um eine Konstante unterscheidet, die je nach 
Umständen wohl als von Null verschieden ausfallen kann. 

Außerdem muß man in den Fällen, wo es auf die Entropie- 
größe ankommt, wohl darauf achten, daß es sich nicht um die 
Entropie der Gasmengen, sondern um die Entropie der aus 
den Gasen unter Mitwirkung verschiedenartiger äußerer Kräfte 
zusammengestellten thermischen Systeme handelt. Dement- 
sprechend kann die Entropiegröße nicht als die jeder gegebenen 
Gasmenge zugemessene Quantität, wie etwa die Wärmemenge, 
betrachtet werden, sondern die genannte Größe erweist sich 
als der Wert einer durch den Ausdruck der äußeren Arbeit 
bestimmten stetigen Funktion der sich umkehrbar ändernden 
thermischen Parameter. 

Faßt man zum Beispiel zwei gleiche und chemisch iden- 
tische Gasmengen ins Auge, die die gleichen Volumenräume v 
einnehmen und die gleichen Spannungen p besitzen, so darf 
man doch nicht die beiden Gase als zwei identische thermi- 
sche Körpersysteme bedingungslos betrachten, denen etwa gleiche 
Entropiegrößen immer zuzuschreiben wären. Es kann nämlich 
dabei der Unterschied zwischen den beiden Gasen darin be- 
stehen, daß die entsprechenden, das Gleichgewicht haltenden 
äußeren Kräfte die beiden Systeme in verschiedener Weise an- 
greifen. Das eine System sei zum Beispiel durch den äußeren 
Druck im Gleichgewicht gehalten, der nur auf die äußere 
Grenzoberfläche des Volumens v wirkt. Das andere System 
sei in n gleiche aneinander anliegende Teile von der Größe r/n 
geteilt und der äußere Druck p sei auf den n Grenzoberflächen 
der letzteren angebracht. Dadurch wird für das erstere System 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung. 357 

die Möglichkeit eines arbeitslosen Zusammenschiebens aus- 
geschlossen. Was aber das zweite System betrifl't, so ist für 
dasselbe kein Hindernis vorhanden^ sein Gesamtvolumen v in 
das it-mal kleinere Volumen o/n zu verwandeln. Die iso- 
thermische Verkleinerung des Gesamtvolumens o ist für das 
erstere System mit der Entropieverminderung unbedingt ver- 
bunden. Die Entropie des zweiten Systems bleibt dagegen 
unverändert, während das Volumen v des letzteren mittels 
arbeitsleistungslosen Zusammenschiebens auf die Größe vjn 
reduziert wird. Sollte die Entropie des zweiten Systems bei 
der erfolgten Verminderung des Gesamtvolumens auch ver- 
kleinert werden, so könnte dies nur durch die Verkleinerung 
jedes Partialvolumens vjn erreicht werden, wodurch das ganze 
System nicht zusammengeschoben, sondern zusammengedrückt 
wird. Eb leuchtet nun auch weiter ein, daß dieselbe Größe 
des Gesamtvolumens v den verschiedenen Entropiegrößen des 
zusammenschiebbaren Gassystems entsprechen kann, da der 
thermische Zustand des letzteren von v ganz unabhängig bleibt 
und da die Größe v nicht zu den thermischen Parametern des 
betrachteten Systems zu zählen ist. Sollte also die Entropie 
eines zusammenschiebbaren Systems mit der eines unzusammen- 
schiebbaren verglichen werden, so müßten die beiden Entropie- 
größen als Funktionen des Partialvolumens vjn dargestellt 
werden, bei dessen gleichen Werten auch die zu vergleichen- 
den Entropiegrößen einander gleich bleiben, abgesehen davon, 
daß die Werte des Gesamtvolumens dabei verschieden aus- 
fallen können. 

Bei den Betrachtungen, die zum Schluß über die Eutropie- 
vermehrung der Gase durch DitTusion führen, scheint der Ge- 
dankenfehler gerade darin zu bestehen, daß dabei die thermi- 
schen Änderungen zweier ungleichartiger Gassystenie mitein- 
ander verwechselt werden. Das System der unter demselben 
gemeinschaftlichen Druck ineinander diifundierenden Gase ist 
entschieden als unzusammenschiebbar zu bezeichnen. Um auf 
ihre Entropieänderung zu schließen, pHegt man nun ein an- 
deres und zwar zusammenschiebbares System ins Auge zu 
fassen, dessen Änderungen von den Parametern des ersteren 
nicht abhängen und somit nicht in Betracht ge/ogen wer- 
den können. 



358 N. Schiller. 

Übrigens ist noch zu beachten, daß die Änderungen der 
beiden obengenannten ungleichartigen Systeme auch so kom- 
biniert werden können, daß man zum Endzustand des Di£fusions- 
prozesses ohne jegliche Entropievermehrung oder sogar mit 
einer Entropieyerminderung kommt um die durch dieDi£Pusion 
angeblich hervorgebrachte Entropievergrößerung auszurechnen, 
pflegt man nämlich die Volumina v^, Wj . • • «?„ der ineinander 
zu diffundierenden Gasmengen sich erst bis auf die einander 
gleichen Volumengrößen JSv. mit Entropievermehrung aus- 
dehnen und nachher sich in den gemeinschaftlichen Volumen- 
raum ^^v. zusammenschieben zu lassen. Nun kann man aber 
das isothermische Ausdehnen der Gasvolumina v^, v^^ , . . v^ 
sich auch ohne jegliche äußere Arbeitsleistung und somit ohne 
jegliche Entropieänderung denken: man braucht nur dazu, wie 
dies schon vorher auseinandergesetzt worden ist, sich die ent- 
sprechende Druckverteilung auf den Grenzen der voneinander 
abgesonderten Teile jedes Volumens vorzustellen, wodurch 
jedem Volumen die Eigenschaft der Zusammenschiebbarkeit er- 
teilt wird. Sind nun darauf die auf die genannte Weise er- 
weiterten Gasvolumina miteinander arbeitsleistungslos zu- 
sammengeschoben, so kommt man zum Endzustand des 
Diffusionsprozesses mit der unveränderten Entropiegröße. An- 
dererseits kann man auch die vorläufige arbeitsleistungslose Er- 
weiterung der einzelnen Volumina üj, ü,, . . . r^ noch weiter 
als bis auf die Größe \2v^ hinauftreiben und dieselben wieder 
auf die Größe -5'ü., aber mit Entropieverminderung, redu- 
zieren. In diesem Falle kommt man nach dem nachher er- 
folgten arbeitsleistungslosen Zusammenschieben der einzelnen 
Volumina zum Endzustand des Diffusionsprozesses sogar mit 
der verminderten Entropie. 

Um aus den eben besprochenen Widersprüchen herauszu- 
kommen muß man entweder die Möglichkeit eines arbeitsleistungs- 
losen Zusammenschiebens gleichartiger Gasvolumina verneinen, 
wozu eigentlich kein genügender Grund vorhanden ist, oder 
die oben angeführten einander widersprechenden Schlußfolge- 
rungen verwerfen und nach der richtigen Betrachtungsweise 
suchen. 

Um den richtigen Weg zur Beantwortung der Frage über 
die Entropieänderung durch Difixision zu finden, muß zuerst 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehning, 859 

festgestellt werden, in welchem Sinne die Entropiegroße als 
geändert zu betrachten sei. Da die Entropie ihrer Definition 
gem&B sich nur als eine stetige und eindeutige Funktion der 
sich umkehrbar ändernden thermischen Parameter darstellen 
läBt, so kann dieselbe nur dann voneinander verschiedene 
Werte annehmen, wenn die thermischen Parameter geändert 
werden. Unter den thermischen Parametern sind aber außer 
der Temperatur diejenigen Größen zu verstehen, deren unend- 
lieh kleine Änderungen zur Bildung des Ausdrucks für die von 
den äußeren Kräften auf umkehrbarem Wege geleistete Arbeit 
beitragen. Außerdem ist zu beachten, daß die Ermittelung 
der Entropiefunktion nur dann möglich ist^ wenn der genannte 
Ausdruck im voraus gegeben ist Sind nämlich o^ , a, . . . a^ 
die thermischen Parameter und wird die äußere Arbeit rfi/ in 
der Form 

(12) -rfi=;?irfai +ftrfa,+ . "P^da^ 

gegeben, so lassen sich die Ableitungen von der Entropie- 
funktion 8 durch die Gleichungen 

Mox ^S __ dpi dS _ dp^ , 

bestimmen, wobei 6 die absolute Temperatur bezeichnet. Ist 
außerdem auch c, die Wärmekapazität des betrachteten ther- 
mischen Systems, gegeben, so hat man dazu 

(14) c=öjf. 

Die additive Eonstante, die in die durch die Gleichungen (13) 
und (14) bestimmte Entropiefunktion hineinkommt, bleibt natür- 
lich von den Größen 0, a^, a^ . , . a^ unabhängig und kann 
nichts zur Entropieänderung beitragen. Es kann wohl der 
Fall vorkommen, wo die Entropiefunktion sich etwa in der 
Form 

(15) 5 r= /j (aj, a,, . . . flk) + /•, (a^+i, . . . o«) + Konst 

darstellen läßt Zieht man dabei nur diejenigen Zustands- 
änderungen des genannten thermischen Systems in Betracht, 
die bloß von der Parametergruppe a^, a^, . . . «* abhangen, so 
bleibt die Funktion /j|(afc^.iy... /In) unverändert und die Summe 



360 N. Schiller. 

f^ + KoDst. spielt einstweilen die Bolle einer neuen additiven 
Konstanten. Kommt es nun nachher darauf an, auch die 
Änderungen der übrigen Parameter a^+ir* • ^ i^s Auge zu 
fassen, so kann es den Anschein haben, als ob die ent- 
sprechende Entropieänderung durch die Änderung der addi- 
tiven Konstante hervorgebracht würde. Es darf aber nicht 
vergessen werden, daß in diesem Falle der als eine additive 
Konstante betrachtete Ausdruck f^ + Konst. jedenfalls als 
Funktion der Parameter 0^+1,... a, schon dargestellt ist, was 
sich nur dann als möglich erweist, wenn die genannten Para- 
meter in den Ausdruck der von den äußeren Kräften umkehr- 
bar verrichteten Arbeit hineinkommen. Die mehrmals vorher 
angeführte übliche Betrachtungsweise scheint auch zum Schluß 
zu führen, daß die additive Konstante der Entropiefunktion 
durch den erfolgten Diffusionsprozeß um die Größe (9) wachsen 
muß, die von der Anzahl der ineinander diffundierenden Gras- 
moleküle abhängt. Dabei vermag man selbstverständlich auf 
keinen Ausdruck hinzuweisen, der die von den unendlich kleinen 
Änderungen der Molekülanzahl abhängige, von den äußeren 
Kräften umkehrbar verrichtete Arbeit, darstellen könnte. Die 
angeblich hergestellte Abhängigkeit der additiven Konstante 
von der Molekülanzahl wäre aber nicht anders zu ermitteln, 
als aus den Koeffizienten des differentiellen Arbeitspolynoms 
mittels der Gleichungen (13). 

Es bleibt also nur ein Weg, die dem Diffusionsprozeß ent- 
sprechende Entropiefunktion zu finden, nämlich mit Hilfe des 
entsprechenden differentiellen Arbeitsausdrucks. Das thermi- 
sche System der ineinander diffundierenden Gase, welches aus 
den verschiedenartigen einander berührenden Gasvolumina 
Vj, Vj, . . . ü^ zusammengestellt ist und mittels des auf die 
äußere Grenzoberfläche des Gesamtvolumens 21 v^ wirkenden 
Drucks p im Gleichgewicht gehalten wird, kann nicht ohne 
äußere Arbeitsleistung zusammengeschoben werden. Ebenso- 
gut bleibt das System nach dem vollendeten Diffusionsprozeß 
unzusammenschiebbar, während die verschiedenartigen Gase 
bei ihren Partialspannungen ;?, , p^j - ' ' Pn ^®^ gemeinschaft- 
lichen Volumenraum v = 21v^ einnehmen. Die äußere Ar- 
beit dL wird vor und nach der Diffusion resp. durch die 
folgenden Ausdrücke dargestellt: 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung, 361 



(16) 



und 



d L = p[dv^ + dv^ + . , . dv^ =s pdv 
dL = {p^+ p^+ . . .pjdv =^pdv, 



die, wie man sieht, einander gleich ausfallen. Da man außer- 
dem Tor dem DiffusionsprozeB 

(17) pv^ = wij B^d, pv^ = rn^B^d, . . ,pv^^ ^n^n^ 
und nach demselben 

(18) p^v^m^B^d, PiV^m^B^dj .. .p^v^m^B^O 

hat, wobei d die absolute Temperatur und m^^ , . . m^ die ent- 
sprechenden Massenmengen bezeichnen, so ergibt sich für die 
beiden Fälle: 



(19) 

woraus folgt: 
(20) 



d JS ^ dp ^ JSmtRi 



S^{:Sm,B,)lgv+f(6). 



i- 



m. 



^2 



\prP^ 



Da aber weder die Temperatur d, noch das Volumen v 
durch die Diffusion geändert werden, so kann man daraus 
nur den einzigen Schluß ziehen^ daß die 
Entropie S auch dabei unverändert bleibt. 

Um sich das Wesen des Diffusions- 
prozesses anschaulich zu machen, stelle man 
sich zwei chemisch identische Gasmengen 
m, und m, vor, welche die einander frei 
berührenden Volumenteile v^ und v^ eines < 
zylindrischen Behälters ausfüllen und dabei 
die verschiedenen Spannungen p^ und p^ be- 
sitzen, so daß p^ > p^ ist Der Behälter sei 
Ton außen durch zwei bewegliche undurch- " 
dringliche Kolben aa und bh abgeschlossen 
(▼gL die beistehende Figur). Die beiden 
Oasmengen bleiben im Gleichgewicht, wenn 
auf jede Flächeneinheit der Grenzoberiiächen 
der Volumenräume o^ und v, die äußeren Druckkräfte p^ 
and p^ entsprechend wirken. Die erforderliche Druckverteilung 
kann dadurch erreicht werden, daß man die Druckkräfte 



ntt 



p, 



Fig. 1. 



362 K Schüler. 

p^ und p^ entsprechend auf die beweglichen Kolben wirken 
läßt und außerdem einen äußeren Druck />j -^ P% ^^^ j^d^ 
Flächeneinheit der freien Trennungsoberfläche zwischen den 
Volumenräumen v^ und r, anbringt, und zwar in der Richtung 
von »2 nach t;^. Nun bestehen zwischen den Größen p^, p^, 
^if ^2' ^if ^2 ^^^ ^®^' Temperatur d die Beziehungen: 

(21) p^v^ ^ m^ Rd , p^v^ = m^Rd , 

woraus man ersieht, daß bei den konstant gehaltenen Span- 
nungen p^ und p^ die Volumenveränderungen nur dann zustande 
kommen können, wenn dabei auch die Massenmengen m^ und 
TU, sich ändern, das heißt, wenn ein Massenübergang von einem 
Volumenraum zum anderen durch die Trennungsoberfläche 
von statten geht, was durch die passende Abwechselung der 
Angriffspunkte des Trennungsoberflächendrucks p^ — p^ immer 
zu erreichen ist. Die bei den eben beschriebenen unendlich 
kleinen Volumenänderungen dv^ und dv^ von den äußeren 
Kräften geleistete Arbeit d L läßt sich in der Form darstellen 

(22) — dL = pj dv^ + p^ dv^ . 

Da aber die Gleichungen (21) bei konstant gehaltenem p^ 
und p^ 

(23) Pi^^i + p^dv^^ R6[dm^ + dm^) 

ergeben und da 

dm^ + dm^ = 

ist, so kommt man zum Schluß, daß c/Z = 0. Da nun weiter 
p^ und pj^ während des ganzen Vorgangs konstant und von 
der Temperatur d unabhängig bleiben sollen^ so ergibt sich 

was auf die entsprechende Unveränderlichkeit der Entropie- 
größe hinweist. 

Wird das Volumen ü, und somit die Massenmenge m^ 
unendlich klein, so nimmt die übrige von der Größe 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung, 363 

unendlich wenig sich unterscheidende Gasmasse das Vohimen V^ 
ein, das durch die Gleichung 

(25) p^r^=^MRe 

bestimmt wird. Wird dagegen v^ unendlich klein, so läßt sich 
das Ton der übrigen Gasmenge eingenommene Volumen V^ 
aus der Gleichung 

(26) p^F^^MRd 

berechnen. Man ersieht also, daß die Gasmenge M auf die 
angedeutete Weise vom Volumen F^ und von der Spannung p^ 
ohne Entropieänderung und ohne äußere Arbeitsleistung zum 
Volumen V^ und zur Spannung p^ auf umkehrbarem Wege 
hinübergefQhrt werden kann. Sollten die Volumenänderungen 
und die mit ihnen verbundene Gasmassenüberführung mit einer 
gewissen von außen mitgeteilten Geschwindigkeit vor sich gehen, 
Bo würde dadurch dem ganzen Vorgang eine bestimmte Rich- 
tung vorgeschrieben und dessen Umkehrung bei der bestehen- 
den Geschwindigkeit unmöglich gemacht. Man darf aber des- 
halb nicht einem solchen Vorgang die Eigenschaften einer 
umkehrbaren Zustandsänderung absprechen, da die entstande- 
nen Geschwindigkeiten nicht von den in den Arbeitsausdruck d L 
hineinkommenden Eräften herrühren und da die letztgenannten 
Kräfte nichtsdestoweniger immerfort das Gleichgewicht halten. 

Das eben betrachtete Gassystem kann nun noch kom- 
plizierter vorgestellt werden, damit es sich an die ineinander 
di£Eundierenden Gasmengen mehr anpasse. Man kann nämlich 
den äußeren auf die Trennungsoberfläche wirkenden Druck 
p^ — /i, sich dadurch verwirklicht denken, daß die Massen- 
menge m^ irgend eines verschiedenartigen Gases dem im 
Volumenraum o, sich befindenden Gas beigemischt wird, und 
xwar auf die Weise, daß die Partialspannung des hinein- 
gepreßten Gases bis auf die Größe p^ — p^ hinaufsteige. Dabei 
fordern die Gleichgewichtsbedingungen, daß noch der äußere 
Druck p^ — /?, zu der auf den Kolben b b wirkenden Druck- 
kraft p^ hinzugefügt^ werde. Dementsprechend nimmt der 
ganze den genannten Kolben angreifende äußere Druck die 
Ghröße p^ an. Dieser äußere Druck p^ kann wieder dadurch 
verwirklicht werden, daß man die den Baum t?, ausfüllende 



364 



N. Schüler. 



l 



TJV, 



Gasmischang mit der neuen Gasmenge m^' in Berührung bringt, 
die die Spannung p^ besitzt, den entsprechenden Volumen- 
raum v^' einnimmt und mit dem in den Volumenraum r, zu- 
vor hinzugeführten Gas chemisch identisch ist Soll das eben 
neu hinzugebrachte Gasvolumen v^' mittels eines beweglichen 
Kolbens vom äußeren Raum abgeschlossen werden, so muß 
der äußere Druck p^ auf jede Flächeneinheit des Kolbens 
wirken, damit das Gleichgewicht des ganzen Systems erhalten 
bleibe. Auf diese Weise kommt man zu der durch die bei- 
stehende Figur daiigestellten Anordnung der Gasmassen. 

Die in dem zylindrischen Behälter eingeschlossenen Gas- 
massen sind von außen durch zwei bewegliche Kolben a a und 

dd abgegrenzt. Die einander gleichen 
äußeren Druckkräfte p^ halten die beiden 
Kolben im Gleichgewicht. Die Volumen- 
l räume v^ und v^' sind mit zwei chemisch 
verschiedenen Gasmengen m^ und m^' aus- 
gefüllt, die die gleichen Spannungen p^ 
besitzen. Das Volumen r, enthält die 
Mischung der beiden Gasarten, von denen 
der einen die Masse m^ und die Spannung 
Pg, der anderen dagegen die Masse m^' und 
die Spannung p^ — p^ zukommen. Die 
^ Druckwirkung der einen der beiden Gas- 
ai*ten auf die andere ist dieselbe, wie die 
der von außen angebrachten Kräfte. Das 
erste Gas übt nämlich den Druck p^ auf die 
untere Trennungsoberfläche cc und den 
Druck p^ auf die obere b b aus. Das zweite Gas drückt mit 
der Kraft p^ auf die obere Trennungsoberfläche bb und 
mit der Kraft p^ — p^ auf die untere c c. Die Arbeitsleistung 
dL' der vom ersten Gas herrührenden Druckkräfte wird durch 

(27) -dL'^p,dv^ + [p^^p,)dv^ 

dargestellt Da aber 

(28) p^v^' = m^'Rd, (/?! -p;jv^ = m^'R'd 

und da p^ und p^ konstant bleiben, so ergibt sieh 

(29) p, dv{ + {p^+p^)dv^ = Rd[dm^' + dm^) = 
und somit dL ^ 0, 



cu 



TTL, 



Tth, 



7TL, 



t> 



Fig. 2. 



Bedenken betreffend die Theorie der Entropievermehrung. 865 

Die Arbeitsleistung dL der vom zweiten neu zugefügten 
Gtas herrührenden Kräfte ist schon durch die Formel (22) an- 
gegeben und fällt ebenso gleich Null aus. 

Das eben beschriebene Anfügen des zweiten Oases als 
einer aufdas erste Gas wirkenden äußeren Kraftquelle erteilt aber 
dem neu umgestalteten Gassystem eine besondere Eigenschaft 
Da nämlich die Gasmolekülc ihre eigenen immerfort bestehen- 
den Geschwindigkeiten besitzen, die auch das beständige Ein- 
dringen verschiedener Teile derselben Gasmasse ineinander 
hervorrufen, so hat der genannte umstand zur Folge, daß die 
Volomenänderungen c/v^, dv^ und dv^ nur in der bestimmten 
Richtung und mit der von Anfaüg an bestimmten Geschwindig- 
keit von statten gehen können , ohne dabei , wie dies schon 
oben auseinandergesetzt wurde, die Eigenschaft der umkehr- 
baren Änderungen zu verlieren. Der oben erwähnten an- 
gestoßenen Geschwindigkeitsrichtung gemäß ändern sich die 
Volumina »j, r/ und v^ auf die Weise, daß die beiden ersteren 
sich bis zur Null vermindern und das letztere sich bis auf die 
Größe r, vergrößert, die durch jede der Gleichungen 



(29) { 



' , (7^1 - Pt) = '»^' /^' ö, /; p, = M n ö, 



sich bestimmen läßt Am Ende des Vorgangs vermischen sich 
die beiden Gase im Volumenraum V^ miteinander und be- 
sitzen dabei entsprechend die Partialspannungen p^ und p^ — p^. 
Was nun die den beiden Gasen zukommenden Entropiegrößen 
betrifft, so müssen dieselben nach dem Vorhergesagten als un- 
verändert betrachtet werden. Man sieht aber, daß die eben 
beschriebene Zustandsänderung des betrachteten zusammen- 
gesetzten Gassystems dem Diffusionsvorgang genau entspricht, 
und daß f&r den letzteren die vorher abgeleiteten Schlußfolge- 
rungen auch als geltend angenommen werden müssen. 

Faßt man endlich jede beliebige durch die äußeren Kräfte 
im Gleichgewicht gehaltene chemisch homogene Gasmenge ins 
Auge, 80 muß man zugeben, daß in solchem, ins Gleichgewicht 
gesetzten Massensystem innere Molekularbewogungen dennoch 
fortwährend vor sich gehen und darin nämlich bestehen, daß 
jede zwei benachbarte Volumenteile der betrachteten Gasmenge 



366 N. Schäler, Bedenken betreffend die Theorie etc. 

ihre Moleküle gegeneinander umtauschen. Solche Bewegungen 
sind aber der Art^ daß sie jedenfalls als Diffusionsprozeß der 
gleichartigen Gasmassen ineinander angesehen werden müssen. 
Wollte man also bei der Annahme der Entropievermehrung 
durch Diffusion bleiben^ so müßte man auch anerkennen, daß 
die genannten Molekularbewegungen die fortdauernde Entropie- 
zunahme bis ins Unendliche zur Folge haben. 

Franzensbad, August 1903. 

(Eingegangen 12. September 1908.) 



367 



47. Über die Größe der Kristallmolekflle. 

Von Rad. Wegsoheider in Wien. 



In den Naturwissenschaften ist jede Betrachtungsweise 
erlaubt; die aus klar festgelegten Voraussetzungen mit Hilfe 
logisch (mathematisch) richtiger Schlüsse zu Folgerungen führte 
die mit der Erfahrung verglichen werden können. So mag 
es wohl auch gestattet sein, aus Anlaß der Feier eines Mannes, 
dessen glänzende Forschungen zum großen Teile auf den ein- 
fachsten Annahmen über die Beschaffenheit der Moleküle 
fußen, eine Lanze für die Annahme recht komplizierter Mole- 
küle zu brechen. 

Van't Hoff ^) hat darauf aufiuerksam gemacht, daß man 
die Molekulargewichte fester Körper aus Gleichgewichten ab- 
leiten könne, an denen feste Lösungen beteiligt sind. Ins- 
besondere hat auch der Nernstsche Verteilungssatz ^ für solche 
Schlüsse Verwendung gefunden. Wenn die so erhaltenen 
Molekulargewichte sich auch zunächst auf den in der festen 
Lösung in kleiner Menge enthaltenen Bestandteil beziehen, so 
ist es doch bei isomorphen Mischungen sehr wahrscheinlich, 
daß dieselben Molekulargewichte auch den reinen Körpern zu- 
kommen, welche dieselbe Form haben wie die Mischkristalle 
und die Endpunkte der Mischungsreihe bilden.^ 

Als Ergebnis der diesbezüglichen Untersuchungen be- 
trachtet man den Satz^), „daß der feste Zustand sich nicht 
durch einen komplizierten Molekularbau auszeichnet, sondern 
daß auch bei fest gelösten Körpern die Moleküle häutig der 
auf Grund chemischer Tatsachen denkbar einfachsten Molekular- 
größe entsprechen und höchstens den doppelten Wert haben''. 



1) J. H. vanH Hoff, ZeiUchr. f. phys. Chem. 5. p. B36. 1890. 

2) W. Nernst, Zeitschr. f. phys. Chem. 8. p. 110. 1891 ; 9. p. 137. 1892. 
8) J. H. van't Hoff, Zeitschr. f. phys. Chem. r>. p. 386. 1890. 

4) J. H. van*t Hoff, Vorlesungen über theor. u. phys. Chem., 
2. Heft, 2. Aofl. p. 65; vgl. auch V. Rothmund in Dammers Uandb. 
d. anorg. Cbem. 4» p. 26. 



368 S. Wegscheider. 

Für die Verteilung eines Stoflfs X zwischen einen Misch- 
kristÄÜ und eine zweite Phase (etwa eine Lösung) fordert diese 
Auffassung folgendes. Seien die Konzentrationen von X im Misch- 
kristall und in der zweiten Phase x und c, so soll in der 
Regel x/c, ausnahmsweise a:/c* bei gegebener Temperatur 
konstant sein. 

Das Zutreffen dieser Beziehungen beweist nicht unbedingt 
die Einfachheit der Eristallmoleküle; denn sie bleiben auch 
noch gültig, wenn X in E'orm von Molekülen XY^ bez. X^Y^ 
auftritt \ wo Y den Hauptbestandteil des Mischkristalles be- 
deutet Die Verteidigung komplizierterer Kristallmoleküle braucht 
sich aber gar nicht hierauf zu berufen. Denn in der Regel 
ist weder x/c, noch xjc^ konstant. 

Zwar hat Nernst*) die Konstanz von xjc für KCIO, bei 
der Löslichkeit seiner Mischkristalle mit TICIO3 angenommen, 
aber wesentUch nur, weil die Verhältnisse x^fc und :r/f^ noch 
viel weniger konstant sind. Roozeboom^, dem wir die ein- 
schlägigen Beobachtungen verdanken, hebt hervor, daß x/r nicht 
konstant ist; es ist in der Tat unverkennbai*, daß die Werte 
dieses Verhältnisses einen regelmäßigen Gang zeigen. 

Im Sinne der Konstanz von xjc^ hat Küster*) seine 
Versuche über die Mischkristalle aus Naphtalin und /?-Naphtol 
gedeutet. Indes hat Bodländer^) mit Recht hervorgehoben, 
daß die Konstanz gerade dort aufhört, wo sie am besten zu- 
treffen sollte, nämlich bei kleinem x. 

Eine umfassende Zusammenstellung eigener und fremder 
Versuche über die LösHchkeit von Mischkristallen hat Fock®) 
gegeben. Unter 29 Beispielen zeigt keines konstantes xfc^ 
und nur vier (oder wenn man zwei Fälle hinzurechnet, in denen 
cfx von Fock, trotz des deutlichen Ganges, als ausreichend 
konstant betrachtet wurde, sechs) konstantes xjc (I.Gruppe). In 



1) W. Ostwald, Lehrb. d. allg. Chem. 2. Aufl. II«. p. 592; G. Bod- 
1 an der. Neues Jahrb. f. Mineralogie XII. ßeilageband p. 78. 1899. 

2) W. Nernst, Zeitschr. f. phys. Chem. 9. p. 141. 1892. 

3) B. Roozeboom, Zeitschr. f. phys. Chem. 8. p. 535. 1891. 

4) F. W. Küster, Zeitschr. f. phys. Chem. 17. p. 357. 1895. 

5) G. Bodl ander. Neues Jahrb. f. Mineralogie XII. Beilagebd. 
p. 108. 1899. 

6) A. Fock, 2^itschr. f. Kristallograph. 28. p. 337. 1897. 



Große der Krisfalhnoleküle, 369 

der Regel (18 Fälle, 2. Gruppe) tritt mit steigendem x Fallen 
von cl X und Steigen von c/j/x ein. In drei Fällen (3. Grappe) 
steigen sowohl c/x als c/j/jr, in 4 (allerdings weniger beweis- 
kräftigen) Fällen (4. Gruppe) sinken beide Quotienten. Be- 
schränkt man sich auf binäre Elektrolyte und scheidet außer- 
dem die Fälle aus, bei denen es an Beobachtungen mit kleinem x 
mangelt, so ändert sich das Bild nicht wesentlich. Unter 
zehn Fällen gehören zur ersten Gruppe zwei (vier?), zur 
zweiten sechs, zur dritten zwei Fälle, zur vierten keiner. 

Die Annahme zusammengesetzter Kristallmoleküle .Y^ ge- 
nügt für sich allein nicht, um die Beobachtungen darzustellen. 
Setzt man c"/x konstant, so wUrde in den letzten drei Gruppen 
der Reihe nach l<ii<2, n<l, n > 2 sein. Die An- 
schauung, daß der gelöste Stoff im Mischkristall Moleküle X, 
(oder höhere), in der Lösung Moleküle X^ bilde, reicht also 
vielleicht zur Deutung der 4. Gruppe, aber nicht der 2. und 
3. Gruppe aus. Letztere erfordern gebrochene Werte von n, 
die keine theoretische Bedeutung haben. Fock nimmt in der 
erwähnten Abhandlung einfache Kristallmoleküle an, aber auf 
Grund irriger theoretischer Betrachtungen. *) 

Man könnte nun versuchen , das Verhalten der 2. und 
3. Gruppe auf Störungen durch Nebeneinflüsse zurückzuführen. 
bline bei der Berechnung nicht berücksichtigte Störung bildet 
die elektrolytische Dissoziation in der wässerigen Lösung. In 
der besprochenen Abhandlung-) war Fock (wohl mit Recht) 
der Ansicht, daß die Berücksichtigung der Dissoziation die 
Inkonstanz von cjx quantitativ nicht erklären könne. Später^ 
hat er allerdings die Dissoziation für die Inkonstanz verant- 
wortlich gemacht; dabei muß er aber die unwahrscheinliche 
und durch keine andere Tatsache gestützte Annahme machen, 
daß bei einer Konzentrationserhöhung von 23 Proz. der Disso- 
ziationsgrad fast auf die Hälfte herabgeht. Daß die Dissoziation 
die Inkonstanz von cjx nicht allein verschuldet, geht mit 
großer Wahrscheinlichkeit aus den erwähnten Roozeboom- 

1) Vgl. W. Oatwald, Zeitschr. f. phys. Chem. 24. p. :>\M\. 1897; 
A. Pock, 1. c. 26. p. 74. 1898; G. Bodländer, N. .Jahrb. f. Mineral. 
XU. Beilageband p. 111. 

2) p. 854, 356, 361. 

3) A. Fock, Zeitschr. f. phys. Chem. 25. p. 77. 1898. 

Boltuuuw-FMMfarlfL *^^ 



37 R, Wtgscheider, 

sehen Versuchen mit KCIO3 in TICIO3 hervor; denn bei diesen 
war xjc nicht konstant, obwohl die Dissoziation auf Grund 
guter Beobachtungen und ziemlich unbedenklicher theoretischer 
Anschauungen rechnerisch berücksichtigt wurde. 

Wenngleich die Versuche noch anderen Bedenken {ins- 
besondere wegen der geringen Diffusionsgeschwindigkeit in 
festen Körpern) ausgesetzt sind, so erwecken sie doch im ganzen 
den Eindruck, daß x/c" (wo n eine ganze Zahl) in der Begel 
nicht konstant ist, und daß daher die theoretischen An- 
schauungen unzutreffend sind, welche diese Konstanz erwarten 
lassen. In der Tat läßt sich eine Theorie der isomorphen 
Mischungen ableiten, welche mit den Beobachtungen über 
die Löslichkeit der Mischkristalle besser im Einklang steht 

Neue Theorie der isomorphen MiBohkristalle. 

Ich behalte folgende zwei Voraussetzungen bei: 

1. Isomorphe Mischungen sind feste Losungen,^) 

2. Sämiliche Moleküle eines Mischkristalles sind ähnlich zU' 
sammengesetzt 

Ich nehme ferner zusammengesetzte Kristallmoleküle und 
in Mischkristallen Verbindungen der Bestandteile an. Zu- 
sammen mit der zweiten Voraussetzung führt das zu folgender 
Anschauung : 

Es seien X und Y die analog gewählten gewöhnlichen 
chemischen Formeln der Bestandteile des Mischkristalles ent- 
sprechend den in einer zweiten Phase (Lösung oder Gas) auf- 
tretenden Molekülen. ¥ sei im Mischkristall das Lösungsmittel 
und habe darin die Molekülformel Y^, wo n eine ganze ZahL 
Dann hat nach Voraussetzung 2 auch X im Mischkristall die 
Formel X^; die Verbindungen von X und Y entsprechen der 
allgemeinen Formel X« Jr„__a, wo für a alle ganzen Zahlen 
zwischen Null und n möglich sind. Ich mache also die Voraus- 
setzung: 



1) G. Bodländer hat sich gegen diesen Satz ausgesprochen, weil 
sich die Mischkristalle den Lösungsgesetzen nicht zu fügen scheinen 
(Neues Jahrb. f. Mineral. XII. Beilageband p. 114. 1899). Dagegen be- 
trachten Bruni (Chem. Centralbl. 1899. IL p. 1088.), Roozeboom 
(Zeitsch. f. phys. Chem. 30. p. 393. 1899) und Sommerfeldt (Chem. 
Centralbl. 1901. I. p. 759.) die Mischkristalle als feste Lösungen. 



Größe der Kristallmoleküle. 371 

3. Der Mischkristall besteht aus den Molekülen X„, A',4_il', ..., 
i^Yf^fu • • •> ^ ^n—\} ini zwischen denen sich Gleichgewichte 
einstellen. 

Die mathematische Entwickelang dieser Theorie bean- 
sprucht za viel Baum, als daß ich sie an dieser Stelle ver- 
öffentlichen könnte. Hier sei nur erwähnt^ daß die Theorie 
je nach den Werten der Gleichgewichtskonstanten steigendes, 
fallendes oder konstantes xjc vorhersehen läßt; auch konstantes 
x/c ist also mit komplizierten Kristallmolekülen verträglich. 
xje* soll für kleine x jedenfalls fallen; da aber schon bei n = 3 
Kurven mit einem Minimum und einem Maximum möglich 
sind^ bietet die Theorie auch Raum für das Ansteigen von x/c', 
Somit ist diese Theorie imstande, die Beobachtungen über die 
Löslichkeit der Mischkristalle darzustellen. Wir kommen da- 
her zu dem Schluß: 

Die Annahme zusammengesetzter Kristallmoleküle entspricht 
den Tatsachen besser als die Annahme einfacher Moleküle. 

Man könnte vielleicht meinen, daß dieser Satz den Beob- 
achtungen über die Änderung des Umwandlungspunktes poly- 
morpher Formen durch isomor{)he Beimengungen widerspricht 
Das ist aber nicht der Fall. Denn Rothmund ^) konnte aus 
seinen diesbezüglichen Versuchen nur den Schluß ziehen, daß 
das Molekulargewicht des fest gelösten CCl^ in monoklinem und 
regulärem CBr^ dasselbe ist.'-^ Reinders^ schließt allerdings, 
daß HgBr, in HgJ, die einfache Formel habe. Aber die 
Annahme, daß im wesentlichen die Moleküle (HgBr^) (Hg J^jn-i 
fest gelöst sind, ist ebenfalls möglich und würde sogar die 
bei Beinders nicht besonders befriedigende Übereinstimmung 
zwischen gefundenen und berechneten Zahlen verbessern. Zur 
Annahme komplizierter Kristallmoleküle führt eine Arbeit von 
W. Müller.^) Dieser hat aus Beobachtungen über die Um- 
wandlung von KNOj-haltigem NH^NO, bei 30« den Schluß 
gezogen, daß das Molekulargewicht des KNO3 ^^ ^^^ unterhalb 



1) V. Bothmund, Zeitschr. f. phys. Chein. 24. p. TO.'). 1897. 
8) Vgl. übrigens hierzu G. Bodländer, Neues Jahrb. f. Mineral. 
XIL Beilageband p. 100. 

8) W. Reinders, Zeitschr. f. phys. Chem. 32. p. :)32. 1900. 
4) W. Müller, Zeitschr. f. phys. Chem. 31. p. 358. 1899. 

24* 



872 R. Wegseheider, Große der Kristallmoleküle. 

30^ stabilen Modifikation ^/^ des in der oberhalb stabilen 
Form ist Daraus ergeben sich als einfachste Formeln (KNOj)^ 
und (003)3. 

Auf die Bildung von zusammengesetzten Molekülen in 
festen Körpern deuten ferner die Dampfspannungsmessungen 
Hollmanns ^) au Mischkristallen aus Vitriolen und aus 
Alaunen hin. Ob gerade die von Hollmann angenommenen 
Verbindungen auftreten, lasse ich vorerst dahingestellt 

Zum Schlüsse sei noch darauf hingewiesen, daß die Lös- 
lichkeit der Mischkristalle mit dem Oleichgewicht zwischen 
Farbstoffen und B^'asem *) manche Ähnlichkeit hat Wenn auch 
für den letzteren Fall eine ausschlaggebende Rolle der Ober- 
flächenspannung ^ in erster Reihe in Betracht kommt, so 
könnten die Erscheinungen doch vielleicht auch durch die An- 
nahme beschrieben werden, daß die Faser mit dem Farb- 
stoff Verbindungen in mehreren Verhältnissen bildet, die mit- 
einander (und vielleicht auch mit der Faser) eine feste Lösung 
geben. Die chemische Beschaffenheit der Faserstoffe ist dieser 
Annahme nicht ungünstig. 

1) R. Hollmann, Zeitschr. f. phys. Chem. 37. p. 203, 212; 40. 
p. 577. 1901. 

2) Vgl. die Arbeiten von Walker und Appleyard, sowie von 
Y. Georgievics, Monatsh. f. Chem. 21. p. 845. 1900 (mit Springer), 
Zeitschr. f. Farben- u. Textilchem. 2. Heft 13. 1903 u. a. 

3) F. Kaufler, Wiener. Sitz.-Ber. Ua. 111. p. 935. 1902. 

(Eingegangen 13. September 1903.) 



373 



48. The Principle of Dynamical Similarity 

in Molecular Physics. 

By William Satherland in Melboarne. 



The most important kind of dynamical similarity is that 
in which the similar Systems have their kinetic and potential 
energies in the same ratio. A single varying System will be 
always dynamically similar to itself if its kinetic energy bears 
a fixed ratio to its potential energy. Since motion and position 
are porely relative, the quantities of kinetic and potential 
energy ascribed to a System depend on the arbitrary deiinitions 
of zero kinetic and zero potential energy. In applying the 
principle of dynamical similarity to molecular physics the 
kinetic energy may be taken to be the same as that in- 
vestigated in the kinetic theory of gases, and the potential 
energy as the work required to separate the molecules to an 
infinite distance apart without changing their total kinetic 
energy. These are the two most important dynamical (juan- 
tities which appear in the kinetic theory of gases, when 
cohesional forces are taken into account. 

The fundamental importance of their ratio is indicated by 
the prominent part it plays in Boltzmann's Law of Distri- 
bution. That law gives for the chance that a System of 
molecules in dynamical eqailibrium shall have its coordinates 
between x^ . . . and x^ + dx^ . , , the expression 

(1) Äe^^^^dx^ . . . dy^ . . . dz^ 

in which h is inversely proportional to the mean kinetic energy 
of a molecule, and / is proportional to the mean potential 
energy of a molecule. 

In molecular investigations the principle of dynamical 
similarity must be used along with other principles. Of these 
the principle of kinematical similarity in molecular motions 



374 JT. Sutherland. 

is a usefui one. In kinematical similarity we may include 
strict geometrical similarity between molecular orbits, and a 
more general similarity of the following nature. Consider the 
motion of planets and comets round the sun. There are the 
two main classes of orbit, the ellipse with its finite ränge and 
the hyperbola with its infinite ränge open at infinity. Between 
these lies the transition case of the parabola of infinite ränge 
but closed at infinity. The planetary orbit is elliptic, parabolic, 
or hyperbolic according as the kinetic energy of the planet at 
any place is less than, equal to, or greater than that which 
would have been acquired by it in falling to that place &om 
a Position of rest at an infinite distance irom the sun. But 
this latter is an appropriate measure of the potential energy 
of the planet; so that kinematical similarity is connected with 
dynamical through the ratio of potential to kinetic energy. 
In molecular physics the relative orbits of neighbour mole- 
cules can be divided into the two main classes^ those of finite, 
and those of infinite ränge, with a transition case in which 
kinetic energy is always equal to potential Kinematically we 
may define a vapor or gas as a collection of molecules in 
which the average relative orbit of two neighbours is portion 
of a curve of infinite ränge. In a liquid the relative orbit of 
two neighbours, while they are under one another's infiuence, 
is portion of an orbit of finite ränge. 

At the critical point the average relative orbit is portion 
of a curve of infinite ränge on the verge of changing into one 
of finite ränge. The average kinetic energy is equal to the 
average potential energy. Moreover at the critical point the 
actual orbits do not Cluster about two different types. In a 
paper on The Electric Origin of Molecular Attraction ^), I have 
shown that the valency charges of electricity belonging to the 
atoms of a molecule form electric doublets, which attract and 
repel one another as magnets do, with a force varying inver- 
sely as the fourth power of the distance between them. The 
attractive forces and the repulsive acting on a molecule neu- 
tralise ' one another on the average, except in the case of 
neighbours. For example two molecules, which are about to 



1) Phil. Mag. (6) 4. p. 625. 1902. 



Uie principle of dynamical similarity, 375 

pasB close to one another, exert a stronger force on one another 
than any other molecale exerts on either of them. If the force 
is attractive, it tends to increase itself by drawing the two 
molecales nearer to one another; if repulsive, it tends to de- 
crease itself. Thas the attractive forces preponderate, and we 
have the phenomena of cohesion. Thus, although the ränge 
of the electric forces is infinite, the total effect is the same 
as if remote molecules had no action on one another. Cohesion 
is almost entirely due to the attractions of molecules which 
are close neighbours of one another. In other words the ränge 
of molecalar attraction is practically of the order of magnitude 
of the distance between neighbour molecules. 

In The Molecular Constitution of Water ^). I have shown 
tbat the surface film in water has an effective thickness not 
greater than ten times the distance between neighbour mole- 
cules. In molecular physics then the mutual actions of 
immediate neighbours are of preponderating importance, and 
the relative orbits of neighbours become an essential part of 
the field of investigation. For example by the consideration 
of molecular orbits it was possible') to account for the effect 
of molecular attraction on the viscosity of gases. To illustrate 
the usefulness of the principles of dynamical and kinematical 
similarity I shall apply them to the investigation of the two 
foUowing subjects 

1. van der Waals' Principle of Corresponding States, 

2. a Dynamical Theory of Capillarity with special Refereuce 
to the Law of Eötvös. 

1. The Principle of Corresponding States is a most valuable 
one in comparative physics, and yet van der Waals was led 
to it by means of his equation 

(2) lp„ = |Äe + |Äö-*-^-«.| 

which fails to represent the behaviour of ordinary substances 
even in the gaseous State. It does not even roughly represent 
the behaviour of liquids, although some of the most important 



1) Phil. Mag. (5) 50. p. 460. 1900. 

2) Phil. Mag. (5) 35. p. 211. 1893. 



376 W. Sutherland. 

cases of Corresponding States relate to liqmds. This paradoxical 
result of the discovery of broad generalisations by means of au 
equation incapable of representing tbe facta of a Single average 
substance is due to the one conspicuous merit of the equation 
of van der Waals, that it was of the right dynamical form 
through being founded on the equation of the virial of Clau- 
sius. The Principle of Corresponding States was discovered, 
because the equation of van der Waals involved the principle 
of dynamical similarity. In the equation as written above the 
term on the left band is the virial of the pressure, the first 
on the right band is the translatory kinetic energy, the second 
is the virial of the forces that act during molecular collisions, 
and the third is the virial of the molecular attractions. Ac- 
cording to the law of the inverse fourth power while 3//2o 
is the virial of the molecular attractions, / / r is their potential 
energy. In any case a virial term is in effect an energy term, 
so the equation of van der Waals gives a relation amongst 
the ratios of three energies to the translatory kinetic energy. 
It happened that the equation contained also only three Para- 
meters R, b and /. The equation and the two conditions 
dp I dv = 0, d^p I dv^ = for the critical point give for the 
critical pressure, volume, and temperature the values 

(3) p^ = ll21b\ r, = 3^, 0^=8Z/27^JR. 

By means of these R, b and / can be eliminated from the 
original equation, with the well known result, that if for each 
substance p, v and are measured in terms of /?^, v^ and 0^, 
then one and the same equation holds for all substances. 
This result is the basis on which van der Waals' deduction 
of the Principle of Corresponding States rests, but it is not the 
correct dynamical basis. The simplest way of proving this last 
Statement is to bring forward the contrast between the equation 
for element gases and Compounds demonstrated in the laws of 
moleculare force.^) From the splendid experimental material 
of Amagat it was shown that the equation of van der 
Waals applies to the element gases //j, 0^, A'^ and also to 
CH^ to below the critical volume, but for Compounds such as 
C Oj and [C^ H^)^ the dosest representation of their behaviour 

5) Phil. Mag. (5) 35. p. 211. 1S93. 



The principle of dynanäcal simUariiy. 377 

in the gaseous State with an equation of three parameters is 
given by the form 

(4) y;"'=:^0+|^0-.V*-2f!-*- 

In the virial of the collisional forces instead of the 
Ä/(» — i) of van der Waals we find 2kj{v + h), The van 
der Waals' relation v^=^'6b has thus no application to Com- 
pound substances, and his demonstration of the Principle of 
Gorresponding States has no direct validity. Recent attempts 
have been made to improve the term bl{v — b) of van der 
Waals by higher theoretical approximations, as for instance 
by 6. Jäger, Boltzmann, Eeinganum and van der Waals 
himself, but it seems to me that the contrast between (2) for 
elements and (4) for Compounds indicates that, while the 
collision of molecules in the elements and CH^ can be treated 
as dynamically similar to the collision of elastic spheres, the 
collision in Compound gases is dynamically of a totally different 
nature. In the case of C\ If^ we have an intermediate type 
of equation. It is to be noticed that in (4) the Ijv oi (2) is 
replaced by //(» + k) which I take to stand for Ijv — lkjv[v'\' A), 
80 that the virial of the attractive forces in Compounds is com* 
plicated by the same cause as changes the theoretical v —b 
into V + k, The dynamical dissimilarity between elements and 
Compounds emphasises the importance of the two types of 
similarity with transition cases such as that of C^H^. 

From the point of view of simple mathematical illustration 
of continuity between the vaporous and liquid states the 
equation of van der Waals has the advantage of giving only 
one real value of v for a given pressure at temperatures 
above the critical, and three real values at temperatures below 
the critical, so that it is possible in Maxwell's method to 
apply James Thomson's ideas to the calculation of Saturation 
pressures. But from the physical point of view this mathe- 
matical property of the e<|uation has nothing to recommend 
it^ as it is quite improbable that any single simple algebraic 
expression can represent at the same time the behaviour of 
a collection of molecules whose orbits are of infinite ränge 
and of molecules of finite orbit The ec^uation (4) being only 



378 W. Sutherland. 

a (luadratic in v cannot give the critical point by means of 
the conditions dp j dv ^ 0, d^p f dv^ ^ 0, bat that fact does 
not constitate a defect in it 

Beturning to the expressions (3) we have for the element 
gases 

(5) ±^l..l^R0 

an equation which asserts that at the critical point the potential 
energy of the molecules is equal to 3/4 of their translatory 
kinetic energy. By our kinematical definition of the critical 
point we expect the potential energy to be equal to the 
kinetic. But if, just as we take l/v to be the potential energy 
associated with the internal attractional virial 3//2v, we 
assume that /? v is a störe of potential energy associated with 
the external virial 3/?v/2, then since by (3) 

p V = —' ^ Be 

the total potential energy would become 

and in this interpretation we have potential energy equal to 
kinetic energy, just as in our kinematic condition for the 
critical point. Thus then the condition on which we can apply 
our principles of dynamical and kinematical similarity and re- 
present the behaviourof anumber of molecules forminga natural 
gas by means of the behaviour of a representative free pair, like 
the t wo components of abinary staris asfoUows: — supposethe 
attraction between the two increased in the proportion 
1 + Pc^el ^- Dynamically we can treat 3 /? v / 2 as part of the 
attractional virial, as is indeed obvious from Clausius' 
original equation of the virial. 

While the equation for van der Waals makes Ä0^ = 
2,667 />^o^, it has been proved from experimental data^) that 
for 26 Compounds of regulär behaviour 72 0^ = 3,82/?^»^ on 
the average, the coefficient ranging from 3,670 for CCl^ to 
3,949 for ethyl acetate. The difference between 2,667 and 



1) Vgl. S. Young, Phil. Mag. (5) 50. p. 291. 1900. 



The principle of dynamiccU simäarify, 379 

3,82 briDgs out the dynamical dissimilarity between the element 
gases with methane on the one band and ordinary Compounds 
OD the other. The parameter k in (4) is nearly equal to the 
critical Yolume, so that in Compounds at the critical volume 
we have l l^^c"^ Pc^c i^^arly equal to 

that is, to 4/3 of tho translatory kinetic energy. On the prin- 
ciple of dynamical similarity with the usual assumptions as to 
molecular collisions the last coefiicient ought to be l instead 
of 4/3. Thus the usual assumptions as to the nature of 
molecular collisions seem not to apply to Compounds. The 
Chief assumption is that the collision is an instantaneous act 
and that the relative orbit after collision is the image of that 
before collision. The causes then which give for Compounds 
the form of equation (4) instead of (2) seem to spring from 
atomic entanglement of molecules during collision, so that the 
relative orbits cannot be described as consisting solely of arcs 
of orbits described under pure attraction, but consist of such 
arcs separated by a more complicated motion during the ßnite 
time of a collision. 

The result js that if vee wish to treat the molecules of 
Compounds as elastic spheres vee must suppose them to have 
only about 3/4 of their total equivalent potential energy. 

The Principle of Gorresponding States for Compounds 
amounts then to this: — there is a certain density at which the 
average potential energy per molecule is equal to (or in a 
fixed ratio to) the average kinetic energy, this is the critical 
density. If then for any other State of a number of molecules 
the kinetic and potential energies are expressed in terms of 
the critical values, an equation is obtained which contains no 
specific Parameters, but only absolute constauts expressing the 
ÜACt that kinematical similarity is the consequence of dynamical. 

The kinematical account of the process of liqnefaction is 
simple. At the critical density the average orbit is just 
passing firom infinite ränge to finite ränge. There are pairs of 
molecules vrith finite ränge and pairs with infinite ränge, but 
these pairs are mixed in such proportions that the average 



380 W. Sutherland. 

orbit is just passing from infinite to finite ränge. Suppose the 
temperature lowered without yariation of volume, then the 
average orbit is now of finite ränge, tbough tbere are still pairs 
wbose relative- orbit is of infinite ränge. The pairs of finite 
ränge being in a majority now have more tendency to cohere 
than to separate, and so a number condense as liquid, until 
the number escaping at the liquid surface is equal to the 
number captured. 

A further example of the principles of dynamical and 
kinematical similarity is the formula for the rigidity n of a 
metal at absolute temperature Q, the absolute melting point 
being T^) namely 



^ = 1 - ( .^v 



here the melting point has a similar dynamical significance to 
that of the critical point in fluids. 

2. A Dynamical Theory of Capillarity with special Beference 
to the Law of EÖtvÖs, 

In the classical theory of capillarity as expounded by 
Laplace, Young and Gauss ouly statical considerations are 
used. The kinetics of molecules are entirely disregarded. Yet 
only by kinetic considerations can we bring the classical theory 
into harmony with those modern experiment&l investigations 
which culminated in the discovery of Eötvös that the surface 
tensions of liquids fumish a beautiful instance of the principle 
of dynamical similarity. For the surface tension of a liquid 
of uniform density (>j in contact with its vapor of uniform 
density q^ the principles of Laplace give the expression 



« = (Pi-C,)*/^V(ö«^f 



where i/;(Ö is connected with the law of molecular attraction 
by certain relations. This expression agrees with experimental 
results in only one particular, namely that it makes the sur- 
face tension vanish at the critical point, where q^=q^, 

At temperatures below the critical surface tension is not 



1) A Kinetic Theory ofSolids. Phil Mag. (5) 32. p. 215 and 524. 1891. 



The principle of dynamical mnüarity, 381 

proportional to [q^ — ()j)*. Yet in other respects the statical 
theory leads correctly to useful resalts; for example 1 Iiave 
found^) that the surface tension of a mixtare of p parta by 
weight of a liquid 1 with l — p parte of a liquid 2 can be 
obtained from their surface tensions and densities by the 
relation 

(6) «l9* = \p «/'• / P, + (1 - /») «,'^' Ip, }•• 

This relation embodies the important principle that if the 
attraction between two molecules of the liquid 1 is 3<^^'/r^, 
and between two molecules of 2 is Sa^^jr^, then the at- 
traction between a molecule of 1 and a molecule of 2 at the 
same distance r is Sa^a^l r*. This has been veritied by 
Obermayer's measurements of the rate of Variation of the 
diffusion of gases with temperature. There is need therefore 
and encouragement to bring the classical theory into harmony 
with the later Idnetic theory of matter. 

The argument of Eötvös^ is a pure applicatiou of the 
principle of dynamical similarity. The origin of surface tension 
is not considered, but^ accepted as a fact, it is shown by 
means of corresponding states to be subject to the general 
law that 

d{a{mlgf^*\ldt 

is the same for all liquids. A dynamical theory of capillarity 
must establish the connection between this experimentally 
yerified law and the sound parts of the classical statical theory. 

To accomplish this we must investigate the dynamics of 
the transition layer between liquid and vapor with the aid of 
the principles of molecular orbits. Consider a volume F^ of 
liquid of density g^ in contact with a volume F, of its saturated 
vapor of density p, over a surface S. The rest of the surface 
of Fl and V^ will be ignored as foreign to this discussion. Ou 
the liquid aide of S there is a region of variable liquid den- 
sity, and on the vapor side a region of variable vapor density. 
Let US imagine these replaced by a layer of thickness ^ and 
density g^, and a layer of thickness t^ and density o^, and let 



1) Phil. Mag. (5) :)8. p. 1 and 188. 1894. 

2) R. Eötvös, Wied. Ann. 27. p. 448. 1886. 



882 F: Sutherland. 

Q^ be an average density of all the matter in the two layers 
when made into a Single homogeneous layer of thickness 
^ + ^. Then on the principles of Laplace and Gauss the 
Potential energy of unit mass of the liquid may be written 
Kq^, of the yapor Kg^, and for that of the transition layer 
we will write ^Q2' Thus we localise potential energy with 
the matter with which it is associated^ a proceeding which is 
justified if the ränge of molecular attraction is restricted in 
the manner suggested in the Electric Origin of Molecular 
Attraction. This localisation of potential energy is similar to 
MaxwelTs localisation of energy in electric and magnetic 
ßelds of force. For the whole potential energy then we write 

I K e,' {V, - st,) + K Q,\v, - st,) + K e,* s {t, + 1,) 
^ J \=Kg,*r, + Kq,» r, + Ks\t, ie,' -e,') + t, ((»,* - p,«)} . 

Laplace' s K is identical with / in (2) and (4). His symbol is 
introduced on account of its historical associations. 

Now according to the principle of the restricted ränge of 
molecular attraction a molecule of vapor must act on as many 
neighbours as a molecule of liquid does. Therefore by simi- 
larity the layer of variable density in the vapor must contain 
as many molecules and have the same mass as the layer of 
variable density in the liquid, and so 

(8) (>l^l=(>3^3 = (^2(^l+^3)/2. 

From (7) the energy per unit surface or the surface 
tension is 

(9) a^K\t, ({,,« -(.,») + ^ ((.% - (.,»)} . 

To bring this to the Laplacian form the necessary con- 
ditions are 

t^ = ^3 and 2 (^2 = (>i + (>3 • 

On the other band with our condition g^ t^ = q^ t^ and 
denoting each of these by g where 2 (7 is the mass of variable 
density per unit surface we get 

(10) a = KG[2Q2^Q,^Q^). 

Thus the parting of the ways between the theory of La- 
place and the present one lies in the important condition that 



The principle of dynamical shnilarity. 388 

there is not a definite ränge to molecular attraction, but that 
the ränge is of the order of the distance between a moleciüe 
and its immediate neighbour. 
The B or 



2nfCtp(0dC 



of Laplace's theory does not appear, because we Iiave located 
surface energy in the sarface by the expression Ko^. When 
we compare different liquids, this condition makes t^ pro- 
portional to {mlgj!*, where m is the mass of a molecule. 
Thus (T is proportional to m'l*Q^*l*, and therefore we have 
the surface energy per molecale a(ml(j^fl* proportional to 

We have now to investigate more closely the meaning of 
p,. The two transition layers of liquid and vapor represent 
a region where the orbit of infinite ränge of the vapor mole- 
cale passes into the orbit of finite ränge of the liijuid molecule. 
The transition region must have a good deal the character of 
the critical density, but the molecular kinetic energy has not 
the critical value. The orbit in the transition layer is not the 
same as the critical orbit, but may be conceived in the 
following way. 

Suppose the liquid to be cooled without change of density 
from the critical point, and to be artificially kept homogeneous, 
then its state would correspond to that detined by the average 
density (j^ which is the same as the critical density g^y with 
this distinction that the average orbit is one of large tinite 
ränge instead of the orbit just of infinite ränge which 
characterises the critical state. But at the critical temperature 
the molecular potential energy is equal or in a tixed ratio to 
the molecular kinetic energy, and therefore g^ is proportional 
to 6^. Again Km [o^ + g^)l2 is the mean potential energy of 
a molecule in the liquid and in the vapor. This ought to be 
the same as the potential energy of a molecule if the liquid 
and vapor were made into a homogeneous mixture at the 
Saturation pressure. But by the principle of dynamical 
similarity this potential energy ought to stand to the potential 
energy at the critical density as the molecular kinetic energy 



384 W. SuAerland. 

of liquid or vapor to the molecular kinetic energy at the 
critical temperature. 

Thus then Km(2Q^ — q^^ — q^) is proportional to ö^ — ö, 
and the constant of proportionality must be the same for all 
substances. 

Thus we have the law of Eötvös 

a (m / (,)•/• = a (Ö. - ö) 

where the mean value found for a by Eötvös with surface 
tension in dynes per cm is 2,23. From the study of 36 normal 
Compounds Ramsay and Shields^) obtain a mean value 
2,121, the individual values ranging from 1,923 for ethyl 
thiocyanate to 2,433 for quinoline. Grunmach has found 
that for 6^ 0^ and NJ/^ ^ a = 2,27. From bis measurements 
for C/j it appears that a = 1,91. From bis measurements 
of the surface tension of liquid air^, I have calculated that at 
— 190^0. the surface tension of oxygen and nitrogen are 13,0 
and 10,6 dynes per cm, and their densities are 1,167 and 
0,850. These give for a the values 1,66 and 1,53. Here again 
the Clement gases show themselves dissimilar to the Compound. 

The reasoning by which I have passed from the form 
Km(2{}2 — (>i — (>8) to a{0^ — 6) is not as clear and rigorous 
as is to be wished. 

But it is strengthened by the fact that the law of 
Cailletet and Mathias*) makes the mean density (()j +^3)/ 2 
a linear function of the temperature, so that 

S. Young has shown^) that a small term in (ö^* — ö*) must 
be introduced to make this formula fit the experimental facts. 
According to the principle of corresponding states cö^/(>^ = 1, 
S. Young has found values ranging from 0,932 for fiuorbenzene 
to 1,061 for ethyl formate. For C^ H^ the value rises to 1,30, 
and for N^O to 1,49. For C/, it faUs to 0,7675. 



1) W. Ramsay and J. Shields, Journ. Chem. Soc. 63. 

2) L. Grunmach, Ann. der Phys. (4) 4. p. 367. 1901. 

3) L. Grunmach, Ann. der Phys. (4) 6. p. 559. 1901. 

4) L. Cailletet and £. Mathias, Compt Rend. 102. p. 1202. 1886. 

5) 8. Young, Phil. Mag. (5) 50. p. 291. 1900. 



The principlt of dynamical svmüarity. 885 

These numbers show how the principle of dynamical 
similarity is affected by dynamical dissimilarity, which originated 
parüy in the mechanical dissimilarity of different atoms. 
Howeyer it is clear that the laws of Eötvös and of Cailletet 
and Mathias are different expressions of the same principle, 
energy being expressed kinetically in the one case and poten- 
tially in the other. IncidentaUy we have found this to be the 
law regulating the Separation of fluid into liquid and saturated 
▼apor, that the mean potential energy of a molecule in the 
liquid and in the vapor bears the same ratio to the kinetic 
energy of a molecule as at the critical point potential energy 
bears to kinetic. 

The ratio hx of Boltzmann's theorem is the Controlling 
factor in change of State from vapor to liquid. 

Melbourne (Australia), August 1903. 

(Eingegangen 18. September 1903.) 



25 



886 



49. Znr Theorie der Lagrangeschen ßewegnngs- 

gleichnngen. 

Von W. Pr. Meyer in Königsberg i. P. 



Ist ein materieller Punkt [x, y, z), auf den eine Kraft wirke, 
gezwungen, sich auf einer vorgegebenen Fläche zu bewegen, 
und besitzen überdies die drei Eraftkomponenten nach den 
Koordinatenrichtungen eine Kräftefunktion, so hat bekanntlich 
Lagrange die von ihm aufgestellten Bewegungsgleichungen 
dadurch in eine, für manche Untersuchungen geeignetere Form 
gebracht, daß er die Koordinaten eines variabeln Flächen- 
punktes durch zwei unabhängige Parameter ausdrückt. 

Im Sinne der Flächentheorie bedeutet dies Verfahren von 
Lagrange nichts anderes als die systematische Einführung 
der ersten Gauss sehen Flächenform (und von deren Ab- 
leitungen) in die Bewegungsgleichungen (§ 1]. 

Es liegt daher nahe, nach einem entsprechenden Zusammen- 
hange der BewegungsgleichuDgen mit der zweiten Gauss sehen 
Flächenform zu fragen (§ 2). Hierbei soll jedoch über die auf 
den Punkt wirkende Kraft keinerlei Voraussetzung gemacht 
werden. 

Als mechanisches Ergebnis erscheint eine einfache Relation 
zwischen der in Rede stehenden Kraft, der zugehörigen 
Huyghensschen Normalkraft, und der sogenannten Druck- 
kraft. 

Es sei zugleich betont, daß es keinerlei prinzipielle 
Schwierigkeit bietet, die Entwickelungen der §§ 1, 2 auf den 
n-fach ausgedehnten Raum zu übertragen. 

§ 1. 

Der deutlicheren XJbersicht halber sei das Eingreifen der 
ersten Gaussschen Flächenform in das Lagrangesche Trans- 
formationsverfahren kurz dargelegt, wenn sich auch sachUch 
dabei nichts wesentlich Neues ergeben dürfte. 



Theorie der Lagrangeschen Bewegung sgleichungen. 387 

Um die erforderlichen analytischen Hifsformeln voran- 
zustellen, so werde die Gleichung der gegebenen Fläche F in 
rechtwinkligen Cartesischen Koordinaten : 

(1) F{x,y,z)^0 

ersetzt durch drei Gleichungen von der Form: 

(2) x^x{u,v), y ^tj[u,v), 2==2{u,v), 

wo Uj V zwei unabhängige Parameter sind. 

Partielle Differentiationen nach u, v mögen durch die In- 
dices 1, 2 angegeben werden, wie z. B. 

dx _^* __ö*x ^ d*x . 

femer Ausdrücke, die sich symmetrisch auf alle drei 
Koordinaten x, y, z beziehen, durch ein Summenzeichen, 
also z. B. 

2:rj* = Xj* + yi* + Zj* etc. 

Dann sind die drei Gauss sehen Fundamentalgrößen erster 
Art £> Fy definiert durch: 

(3) ^ = 2'iV ^=2^i^a^ G^ = 2V- 

Es ergibt sich: 

.^ ji^i- 2*1*11 > ^i = 2*2*ii+i^i' iöj =2*2*11^ 
U^i = 2*i*ia> ^a = 2*1*18 + 1 ^\' i^'a = 2*a*22' 

also umgekehrt^) 



(6) 



12*1*11 =i^l' 2*1*12 =i^a> 2*1*22 = ^2-1^1 

12*1*11 =^l-i^2> 2*2*12 = i''A» 2*2*22 =-2^2- 



1) Die entsprechenden Formeln im n-fach ausgedehnten Räume, 
auf den dann der Inhalt des § 1 ausgedehnt werden kann, lauten, wenn 

da« Analogen xu (14) ist: 

— . \ d Eu ^ \ dE,u ^ { dEu 



25 



« 



388 IT. Fr. Meyer. 

Ein Punkt F beschreibe eine Kurve auf der Fläche, in- 
dem u, V als Funktionen eines Parameters t angesetzt werden : 

(6) u^u{i), v^v{t), 
wodurch die Gleichungen (2) übergehen mögen in: 

(7) x^x{t), y^y[t), z^z{t). 

Werden Differentiationen nach t durch Accente bezeichnet» 
so gilt: 

(8) X ^x^u + x^ V, y ^ y^u + y, »', / = r^ ii' + z, v\ 

(9) W =^E^u +E^v', F ^ F^u +F^v\ ff = G^u + 6^v, 

( x" = aTj u + x^ v' + Xjj tt* + 2 jTj j u V + x^^ v^ , 

l Z s= 



(10) ; y" = y, tt" + y, r" + y,^ «'> + 2y„ «' c' + y„ »'» , 
z" = r, m" + 2, »" + z,j m'* + 2 Zj, m' »' + z„ »'» . 



(11) 



Multipliziert man die Gleichungen (10) mit x^, y^, z, resp. 
Xg, tfj, z,, und addiert, so kommt mit Rücksicht auf (3) und (5): 

?,x,x" = {Ett" + Fv") + \u^E, + uvE^ + t>'»(J, - ^Ö^)} 

Die Aggregate Eu" + ^t?", ^tt" + Gv" treten auf, wenn 
man die Ausdrücke Eu + Fv, Fu + Gv nach t differenziert: 

{Eu + Fv') = [Eu" + Fv") + [u'E' + vF'), 

(Fu + Gv) = [Fu" + Gv") + (tt'i^' + v' G'), 

oder auch, wenn man noch (9) berücksichtigt: 

Eu" + Fv" = {Eu + Fv) - jtt'» ^1 + u'v\B^ + F,) + v'*F^}, 
,Fu" + Gv" = (Fu + Gv) - {u'^F^ + u'v'(F^ + G^) + 1;'»©,}. 

Setzt man diese Werte für Eu" + Fv", Fu" + Gv" in (11) 
ein, so kommt: 

j^x^x" ^(Eu' + Fvy -- Hm'«^i +2uvF^ +v*G^), 

Damit ist der Zusammenhang der Summen ^x^x", ^x^x" 
mit der ersten Gauss sehen Flächenform (p(u,v^ hergestellt. 
Bedeutet nämlich s den (von einem beliebigen Anfangspunkt 
aus gerechneten) Bogen der Flächenkurve (7), so ist infolge 
von (3) und (8): 



(12) 



Theorie der Lagrangeeehen BewetpaufSfleiekunffen. 389 

(14) * • - * • + y'« + z* - jP«'« + 2Fu' •' + G •'» - («', «") , 
so daß die Gleichmigeii (13) die Oestah annehmen: 



(15) 






wo die partiellen Differentiationen von nach u\ v so zu 
▼oUziehen sind, als ob letztere Größen ron k, v ganz unab- 
hängig wären. 

Diese Relationen (15^ bilden den Kern der Lagrange- 
schen Transformationsmethode. Denn die dynamischen Glei- 
chungen des materiellen Punktes [x, y, z) mit der Masse m^ 
wenn eine Eräftefunktion U existiert, und zugleich der Punkt 
an die Fläche F (1) gebunden ist. indem der Parameter t 
die Zeit bedeutet^ lauten in der ursprünglichen Lagrangeschen, 
sogenannten ^.ersten Form'': 

,ißv ,. du . . BF ., du , . dF 
;16) mx = -= hA-^ — , my = -= h^-^ — , 

du , . BF 

unter 2, der „Druckkraft*', eine unbekannte Funktion der 
Xf jfj z Torstanden (die, nebst x, y, z, als Funktion von t, durch 
(16) im Verein mit (1), bestimmt ist). 

Setrt man die Werte der x, y, z aus (7) in die Flächen- 
gleichung (l) ein, so wird letztere identisch in / erftdlt, also 
auch die nach t differenzierte Gleichung, somit gilt mit Bück- 
sieht auf (8): 

. IdF , BF , BF \ 
^ , (BF ^ BF , dF \ ^ 

oder, da das Verhältnis u : v ein ganz willkürliches ist, einzeln : 

fBF ^ BF ^BF ,, 

^^^^ \BF ^ BF ^BF ^ 

'ox * oy** Bx ' 

Multipliziert man daher die Gleichungen (16) mit x^ y^ z^ 



390 AT. Fr. Meyer. 

resp. oTj, ;/2, t^, und addiert, so fallen die mit A. behafteten 
Glieder wegen (17) heraus, und man erhält: 

(18) rn^x,x'=^Ü^, rn^x^ x" = U^ . 

Trägt man hier die rechten Seiten von (15) ein, und führt, wie 
üblich, die Funktion T\ 

(19) T^\mV^^\m^x^^^\mit>, 

wo unter V die Geschwindigkeit des Punktes zu verstehen ist, 
als die lebendige Kraft des Punktes ein, so entstehen die 
Lagrangeschen Bewegungsglcichungen in der sogenannten 
„zweiten" Form: 

^ ' dt \du I du ' dt \dv ) dv 

§ 2. 

Nunmehr wurde die zweite Gausssche Flächenform 
H^ [u, v') herangezogen. Es sollen wiederum die erforderlichen 
Hilfsformeln aus der Flächentheorie vorausgeschickt werden. 

Da die partiellen Ableitungen 

dF BF dF 

dx ' dy ' dx 

der Flächenform F (1) den Kosinus der Winkel v^^ v , p^ 
proportional sind (s. auch weiter unten), die die positive Nor- 
male V der Fläche im Punkte {x, y, z) mit den positiven 
Koordinatenrichtungen bildet, so ergibt sich durch Auflösung 
der Gleichungen (17) nach den 

dF dF dF 

dx ' dy ^ dx ' 

<7 cos f^^ = yi Z2 -.Va^i' ^^cost^y = z^x^ - ^t^u 

aQO%v^ = x^y^ - x^y^y 

wo sich der Faktor a durch Quadrieren und Addieren be- 
stimmt : 

(22) (T = )/(5^i Zj - ^2 Zj)« + (^1 ^, -Zjarj)2 + (jr,y2-.r2yi)2, 
oder mit Einführung der Fundamentalgrößen (3): 

(22') a^-^ EG^F^.^) 



(21) 



1) Als positive Richtung der Flftchennormale v wird diejenige fest- 
gesetxt, die dem positiven Vorzeichen der Quadratwurzel entspricht 



Thetnii der LagraMffe$chen Bewe^mtgspleieAtinfien. 891 



man daher die Gleichungen (10^ resp. mit 
cos 9^ cos IT . cos 9^, nnd addiert^ so fallen anf Grand von (21) 
die mit u" nnd r ' behafteten Glieder heraus, und es ergibt 
sich, unter Berücksichtigung von (22']: 

Sx'-cosy. « «'»^^^i^^^^;^*^^ 

, Ott'.,' 2*it^yi«t-»i*i) 1 ^1 2'«(yi«t -yi<i> 

Hier ist die rechte Seite nichts anderes als die ,»zweite 
Gauss sehe Flächenform W{u\vJ'; bezeichnet man, wie üblich, 
die Koeffizienten von u*, 2uv, v* — die Fundamentalgrößen 
zweiter Art — mit £, Mj N\ 

(24) *(«',»') =- itt'« + 2Muv' + Nv\ 
so nimmt (23] die Gestalt an: 

(25) 2''co8^= ^(«>0. 

Andererseits ziehe man die bekannte Formel für den 
Krümmungsradius (Radius der ersten Krümmung) q der Raum- 
kurre (7) im Punkte (x, y, z) heran. 

Bedeutet wiederum s den Kurvenbogen, so ist, unter 
9»» ^9* 9a ^'® Winkel von g (d. i. genauer der vom Kurvenpunkt 
nach dem Krümmungsmittelpunkt hin gerichteten (,.positiven'^ 
Kunrennormale) mit den (positiven) Koordinatenrichtungen ver- 
standen : 

(2«) e JTT = COSp,, ^ =COSPy, Qj^ = cosp,. 

W&hlt man jetzt ftlr den Augenblick in (25) im besondem 
als Parameter t den Bogen s, so entsteht: 

(260 2rf^co8,..= V(^-. -^-). 

Setzt man hier die Werte von 

d«» ' da*' d's^ 

ans (26) ein, und beachtet, daß: 

27) coB^^cosv^ + coso cosv + cosp^cosr^ = cos((), r), 



892 r. Fr. Meyer. 

wo {q^ v) den Winkel zwischen positiver Kairennonnale und 
positiver Flächennormale bedeutet, so erhält man: 

(28) -|^=.^(4^, 4^). 

Um (28) mit (25) zu kombinieren, führe man auf der 
rechten Seite von (28) rückwärts wieder den alten, beliebig ge- 
wählten Parameter t ein. 

Da 

du _^ du da u' dv _ r' 

"57 dT ' ~dT " T"' "5T"7^' 

und die Form W homogen und quadratisch in ihren beiden 
Argumenten ist, so wird: 

w *(4^ . 4f ) - ^^'. 

oder gemäß (14): 

Damit geht (28) über in: 
/qiN C08 JQ , v) _ W(u\ ff) 

^^^^ Q ~ "" 0(u\vr 

d. i. die bekannte Fundamentalformel für den Krümmungsradius 
Q einer Flächenkurve (7). 

Die Substitution von (31) in (25) liefert somit: 

(32) 2ar" C0S1/, = cos (p,v)-^^?^. * 

Endlich werde davon Gebrauch gemacht, worauf schon zu 
Beginn dieses § hingewiesen wurde, daß sich die Bichtung 
der Flächennormale v im Punkte (x, y, z) auch durch die 
Formeln bestimmt: 

(33) T cos » = -5 — , T cos » = -^— , T cos V, = -^ — , 

wo sich der Faktor r wieder durch Quadrieren und Addieren 
bestimmt : 

<»*) '-)/(¥F(¥H¥['' 

WO das Vorzeichen der Quadratwurzel so zu wählen ist, daß 
die oben festgesetzte positive Richtung der Flächennormale 
resultiert 



Theorie der La^angeschen Bewegungsgleiehingen. 398 

IEa erweist sich indessen f&r das Folgende als zweck- 
mäßig, diesen Faktor r so zu normieren, daß er den Wert der 
Einheit annimmt; zn dem Behuf normieren wir die Flächen- 
gleichong (1): 

so, daß mit jenem Faktor dividiert wird^): 

■ /(4f )■+ (4f )■+'(¥)■■ 

Dadurch verein Fachen sich die Gleichungen (33) zu: 
(33 j cosr. = -5 — , cosv, «=-3— , cos» =-5—. 

Es wirke nunmehr auf einen materiellen Punkt (x, y, z) 
mit der Masse m, der gezwungen sei, sich auf der Fläche (1') 
zu bewegen, eine beliebige Kraft P, deren Richtung mit den 
positiven Koordinatenachsen die Winkel n^, n^, n^ bilde, dann 
lauten die dynamischen Gleichungen Lagranges in der ersten 
Form : 

riiix" = Pcos». + i4^, my «Pcosä, + ä^^ , 

mz « P cos Ji. + A -^ — , 

wo sich die zweiten Ableitungen der x, y, z wieder auf die 
Zeit t beziehen. 

Der gemäß der NormieruDg {l*) der Flächengleichung 
völlig bestimmte Faktor k werde die „normierte Druckkraft' 
genannt 



1) Dm hierbei noch willkürliche Voneichen von /' resp. wird so 
gewählt, daß die Richtung der Flächennormale die positive wird. 

Für den einfachsten Fall, daß die Fläche F == eine Ebene ist, 
Allt die Nonniemng des Textes mit der bekannten, nach Hesse be- 
nannten, losammen. £s sei noch erwähnt, daß sich die Form ^ (24) 
mittels (10 in die Gestalt 

«■i^.. .*;«_„.. .1%.. 



d «• ö y' B x^ 

Bxdy Bxdx oxdx 



bringen llBl* 



394 JT. Fr. Meyer. 

Multipliziert man die Gleichungen (35) resp. mit cos v^^, 
cos V , cos v^y und addiert, so ergibt sich auf Grund der Re- 
lationen (25), (32) und (33 0: 

f m5;2r"c08v = m V(tt',r') = 11^^^^ C08(p,ir) 

(36) l ^ ' 9 

1 = Pcos {nyv) + X, 

wo der Faktor cos {n, v), der Kosinus des Winkels zwischen 
der Richtung der Kraft P und der der positiven Flächennormale 
aus der zu (37) analogen Formel entsteht: 

(37) cos 7t g^ cos v^ + cos Tty cos V + cos n^ cos v^ = cos {n, v) . 

Gemäß (19) ist {u, v") das Quadrat der Geschwindigkeit 
F des Punktes, so daß der für die Mechanik in Betracht 
kommende Teil von (36) die Gestalt annimmt: 

(I) A = I 1 COS {q, v) — P cos (;r, v) . 

Hier besitzt der Faktor mF^j g von cos (p, v) eine be- 
kannte mechanische Bedeutung. Zerlegt man nämlich nach 
dem Huyghensschen Prinzip^) die auf einen Punkt (x, y, z) 
von der Masse m wirkende Gesamtkraftj die ihn zwingt, sich 
auf der Bahn (7) zu bewegen, in zwei Komponenten, die Tangen- 
tialkraft und die Normalkraft, von denen die erstere in die 
.Richtung der Kurven tangente, die letztere in die der Kurven- 
normale fällt, so wird die Noimalkraft der Stärke nach durch 
fnF*lQ angegeben. Bezeichnet man dieselbe mit N, ihre in 



1) Es sei kurz auf deu Beweis dieser Zerlegung hingewiesen. Bei 
den obigen Bezeichnungen ist 



X = 



da ds ds 

da femer s = F, ^'»p (Beschleunigung des Punktes). 

dx 



d 8 



= cos Tg , 



unter r« den Winkel der Tangente mit der a;Achse verstanden, so kommt 
gemäß (26) 

tnx — mp cos x, H cos ^x , 

nebst den beiden entsprechenden Formeln. Die auf den Punkt wirkende 
G^esamtkraft ist damit zerlegt in die Tangentialkraft mp und die Normal- 
kraft m V^lq. 



Theorie der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen, 395 



die RichtuDg der Flächennormale v fallende Komponente mit 
N^, und entsprechend die in eben diese Richtung fallende Kom- 
ponente der Kraft P mit P,, so lautet die Gleichung (I) einfacher: 

(IT A = a; - p^. 

Damit sind wir zu dem in der Einleitung angedeuteten 
Satz gelangt: 

1 . ,fBildet man einmal die Komponente Ny der Normalhraft 
N nach der Richtung der (positiven) Fiächennormale v, anderer^ 
seits die Komponente P^ der auf den an die Fläche [{') ge- 
bundenen Punkt wirkenden Kraft P nach derselben Sichtung^ so 
drückt sich die in dieser Richtung wirkende normierte Druckkraft 
X ihrer Intensität nach gemäß (L') aus durch die Differenz jener 
beiden Komponenten.** 

Es sei noch auf drei interessante SpezialläUe der 
Formel (I') hingewiesen. 

Wenn erstens [A) cos [q, v) längs der ganzen Ausdehnung 
der Bahnkurve (7) den Wert der positiven resp. negativen 
Einheit besitzt, so ist die Kurve (7) eine geodätische Linie der 
Fläche (1'), da dann stets die Schmiegungsebene der Kurve 
die Flächennormale enthält.^) 



1) Analytisch sieht man dies so ein. Die bekannte Differential- 
gleichung der geodfttischen Linien ist: 

dx d*x 

~~d8~ ~d~8^ 

dy d^y 



— i-i- cos V. 



da 

dx 
ds 



d^x 
da* 



cos Vf 



cos y« 



= 0. 



Quadriert man, so kommt nach dem Multiplikationssatz der De- 
terminanten, da 

^/rfxy_^ ^ dx d^x 

^[da ) ~ ' ^ da da* 



0. 



2dx 
-7--C0B K 
da 



in der Tat: 



x = 0, 2(^)*--V [gemäß (26)], 
2'-^iC0s...^(^,^) [gemäß (25')], 



^ [da* da) Q* "' 
oder aber, infolge (2S): cos (^, y) « ± 1 . 



396 /r. Pr, Meyer. 

Dann gilt also: 

(la) A-iJV^-A. 

und umgekehrt bedingt diese Relation, daß cos (o, i^) ± 1, daß 
also die Bahnkurve (7) des Punktes eine geodätische Linie der 
Fl&che (10 ist: 

la. j^Die mechanische Relation (la) ist die notwendige und 
hinreichende Bedingung für eine geodätische Bahnkurve auf der 
Fläche.'' 

Gewöhnlich beschränkt man sich auf den Fall, wo eine 
Kraft P gar nicht auftritt; dann fällt die auf den Punkt 
wirkende Gesamtkraft mit X zusammen, und die Formel (la) 
wird zu der trivialen A = ± JV. 

Zweitens (B) sei längs der ganzen Ausdehnung der Bahn- 
kurve (7) cos {q, f') = 0; dann fällt die Schmiegungsebene der 
Kurve stets mit der Tangentialebene der FJäche (1 ') zusammen, 
die Kurve (7) wird zu einer Haupttangentenkurve der Fläche; 
gemäß (31) ist dann stets V{u\v)=^ 0, und umgekehrt 

Es gilt also dann: 

Ib) i= — Pcos (ä, p): 

Ib. „Die mechanische Relation (Ib) ist die notwendige und 
hinreichende Bedingung dafur^ daß die Bahnkurve des Punktes 
eine Haupttangentenkurve der Hache ist/' 

Drittens (C) werde der Fall untersucht, wo die Druck- 
kraft X verschwindet, so daß sich (I') spezialisiert zu: 

(Ic) N^ = P^ i. e. N cos (p, v) = P cos {n, v) . 

Jetzt ist P die auf den Punkt wirkende Gesamtkraft, und 
somit deren Zentripetalkraft N: 

(38) iV=Pcos(w, p), 

wodurch (Ic) die Gestalt annimmt: 

(Ic') cos {n, q) cos {o, v) = cos {n, v). 

Das ist aber die bekannte trigonometrische Relation 
zwischen den drei Kantenwinkeln [n, p), [q, v), [n, v) eines Drei- 
kants {n,(),v), die aussagt^ daß das Dreikant ein rechtwinkliges 
ist, d. h. daß die Ebenen [n, (>) und [q, v) aufeinander senkrecht 
stehen. 

Umgekehrt sei jetzt die Relation (Ic') erfüllt Man nehme 
zunächst an, daß X von Null verschieden sei. Dann setzen sich 



Theorie der Lagrangeschen Bewegungsgleiehungen. 397 

die beiden auf den Punkt P wirkenden Kräfte F und X zu einer 
G^samtkraft B zusammen, deren Richtung durch die Winkel 
R^j R , R^ gegen die Achsen angegeben sei. 
Dann |^t bekanntlich: 

(89) R cos R^ =^ P cos n^ + l cos v^, 

nebst den beiden entsprechenden Formeln. Durch Multipli- 
kation mit cos Q^, cos Q^, cos q^ und Addition kommt: 

(40) Rcos{R,q)^ P cos {n, q) + k cos {v, p), 

wenn (R,p) der Winkel der Richtungen £, (> ist Die linke 
Seite Ton (40) ist aber nach obigem die Normalkraft N, so daB 
sich aus (40) ergibt: 

(41) JV— P cos («,(>) = A cos (p, v). 

Setzt man dies in die aus (I') und der Annahme (Ic') 
folgende Relation: 

(42) X = cos {q, v){N-' Pcos {n, q)} 
ein> so gelangt man zu: 

(48) Ä-icos«(e,^). 

Diese Beziehung ist nur erfüllbar, wenn entweder X^ 0, 
oder aber cos {q, v) -> ± 1 wird. Der letztere Fall fällt mit (la) 
zusammen, und umgekehrt ist bei (la) auch die Relation (Ic') 
▼on selbst erfUlt^) 

Somit gilt der Satz^: 

Ic. f^ür das Ferschurinden der Druckkraft X ist die Re- 
lation (Ic') notwendig j und^ wenn man den Fall (la) ausschließt^ 
auch hinreichend.*^ 

Hierauf gestützt kann man die mechanisch -geometrische 
Bedeutung von (Ic') noch einen Schritt weiter verfolgen. 

Für 2 = fällt die Kraft P mit der Oesamtkraft R zu- 
sammen, fäUt also nach dem Huyghensschen Prinzip in die 



1) Aneh die geometriBche BedeutoDg von (leO bleibt dann, wenn 
aueb nur in nneigentlichem Sinne, erbalten. Denn da die Ebene (^, v) 
jetrt unbestimmt wird, so kann die Ebene (ti, q) als aof ihr senkrecht 
stehend angefehen werden. 

2) Aus dem Satze Ic geht hervor, daß die übliche AusdrucksweiBe, 
die Dmckkiaft l „zwinge" den Punkt, auf der Fliehe in bleiben, nicht 
gaas koffekt ist 



898 W, Fr. Meyer, Theorie der Lagrangeschen BetoegungsgL 

Schmiegrungsebene der Bahnkurve, d. h. die Ebene {n, q) stimmt 
mit letzterer Ebene überein. Daß diese Ebene mit der Ebene 
{(}, v) einen rechten Winkel bildet^ ist flächentheoretisch selbst- 
verständlich, denn das Lot der Schmieguogsebene ist die Bi- 
normale der Kurve, das Lot der Ebene {o, v) die Tangente der 
Kurve. Tangente und Binormale stehen aber senkrecht auf- 
einander. 

Damit ist die erste Hälfte des Satzes Ic auch anschaulich 
bewiesen. Aber auch die zweite Hälfte dieses Satzes, sowie 
auch die Sätze I, I' lassen sich aus elementaren mechanisch- 
geometrischen Prinzipien herleiten, wie ich das an anderer 
Stelle näher ausgeführt habe.^) 

Altenau (Harz), September 1903. 



1) Jahresbericht der deutschen Math. VereiniguDg. 12. Oktober- 
heft 1908. 

(Eingelangt 18. September 1903.) 



399 



50. Elektrischer Massentransport in Gasen, Drnck- 

erhöhnng an der Kathode. 

Von J. Stark in Göttingen. 



I. Zur Theorie des elektrisohen Transportes von Masse in 

elementaren Oasen. 

§ 1. ifasse der Ionen in Gasen und ihr Verhalten an den 
Elektroden. — In der Größe der elektrischen Ladung sind die 
einwertigen Ionen in einem elementaren Gase einander äquiva- 
lent; hinsichtlich ihrer Masse können sie voneinander ver- 
schieden sein. Hinsichtlich der Masse sind in einem elementaren 
Gase drei Arten von Ionen möglich. Bei der Ionisierung 
eines neutralen Gasatoms wird ein negatives Elektron von dem 
positiv zurückbleibenden übrigen Teil des Atoms getrennt. 
Bleibt das negative Elektron für sich allein, lagert es sich 
nicht an neutrale Gasmoleküle an, so hat man ein negatives 
Elektronton. Lagern sich an das positive Restatom nicht neu- 
trale Moleküle an, so ist es ein positives Atomion. Wenn sich 
an das negative Elektronion oder das positive Atomion noch 
neutrale Gasmoleküle anlagern, so verwandeln sie sich damit 
in Motionen. 

Die Masse des negativen Elektronions beträgt 0,51 Tausend- 
stel derjenigen des Wasserstoffatoms. Die Eathodenstrahlen 
sind negative Elektronionen von großer Geschwindigkeit Im 
Glimmstrom sind besonders bei niedrigem Gasdruck die meisten 
negativen Ionen Elektronionen, nicht bloß in der negativen 
Glimmschicht, sondern auch in der positiven Lichtsäule. Die 
Masse des positiven Atomions ist praktisch gleich derjenigen 
des neutralen Atoms. Ein Teil der Kanalstrahlen besteht nach 
den Untersuchungen W. Wiens ^) aus positiven Atomionen. 
Die Masse der . positiven und negativen Molionen ist ein Viel- 
fiushes der Masse des neutralen Atoms des fraglichen Gases. 



1) W. Wien, Ann. cL Phys. 9. p. 660. 1902. 



400 /. Stark. 

Nach E. Riecke^) ist bei sekundärer lonisieruDg in atmo- 
sphärischer Luft die Masse des negativen Ions zweimal, die- 
jenige des positiven dreimal so groß wie diejenige des neutralen 
Luftmoleküls. In einem ionisierten Gase ist die Zahl der 
negativen Molionen nicht größer, als diejenige der positiven; 
darum ist in einem ionisierten Gase an die positiven Tonen immer 
mehr Masse gebunden, als an die negativen Ionen, 

Im elektrischen Strome wird die positive Elektrizität nach 
der Kathode zu, die negative nach der Anode zu verschoben; 
gleichzeitig mit ihr wird die an sie gebundene Masse ver- 
schoben. Können die Ionen nicht aus dem Gas in die Elektroden 
übertreten und in diesen weiterwandem, so können sie an den 
Elektroden nicht als geladene Teilchen sich ansammeln, son- 
dern müssen sich in neutrale Teilchen verwandeln. Die 
negativen Elektronionen treten in die Anode ein und wandern 
in ihr weiter; die negativen Molionen geben an die Anode ihr 
negatives Elektron ab, während die an dieses gebundene neu- 
trale Masse in der Grenzfläche von Elektrode und Gas zurück- 
bleibt Das positive Atom- und Molion tritt in die Grenzfläche 
von Gas und Kathode, entnimmt dieser ein negatives Elektron 
und verwandelt sich so in neutrale Masse. 

Die Massenteilchen, welche vom elektrischen Strome an 
der Kathode oder Anode in einem elementaren Gase als Ionen 
abgeschieden werden, werden hier nicht festgehalten, sondern 
diffundieren als neutrale Gasmoleküle wieder in den Gasraum 
zurück; da demnach in einem elementaren Gas eine An- 
reicherung der elektrisch abgeschiedenen Ionen in einer festen 
Schicht ausgeschlossen ist, so kann die elektrische Abscheidung 
von Masse in diesem Falle nicht so leicht nachgewiesen werden 
wie in einem Elektrolyten. 

§ 2. Druckerhöhung an der Kathode durch elektrischen 
Massentransport — Wir betrachten denjenigen Qaerschnitt des 
durchströmten Gases, welcher gerade in der Mitte zwischen 
den Elektroden liegt Er teilt den durchströmten Gasraum 
in zwei Hälften, eine kathodische und eine anodische. Aus 
der kathodischen Hälfte führt der elektrische Strom beständig 
negative Ionen weg in die anodische Hälfte, gleichzeitig führt 



1) £. Blecke, Ann. d. Phys. 12. p. 74. 1908. 



Elektr. Mainentrawtport in Gasen. 401 

er aas dieser in jene positive Ionen. Ist I^ die Stromstärke 
der positiven, 1^ diejenige der negativen Ionen in dem be- 
trachteten Querschnitt, so gewinnt die kathodisclie Hälfte in 
der Zeiteinheit /^/« positive und verliert IJ% negative Ionen. 
Umgekehrt verliert die anodische Hälfte IJb positive und ge- 
winnt IJb negative Ionen. E^n positives Ion liefere bei der 
Neutralisation an der Kathode n gewöhnliche Gasmoleküle, 
ein negatives an der Anode v gewöhnliche Moleküle. Ist v 
bez. v^ die spezifische Geschwindigkeit, n die spezifische lonen- 
zahl, H die Kraft in dem betrachteten Querschnitt, so gilt 
I^ss n.t,v^.If bez. I^^ n.t.v^, H. Der Gesamtgewinn der 
kathodischen Seite an gewöhnlichen Gasmolekülen beträgt dem- 
nach für die Zeiteinheit (n.v^^ v.vJn.H, derjenige der 
anodischen Hälfte {v.v^ — n.v^n.H. 

Bei Ermittelung des Vorzeichens von (n ,v^^ p.vj sind 
zwei extreme Fälle zu unterscheiden. Erstens mögen sämt- 
liche positiven und negativen Ionen Molionen sein. Im Falle 
der Luft ist n = 3, v = 2 , r^ = 1,37 . v^; die Differenz 
(« . r^ — V . t?J n . -ff = 0,26 .n.v^.H hat darum positives Vor- 
zeichen. Ähnliches gilt für die übrigen elementaren Gase, 
Sind also in einem elementaren Gase sämtliche Ionen Motionen^ 
so wird durch die elektrische Strömung auf der kathodischen Seite 
des Gases die Zahl der Moleküle und damit der Gasdruck ver~ 
größert 

Der zweite extreme Fall besteht darin, daß sämtliche 
negativen Ionen Elektron-, sämtliche positive Atomionen sind. 
In diesem Falle ist für die zweiatomigen Gase n » 0,5, 
r s 0, v^ ist ungefähr das zehnfache von v^. Die Differenz 
{n.v^^ v.vJn.H =s 0j5.n,v^.H ist immer positiv. Auch in 
diesem FaUe vermehrt die elektrische Strömung die Molekülzahl 
und den Gasdruck auf der kathodischen Seite und vermindert 
beide Großen auf der anodischen Seite des durchströmten Gases. 
Da die zwei besprochenen extremen Fälle alle übrigen Arten 
von Ionisation in einem elementaren Gase zwischen sich 
schließen, so gilt der vorstehende Satz allgemein für die 
elektrische Strömung in einem elementaren Gase. 

Der Überdruck, welchen die elektrische Strömung in einem 
dementaren Oase auf der kathodischen Seite herstellt, kann 
kaiiiaii großen Wert annehmen; denn unter seiner Wirkung 

-FwtMhrift. 26 



402 J. Stark. 

strömen neutrale Gasmoleküle von der kathodischen Seite be- 
sl&ndig wieder zurück nach der anodischen Seite. Je mehr dieses 
Rückströmen^ beispielsweise durch einen kleinen Querschnitt, 
erschwert wird^ desto größer kann jener Überdruck werden. 

Um über die Größe des nach dem Vorhergehenden zu 
erwartenden Überdruckes eine Vorstellung zu gewinnen^ sei 
folgende Näherungsrechnung ausgeführt. Das Volumen der 
kathodischen Seite sei 5.10^ cm', das Rückströmen nach der 
anodischen Seite erfolge sehr langsam; die positive Strom- 
stärke in dem mittleren Querschnitt betrage 1.10-^ Milliampere. 
Berechnet sei die Druckzunahme in Prozent^ wenn während 
10 Sek. kein Rückströmen erfolgt, sondern nur die elektrische 
Strömung wirki^am ist 

Ist V die Zahl der Moleküle in der Volumeneinheit bei 
0^ und 760 mm Druck, so ist beim Druck p die spezitische 
Molekülzahl n^ = 1.3. 10-^. p.p. 0,1 Milliampere transportiert 
in 10 Sek. dem Volumen nach 2,32. 10-* cm' einwertige Ionen 
bei 0® und 760 mm durch den Querschnitt; die entsprechende 
Anzahl von Ionen ist 2,32 . 10"* «ir. Da sich diese auf S.lO^cm' 
verteilen, so ist die Zunahme der Molekülzahl (Molekül zwei- 
atomig) in 1 cm' auf der kathodischen Seite während der be- 
trachteten 10 Sek. gleich 

Die prozentuale Zunahme der spezifischen Molekülzahl oder 
des Druckes beträgt darum 1,7 . lO-"^.;?""^ Bei 0,01 mm Druck 
beträgt also die Zunahme des Druckes gerade 1,7 Proz. 

Um demnach die Druckerhöhung an der Kathode infolge 
des elektrischen Massentransportes nachweisen zu können, hat 
man einerseits die Stromstärke möglichst groß, andererseits 
den Gasdruck möglichst klein zu wählen. Es kann aus diesem 
Grunde für den vorliegenden Zweck lediglich der Glimmstrom 
in Betracht kommen, da diesem allein bei niedrigem Druck 
eine Stromstärke von der Ordnung 1 Milliampere gegeben 
werden kann. 

II. Bruokerhöhtmg an der Kathode des Glimmstromes. 

§ 3. Grundgedanke, VergnchxrÖhre und Schaltung. — Wenn 
die elektrische Strömung auf der kathodischen Seite eine Druck- 



£lekir. Massentransport in Chuen. 



408 



erböhang bewirkt, so muß diese um so größer ausfallen, je 
mehr ein Rückströmen nach der anodischen Seite erschwert 
wird. Aus diesem Grunde wurde zwischen die anodische und 
kathodische Hälfte eine längere Kapillare eingeschaltet. Läßt 
man die kathodische Hälfte durch eine weite Öflhung mit 
einem OeAß kommunizieren^ so muß auch in dieses die Druck- 
erhöhung sich fortpflanzen. In diesem Gefäß kann dann die 
Dmckerhöhung mit einer entsprechend empfindlichen Methode 
nachgewiesen werden. 

Figur 1 (Yio natürl. Größe) stellt die verwendete Kehre 
dar. K ist die 1|5 mm weite Verbindungskapillare zwischen 





^^Pumpe 



Fig. 1. 



den zwei H&Iften H^ und H^ des durchströmten Gases, 0^ das 
Gefäß, in dem die Druckveränderung der Hälfte H^ unter- 
sucht werden sollte; &, ist ein kugelförmiges Gefäß, das ebenso 
groß ist wie O^ und zum Zweck symmetrischer Versuchs- 
bedingungen an H^ angeschlossen ist E^ und E^ sind zwei 
kongruente Elektroden, es sind hohle Messingzylinder (Fig. 2). 
Die Yordere Seite ist zentral mit einer kreisförmigen 5 mm 
weiten Öffnung versehen; um die Zerstäubung zu verhüten, ist 
auf sie eine Aluminiumscheibe aufgesetzt Die hintere p — ■ 
Seite trägt in der Nähe des Bandes sechs 5 mm weite | J 
symmetrisch angeordnete kreisförmige Löcher (in der ÜJ 
Figur sind nur zwei zu sehen); auf sie ist eine Hart- p|g. 2. 
gummischeibe aufgekittet, die so durchlocht ist, daß 
sie den Band der Löcher in dem Messingdeckel gerade um 
1 mm überragt D^ und D^ sind zwei gleichartige Diaphragmen, 
es sind hohle Messingzylinder, deren Deckel ebenso wie die 
BHokseite der Elektroden mit sechs Löchern und einer über 
diese 1 mm weit greifenden Hartgummischeibe versehen sind. 
Diese Diaphragmen sollen zwar nicht die Strömung des Gases 

26 ♦ 



404 /. Stark. 

in der einen oder anderen Richtung aufhalten, di^egen sollen 
sie ein Überspringen der elektrischen Strömung aus J7^ und 
H^ nach G^ und G^ verhindern. Das Ge&B G^ besitzt zwei 
stiftförmige Aluminiumelektroden; die eine A dient als Anode, 
sie ragt nur wenig aus einem Ansatzrohr in das OefäB hinein; 
die andere C dient als Kathode, sie steckt bis auf 2 cm in 
einem Glasröhrchen und dringt bis zur Mitte von G^ vor. 

Die Elektroden £^ und Ji^ wurden mit den Polen eines 
großen Ruhmkorffschen Induktoriums (Spule 21,6 cm dick, 
öO,ö cm lang) verbunden. Dieses stellte zwischen JB^ und £^ 
in H^ und H^ den Glimmstrom her, der an seiner E[athode 
eine Druckerhöhung, an seiner Anode eine Druckemiedrigung 
bewirken sollte. 

Zum Nachweis einer Veränderung des Druckes in G^ und 
damit in J7^ wurde von folgender Ehrscheinung Gebrauch ge- 
macht Der KathodenfalPj K des Glimmstromes folgt inner- 
halb weiter Grenzen der Formel 

wo K der normale Eathodenfall, p der Gasdruck, t die Strom- 
stärke, f die von Glimmlicht bedeckte Kathodenoberfläche, k 
und X eine Eonstante ist. Fehlt die positive Lichtsäule des 
Glimmstromes, so darf man den Kathodenfall gleich der 
Elektrodenspannung setzen, unter Anwendung des Ohm sehen 
Gesetzes auf den außerhalb des Gases liegenden Widerstand 
r darf man setzen d F =^ dK ^ ^r.di. Eine Abnahme des 
Gasdruckes hat eine Zunahme von K und damit eine Abnahme 
von i zur Folge. Der Kathodenfall K ändert sich dann am 
empfindlichsten mit dem Gasdruck p, wenn der äußere Wider- 
stand groß ist; die Stromstärke dagegen ist dann ein empfindliches 
Reagens auf eine Druckänderung, wenn r klein ist. Da das 
Mikroamp^remeter, das mir zur Messung der Stromstärke zur 
Verfügung stand, sehr empfindlich war und sich ohne Kriechen 
und Schwingen momentan einstellte, so benutzte ich die Stärke 
eines Glimmstromes in G^ zur Eontrolle einer Änderung des 
Gasdruckes in G^ und 1/^. Zu diesem Zweck wurde die 
Elektrode A unter Zwischenschaltung eines kleinen Wider- 



1) J. Stark, Ann. d. Phys. 12. p. 1. 1908. 



Elehtr. IttasaeTUrantport in Oaien. 

Standes r an den positiven Pol einer Hochspannungstiatterie 
Ton ungerähr 20UU Volt elektromotorischer Kraft gelegt, die 
Elektrode C war durch das Mikroiimperemeter mit dem negativen 
Pol verbunden; dieser war geerdet 

Der aus dem Induktorium fließende Glimmstrom in ^f^ //, 
sollte also in //j und damit in O^ eine Druckänderung liervor- 
bringen; der Glimmstrom in (j\ sollte zum Nachweis dieser 
Druckänderung dienen. 

§ 4. lomichttmalSregeln, BvuhaditungfTtmUaU: — Es wurde 
festgestellt, daß die Diaphragmen />, und D^ ihren Zweck er- 
füllen, daß die Gliuiuientladung in //,//, nicht nach G, und 
Gj hinübergreift. Das Induktorium wurde so weit von der 
Versuchsröhre und dem Mikroamperemeter entfernt, daß sein 
Hagnetfeld weder den Glimmstrom in G, noch den Ausschlag 
des Amp^remeters beeinflußte. 

Obwohl ich in Luft im wesentlichen dieselben Resultat« 
wie in Stickstoff erhielt, so schien mir doch das Gasgemisch 
keine sichere Grundlage fOr reine Resultate zu !«ein; ich lllhrte 
daher die Untersuchung an Stickstofi' aus. Die Röhre wurde 
erst leer gepumpt, dann wurde sie zweimal mit Stickstoff aus- 
gespült, nachdem beim jedesmaligen Leerpumpen die Elektroden 
My, E^ und C längere Zeit unter Strom gehalten waren. Darauf 
wurde Stickstoff neu eingefüllt und mit den Beobachtungen 
begonnen. 

Diese wurden für einen jeden Gasdruck in folgender Weise 
ausgeführt. Zunächst wurde der Glimmstrom in G, geschlossen 
und solange gewartet, bis seine Stärke konstant wurde, bis 
also der Ausschlag des Mikroamperemeters sich nicht mehr 
änderte. Dann wurde das Induktorium in Tätigkeit gesetzt, 
also ein Glimmstrom in einer bestimmten Richtung durch 
//j H^ gesandt und gleichzeitig wurde der Ausschlag des Mikro- 
ampferemeters beobachtet. Dann worde der Glimmstrom in 
y/j //, unterbrochen und der Ausschlag weiter beobachtet. 
Nach einer halben oder ganzen Minute wurde der Glimmstrom 
in //, 7/, von neuem in der gleichen Richtung wie zuvor ge- 
schlossen und dasselbe wie zuvor gemacht. So erhielt ich 
eine Beobachtung für den Fall, daß die Kathode des Glimm- 
Stromes in //, H^ beim Schließen kalt war. und für den Fall, 
datt sie beim Schließen bereits von der vorausgehenden 




fl 



406 J, Stark. 

Schließungsdauer her erwärmt war. Dies alles geschah erst 
ftlr die eine Richtung des Glimmstromes in ü^ H^ , darauf fbr 
die entgegengesetzte^ darauf wieder für die erste Bichtung. 

Nach dem vorstehenden Verfahren wurden folgende Be- 
obachtungsresultate erhalten. Solange der Gasdruck über 
0^9 mm lag, änderte sich beim Schließen des Glimmstromes 
in H^ B^ der Ausschlag des Stromes in 0^ nicht; zwischen 0,9 
und 0,09 mm brachte der Glimmstrom H^ H^ eine dauernde 
Zunahme des Ausschlages hervor; diese Zunahme war unab- 
hängig von der Stromrichtung in H^ H^ und um so größer, 
je kleiner der Gasdruck war. Der dauernden Zunahme der 
Stromstärke in G^ entspricht eine dauernde Zunahme des 
Gasdruckes in G^ und H^ U^ Diese rührt offenbar her von 
einer Gasentwicklung aus der erhitzten Kathode des Glimm- 
stromes in H^H^- 

Von 0,09 mm Druck abwärts zeigte der Ausschlag des 
GUmmstromes in G^ ein anderes Verhalten, das um so aus- 
geprägter hervortrat, je weiter der Druck erniedrigt wurde. 
Von da ab war nämlich die Änderung des Ausschlages ver- 
schieden je nach der Stromrichtung in H^H^. War H^^ also 
die G^ zunächst liegende Hälfte kathodisch, liefen also die 
positiven Ionen nach JS^, so nahm der Ausschlag sofort nach 
Schließen des Glimmstromes in H^ H^ zu, und zwar erst 
schneller, dann langsamer; beim Unterbrechen ging der Aus- 
schlag erst schneller, dann langsamer wieder zurück, blieb 
aber immer größer, als er zuvor war. 

War dagegen H^ anodische Hälfte, liefen also die positiven 
Ionen von G^ und J7, fort, so erfolgte beim Schließen des 
Glimmstromes in H^ U^ zunächst eine kleine Abnahme des 
Ausschlages oder er blieb wenigstens unverändert, darauf nahm 
er langsam zu und beim Unterbrechen nahm er weiter, aber 
noch schneller zu. Die anfängliche Abnahme war um so 
größer, je stärker der Glimmstrom in ^^ i^ war; seine Stärke 
lag bei diesen Versuchen zwischen 10 und 0,5 Milliampere. 

In der nachstehenden Tabelle ist ein Beispiel zweier Be- 
obachtungsreihen mitgeteilt. Die Stärke des Glimmstromes in 
0^ ist in einer willkürlichen Einheit angegeben, die Stärke 
des Glimmstromes in H^ H^ schwankte zwischen 1 und 2 Milli- 
ampere, der Gasdruck war ungefähr 0,03 mm. 



EUktr. Mtusentransport in Oasen. 



407 



E^ Kathode. 



Zeit in 
Sek. 


Aoflschlag 


Be- 
merkungen 



15 


710 
710 


Offen 


80 


740 


\ 


45 
60 


760 
770 


1 Ge- 
/ schlössen 


75 


780 


) 


90 


773 




105 
120 


770 
767 


Offen 





-Ej Anode. 


Zeit in 
Sek. 


Ausschlag 


Be- 
merkungen 



15 


810 
810 


Offen 


30 


805 




45 
60 
75 


803 
805 
808 


Ge- 
schlossen 


90 


811 




105 


825 




120 


830 


Offen 


135 


885 





In Figur 8 und 4 sind die vorstehenden Zahlen graphisch 
aufgetragen. Die unsymmetrische Wirkung, welche der Qlimm- 
strom in J7^ i^ für seine zwei Richtungen auf den Gasdruck 
in H^ und 0^ ausübt, erklärt sich auf folgende Weise. 

Der Glimmstrom in H^ H^ bringt zwei Wirkungen hervor, 
welche den Gasdruck in H^ verändern. Die erste ist unab- 
hängig von seiner Richtung, die zweite kehrt ihr Vorzeichen 
mit seiner Richtung um. Die erste besteht darin, daß aus 
der erwärmten Kathode Gas entbunden wird, woraus eine 
dauernde Elrhöhung des Gasdruckes folgt. Die zweite besteht 
lediglich in einer Verschiebung des vorhandenen Gases; es 
wird der Druck in der kathodischen Hälfte erhöht, in der 
anodischen Hälfte erniedrigt; nach dem Offnen verteilt sich 
das Gas wieder in gleichmäßigem Druck, p sei der Druck in 
B^f Po ^^^ anfängliche Druck, t die Zeit, /' und (p seien un- 
bekannte Funktionen positiven Wertes, t sei positiv, wenn 
seine positiven Ionen von E^ nach E^ strömen. Man kann dann 
für die Schließungsdauer setzen p ^ p^ + i^-Lf^ i.t.cp. Der 
Differenüalquotienty 

dp 



dt 



i^.f+ i.(p, 



kum Null werden, wenn t negativ ist; hieraus erklärt sich das 
MinimiiTin in der Kurve der Figur 4. 

Wie nach dem Vorstehenden zu erwarten ist und wie 
■ioh aus ihm erklärt^ war die Abnahme des Ausschlages, im 



408 



J. Stark. 



Falle Hj anodische Hftlfte war, größer, weon die Kathode kalt, 
als wenn sie infolge längeren StromBchlusBes bereits vor- 
gewärmt war. Im zweiten Falle ging nämlich die Gasentbindung 
aus der Kathode trUher vor sich. 

§ 5. ßeutunff de» BeobaihtungsTendtatet. — Darch den 
eben beschriebenen Yereuch ist die Erscheinung aufgefunden. 







eturu 


■^ra 


iüA^ 


ij-B 






1: 


( 


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PIg. 8. 








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jrni 






1 














1- 


1 








/ 






1 ^' 


— 













Pig. 4. 

daß der Glimmstrom in einem elementaren Gate bei niedrigem 
Druck merkbar vor der Kathode den Gatdruck erhöht, vor der 
Anode erniedrigt, indem er von hier nach dort Gasmoleküie treibt. 
Ich Bebe zwei Ursachen, welche diese Wirkung erklären können. 
Die erste ist die oben theoretisch behandelte Überillhrung von 
Uasse durch den elektrischen Strom. Die zweite besteht in 
folgendem. 

Wie A, Wehnelt') festgestellt hat, befindet sich vor der 
Kathode des Glimm ström es im Dunkelraume eine positive 



Mektr. Massentransport in Gasen, 400 

LaduDg. Deren Tonen werden von der elektrischen Kraft nach 
der Kathode getrieben; ist Reibung zwischen ihnen und den 
neutralen Gasmolekülen vorhanden, so treiben sie diese mit 
sich fort^ es entsteht ein gegen die Kathode gerichteter 
elektrischer Wind; durch diesen wird vor der Kathode der 
Gktsdruck erhöht, vor der Anode erniedrigt. * 

Es erhebt sich die Frage, welcher von diesen beiden Ur- 
sachen die oben beschriebene Erscheinung in erster Linie zu- 
zuschreiben ist Nach meiner Ansicht ist dies die erste, die 
elektrische Überführung. Die Wirkung tritt nämlich erst bei 
demjenigen Druck auf, bei dem sie nach der Theorie für die 
erste Ursache bemerkbar zu werden vermag; die zweite Ur- 
sache: der elektrische Wind müßte auch bei höherem Druck 
die Wirkung hervorbringen, wenn er sie überhaupt hervor- 
zubringen vermag. Mit sinkendem Gasdruck muß er nämlich 
immer schwächer werden, da die Reibung zwischen den positiven 
Ionen und den neutralen Gasmolekülen immer kleiner wird. 
Bei dem niedrigen Druck von ungefähr 0,03 mm bewegen sich 
die positiven Ionen wahrscheinlich durch den Dunkelraum an die 
Kathode^ ohne erheblich viel neutrale Moleküle zu treffen, 
ohne also einen elektrischen Wind hervorzubringen. 

Göttingen, Sommer 1903. 



1) A. Wehnelt, Ann. d. Phys. 10. p. 542. 1908. 
(Eingegangen 18. September 1908.) 



410 



51. über die Natar der flfissigen Laft. 

Von B. A« Goldhammer in Kasan. 



Obgleich dio flüssige Luft schon seit mehreren Jahren 
der Untersuchung zugänglich gemacht worden ist und auch viel- 
fach von verschiedenen Seiten studiert wurde^ scheinen doch die 
Hm. Fischer und Alt^] die ersten gewesen zu sein, die die 
Meinung ausgesprochen hatten, die füssige Luft sei eine Lösung 
von Sauerstoff in Stickstoff. 

Diese Ansicht über die Natur der flüssigen Luft haben 
die Verfasser dadurch zu begründen gesucht^ daß sie die von 
Baly^ beobachteten Änderungen der Siedetemperatur normal 
siedender Gemische von Sauerstoff und Stickstoff mit den nach 
der allgemeinen van't Hoff sehen Formel berechneten zu- 
sammenstellten. 

Die Übereinstimmung der Theorie mit der Erfahrung 
ergab sich dabei ^^überraschend gut''. ^ Dem gegenüber ist 
aber zu bemerken, daß erstens die Formel von van't Hoff 
auf die Lösungen flüchtiger Stoffe nicht anzuwenden ist und 
daß zweitens diese Übereinstimmung nur mit Hilfe einer ganz 
schwach begründeten Annahme gewonnen wurde, es wäre dem 
von Baly als rein bezeichneten Stickstoff 2,4 Proz. Sauerstoff 
beigemischt. 

Freilich haben die Verfasser auch die Vermutung aus- 
gesprochen, es könne die Differenz zwischen der von Baly 
ermittelten Siedetemperatur des Stickstoffs (77,5 — 77,54 abs.) 
und der von Fischer und Alt gefundenen (77,33, wenn man 
als absoluten Nullpunkt einfach — 278 setzt) auch einen an- 
deren Grund haben ^]: in einem solchen Falle bleibt aber die 
ganze Frage über die Luft als Lösung ohne Antwort 



1) K. T. Piflcher und H. Alt, Ann. d. Phya. 9. p. 1182. 1902. 

2) £. C. C. Baly, Phil. Mag. 49. p. 521. 1900. 
8) K. T. Fischer und H. Alt, 1. c p. 1188. 
4) 1. c. p. 1184. 



Natur der fGusigen Luft. 411 

Wir wollen daher versuchen diese Ansicht über die Natur 
der Luft einer neuen Prüfung zu unterwerfen. 

Es seien P^, p die Spannungen des gesättigten Stickstoff- 
dampfes bei den absoluten Temperaturen T, T^\ töor eine Lö- 
sung irgend eines Stoffes in Stickstoff mit der Siedetemperatur T 
und der Dampfspannung p muß sein ^) 



i>,-;' = (2'-^'o)(4^),„,. 



wenn nur T -- T^ nicht all zu groß ausfällt. 

Nach Baly siedete die Lösung yon 8,1 Proz. Sauerstoff 
unter normalem Druck (/i =» 760 mm) bei T^ 78,0. Der reine 
Stickstoff gab T^ = 77,50, P. » 806; femer fanden Fischer 
und Alt in der Nähe des Siedepunktes des Stickstoffs 



\ dT JT^T. 



910. 



Wir bekommen daraus T - T^ = 0,50 (beob.), T-^T^^ 0,505 
(her.), indem mit der Zahl von Fischer und Alt 7{) = 77,83 
würde folgen T - T^ = 0*6' (beob.). 

Wie wir sehen, ist die Differenz zweier von Baly ge- 
gebenen Temperaturen jedenfalls angenähert richtig: es ent- 
steht aber die Frage, wovon rührt der Unterschied der Siede- 
punkte des reinen Sauerstoffs nach den Beobachtungen von 
Baly und Fischer und Alt her. Die Antwort lautet einfach: 
F&r aUe von Baly angeführten absoluten Temperaturen utt ein 
anderer absoluter Nullpunkt angenommen y als derselbe von 
j^ischer und Alt 

Diesen Grund haben schon Fischer und Alt selbst als 
wahrscheinlich angegeben: derselbe tritt aber vollkommen 
klar auf, wenn wir in folgender Weise verfahren. 

Wir entnehmen aus der Tabelle der Dampfspannungen 
des chemischen Stickstoffs von Fischer und Alt folgende 
Zahlen 

Pn 715 780 750 760 
T 76,88 77,00 77,23 77,88 

und aus der entsprechenden Tabelle von Baly ebenso für den 
ehemischen Stickstoff 



1) W. Nernit, Zeitschr. f. phys. Chem. 8. p. 128. 1891 



412 L. Ä, Goldhammer. 

Pn 760 806 856 
T 77,5 78,0 78,5 

und zeichnen beide Dampfdruckkurven in genügend großem 
Maßstabe auf (z. B. 1 mm Hg = 2 mm, 1 ^ = 100 mm). Aus 
der Zeichnung ersieht man zunächst, daß die Zahl 77,23 etwa 
um 0,01^ zu groß ist: tatsächlich finden wir in der anderen 
Dampfspannungstabelle der Verfasser (I. c. p. 1173) flir 750 mm 
f =- 195,78« C, also y= 77,22. Femer ergibt sich die 
ganze Kurve von Baly stark gegen dieselbe von Fischer und 
Alt verschoben. Verkleinern wir aber alle Temperaturen von 
Baly um 77,50 — 77,33 = 0,17, so fällt diese neue Kurve 
ganz merkwürdig in die Fortsetzung der Kurve von Fischer 
und Alt 

Damit steht auch in Übereinstimmung, daß einer Tem- 
peraturdifferenz von 0,5° in der Nähe von 760 mm ein Druck- 
unterschied nach Fischer und Alt 760 — 715 = 45, nach 
Baly 806 — 760 = 46 mm entspricht, so daß die Dampfdruck- 
kurve des Stickstoffs zwischen 715 und 806 mm sehr nahe 
geradlinig verläuft. 

Somit ist als bewiesen zu betrachten , daß mit der an- 
gebrachten Korrektion die Beobachtungen von Baly und 
Fischer und Alt sehr gut miteinander übereinstimmen. 

Baly hat auch die Dampfdrucktabelle für den „atmo- 
sphärischen^' Sauerstoff gegeben: bei denselben Temperaturen 
sind aber hier alle Drucke kleiner, als für den chemischen Stick- 
stoff; nach dem Verhalten der Lösungen ist daraus zu schließen, 
daß der atmosphärische Stickstoff etwas unrein war. « 

Es bestehe nun 100 g flüssige Mischung aus m^ g Sauer- 
stoff und m^ g Stickstoff; die entsprechenden Zahlen fbr Dampf 
seien m^', m^; bedeuten ferner Af^, M^ die Molekulargewichte 
der beiden Stoffe im flüssigen Zustande, M^^, M^ im Dampf- 
zustände^ so sind die »^Konzentrationen^' in der Flüssigkeit 

Cn. = ¥5 : iT- » C_ = 



und im Dampfe 






'0 



Natur der fKuiigen Luft. 413 

Sind eDdlich p^^ p^ die Teildmcke der beiden Stoffe im 
Damp^ 80 haben wir bekanntlich 

P^Po+Pn 
(Dalton'sches Gesetz); femer für verdünnte Lösungen 

p ^ P c 
(nach yan't Hoff) und 

(nach Nernst). 

Daraus folgt für die Dampfspannungsemiedrigung 

Nach dieser Formel sind die Zahlen berechnet, die in 
den letzten zwei Kolumnen der Tabelle I zusammengestellt sind. 
Dabei sind alle von Baly angeführten Temperaturen um 0,17® 
korrigiert und M^ « M^ = 32, A/^ = M^ = 28 gesetzt. 

Tabelle I. 

Stickstoff als Lösongsmittel bei 760 mm I>rack. 



•Wf 


m. 


T 


n 


Pn 


On' 


8,1 


2,18 


77,88 


806 


0,057 


0,058 


15,25 


4,88 


78,88 


856 


0,112 


0,101 


21,60 


6,80 


78,83 


906 


0,161 


0,148 


27,67 


9,83 


79,88 


959 


0,208 


0,188 



Wir sehen, daß die Übereinstimmung der Beobachtung 
mit der Rechnung keine sehr gute ist; es liegt aber die Ver- 
mutung nahe, diesen Umstand vielleicht auf Rechnung der zu 
großen Konzentration der Lösungen setzen zu dürfen. In der 
Tat zeichnen wir die Kurven m^ = / (T), m^ « F[T) im großen 
Maßstabe auf (1% « *®/3 mm, i<^ = 100 mm), so können wir 
zu viel kleineren Konzentrationen übergehen. In dieser Weise 
wurde gefunden 

Tabelle IL 

Stickstoff als Lösungsmittel bei 760 mm Druck. 



m. 


WIq 


T 


Pn 






0,900 


0,218 


77,88 


764,6 


0,0060 


0,(K)60 


1,747 


0,486 


77,48 


769,2 


0,0120 


0,0119 


8,875 


0,872 


77,53 


778,4 


0,0286 


0222 


5,025 


1,808 


77,63 


787,6 


0.0350 


0,0882 



6,568 1)744 77,78 796,8 0,0462 0,0488 



414 D. Ä. Ooldhammer. 

und diese Tabelle zeigt, daß von m^ » 1,747 ab (was einer 
Konzentration von etwa 0,5 Orammmolekül pro Liter Lösung 
entspricht) die Übereinstimmung der Beobachtung mit der 
Rechnung nichts zu wünschen übrig läßt 

Man kann ganz analog auch für Lösungen von Stickstoff 
in Sauerstoff verfahren. Die Beobachtungen von Baly geben 
dazu alles nötige Material. Bedeute P^ die Dampfspannung 
des reinen Sauerstoffs bei verschiedenen Temperaturen, so 
muB jetzt 

Po V 

sein. Korrigieren wir wieder alle von Baly angeftLhrten Tem- 
peraturen um 0,17, 80 folgt die Siedetemperatur des reinen 
Sauerstoffs unter normalem Druck T^ = 90,79. 

Tabelle IH. 

Sauerstoff als Lösungsmittel bei 760 mm Druck. 



m. 


m*' 


T 


Po 


r - V 

Po 


V 


1,84 


4,90 


90,88 


725,5 


0,048 


0,087 


3,85 


10,20 


89,88 


687,5 


0,105 


0,080 


5,91 


15,45 


89,88 


658,6 


0,168 


0,128 


8,02 


20,55 


88,88 


621,5 


0,228 


0,178 


1048 


25,68 


88,88 


590,0 


0,288 


0,288 


12,40 


80,42 


87,88 


560,0 


0,857 


0,291 


14,69 


85,15 


87,88 


580,5 


0,438 


0,858 



Hier haben wir wieder mit den gewöhnlichen Molekular- 
gewichten gerechnet. 

Wie man sieht, sind jetzt die Differenzen der Zahlen der 
beiden letzten Kolumnen der Tabelle zu groß um von der Über- 
einstimmung der Beobachtung mit der Rechnung überhaupt 
reden zu können. 

Man konnte auch hier glauben ein besseres Resultat bei 
verdünnteren Lösungen zu erhalten; dem ist aber nicht so. Die 
Kurven m^^f(T), m;^F[T), Pq = (p[T) sind für kleinere Kon- 
zentrationen sehr nahe gerade Linien und man bekommt fol- 
gende Tabelle. 



iMfl 



A\h 



11^ IT. 



{UM 
1.M 



L.€Sf> 

£,T7( 
US» 



fK.>.4Ü 






CUI06(> 

cnim 

b.QKS 

ii.miBf 



0.0 Id4 

closof. 



Dfs* Gaimd der D iv^rp^i i ? oer Bebfaftcdaimg inil der 
licfl &bp nidit in dem Einfiusse der Kauemiaxioii. 
Efi lag nun die T iäimuiua g nabe« maii habe es hier mh 
FiS der XiÜBmäEQaD zu um. ^aoft «^ aber wirkHcfa 
M vfirde maxi imstasde bbiiu f&r amßena v^ardSanat li&- 
X. B. ftr « = l,M.l(r-r, - ^ 4.». Kr-« 



^--P, 



und 



e»-«» 



» f ,1 .»■ ( l) ■ -' 



dnitii die Annahme bzanpea: 



1 Jf 
4 JH 



K 

64; 
64: 



°82 
cSS 



82. 
82: 






14: 

14: 
2*>; 



jr 



14 
14 
14 

14 



Dm 



gdinft aber nicfa. 

Wir kfRmmeD alao zu dem Scfalofi, daß die tod BalT 
kieineii Scidacuifi'kaiiBBinrationeii mit eibebbcbeB 
bebafiet sind. Die Moehcbkeat aolcber Fehler uft 
zu cradien. da£ Balj nicht direkt m^^ m^ bestunmen 
■ondern frc^ Zahlen m^ i= KKi — m^. m^ slOd—if, , 
mm ^itm Zahlen etva 1 ProsL zn pnß ermäixelt, so ire> 
das TdUkommen um die Beobacfatim|r und Sarbnnnir 
gute übereüiBtimmimE zu brinffen. In der Tat bemezto 
a» der Knrre w/s F T toh Balx ^^ daß man dit^lbe 
anch merididi etwas anders ziehen konnte, als es bei Balr 



Snd 

Bigt 



Es vire also irfinBchencwert die Eonzenrntionen der in 
Betraobt kommenden L5siingen einer nenen Untersnchnni: m 



1) £. C C Baly, L c p. 51S. 



416 D. A. Ooldhafnmer. 

unterwerfen. Was aber die flüssige Luft anbetrifiFt, so kann 
man als bewiesen betrachtenj daß man es hier mit einer Lösung 
zu tun hat 

Nun bietet die Frage über die Natur der flüssigen Luft 
auch ein anderes Interesse dar. 

Die Erdatmosphäre beflndet sich nach Lord Kelvin (1862) 
in dem Zustande des sog. ^,konvektiven Gleichgewichts'^ d. h. 
es entspricht die Abnahme der Temperatur der Atmosphäre 
mit der Höhe dem Gesetze der adiabatischen Ausdehnung der 
Luft. Während der seit dem Jahre 1862 verflossenen vierzig 
Jahre hat diese Ansicht eine allgemeine Anerkennung er- 
worben: damit stehen im Einklang, sowohl die Beobachtungen 
in freier Luft, als auch die speziell angestellten Versuche in 
einer „künstlichen" Atmosphäre. ^) 

Ganz unabhängig von Lord Kelvin und wie es scheint 
ohne seine Arbeit zu kennen, hat dieselbe Theorie A. Ritter *) 
sechzehn Jahre später veröfi'entlicht und sie zum Ausgangs- 
punkt einer Reihe sehr interessanter Betrachtungen gemacht ^ 
Schreibt man der Luft die Eigenschaften eines idealen Gases 
bei allen Temperaturen und Drucken zu^ so läßt sich mit 
A. Ritter die Höhe der Erdatmosphäre zu 28,7 km berechnen. 
Für eine Atmosphäre aus reinem Wasserdampfe, auf der Erd- 
oberfläche bei 0^ C. gesättigt, ergibt sich diese Höhe zu 
349 km. Für die feuchte Luft berechnet sich die Atmosphären- 
höhe nur einige Kilometer höher, als 28,7 km. 

Da nach den Sternschnuppenbeobachtungen Schiaparelli 
diese Höhe zu 200 km berechnet hat (und da femer die Be- 
obachtungen über die Polarlichter u. a. Erscheinungen dieselbe 
über 70 km ergeben), so schloß Ritter, daß wahrscheinlich auch 
für die wirkliche Erdatmosphäre diese Höhe sich über 200 km 
ergeben würde, wenn man die nötigen latenten Wärmen der 
Luft kennte, was zu Ritters Zeit nicht der Fall war. 

Leider fehlen auch jetzt diese Daten. Bemerkt man aber, 
daß die physikalischen Konstanten der gasförmigen resp. der 
flüssigen Luft denselben des Stickstofi's sehr nahe kommen, 



1) F. Ricbarz, Ann. d. Phys. 10. p. 862. 1908. 

2) A. Ritter, Wied. Ann. 5. p. 405. 1878. 

3) A. Ritter, Wied. Ann. 6. 7f 8 und mehrere folgende. 



Natur eUr flüstiffen Luft, 417 

80 scheint es interessant, die Höhe der Erdatmosphäre aus 
reinem Stickstoff zu berechnen. 

Dabei legen wir folgende Annahme zu Grunde. Das Gas 
habe auf der Erdoberfläche die absolute Temperatur T^ = 290 
und den Druck p^ = mo mm; an der Grenze der Atmo- 
sphäre sei 7 == 0, /? 8x 0. Bis zur Sättigung betrachten wir das 
Gas als ein ideales. Die spezifischen Wärmen des Stickstoffs 
in allen Zuständen seien von Temperatur und Druck unab- 
hängig. Bedeuten dann v das Volumen von 1 kg Gewicht 
Stoff, 17 die Entropie, so berechnet sich die Höhe der Atmo- 
sphäre nach der Formel 



-I-m 



dT. 



Wir führen femer die Bezeichnungen ein: 

^pf ^v ^^6 beiden spezifischen Wärmen des gasförmigen 
Stickstoffs in kg-cal; y = ^pl^p- 

c, c die spezifischen Wärmen des flüssigen bezw. des festen 
N, bei konstanter Dampfmenge. 

T^ , p^ Temperatur und Druck der Verflüssigung des sich 
adiabatisch ausdehnenden Stickstoffs. 

T^, p^ Temperatur und Druck des Erstarrungspunktes. 

r^ die latente Verdampfungswärme bei T^ 

(>2 die latente Schmelzwärme bei T^. 

J = 424 kg-m das mechanische Wärmeäquivalent 

Dann nimmt das Integral die folgende Form an 

Ä = «^{^,(^0 - ^i) + ^(^1 - ^2) + cT, + r^+ (>,} Meter. 

Ist die Gleichung der Dampfdruckkurve p = f{I), so wird 
Tj durch den Schnittpunkt dieser Kurve gegeben mit der 
Adiabate T^ = p^~^^ x konst ; schneiden sich beide Kurven 
nicht, so muß T^ =■ T^ sein und diese Temperatur wird durch 
den Schnittpunkt der Gasadiabate mit der Sublimationsdruck- 
kurve p « F{T) gegeben. Da nun für den Stickstoff c^ = 0,244, 
7^ B 1,41 ist, so lautet die Gleichung der Adiabate 

T^ap^, lg a = 1,62466 , m = 0,2908 

and aus den Beobachtungen von Fischer und Alt ist leicht 

BolUnuuui-Festsobrift. 27 



418 L. Ä. Ooldhammer. 

zu ersehen, daß diese Eorve mit der Dampfdruckkurre des 
Stickstoffs keinen Schnittpunkt gibt Dann haben wir T^ « T^ 

Nach De war beträgt die Atom wärme des flüssigen Stick- 
stoffs etwa 6 ; nehmen wir für den festen Stickstoff diese Wärme 
zu 6,3 und bemerken, daß angenähert c durch C^ (ftir den 
festen JV,) ersetzt werden kann, so berechnen wir 

C =M = o,45. 

Es bleibt uns nun T^, r^, g^ zu bestimmen. Fischer und 
Alt haben zwei Punkte der Öublimationskurve des Stickstoffs 
ermittelt 



p = 62, 


r= 61,35, 


p = 86 ± 4, 


T = 62,48, 


indem Olszewski^) fand 




p^60, 


2"= 69, 


P= 4, 


7=48. 



Trägt man diese vier Zahlenpaare auf das Eoordinaten- 
papier auf, so bemerkt man sogleich, daß der erste Punkt 
Olszewskis mit den Beobachtungen von Fischer und Alt 
unverträglich ist 

Da die neueren Beobachtungen sicherer zu sein scheinen, 
so könnten wir folgende Zahlen zugrunde fernerer Betrach- 
tungen wählen 

p^86, r=62,5, 

;? = 62, r=61,4, 

;>= 4, r= 48. 

Schreiben wir aber die Gleichung der Sublimationskurve 
in der bekannten Hertz sehen Form 

lg;? = a- y +clgT, 
so berechnet sich b negativ, was offenbar unmöglich ist, da bei 



1) K. Olszewski, Winkelmanns Physik 2. 2. p. 765 u. 692. 1896. 



Natur der fStnigen Luft 419 

p wKtQ aach 7 es sein muß und h den Grenzwert der Sab- 
limationswärme bei T^O bedeutet 
E^ die Gleichung Yon der Form 

p^T{a + bT+cT^ 

folgt wieder ft < und die Kurve zeigt zwischen T = 48 und 
2 SB zweimal dp/dT^ 0, was dem bekannten Verlaufen der 
SubUmationskurren widerspricht 

Wir halten daher nur an den Ergebnissen Ton Fischer 
und Alt fest und benutzen die Formel Yon Zeuner 

Dann folgt für 

;, = 86, T= 62,48, 

p^62, T= 61,85, 

n = 0,05 578, lg*= 1,68 783 

und zur Bestimmung Ton p^, T^ haben wir zwei Gleichungen 

lgr=lg* + nlg;?, 
Ig2'=lga + mlg;>, 
deren Lösung gibt 

;i, = l,9, 2; = 50,4. 

Die Sublimationswärme des Stickstoffs läßt sich in üb- 
licher Weise nach der bekannten Formel 

berechnen, worin der Differentialquotient aus der Sublimations* 
kurve entnommen werden muß. 
Wir haben nun 

T^kp"" 
und folglich 



das gibt einfach 



dT " n r ' 



r + e =^, n = 0,05 578. 

VfSüc T^ B 50,4 berechnen wir daraus 

r^ + Qt^ 64,5 



27 



420 2>. A. Ooldhamm^r. 

und f&r den Elntarrangspankt des Stickstoffs, T « 62,48, folgt 

r + p«80,0. 

Daß diese Zahlen ziemlich genan sind, läßt sich auf folgende 
Weise zeigen. 

De Forcrand ^) hat folgenden Satz aufgestellt: Die mole* 
kulare Sublimationsw&rme eines Gases bei 760 mm Drack ist 
seiner absoluten Siedetemperatur unter diesem Druck pro- 
portional. 

Der Proportionalitätsfaktor schwankt dabei zwischen 28 
und 82, also beträgt im Mittel 30. ^ Wie wir sahen, fanden 
Fischer und Alt die Erstarrungstemperatur von N, zu 62,48 
bei 86 mm Druck; da aber der Einfluß des Druckes auf die 
E^rstarrungstemperatur im allgemeinen nicht groß ist, so muß 
auch die Erstarrungstemperatur des Stickstoffs bei 760 mm 
nur wenig von 62,48 yerschieden sein; mit der normalen Siede- 
temperatur dieses Stoffes 77,33 haben wir also 

77,83 

und daraus 

r + (> = 82,9 bei 62,48, 

welche Zahl nur etwa 3,5 Proz. größer ist, als die auf ganz 
anderem Wege ermittelte Zahl 80,0. Jetzt haben wir 

. Ä « 424 {0,244 . 239,6 + 0,450 . 50,4 + 64,5} Meter 

also rund 

A r=r 62 km. 

Die Sublimationswärme des Sauerstoffs unter 760 mm 
Druck berechnet sich nach der Formel von de Forcrand zu 

Da auch die spezifischen Wärmen des Sauerstoffs nicht weit 
von denselben des Stickstoffs verschieden sind, so schließen 
wir, daß die Höhe der Erdatmosphäre aus reinem Sauerstoff 
etwa 70 — 75 km betragen muß. 

Beachten wir femer, daß die Anwesenheit des Wasser- 
dampfes h höchstens um 1 — 2 km vergrößern kann, so er- 



1) de Forcrand, Compt. rend. p. 879. 1901; Beibl. 25. p. 501. 1901. 

2) So berechnen wir für Wasser bei 0^ C. r + ^ » 622 anstatt 6S0. 



Natur der flüssigen. Luft 421 

gibt sich die Höhe der Ebrdatmosphäre aus Luft niekt viel großer 
als 70 km. Diese Zahl stimmt mit der Polarlichtbeobachtung 
ganz gut überein ^ nicht aber mit den Stemschnuppenbeob- 
achtungen. 

Wir können diese Höhe über 200 km nur dann erhalten, 
wenn wir annehmen, daß die beim Aus frieren des Stickstoffs 
frei werdende £ntmisekungp-(LösungS')Harme mehrere Hunderte 
Ktdarien betrage. Ob das wirklich der Fall ist, müssen die 
zukünftigen Untersuchungen entscheiden. 

Kasan, im Juli 1903. 

(Eingegangen 14. September 1908.) 



422 



52. Über die allgemeinen Differentialgleichnngen 
der Kristalloptik nach der elektromagnetischen Theorie 

des Lichtes. 

Von E. Kobald in Leoben. 



Schon Maxwell, der Schöpfer der elektromagnetischen 
Theorie des Lichtes, hat in der Abhandlung^) „A dynamical 
theory of the electromagnetic field'' und in seinem Treatise 
Differentialgleichungen für die Fortpflanzung des Lichtes in 
zweiachsigen Kristallen entwickelt Hertz ^ hat in engem 
Anschlüsse an die von ihm gegebene Modifikation der Maxwell- 
schen Gleichungen für isotrope Medien allgemeinere Differential- 
gleichungen für anisotrope Medien, gestützt auf gewisse 
Analogien, jedoch ohne einen eigentlichen Beweis, aufgestellt. 
Der Grundgedanke der Hertz sehen Darstellungsweise sowie 
das Ton ihm angegebene System von Gleichungen findet sich 
auch bei den späteren Bearbeitern^ dieses Gegenstandes 
wieder. Lisolange nun die Anisotropie sowohl flir den elek- 
trischen als auch für den magnetischen Zustand zum Aus- 
drucke kommen soll, stimmt der Bau der vorerwähnten 
Gleichungen von Hertz mit dem jener Gleichungen, welche 
aus der Elastizitätstheorie des Lichtes hergeleitet und von 
Lame*) sowie auch von Kirchhoff*) in so eleganter Weise 
dargestellt wurden^ nicht übereiu. Später gelangte Kirchhoff 
auch in seinen Vorlesungen über Elektrizität und Magnetismus^ 
zu Gleichungen von dem L am Aschen Typus, indem er von der 
alten Femwirkungstheorie ausgehend durch Einführung di- 



1) J. C. Maxwell, Scient Pap. 1. p. 588. 

2) H. Hertz, Ges. Werke 2. p. 217. Gl. 5a n. 5b. 

8) Handbnch der Physik von Winkelmann 2. Abt 1. p. 669ff.; 
P. Drnde, Lehrb. d. Optik p. 286 ff.; Oohn, Das elektromagnetische 
Feld p. 555. 

4) G. Lam6, Theorie math^matique de T^lasticit^. 2* id, p. 281. 

5) G. Kirchhof f, G^. Abhandlungen p. 864 ff. 

6) Herausgegeben von M. Planck p. 228. 



Bifferentialgleichunffen der Kristalloptik. 423 

elektrischer Polarisationen den Übergang zu der ,^yon Maxwell 
angestellten elektrischen Theorie des Lichtes'' machte. Im 
Nachstehenden soll nnn gezeigt werden, daß man auch dann, 
wenn man Yon der Maxwellschen Theorie ausgeht, zu analogen 
Gleichungen sowohl f&r den elektrischen als auch für den 
magnetischen Zustand gelangt 

Um die Herleitung der Gleichungen auf eine möglichst 
sichere Grundlage zu stellen, soll das von Helmholtz^) in 
die Elektrodynamik so erfolgreich eingeführte „Prinzip der 
kleinsten Wirkung'' zur Anwendung gebracht werden. 

Das hierbei zu variierende „elektrokinetische Patential", 
welches mit bezeichnet werde, setzt sich aus der elektrischen 
Eiuergie 0^ der magnetischen Energie <2>^ und einem dritten 
erst später zu bezeichnenden Teile, der mit 0g bezeichnet 
werde, zusammen. Dann hat man: 

(1) 0^0^+0^+ 0^. 

Aus Zweckmäßigkeitsgründen mögen statt des in den Hertz- 
sehen Gleichungen vorkommenden Vektors der elektrischen* 
und der magnetischen Kraft die Komponenten der dielektrischen 
Polarisation^ (/*, p, h) und jene der magnetischen Polarisation') 
{a, bj c) eingeführt werden. Bezeichnet man die in der 
Volumeneinheit enthaltene elektrische und magnetische Energie 
beziehungsweise mit F und T, so kann nach Maxwell und 
Hertz in dem gedachten allgemeinen Falle gesetzt werden: 

Bezfiglich der Konstanten Äj.^ . . ., ju^,, . . . ist zu be- 
merken, dafi, wenn im Falle der Isotropie gesetzt wird: 





^1.» = ^».8 = ^8.1 = ^.2 = fS.f = M8,l =- 


(8) 


-^.1 ■" ^«»a =■ -^,8 "^ X 




1 

[ ftfl ■* A*li» ~" M8»8 "" 4ii,j' 



1) H. Helmhol tz, Wissenschaftliche Abhandlungen 8. p. 476 ff. 

2) Im Boltsmann, Vorlesungen über Maxwells Theorie 1. § 85. 
8) EL Harte i.e. p. 228 und 824. Daselbst sind (a, 6, e) mit 

(ftS, V9R, «9{) beMichnet. 



424 E. Kobold, 

die Größe K die Dielektrizitätskonstante und fi die Magneti- 
sierungszahl — Permeabilität — bedeutet 

Wird das Baumelement mit dr bezeichnet^ so sind die 
elektrische und magnetische Energie dargestellt mittels der 
Gleichungen : 

(4) •; 

Hierin kann man sich die Integrationen über den ganzen un- 
endlichen Raum erstreckt denken. 

Die magnetische Polarisation {a, b, c) möge nun durch 
einen neuen Vektor [F, G, H), welcher von MaxwelP) als das 
elektrokinetische, von Poincarö^ und von Boltzmann^ als 
das elektromagnetische Moment bezeichnet wird und mit dem 
von Heaviside und Hertz aus der Maxwellschen Theorie 
hinausgeschafften Vektorpotential im Falle der Isotropie 
identisch ist, mittels der Gleichungen dargestellt werden: 



dB 
dy 


dQ 
d% 


. dF 


dH 

dx 


d 


dF 



(5) 



dx dy 

Der Teil des elektrokinetischen Potentials^ welcher oben 
mit <2>^ bezeichnet, aber noch nicht definiert wurde, sei durch 
das über den ganzen unendlichen Raum erstreckte Integral, 
in welchem t die Zeit bedeutet, dargestellt: 



(«) 



*.--/('--K + «-lf+*4T)'"- 



Die Wahl von 0, ist derart getroffen, daß für jene Werte 

der Variablen, für welche: 

(7) 8j0.dtmxO 

ist, ^ 



1) J. C. Maxwell, Treatise 2. § 590; Scient Pap. 1. p. 55. 

2) J. Poincare, ilectridt^ et Optiqae 1. § 180 et § 167. 

3) L. Boltzmann, VorleBongen 1. Art 88. 



Differentialffleichungen der Krütalloptik, 425 

also auch 

(7 a) 0=0.-0^ 

wird. 

Faßt man also die elektrische und magnetische Energie 
beziehungsweise als potentielle Energie und lebendige Kraft 
wägbarer Massen auf^ so ist für den gedachten besonderen 
Fall das aus (7a) sich ergebende^ zu Tariierende Integral 
identisch mit Hamiltons Prinzipalfunktion. 

Denkt man sich zunächst die in (7) angedeutete Variation 
nach [Fj 6, H) als unabhängigen Variablen ausgeführt, so 
ergibt sich: 

oder nach (5) 

(7b)| '^\db * dx de ' dy )'^\de' dx da' dx ) 

ldT_ dÖH dT dorn 
■*" [da' dy dh' dx )' 

k f. 

k h 

Man wende nunmehr in den Raumintegralen, welche nach 
(7 b) die Ableitungen von [SF, SG, SH) nach (ar, y, z) ent- 
halten, die teilweise Integration an und erwäge, daß im Un- 
endlichen die Variationen der unabhängigen Veränderlichen 
als verschwindend angesehen werden dürfen. Setzt man so- 
dann die in den Raumintegralen vorkommenden Faktoren von 
{SFj SOf SH) einzeln gleich Null, so ergibt sich das erste 
System der gesuchten Gleichungen: 



(8) 



df ^ d dl 
d i d y de 


d 
dx 


dg _ d dT 


d 


di ~ dx da 


dx 


dh d dT 


d 



dl 



dh 

dl 

de 

dT^ 

Bt'^daBb dy d a ' 



426 



E. Kobold. 



Variiert man das Integral (7) nunmehr nach den Va- 
riabein if, ff, h)j 80 wird z. B. bei der Variation nach der 
unabhängigen Variabein f: 

k k 

Integriert man in dem zweiten Teile dieses Integrals 
partiell nach t^ so erhält man die drei weiteren Gleichungen: 



(9) 



dF 


dV 


dt 


~ ^f 


dO 


d V 


dt 


~ dg 


dH 


d V 



dt 



dh 



dieselben sind offenbar die ^^Dielektrisierangsgleichungen*'^) für 
ein anisotropes Medium, wenn keine äußeren elektromotorischen 
Kräfte wirken. Durch Kombination derselben mit den Gleichun- 
gen (5] ergibt sich das zweite System der gesuchten Gleichungen: 



(10) 



da 


d 


dt 


^ dx 


dh 


d 


dt 


"" dx 


de 


d 


~d t 


~ dy 



d V 

dg 

d V 
dh 

d V 



d 

d 
dx 

d 



d^V 
dh 

dV 

d'f 
d V 



dx dg 



Führt man in die Gleichungen (8), (9), (10) die Funktion 

ein, so nehmen dieselben die übersichtliche Form an: 

Jf ^ _d_ d^ d d^ 

(8a) ' ^'^ ^ 



dt 



d y de 



dx db 



dF __ d^ 



(9a) 



dt 



df 



(10a) 



da 




d 


«e 


d 


a© 


dt 

• 


• 


9y 

• • 


dh 

• • 


dx 

• • 


dg 

• • 



1) L. Boltsmann, YorL üb. Max welle Theorie etc. L Teil p. 79. 



Differentialgleichungen der KristaUoptUu 427 

Charakteristisch f&r die gefundenen Gleichungen ist das 
Auftreten von genau transversalen Wellen, sowohl wenn ftir 
den Lichtvektor jener des elektrischen Zustandes (/*, g^ h) als 
auch wenn jener des magnetischen Zustandes (a, b, c) gewählt 
wird. 

Nachträglich soll noch gezeigt werden, daß, wenn die aus 
dem Minimalprinzip hervorgehenden Gleichungen (8) erfüllt 
sind, tatsächlich, wie schon früher behauptet wurde, 

0,« -20. 
wird. 

Unter der vorerwähnten Voraussetzung wird nämlich: 

* Jl Uy de d% dh)^^\dx da dtde) 



[dt db ~dy da)] 



Durch Anwendung der teilweisen Integration auf der rechten 
Seite dieser Gleichung erhält man mit Bücksicht auf (5): 



-<". 



/(«4^+»4f+'4f)<"-2/"'. 



d. L 0^=-20.. 

Die Gleichungen (8) erhält man auch, wenn man nach 
Boltzmann') der Prinzipalfunktion von vornherein die 
Hamiltonsche Form erteilt, wobei bezüglich der Bolle, welche 
den Energiewerten 0^ und 0. zufällt, die früher gemachte 
Bemerkung gilt Bei Annahme dieser Form des Minimal- 
prinzips müssen die Dielektrisierungsgleichungen (9) a priori 
als gegeben vorausgesetzt werden. 

Diese Voraussetzung ist mit der Max well sehen Theorie 
eines anisotropen Dielektrikums in voller Übereinstimmung. 
ESnerseits sind nämlich im vorliegenden Falle die Komponenten 
der elektromotorischen Kraft der Induktion die Ableitungen 

\ ,dt\ dt' dt)' 
während dieselben andererseits, wie im 1. Bande des Treatise*) 

1) Lb Boltsmann, Vorlesangen über MaxwelU Theorie der 
Elektrisitit und des Lichtes. IL TeU p. 7. 
8) § 101 e and 101 f. 



428 E. Kobold. 

ausgeführt ist, lineare Funktionen der dielektrischen Ver- 
schiebungen (f, ff, h) sind, welche unter der Form 



/ d V d V dJV^\ 
[ df ' dg ' dh ) 



darstellbar sind. In der Gleichung: 

(11) öfdtf{T^ r)dT = sfdtJ^dT = ü 

h k 

ist nach dem Bemerkten f&r F zu setzen : 

(12) _2r-/-.-y^+^4? +A^^ 



dt ' ^ dt ' dt ' 

die Variationen in Gleichung (11) sind so zu bilden, dafi hierbei 
{F, G, H) als unabhängige Yariabeln anzusehen sind. Aus 
(12) ergibt sich zunächst 



-(A^.^+4f.,+ 4f.A),ih. 



(18) -Sr^f'-^+g-^^ + h-^. 

Für die Variation 8 T ist der Wert aus (7 b) zu entnehmen. 
Nachdem man die bezüglichen Werte in (11) eingesetzt hat, 
ist in den Integralen, welche die Ableitungen der Variationen 
[8F, SO, SB) nach den Koordinaten bez. nach der Zeit ent- 
halten, die teilweise Integration ausgeführt zu denken. Be- 
achtet man das Verschwinden der Variationen der unab- 
hängigen Veränderlichen im Unendlichen, so ergeben sich 
durch Nullsetzung der Faktoren von [SF, SG, iE) in den 
Baumintegralen abermals die Gleichungen (8). 

Es mag noch die Bemerkung Platz finden, daß sich auch 
die entsprechende Verallgemeinerung des Poynting sehen 
Theorems leicht beweisen läßt Multipliziert man nämlich die 
Gleichungen (8) bez. mit 

/ d V dV dV \ 
[ df ' dg ' dh ) 

und addiert sie sodann zueinander und ftlhrt man dieselbe 

Operation mit 

/ dT dT d T \ 

[ da ' db ' de ) 



E. Kobold. DiffertniuügkkhMngmi der KrutaUapOL 429 
in bezug auf die Gleichimgen (10) aus, so erhält man zunächst 

BiV-^- T) _ \db* dk de ' dg) [ de * df da ' dkf 

dt " dx ■*■ ay " 



/ÖT dV^_d.T dr\ 
^[vd'dg db* df) 



Multipliziert man beide Seiten dieser Gleichung mit dem 
Raumelement dr und integriert in bezug auf den ganzen 
betrachteten Baum, so wird, indem die Raumintegrale rechter 
Hand des Gleichheitszeichens sich in Oberflächenintegrale 
umsetzen: 



(14X 



d {0e + ^J 

dt 



j\ \db dk de dg) 



in dieser Gleichung bedeutet dm das Oberflächenelement und 
{l, m, n) sind die Kosinusse der Winkel, welche die Normale 
mit den Koordinatenachsen einschließt 

(Eingegangen 15. September 190b.) 



480 



53. Über den Baum der Atome nnd Molekflle. 

Von J. Traube in Berlin. 



Seit einer Beihe von Jahren mit Arbeiten über den 
Baum der Atome ^) beschäftigt, erscheint es mir wünschens- 
wert, den wesentlichsten Inhalt dieser Arbeiten in einer kurzen 
MitteiluDg zusammenzufassen. 

Indem ich nach Kopps Methode die für gewöhnliche Tem- 
peratur berechneten Molekularvolumina (Molekulargewicht : 
Dichte) solcher Verbindungen miteinander verglich, welche sich 
um eine bestimmte Differenz der Zusammensetzung unter- 
schieden, gelang es mir die Atomvolumina zu berechnen, und 
für das Molekularvolumen F^ den folgenden Ausdruck zu 
finden: 

2F^ ist die Summe der Atomvolumina, Q> eine Größe, 
welche von mir als molekulares Eovolumen bezeichnet und 
als der Raum gedeutet wurde, welcher den Atomen zu ihrer 
fortschreitenden Bewegung zur Verfügung steht (Baam für den 
freien Äther). 

Die Bedeutung dieser Gleichung wurde sogleich ersicht- 
lich, als ich van der Waals Zustandsgieichung in den Kreis 
der Betrachtungen hineinzog. Es ergab sich, daß die Werte F^ 
identisch^ waren mit van der Waals Größen 6, sobald diese 
Größen nach van der Waals Gleichung durch Einsetzung 
der Volumenwerte für den flüssigen Zustand für zwei be- 
nachbarte Temperaturen berechnet werden. war somit 
nichts anderes als die Größe v — & von van der Waals, und 



1) Vgl. die ZuBammenstellung: J. Traube, Über den Raam der 
Atome, F. B. Ahrens Samml. ehem. n. chem.-techn. Vort, Enke, Statt- 
gart 1S99; femer Ann. d. Phys. 5. p. 548. 1901 n. 8. p. 267. 1902; 
Zeitschr. f. anorg. Chem. 34. p. 418 und 37. p. 225. 1903; Physik. Zeitschr. 
4. p. 569. 1908. 

2) J. Traube, Ann. d. Phjs. 5. p. 552. 1901. 



Itaum der Atome und Moleküle, 481 

obige Oleichong ging in yoUer Übereinstimmung mit van der 
Waals Theorie über in die Gleichung 

ü =s i + (t> — i). 

H. Kopp hatte vor mir die Molekularräume von Ver- 
bindungen bei ihren Siedepunkten verglichen und er war zu 
der Gleichung gelangt: 

Dieser Widerspruch von Kopps Gleichung und der- 
jenigen von mir wird leicht beseitigt, wenn man bedenkt, 
daB die normalen Siedepunkte annähernd übereinstimmende 
Temperaturen sind, und für solche Temperaturen sind die 
Werte b und v^-b einander proportional Kopp hat aus 
diesem Grunde die Größe = ü — & übersehen. 

Wir wollen nunmehr die Größen 2V^^b und (p^v^b 
gesondert betrachten und die wichtigsten Ergebnisse meiner 
Arbeiten hinsichüich dieser Größen zusammenfassen. 

Die Atomr&ome UV^^b und das Kemvolumen, die 

n* + 2 d 

Nach Tan der Waals ist die Größe b Tiermal so groß 
als derjenige Raum, welchen ich als das Eemvolumen be- 
zeichnet habe, d. h. der Raum, welcher von der ponderablen 
Materie als solcher eingenommen wird, b ist nach Glausius 
gleich jenem Eemvolumen vermehrt um die UüUe von ge- 
bundenem Äther, in welche kein anderes Atom eindringen 
kann. Nach der Theorie von Clausius-Mosotti-Exner ist 
in roher Annäherung ein Maß jenes Kemvolumens die Größe 

n«- 1 1 



~j~ 9 



wenn wir ftr die Dielektrizitätskonstante aus noch nicht ge- 
nügend aufgeklärten Gründen besser den optischen Brechungs- 
index substituieren. 

Es wurde nun von mir gezeigt^), daß in der Tat, soweit 
die Theorie dies erwarten läßt, in roher Annäherung 

n«- 1 1 



b^4 



fi«+ 2 d 



1) J. Traube, Ann. d. Phjs. 5. p. 652. 1901. 



432 J: Trmbt. 

ist, und damit wurde eine Bestätigung der Ansichten Ton 
van der Waals einerseits, der Annahmen von Clausius- 
Mosotti-Exner andererseits erbracht Voraussetzung ist in 
dessen, daß die Größe b aus dem Verhalten des flüssigen Zustan- 
des abgeleitet wurde. Berechnete man dieselbe aus dem Verhalten 
der Gase, so wurde aus dem Faktor 4 der Faktor 4y2.^) 

Es wurde nun femer ^ von mir gezeigt, daß die Größe b, 
sowie dieselbe beispielsweise nach Kopps Methode berechnet 
wurde, nur einen Mittelwert darstellte. Der fiaum der Atome, 
die Größe b, erwies sich als veränderlich, und zwar von Ver- 
bindung zu Verbindung. Es ließ sich der später auch von 
Richards bestätigte Satz^ aufstellen, daß der Baum eines 
Atoms [b) um so kleiner ist, je größer die Affinität zu den 
benachbarten Atomen ist Dieser Satz besagt eigentlich nichts 
anderes, als daß die von jeher als kompressibel angesehenen 
Atome durch den Affinitätsdruck im Verhältnis zu der GröBe 
desselben verkleinert werden. Damit wird die Kontraktion der 
Atome ein wichtiges Maß der Affinität, und der von mir *) be- 
reits erwähnte, von Richards^ weiter erbrachte Nachweis, 
daß jene Kontraktion der Atome in nächster Beziehung steht 
zur Bildungswärme der Verbindungen, ist von größter Be- 
deutung. 

Der umstand, daß infolge einer verschiedenen Affinität der 
Raum eines Atoms oft wesentlich verändert wird durch die 
Nachbarschaft anderer Atome, ermöglichte in chemischer Hin- 
sich nicht unwichtige Schlüsse auf die Konstitution und Kon- 
figuration von Verbindungen. So ist beispielsweise mit dem Ring- 
schluß zum Benzolring eine erhebliche Verkleinerung des Volu- 
mens der Kohlenstoff- und Wasserstoffatome verbunden, und es ist 
möglich, auf volumetrischem Wege die Zahl und Qualität der 
Ringe, ja selbst der Ringspannungen ^ vorauszusagen. Von 
Interesse f&r die Atomistik war es, die auf diesem Wege ge- 



1) J. Traube, Ann. d. Phys. 5. p. 560. 1901. 

2) Raum der Atome 1. c. p. 22 u. Ann. d. Phys. 1. c. p. 550. 1901. 

3) Th. W. Richards, Zeitschr. f. phys. Chem. 40. p. 172 u. 184. 1902. 

4) J. Traube, Zeitschr. f. anorg. Chem. S. p. 23. 1892. 

5) Th. W. Richards, Zeitschr. f. phys. Chem. 40. p. 171 u. 547. 1902. 

6) J. Traube, Raum der Atome L c p. 26. 



Baum der Atome und Moleküle, 483 

fondenen Volumenschwankungen der Größen b za vergleichen 
mit der Variabilität der Größe 

n* - 1 1 

n« +"2 d ' 

welche als rohes Maß des Kernvolumens angesehen werden 
darf. Wie Landolts und Brühls Arbeiten gezeigt haben, 
wird auch dieses Kemvolumen der Atome durch den meist 
viele Tausende von Atmosphären betragenden Afiinitätsdruck 
beeinflußt, wenn auch die Kontraktionen der dreimal so großen 
„Ätherhülle'' naturgemäß weit erheblicher sind, als diejenigen 
des inneren Kernes der Atome. 

Man kann die Größen b auch, wie ich gezeigt^) habe, 
ans dem Verhalten der Lösungen feststellen, mit Hilfe der 
von mir als Lösungsvolumen bezeichneten Größe, d. h. das 
Volumen der Lösung vermindert um das wirkliche oder schein- 
bare Volumen des Lösungsmittels. Auch dieses Lösungs- 
volumen setzt sich zusammen aus den Atomräumen, den 
Größen &, und einem molekularen Kovolumen v — b. Die auf 
diesem Wege namentlich für verdünnte wäßrige Lösungen 
nach Kopps Methode berechneten ^-Werte stimmten im Mittel 
mit den aus homogenen Flüssigkeiten berechneten 3 -Werten 
überein, zeigten indessen wegen Wegfalls mancher Störungen 
wesentlich geringere Schwankungen als jene, wenngleich auch 
hier die konstitutiven Einflüsse sich geltend machten. 

Zu vielfach auffallenden Zahlenverhältnissen wurde ich ge- 
flihrt \ als ich die auf diesem Wege gefundenen Atomvolumina 
verwandten Elemente miteinander verglich. Die gesetzmäßigen 
Beziehungen der kiomräume verwandter Elemente sind noch 
zahlreicher als diejenigen der Atomffewichte, und ich habe den 
Gedanken ^ ausgesprochen , daß wir vermutlich zu einer weit 
vollendeteren Systematik der Elemente gelangen, wenn wir an 
Stelle des auf zu einseitigem Prinzip beruhenden und mit 
großen Mängeln behafteten periodischen Systems ein System 
wählen, in welchen Elemente und Verbindungen in einer Reihe 
DAtOrlicher Familien eingeordnet sind, bei deren Aufstellung 



1) J. Traube, Baum der Atome p. 1 u. f. 
Q L 0. p. 9 Q. f. 
8) L e. p. 12. 

28 



484 J. Traube. 

die räumlichen Beziehungen der Atome ebenso ausschlag- 
gebend wären, wie diejenigen der Masse. Es zeigte sich 
namentlich, daß die Eigenschaftsänderung eines Elementes beim 
Übergang aus dem elementaren Zustande, in den Zustand 
einer Verbindungsstufe, und aus dieser wieder in eine andere 
Verbindungsstufe, namentlich also auch der Valenzwechsel, 
und damit auch die elektrochemischen Beziehungen in inniger , 
wenn auch bei weitem noch nicht genügend untersuchter Be- 
Ziehung zu den räumlichen Änderungen der Atome stehen. 
Die Größe b ist ebensowenig wie die Größe 

n* - 1 1 
w« + 2 d' 

das Eemvolumen eine Funktion der Temperatur ^), aber beide 
Größen sind Funktionen des Druckes, die Atome sind kom- 
pressibel, und darauf ist es zurückzuführen, daß auch die 
Größe b im gasförmigen Zustande wesentlich größer ist, als 
im festen und flüssigen Zustande.*) 

Auf p. 431 und 482 wurde darauf hingewiesen, daß 

4 41/2 4^ i- 

ist, während 

sich berechnet, sofern man von den assoziierten Flüssigkeiten 
absieht Da das Eemvolumen, die Größe 

w» + 2 d 

nach Brühls u. a. Berechnungen vom Aggregatzustande unab- 
hängig ist, so folgt, daß b f&r den Gaszustand größer ist als 
für den Flüssigkeitszustand. Auch die Anwendung von van 
der Waals Gleichung auf Gase und Flüssigkeiten führt zu 
dem gleichen Ergebnis. 

Der Grund liegt, wie erwähnt, in der Kompressibilität 
der Atome. Wie nach p. 8 der Affinitätsdruck eine Kon- 
traktion der Größen b herbeiführt, so läßt sich auch nach- 



1) Ann. d. Phys. 8. p. 267. 1902; Zeitschr. f. anorg. Chem. 84« 
p. 418. 1903; Phys. Zeitschr. 4. p. 569. 1908. 

2) 1. c. 



Baum der Atome und Moleküle. 435 

weisen^), daß durch äußeren Druck die Atome komprimiert 
werden, und es ist danach zu erwarten, daß der unter ge- 
wöhnlichen Verhältnissen ca. 1000 Atm. betragende innere 
Druck afv^ auch eine erhebliche Verkleinerung der Größe b 
hervorbringt. Wird der innere Druck aufgehoben, wie bei der 
Verdampfung, so wird h wesentlich größer, und ich habe be- 
rechnet *), daß ufäer den Bedinffungen, welche die Verdampfungs- 
erscheinungen im geschlossenen Rohre in der Nähe der kri" 
tischen Temperatur darbieten. hg„ gleich etwa 2 b^ ist, d. i. das 
Volumen beim absoluten Nullpunkte. Ein Gason ist unter 
obigen Bedingungen zweimal so groß als ein Fiuidon. Indessen 
ist es sehr wahrscheinlich, daß der Maximalwert eines Gasons 
wesentlich größer ist. ^ Es ist sehr bemerkenswert , daß 
van der Waals sich jenen Anschauungen Ton mir in neuester 
Zeit^) voll und ganz anschließt, selbst bis auf die Gleichung 
^fu "■ 2&o* I)i® Priorität für jene Annahme darf indessen ich 
mir wohl zuschreiben, da ich zuerst jene Hypothese ener- 
gisch verfochten, und auf ihre zweifellos sehr weitgehen- 
den Folgerungen ^) hingewiesen habe. Wieweit die Anwen- 
dung dieser Hypothese von räumlich verschiedenen Gas- und 
FlüssigkeitsmolekUlen die Theorie des kritischen Zustandes be- 
einflußt^ soll hier nicht weiter erörtert werden, auch scheint 
mir die Frage, ob Gasonen und Fluidonen in der flüssigen 
und Gasphase in einem von der Temperatur abhängigen Ver- 
hältnisse ineinander löslich sind \ aus einigen Gründen wahr- 
scheinlich, indessen noch nicht hinreichend sicher gestellt. 
Fast scheint es, als ob der Übergang der Fluidonen in Gasonen 
ein langsam verlaufender Vorgang ist. 



1) Zeitschr. f. anorg. Chem. 1. c. p. 425. 

2) J. Traube, Aon. d. Phys. 8. p. 295. 1902. 

8) J. Traube, Phys. Zeitschr. 1. c. und Zeitschr. auorg. Chem. 37. 
p. 226. 1908. 

4) Van der Waals, Akad. Wet. Amsterdam, 23. Juli 1903. 

5) J. Traube Ann. d. Phys. 5. p. 560. 1901; ferner 8. p. 267. 
1002 and Phys. Zeitschr. 1. c; vgl. dagegen van der Waals, Zeitschr. 
f. phys. Chem. 88. p. 257. 1901. 

6) 1. c. Vgl. auch demnächst 1904 erscheinende Mitteilungen von 
Teiohner in den Ann. d. Phys. und von mir Zeitschr. anorg. Chemie. 

7)L e. 

28» 



436 /. Traube. 

Während der Übergang vom flüssigen in den gasförmigen 
Zustand mit einer Änderung der Größe b verbunden ist^), 
die in der Berechnung der Verdampfungswärme^ der spezifi- 
schen Wärmen^ der Aufstellung und Deutung der Isothermen 
ihren Einfluß geltend macht, bleibt beim Übergang vom 
flüssigen in den festen Zustand die Größe des Fluidons un- 
geänderty wie ich unter Anwendung von Kopps Methode, so- 
wie von van der Waals Gleichung^ nachgewiesen habe. 

Bemerkenswert ist, daß für die nach 10000 Atm. zählenden 
Affinitätsdrucke, sich ein Einfluß nicht nur auf die Konstante b, 
sondern auch auf das Kemvolumen 

n« - 1 1 



nachweisen ließ, während der wesentlich kleinere innere 
Druck ajv^ nur die Bäume der Atomhüllen 

b — ^*"" ^ ^ 
w« + 2 d 

und nicht diejenigen der Atomkerne 

n« - 1 1 

w»4- 2 d 

ZU beeinflussen scheint. 

Das molekulare Kovolumen v — b. 

Das molekulare Kovolumen ist im Gegensatz zum Kern- 
volumen und der Größe b nicht nur eine Funktion des Druckes, 
sondern auch der Temperatur. 

Was die Funktion des Druckes betrifil, so folgt dasselbe 
streng in allen drei Aggregatzuständen dem Gesetze von Boyle- 
van der Waals, in bezug auf die Temperatur ebenso streng 
dem Gesetze von Charles-Gay-Lussac-Dalton. Auch gilt 
namentlich für den flüssigen Zustand in roher Annäherung 
das Gesetz von Avogadro^, insofern bei gleicher und ge- 
wöhnlicher Temperatur für die meisten Flüssigkeiten sich die 
inneren Drucke a/v^ als nicht sehr verschieden erwiesen haben. 



1) 1. c. 

2) J. Traube, Raum der Atome, 1. c. p. 34 u. Zeitschr. f. auorg. 
Chem. L c. 

3) J. Traube, Ann. d. Phys. 5« p. 553. 1901 und Raum der 
Atome L c. 



Baum der Atome und Moleküle. 437 

Die Berechnung des Eovolumens für Flüssigkeiten wie 
auch feste Stoffe erfolgt weniger genau nach Kopps Methode, 
genauer nach van der Waals Gleichung, insofern diese Glei- 
chung sich auch auf den festen'^) Zustand als anwendbar er» 
wiesen hat. Für den flüssigen Zustand berechnete ich für 
die meisten normalen, d. L nicht assoziierten Flüssigkeiten, 
das Kovolumen pro Grammmolekül bei 0^ und 76 cm zu 
ca. 25 ccm. Da das molekulare Kovolumen der Gase unter den- 
selben Bedingungen gleich ca. 22 400 ccm ist, so berechnet 
sich der innere Druck ajv^ der meisten Flüssigkeiten im Mittel 

22 400 



26 



= ca. 900 Atm. , 



eine Zahl, welche mit anderen Berechnungen übereinstimmte. 
Für assozierte Flüssigkeiten, wie Hydroxylverbindungen etc. 
waren die molekularen Kovolumina ihrem Assoziationsgrade 
entsprechend mehr oder weniger kleiner als 25 ccm und man 
konnte auf diesem Wege unter der allerdings nur in roher 
Weise zulässigen Anwendung des Gesetzes von Avogadro 
eine rohe Berechnung des Assoziationsfaktors herbeiführen \ 
die bei dem Mangel besserer Methoden zurzeit nicht ohne Be- 
deutung ist. Ebenso hat die von mir auf die Anwendung des 
Satzes von Avogadro begründete Methode zur Berechnung 
des einfachen Molekulargewichts ^ trotz der rohen Voraus- 
setzungen auch jetzt noch ihre Bedeutung. Namentlich gilt 
dies f&r Stoffe, welche in wäßriger Lösung sich befinden. Ich 
habe gezeigt, daB hier in verdünnter Lösung^] für die Nicht- 
leiter das molekulare Lösungsvolumen gleich ist der Summe 
der Atomräume und einem molekularen Kovolumen, dessen 
OröBe nur geringen Schwankungen unterworfen ist und bei 
gewöhnlicher Temperatur gleich etwa 12,4 ccm ist Der Satz 
Ton Avogadro gilt hier jedenfalls wesentlich genauer als für 
homogene Flüssigkeiten, und die Gleichheit des molekularen 
Eorolumens ermöglicht eine einfache Methode der Molekular- 
gewichtsbestimmung. Da das molekulare Kovolumen einer 



1) J. Traube, Zeitschr. f. anorg. Chem. 1. c. 
8) J. Traube, Raum der Atome p. 40. 
8) L e. p. SS. 
4) L e. p. 86. 



438 /. Traube. 

homogenen nicht assoziierten Flüssigkeit meist von 25 com 
nicht sehr verschieden ist, in wäßriger Lösung gleich ca. 12,4 ccm 
beträgt^ so folgt, daß auch die Kontraktion beim Lösen eines 
Grammmoleküls keine großen Schwankungen zeigt, und im 
Mittel gleich 25 — 12,4 ccm ist 

Es ist bemerkenswert, daß mit der Spaltung in Ionen 
pro Grammion eine etwa ebenso große Kontraktion ^) verbun- 
den ist 

Die Berechnung der molekularen Kovolumina fester Nicht- 
leiter nach Kopps Methode^ führte zu Zahlen, welche meist 
nicht viel größer als halb so groß waren wie die molekularen 
Kovolumina homogener Flüssigkeiten. Indessen da bei man- 
chen derartigen Verbindungen, beispielsweise der racemischen 
Traubensäure etc. die doppelte Molekulargröße außer Zweifel 
stand, hier aber zu einem doppelt so großen Kovolumen wie bei 
den anderen festen Verbindungen führte, so war die Annahme 
nicht zu kühn, daß allgemein die scheinbare Halbierung des 
Kovolumens beim Übergang vom flüssigen in den festen Zustand 
auf eine Verdoppelung des Molekulargewichts zurückzuführen 
wäre; eine Annahme, welche durch die Proportionalität*) der 
Volumenvergrößerung beim Übergänge vom flüssigen in den 
festen Zustand mit abnehmendem Assoziationsgrade der Flüssig- 
keit gestützt wurde. Es ist dies die erste und einzige Me- 
thode zur Bestimmung des Molekulargewichts fester homogener 
Stoffe. 

Die Kovolumina fester Elemente*) nach van der Waals 
Gleichung haben sich als sehr klein erwiesen, besonders die- 
jenigen der Metalle. Die mit Hilfe derselben berechneten 
inneren Drucke erwiesen sich danach als sehr groß, beispiels- 
weise berechnete sich ajv^ für Gold gleich 176 000 Atm., für 
Diamant gleich 5 458 000 Atm. 

Diese Werte waren für die dem Gesetze von Dulong 
und Petit folgenden Elemente^) gerade dreimal so groß 
als die Werte C[dtjdv), wenn C die Atom wärme und dvfdt 



1) J. Traube, Raum der Atome p. 47. 

2) J. Traube, Raum der Atome p. 35. 

3) 1. c. p. 34. 

4) J. Traube, Zeitschr. f. anorg. Chem. 1. c. p. 414. 

5) 1. c. p. 416. 



Baum der Atome und Moleküle. 439 

die Anderang des Volumens mit der Temperatur bezeichnet. 
Sie gingen bei den Metallen parallel den Härten und Elasti- 
zitätsmoduln« ^] 

DaB van der Waals Gleichung auch auf den festen 
Zustand anwendbar war, wurde insbesondere dadurch erwiesen, 
daß mit Hilfe der gewöhnlichen Ausdehnungskoeffizienten die 
Werte 

v'-b dt' 

d. h. die Änderung der Volumeneinheit des Kovolumens, die Aus^ 
dehnungtkoeffizienten des Kovolumens berechnet wurden.^ Dieser 
Ausdehnungskoeffizient war (abgesehen von den Halogenen) all- 
gemein sehr angenähert gleich Y^ts* Wird daher einem festen 
Element Wärme zugeführt^ so erfolgt keine Ausdehnung der 
Eonstante b, sondern nur eine solche des Kovolumens v — b. 
In dieser Abhängigkeit von der Temperatur liegt der wesentliche 
Unterschied der Volumengrößen 

n«- 1 1 

und b einerseits, der Größe v — b andrerseits. Zu denken geben 
schließlich die multiplen Beziehungen, welche fbr b und 

n*- 1 1 
n« + 2 d 

im allgemeinen sowie ftlr b und v — b im besonderen für 
übereinstimmende Temperaturen, also für die drei Größen be- 
Btehen, welche nach dieser Theorie das Volumen zusammen- 
setzen. Bedenkt man, daß es sich hier um das Materie- 
Tolnmen, und um den Raum des ,,gebundenen'' und „freien 
Äthers'' handelt, so möchte man glauben, daß die Volumen- 
chemie berufen ist, über sehr wichtige fundamentale Fragen, 
welche das Wesen der Materie berühren, und voraussicht- 
lich über noch zahlreiche nicht minder bedeutsame andere 
Fragen, wie über das Wesen der Affinität und Valenz, in ent- 
scheidendem Sinne mitzureden. 

1) J. Traube, Zeitschr. anorg. Chem. I. c. p. 420. 
S) L 0. p. 414. 



440 J. Traube. Raum der Atome und Moleküle. 

Von besonderer Bedeutung dürfte es sein, wenn es ge- 
lingen sollte, die neue Elektronenlehre mit der Yolumen- 
theorie in Beziehung zu setzen. 

Es liegt hier ein überaus fruchtbares Feld vor, welches ver- 
dient, weit mehr beachtet zu werden, als dies bisher geschehen 
ist Mir scheint, man braucht kein Prophet zu sein, um zu 
behaupten, daß eine eingehende experimentelle Bearbeitung 
dieses Gebietes, wie sie mir leider in meiner gegenwärtigen 
Stellung nicht möglich ist, so befruchtend auf die verschieden- 
sten Gebiete der physikalischen Chemie einwirken würde, wie 
wohl kaum ein zweites Forschungsgebiet. 

Charlottenburg, Techn. Hochschule. 

(Eingegangen 17. September 1903). 



441 



54. Objektive Darstellung 
der Interferenz des polarisierten Lichtes. 

Von Ernst Mach in Wien. 



Bei Gelegenheit seiner mit Arago angestellen Versuche 
über Interferenz des polarisierten Lichtes erkannte Fresnel 
schon, daß das unpolarisierte (^^natürliche''] Licht in zwei gegen- 
einander senkrechte linear polarisierte, nicht sichtbar inter- 
ferierende (yyinkohärente^') Komponenten gleicher Intensität sich 
zerlegen läßt Aus dieser Tatsache folgt schon die Zerlegbar- 
keit des anpolarisierten Lichtes in zwei gleich intensive in- 
kohärente entgegengesetzt zirkulär, oder entgegengesetzt ellip- 
tisch polarisierte Komponenten. Doch wurde diese weitere Ein- 
sicht erst durch die Arbeiten von Stokes, Airy, Lippich 
und Verdet gewonnen, und sie geht auch aus der richtigen 
Interpretation der schönen von Stefan zum Beleg einer anderen 
Meinung über das unpolarisierte Licht ausgeführten Versuche 
hervor. 

Vt^egen der fundamentalen Wichtigkeit der Fresn eischen 
Elzperimente habe ich seinerzeit mitmeinem damaligen Assistenten 
Rosicky^) versucht, dieselben für den Unterricht in eine klare, 
übersichtliche, jede Täuschung ausschließende Form zu bringen. 
Bei Revision des Manuskriptes meiner Vorlesungen über Optik 
fiel mir ein Mangel dieser älteren Experimente auf, der darin 
besteht^ daß sie sich nur zur subjektiven Einzelbeobachtung und 
nicht zur Projektion eignen. Es ist mir nun gelungen, zwei 
Versuchsformen zu finden, welche von diesem Mangel frei sind.^ 



1) EL Mach und W. Rosicky, Sitzungsber. d. k. Akademie der 
WiMenaeh. lu Wien 72. II. Abt. p. 197. 1875. 

2) Ich maBte mich bei meinem Leiden, welches mir unmöglich 
macht, selbst ca experimentieren, darauf beschränken, den Plan der Ver- 
mehe su entwerfen. Mein ältester Sohn, Dr. med. Ludwig Mach, hat 
die Experimente im Detail sorgfältig ausgeführt, während ich die Auf- 
•taUang imd die EigebuiBse kontrolliert habe. 



442 



E. Mach. 




Zur Spaltung des unpolarisierten Lichtes in linear polari- 
sierte Komponenten verwende ich nicht Gips, dessen sich 
Fresnel bedient hat, und auch nicht Turmalin, der später 
oft benutzt worden ist, sondern^ wegen seiner optischen Rein- 
heit und Vollkommenheit, Quarz. Mit Turmalin vereinfachen 
sich zwar die Versuche, werden aber sehr lichtschwach und 
leicht sehr unrein. Eine planparallele, achsenparallele Quarz- 
platte von etwa 1 mm Dicke wird senkrecht zur Achse durch- 
schnitten, das eine Stück wird in seiner Ebene um 90^ ge- 
dreht und an das andere genau angefügt Beide so neben- 
einander liegende, durch eine scharfe 
Grenze getrennte Stücke werden zum 
Ausgleich der Un Vollkommenheiten des 
Kristallschliflfes zwischen gute Plan- 
gläser mit Canadabalsam eingekittet. 

In Figur 1 bedeute / eine Quarz- 
platte mit vertikaler, // eine gleich 
dicke mit horizontaler Achse. Das un- 
polarisierte Licht, welches die Quarz- 
platten, vom Beschauer ausgehend, 
durchsetzt, wird in die vertikal polari- 
sierten Komponenten v^ v^ und in die 
horizontal polarisierten Komponenten Aj, h^ gespalten. In 1 
wird Äj ebensoviel verzögert als v^ in 77, wie dies die 
Zeichnimg andeutet. Führt man nun die beiden interferieren- 
den Bündel irgend eines Interferenz Versuches durch je eine 
der Quarzplatten, so sieht man zunächst nur die Inter- 
ferenz von üj und v^y sowie jene von Aj und Äg. Beide im 
allgemeinen verschiedene Interferenzbilder überdecken sich, ohne 
sich zu stören, und können durch ein vor die Lichtquelle oder 
vor den Schirm gesetztes Nicol getrennt und einzeln zur Be- 
obachtung gebracht werden. An dieser Erscheinung wird nichts 
geändert, wenn man ein Nicol, dessen Polarisationsebene unter 
45^ gegen den Horizont steht, vor die Lichtquelle oder vor 
den Schirm setzt. Erst durch Einschaltung eines Nicols unter 
45^ zwischen Lichtquelle und Quarz werden sämtliche vier 
Bündel kohärent und gleich intensiv, und gelangen, durch ein 
zweites Nicol zwischen Quarz und Schirm auf eine Polarisations- 
ebene reduziert, zur sichtbaren Interferenz. In diesem letz- 



Fig. 1. 



IiUerferenz de» polarisierten Lichtet. 443 

teren Falle ist die Interfereozerscheinung am einfachsten ver- 
st&ndlich, wann man berücksichtigt, daß der Quarz zwischen \ 
und Vj keinen Gangunterschied setzt, ebensowenig zwischen o, 
und /^. Dies gilt insbesondere bei parallel orientierten Nicols. 
Da aber nnn alle vier BUndel kohärent sind, so macht sich 
der Oangunteischied zwischen V, , k^ und A^, v, im Interferenz* 
bilde bemerklich. Setzt man gekreuzte Nicola an die Stelle 
der parallelen, so tritt zwischen h^ und v,, ebenso zwischen v^ 
und A, ein Phasenunterschied von einer halben Periodenlänge 
auf, der sich zu allen sonst gegebenen Gangunterschieden hin- 
zufügt, und die Vertauschung aller Maxima und Minima be- 
dingt Dies vorausgeschickt, werden die folgenden Versuchs- 
formen leicht verständlich sein. 

1. Betrachten wir zuerst eine Yersuchsform , bei welcher 
man große und intensive Projektionsbilder erzielt. Man leitet 
Sonnenlicht durch eine vertikale Spalte S unter nahe senk- 
rechter Inzidenz auf eine etwa 5 cm dicke, an der RuckHäche 
versilberte Jaminscbe Platte </,, so daß nur eine geringe 
Trennung des an der Vorderfläche reflektierten fiflndels I von 
dem an der Bttckääche retiektierten BUodel II eintritt Beide 
BUndel fallen dann auf eine zweite gleiche und gleich orientierte 
Jaminsche Platte /,. Das nun »n der Vorderiläche von /, 
reflektierte Bündel II vereinigt sich mit dem hier an der 
B&ckHäche reflektierten Bündel I, und beide geben ineinander 
verlaufend die bekannten Interferenzerscheinuiigen. Man läßt 
DOD die beiden vereinigten BUndel I und II bei Abbiendung 
aller übrigen Lichter auf eine 
achromatische Linse von etwa 
1 m Brennweite fallen, nud 
bildet durch dieselbe die Spalte ' 
S auf einem Schirm ab. Die 
Jaminschen Platten reguliert 
man so, daß das Spaltenbild Fig- ^^ 

vonnicht zu breiten horizontalen 

Interferenzstreifen quer dnrcfazogen erscheint, wobei mnii den 
mittleren weißen Streifen, der dem GangunterschiGd Null ent- 
spricht, die Länge der Spalte halbieren läßt, Ein Spektral- 
piiflma, hinter die Projektionslinse gesetzt, löst das Spaltenbild 
in ein horizontales Spektrum auf, dessen zur Disperaionsrichtung 




♦ ♦ ♦ ♦ 4 
♦ ♦ ♦ ♦ 

♦ ♦ ♦ ♦ < 



444 S. Mach. 

nahe parallele Interferenzstreifen im Violett etwas koHvergiereD. 
Fttgt mao nun des Doppelquarz so eio, daß von den beiden 
von t/j abgehenden Bündeln je «ne« durch eiwn Quarz paseiert, 
so erhält man den überraschenden '} Anblick zweier schiefer, 
sich netzfQrmig im Spektrum durchkreuzender Streifensysteme 
(Fig. 2). Das eine gehört dem vertikal, das andere dem hori- 
zontal polarisierten Licht an, wie ein vor ü gesetztes Nicol 
sofort zeigt. Bei Einfügung eines Kompensators, oder Drehung 
der Jaminschen Platten, verschieben sich beide Systeme in 
entgegengesetztem Sinne, wobei das eine System breiter, das 
andere schmäler wird. Setzt man ein Nicol vor S, ein zweilet 
Nicol etwa vor die Projektionslinse unter 45**, so erscheint auf 
dem Schirm sofort nur ein vertikales Streifensystem, welches man 
als identisch mit jenem eines 1 mm dicken achsenparallelen, 
zwischen zwei Nicols gesetzten Quarzes erkennt. Dasselbe ist 
noch durchzogen von den nahe 
horizontalen Streifen, aufweiche 
man den Jaminschen Apparat 
Ä einge8tellthat(Fig.3). Wechselt 
man zwischen Parallelstellung 
und Kreuzung der Nicols, so 
tauseben alle Maxima mit den 
Minimis ihre Plätze. 
Die sich durchkreuzenden Streifensyeteme versteht man 
durch folgende Überlegung. Der Phasenunterschied der inter- 
ferierenden Lichter wächst im Spektralbilde in der horizontalen 
Dispersionsricbtung von Rot gegen Violett, insofern derselbe 
vom Quarz herrührt, hingegen z. B. in vei-tikaler Richtung auf- 
wärts, insofern er durch die Jaminschen Platten bedingt ist. 




I) Die Lehre von der Interferenz hatte ganz wohl eiue hohe Eat- 
Wickelung erreichen könaen, ohne die geringste Kenntnie der Doppel- 
brechuDg und Puluriiation. Hätte nun irgend ein hiatorlBcher Zufall, 
wie deren tatsächlich viele eingetreten sind, zu eiuer Anordnung ähn- 
lich der im Text beachricbenen geführt, so hätte man unter sehr rätsel- 
haften Umständen xxeitrlei Licbtarten im Quarz kennen gelernt, von 
deueu jede filr sich interferiert, welche aber aufeinander nicht reagieren. 
Die Entdeckung der Zirkularpolarisation hStte ebenfalls jener der linearen 
vorftnsgeben können. Ea \A sehr lehrreich, sich die Polgen hiervon m 
ve^egenwärtigea. 



Interferenz des polarisierten Lichtes, 445 

Durch geometrische Zusammensetzung (Summation) ergeben sich 
schiefe Linien gleichen Phasenunterschiedes. Die Neigung ist 
aber f&r das vertikal und horizontal polarisierte Licht ent- 
gegensetzt, weil der durch die Quarze bedingte Phasenunter- 
schied für die betreffenden Lichter von entgegengesetztem 
Zeichen ist. 

Bewirkt man Kohärenz des vertikal und des horizontal 
polarisierten Lichtes, so denke man sich zunächst (Fig. 1) 
Ai mit v^ und v^ mit h^ kombiniert Beide geben nur die 
Interferenz der J am in sehen Platten, welche letztere aber um 
eine halbe Schwingung alteriert wird, wenn man gekreuzte 
Nicolfl statt paralleler anwendet. Bei Kombination des ge- 
samten Lichtes tritt nun erst der Einfluß des Gangunter- 
schiedes im Quarz hervor, der bei Nicolkreuzung ebenfalls um 
eine halbe Schwingung alteriert wird. Hiermit sind alle Ver- 
bältnisse dieses Versuches klargelegt. Auch die quantitative 
Behandlung derselben unterliegt keiner Schwierigkeit. 

2. Ich will nun noch ein zweites Verfahren beschreiben, 
welches den älteren Versuchsformen näher liegt Dasselbe ist 
mit sehr bescheidenen Mitteln ausführbar und liefert kleinere 
Projektionsbilder, die aber einem engeren Kreis von Zuhörern 
noch recht gut demonstriert werden können. Selbstverständ- 
lidi sind alle optischen Bilder Beugungsmaxima, so auch in 
dem zuvor behandelten Fall. Soll aber der jetzt zu beschrei- 
bende Versuch vollkommen verstanden werden, so sind immer- 
hin einige vorausgeschickte Detailausführungen über Beugung, 
die hier natürlich wegbleiben können, unerläßlich. Darin be- 
steht ein Mangel des Versuches, der auch den Fresnelschen 
Formen anhaftet. 

Das Sonnenlicht passiert eine vertikale Spalte /', deren 
Länge durch eine unmittelbar folgende horizontale Spalte H 
beliebig beschränkt werden kann, und täUt dann auf das Ob- 
jektiv O eines Femrohres, dessen Okular ein scharfes reelles 
Bild von V und U auf einem matten, durchscheinenden Schirm 
von Qlas oder Zelluloid entwirft Setzt man ein feineres Ruß- 
gitter ff^) mit vertikalen Stäben vor 0, so erscheinen rechts 

1) Nar ein Gitter mit undurchsichtigen Stfiben ist zu dem Versuch 
Terwendbar. Ein auf Glas radiertes Gitter liefert zu viel zerstreutes 



446 E. Mach. 

und links zu beiden Seiten des Spaltbildes symmetrisch an- 
geordnet die bekannten Spektren, welche das Violett dem 
Spaltenbilde zukehren. Bei genügender Abkürzung der Spalte V 
reduzieren sich diese Spektren auf schmale horizotale Streifen 
oder Linien, welche von innen und außen, mit Violett be- 
ginnend, zum äußersten Rot übergehen. Einschränkung der 
Höhe des Gitters durch eine vor dasselbe gesetzte horizontale 
Spalte S verbreitert diese Spektren wieder desto mehr, je 
enger S wird. Das Spektrum verwandelt sich in das Beugungs- 
bild einer horizontalen Spalte, dessen Farbe in jeder Vertikalen 
homogen ist, während die Wellenlänge und dieser entsprechend 
die Bildbreite von innen nach außen zunimmt. Wir setzen 
nun den Doppelquarz so vor die horizonte Spalte 5, daß die 
Grenze zwischen dem oberen, etwa horizontalachsigen, und 
dem unteren, vertikalachsigen Quarz die Mittellinie der Spalte S 
bildet, und daß das vertikal polarisierte Licht in der oberen, 
das horizontal polarisierte Licht in der unteren Spaltenhälfte 
gleich viel verzögert wird. Wie das Experiment und die 
Theorie der Beugung lehrt, wiederholen sich dann die 
sub 1 beschriebenen Erscheinungen mit geringen Modifika- 
tionen. ^) Man erblickt die netzförmig sich durchkreuzenden 
beiden Streifensysteme, die man durch Anwendung eines Nicols 
vor V^ H voneinander isolieren, durch einen Ja min sehen 
Eompensator mit horizontaler Trennungslinie vor S in ent- 
gegengesetztem Sinne verschieben kann etc. Es verhält sich 
alles so, als ob zwei Spalten von der halben Breite von S un- 
mittelbar nebeneinander lägen, und deren Beugungsbilder sich 
überdecken würden. Die schiefen Systeme sind durch die 
Interferenz der Lichter beider Spalten bedingt. Sie verschwinden 
sofort, wenn man die obere oder untere Hälfte von S mit einem 
undurchsichtigen Schirm deckt. Macht man aber durch An- 
wendung zweier paralleler Nicols unter 45® alle Lichter kohärent, 
und betrachtet zunächst das verzögerte Paar für sich, das be- 
schleunigte Paar für sich, so hat man jetzt eine Spalte von 
der ganzen Breite, durch welche gleichphasiges Licht eindringt. 



1) In der Tat können die schematischen Figuren 1 bis 3 auch zur Er- 
läuterung dieses Versuches dienen. Man hat sich nur vorzustellen, daß 
die Spektren in diesem Falle am violetten Ende schmäler sind, und 
daß die Längsstreifen im Spektrum hier exakt gerade ausfallen müssen. 



Interferenz des polarisierten Lichtes, 447 

Nun müssen die symmetrischen längs der Spaltenlänge ver- 
laufenden Minima den halben Abstand haben, wie zuvor. Es 
müssen also solche neue Minima auftreten. Bei Kreuzung der 
Nicols tauschen diese mit den Maximis ihren Platz. Außer- 
dem bringt die Verzögerung des einen Lichterpaares gegen das 
andere die vertikalen^ dem Quarz entsprechenden Querstreifen 
in den Beugungsspektren hervor, die beim Wechsel von Kreu- 
zung und Parallelstellung der Nicols ebenfalls alternieren. 

E^ ist nicht nötig, die Zerlegbarkeit des unpolarisierten 
Lichtes in entgegengesetzt zirkulär oder elliptisch polarisierte 
inkohärente Komponenten von gleicher Intensität besonders 
experimentell nachzuweisen. Will man aber solche Versuche 
ausführen, so unterliegt dies keiner Schwierigkeit, und man 
kann bei den hier beschriebenen Versuchsformen dieselben 
Mittel verwenden, welche in der eingangs erwähnten^ von mir 
mit Rosicky publizierten Arbeit benutzt worden sind. 

(Eingegangen 18. September 1908.) 



448 



55. Wirkung der anomalen Dispersion von 

Metalldämpfen. 

Von Hermann Ebert in München. 



Mit der Eigenschaft selektiver Absorption eines Mediums 
ist seine Fähigkeit, auf die dem Bereiche seiner maximalen 
Absorption benachbarten Strahlengebiete anomal dispergierend 
zu wirken, aufs engste verknüpft. Und zwar verteilt sich diese 
Wirkung ausnahmslos in der Weise, daß die nach dem Rot 
zu gelegenen Strahlenarten, also akustisch gesprochen, die 
tieferen Schwingungen stärker, die nach dem Violett folgenden 
Strahlen höherer Schwingungszahl aber weniger abgelenkt werden. 
Bei großer Dichte und Ausdehnung des anomal brechenden 
Mediums können diese Ablenkungen selbst in Spektralgebieten 
sich noch bemerklich machen, die weit von denen der Eigen- 
schwingungen des Mediums selbst entfernt liegen. Dagegen 
erfahren Strahlen, die außerhalb dieser Gebiete liegen, keine 
Änderung ihrer Fortpflanzungsgeschwindigkeit mehr. 

Es konnte von vornherein erwartet werden, daß die 
Metalldämpfe, bei denen den scharfen Emissionslinien nach 
dem Kirchhoffschen Gesetze unter umständen sehr ausge- 
sprochene Absorptionsmaxima entsprechen, in hervorragender 
Weise diese Eigenschaft überall dort aufweisen würden, wo 
sie bei genügender Absorption zugleich als brechende Medien 
wirken. Diese Vermutung hat sich bestätigt.^) In der Tat 
kann bei Metalldämpfen die anomale Dispersion ihre Wirkung 
über sehr ausgedehnte, sich von den Metallabsorptionslinien 
nach beiden Seiten hin weit in das Spektrum erstreckende 
Bereiche hin geltend machen. ^) Es tritt hier sogar der eigen- 



1) Vgl. H. Ebert, Physikal. Zeitschr. 4, p. 478—476. 1908. 

2) Vgl. z. B. die Wirkung des Natriumdampfes bei R. W. Wood, 
Proc B07.S0C. 69. p. 157—171. 1901 und phjs. Zeitschr. 8. p. 280—288. 
1902. 



fKirhufiff der anomalen Dispersion. 449 

tOmliche Fall ein^ daß die brechende Kraft ftLr die höheren 
dem Absorptionsgebiete unmittelbar benachbarten Lichtschwin- 
guDgen kleiner als die des Vakuums ist, so daß Brechungs- 
exponenten kleiner als eins erhalten werden^ was mit den be- 
sonderen elektrischen und magnetischen Eigenschaften dieser 
Medien zusammenhängen wird. So fand BecquereP) bei 
Natrium dampf 1^0009 als Brechungsindex für die von D^ nach 
dem Bot zu gelegenen Schwingungen^ 0^99865 f&r die von D^ 
nach dem Violett zu gelegenen Spektralbezirke. Diese Brechungs- 
indizes beziehen sich auf heiße Flammengase als umgebendes 
Medium^ denen Becquerel den Index 1^0001 gegenüber dem 
Vakuum zuschreibt Die auf das Vakuum umgerechneten 
Brechungsexponenten sind demnach für Natriumdampf 1^0010 
bez. 0,99875. 

Wood, der mit viel dichterem Natriumdampfe arbeitete, 
tindet*) 1,0024 bez, 0,9969 relativ zu heißem Wasserstoifgase, 
dessen Exponent wir ebenfalls zu 1,0001 annehmen können, 
so daß ftlr Natriumdampf 1,0025 bez. 0,9979 in bezug auf den 
leeren Baum resultiert. 

Ich selbst finde für Kaliumdampf, und zwar ftlr dessen 
Absorptionslinie im Bot, 1,00176 bez. 0,99844 auf Vakuum 
bezogen. Die durch diese Zahlen zum Ausdruck gebrachten 
brechenden Kräfte sind ganz erhebliche; ist doch der Brechungs- 
exponent für Luft z. B. nur 1,0003; die brechende Kraft ist 
daher für Kaliumdampf in der bei den Experimenten ver- 
wendeten Dichte ca. sechsmal, ftLr Natriumdampf ca. achtmal 
größer als f&r Luft von Atmosphärendruck. 

Es kann daher nicht wundernehmen, daß überall dort, 
wo sich Metalldämpfe außer durch ihre Absorption auch durch 
ihre lichtbrechende Kraft au dem Zustandekommen der Licht- 
erscheinangen beteiligen, sich in dem resultierenden Spektrum 
eigentümliche, durch die Verteilung der Brechungsexponenten 
in der Umgebung der Metallinien bedingte Anomalien ein- 
stellen müssen. Ich möchte hier nur auf den Fall eigentüm- 
tieher HelUgheitsverteilungen in dem Spektrum hinweisen, die da- 
durch bedüigt werden, daß das Licht einer ein kontinuierliches 



1) H. Beeqaerel, Gompt. rend. 126. I, 1. p. 145—151. 1899. 
f) R. W. Wood, a. a. 0. p. 166 oben. 

FMlMhilft. ^^ 



Spektnim liefernden Strahlenquelle auf der einen Seite einer 
Metallabsorptionslinie durch die brechende Wirkung davor 
liegender Dampfschichteo zu dem Beobachter hin abgelenkt 



wird, w&hrend die auf der entgegengesetzten Seite der Linie 
zu erwartenden Strahlenkomplexe auBbleiben, weil sie vermöge 
der Brechungen, die sie in den Dämpfen erfahren, den Apparat 
nicht erreichen. Wird z. B. ein hoher, etwa '/^ Liter fassender 
Graphittiegel G G, Fig. I, wie er zu Schmelzelektroljseo ver- 



Wirkung der anomalen Dispersion. 451 

wendet wird, gut leitend^) an den negativen Pol einer aus- 
giebigen Stromquelle angeschlossen und in diesen als Anode 
ein dicker Eohlestab KK eingeführt^ so erhält man eine Heiz- 
Yorrichtung, in der man sehr bequem Metalle verdampfen, und 
über einer weißglühenden Unterlage ziemlich regelmäßig ge- 
schichtete dichte Dampfmassen anhäufen kann. Hat man 
durch Berühren von Anode und Kathode den Bogen entzündet^ 
und sind beide Elektroden genügend heiß geworden, so kann 
man das Metall einführen und dann mit der Spannung all- 
mählich weit herabgehen (bis auf etwa 30 Volt bei 110 Am- 
peres), ohne ein Abreißen des Bogens befürchten zu müssen; 
gerade in der Verwendung solch niedriger Spannungen liegt 
eine wesentliche Bedingung für ein ruhiges gleichmäßiges Ver- 
dampfen. Die Oxydation der aufsteigenden Metalldämpfe hält 
man durch Einführen von Eohlenoxyd (das man gleich im 
Tiegel selbst mit entwickeln kann) oder von Ammoniakgas 
nach Möglichkeit zurück Bringt man dann einen schmalen 
ebenen Spiegel dicht neben der Anodenkohle genügend weit 
oberhalb des Tiegels an, von dem die vertikal emporsteigenden 
Strahlen nach der Seite durch eine Linse hindurch auf den 
Spalt eines Spektralapparates geworfen werden, so siebt man 
in diesem an den Linien des verdampfenden Metalles, nament- 
lich an den leicht umkehrbaren, eine Erscheinung, wie sie 
unter anderem für die Spektra der „Neuen Sterne'' charakte- 
ristiBch ist: Neben den dunklen Absorptionslinien ist die 
Helligkeit des kontinuierlichen Hintergrundes nach dem Rot 
zu stark erhöht, die dunklen Absorptionslinien dagegen er- 
scheinen nach dem Fiolett zu erheblich verbreitert Wie diese 
Erscheinung durch die anomale Brechung in den Dampf- 
schichten zustande kommt, möge Fig. 1 erläutern. In dieser 
stelle aa, bb den Voltabogen dar; um diesen legen sich die 
Dampfhüllen, die unten am Boden des Tiegels am dichtesten 
sind und deren Schichtung ungefähr durch den Verlauf der 
▼on K nach G auf beiden Seiten hinüberziehenden Querlinien 
tu charakterisieren sein dürfte. In diese Schichten ist links 



I) Vgl. hierüber die Arbeit von W. Mutbmanu, H. Hof er und 
Lb Weist, Ann. d. Gbemie 320. p. 231— 269. 1901, namentlich p. 262 

29» 



452 H. Ebert 

in Fig. 1 a, der Verlauf jener Strahlen eingezeichnet, für 
welche der Brechungsexponent größer als eins ist und mit zu- 
nehmender Dampfdichte wächst; für diese Strahlen werden 
die tieferen Schichten daher auch optisch immer dichter; denken 
wir uns Lichtstrahlen senkrecht von oben hereinfallend, so 
werden diese überall den Einfallsloten zu gebrochen; nach dem 
Prinzip der ümkehrbarkeit der Lichtwege nehmen sie den 
gleichen Verlauf wie die von ihren Auftrefi'punkten aus- 
gehenden und aus dem Gefäße nach oben hin austretenden 
Strahlen, welche in der Figur gezeichnet sind. Diese Strahlen 
bringen hiemach das von dem heißen Kohleende und dem 
Tiegelboden ausgehende Licht in den Spektralapparat; die 
ihnen entsprechenden Teile des kontinuierlichen Spektrums 
müssen heller erscheinen als die entfernteren Spektralteile, 
für welche dieses Umbiegen der Strahlen in der Tiefe nach 
den Oberflächenpartien maximaler Emission zu nicht stattfindet; 
die Helligkeit im Spektrum muß vom Rot her gegen die Ab- 
sorptionslinie etwa in der Art ansteigen, wie die Dispersions- 
kurve daselbst anwächst, vgl. Fig. 2, welche die Helligkeits- 
verteilung im Spektrum an der Stelle einer Metallabsorptions- 
linie Ä darstellt, welche beispielsweise in dem Teile des 
Spektrums gelegen gedacht ist, in welchem die Emissiouskurve 
der glühenden festen oder geschmolzenen Körper im gleich- 
mäßigen Sinken begriffen ist. Ein helles, gegen das Gebiet A 
der maximalen Absorption allmählich immer intensiveres Band 
erscheint dem kontinuierlichen Spektrum aufgelagert. Ganz 
anders verhält sich die Helligkeitsverteilung für die von der 
Absorptionslinie Ä nach dem Violett zu gelegenen Strahlen, 
für welche der Brechungsindex in den Metalldampfhüllen < 1 
ist und sich von Schicht zu Schicht nach unten hin immer 
mehr von der Einheit entfernt Für diese Strahlen zeigt 
Fig. 1 b den Verlauf; sie bringen also nach oben nur das von 
den viel kühlereu Tiegelwänden emittierte Licht, die ihnen 
entsprechenden Spektralgebiete müssen daher viel dunkler er- 
scheinen als die entfernteren Teile, für deren Wellenlängen 
die Brechungsanomalie nicht mehr besteht. Das Absorptions- 
gebiet A, Fig. 2 erscheint also nach dieser Seite hin fortgesetzt, 
die Absorptionslinie nach dem Violett zu stark verbreitert, 
über dem Spektrum scheint hier also ein dunkler Schatten zu 



Ifirhung der anomalen Dispersion. 



453 



lagern von yiel größerer Ausdehnung, als ihn die Absorption 
jemals allein hervorbringen könnte. 

Die hellste Kante des hellen Bandes liegt fast am nor- 
malen Linienorte; die Mitte des dunklen Bandes ist stark 
nach dem Violett zu verschoben ; gegen dasselbe setzt die helle 
Linie scharf ab, während nach außen hin sich sowohl helle 
wie dunkle Linien ganz allmählich in die helle Umgebung 
hinein verlieren. 

Freilich wird die Schichtung der Dampfmassen in dem 
Tiegel nicht immer eine so regelmäßige sein, wie es in Fig. 1 




Fig. 2. 

angenommen ist Demzufolge ist das Bild im Spektrum an 
den einzelnen Linien ein fortwährend wechselndes; es kehrt 
aber immer wieder zu dem geschilderten Typus zurück. Bei 
völlig ruhig brennendem Bogen ist der Charakter der Linien- 
verdoppelung, Verschiebung und Helligkeitsverteilung immer 
der gleiche; die einzelnen Erscheinungen unterscheiden sich 
nur dem Grade ihrer Ausbildung nach. Bei photographischer 
Au&ahme würden sich aber sehr verschiedenwertige Bilder 
übereinander lagern. 

Die geschilderte Anordnung^) eignet sich auch sehr gut 



1) Aaf dieselbe bezieht sich die Anmerkung in meinem Aufsatze 
in der Phyaikal. Zeitschr. 4. p. 478. 1903, in dem ich für die anomale 
DiqMisioii ab einer allgemeinen Eigenschaft aller Metalldämpfe eintrat 



454 H. Ebert Wirkung der anomalen Digpertion. 

dazu, um sich you der Existenz der anomalen Dispersion der 
Metalldämpfe überhaupt zu überzeugen in Fällen , in denen 
die Anordnung der gekreuzten Spektra zunächst noch unüber- 
steigliche Hindemisse bereitet Letztere verdient natürlich 
überall dort den Vorzug, wo es sich um Messungen der brechen- 
den Kräfte von Metalldämpfen handelt. 

München, Physikal. Institut der Technischen Hochschule. 
(Eingegangen 19. September 1908.) 



456 



56. Elektrostatische, magnetische 
nnd hydrodynamische Grenzflächenbedingnngen. 

Von V. 3]erkne8 in Stockholm. 



1. An der Grenzfläche von zwei Medien verschiedener 
elektrischer beziehungsweise magnetischer Polarisierbarkeit tritt 
bekanntlich eine charakteristische Brechung der Kraftlinien ein. 
Dieser Brechung liegt das folgende einfache Verhalten der 
Vektorgroßen des elektridchen oder des magnetischen Feldes 
zugrunde: 

Die Feldintensität geht mit stetiger Tangentialkomponente^ 
die Polarisation (Induktion) mit stetiger Normalhomponente durch 
die Grenzfläche hindurch. 

Aus diesem Gesetze schließt man gleich auf die ünstetig- 
keit der Normalkomponente der Feldintensität und der Tan- 
gentialkomponente der Polarisation, und man wird auf das 
bekannte Brechungsgesetz 

geführt, wo h und K die Polarisierbarkeiten der betreffenden 
Medien, d und 6 die Winkel sind, welche die Tangenten der 
Kraftlinie mit der Normalen der Ghrenzfläche bilden. 

2. In dem hydrodynamischen Bilde der elektrostatischen 
oder der magnetischen Erscheinungen, welches aus den ünter- 
snchungen meines verstorbenen Vaters, C. A. Bjerknes, her- 
vorgegangen ist, entspricht „hydrodynamische Feldintensität'' 
(d. h. das Produkt von Geschwindigkeit und Dichte) dem gleich- 
benannten elektrischen und magnetischen Vektor, die Ge- 
Bchwindigkeit entspricht der Polarisation^ imd die reziproke 
Dichte oder die ^Beweglichkeit'' der Flüssigkeit spielt dieselbe 
Bolle, wie die elektrische oder magnetische Polarisierbarkeit 
des Mediums.^) 

1) y. Bjerknea: Vorlesaniren über hydrodynamische Femkrfifte 
a«eh C. A. Bjerknea* Theorie. & p. 287. Leipsig 1902. 



466 r. Bjerknes. 

Dieses Bild ist jedoch bis jetzt nur für den Fall aus- 
gearbeitet, daß die Körper Eugelform haben. Dabei ist der 
Nachweis, daß sich die hydrodynamischen Vektorgrößen an 
einer Grenzfläche wie die elektrischen oder magnetischen 
verhalten, nur für den Fall geführt, das die Grenzfläche Kugel- 
form hat, und daß der äußere Strom ein einfacher Parallel- 
Strom ist. Wer sich aber die charakteristische Übereinstim- 
mung der betreffenden hydrodynamischen Stromfelder mit den 
entsprechenden elektrischen oder magnetischen Kraftfeldern 
vergegenwärtigt \ und diese Übereinstimmung als ein Glied in 
der merkwürdigen Reihe von Übereinstimmungen zvriischen 
hydrodynamischen und elektrisch-magnetischen Erscheinungen 
sieht, wird jedoch hinter dem partikulären Resultate über 
Kugeln Prinzipien großer Allgemeinheit vermuten. Die Auf- 
suchung dieser Prinzipien erfordert aber die EntvrickeluDg ganz 
anderer Untersuchungsmethoden als die, durch welche C. A. 
Bjerknes seine Resultate gefunden hat, und welche in der 
expliziten Lösung partikulärer Probleme bestand. Auf diese 
allgemeinen Untersuchungsmethoden, und auf die Resultate, 
die man durch sie erreicht, werde ich bei späteren Gelegen- 
heiten ausführlich zurückkommen. Als erste Andeutung 
über ihre Art, sowie über die Resultate, welche sie geben, 
werde ich die folgenden Bemerkungen über das Verhalten der 
hydrodynamischen Vektorgrößen an der Grenzfläche zweier 
Flüssigkeiten verschiedener Dichte und also verschiedener ,3©- 
weglichkeit" machen. Wie ich hinzufügen will, kann jedoch 
die Frage hier nicht vollständig erledigt werden, da dieses zur 
Lösung der Aufgabe über die hydrodynamische Analogie in 
ihrer vollen Allgemeinheit führen würde. 

3. Ich bemerke zunächst, daß das Verhalten der Nonnal- 
komponenten der hydrodynamischen Vektorgrößen schon durch 
die ersten Prinzipien der Hydrodynamik gegeben ist. Wenn 
man die Bedingung der Kontinuität festhält, so geht die 
Normalkomponente der Geschwindigkeit durch jede Grenz- 
fläche stetig hindurch. Die Normalkomponente der Geschwindig- 
keit verhält sich also genau wie die Normalkomponente der 
Polarisation, ein Prinzip, welches schon längst vielfach benutzt 



1) y. Bjerknes, 1. c. Fig. 56—60. p. 256—870. 



Grenzflächenbedingungen, 457 

worden ist bei dem beiläufigen Vergleich elektrischer oder 
magnetischer Felder mit hydrodynamischen Stromfeldem. 

Aus der Kontinuität der Normalkomponente der Ge- 
schwindigkeit folgt gleich die Diskontinuität der Normal- 
komponente der Feldintensität Die Normalkomponenten dieses 
Vektors werden sich direkt wie die Dichtigkeiten und also um- 
gekehrt wie die Beweglichkeiten der Flüssigkeiten auf den 
beiden Seiten der Grenzfläche verhalten. 

4. Die Hauptfrage wird das Verhalten der Tangential- 
komponenten der hydrodynamischen Vektorgrößen betreffen, 
und zu der Beantwortung derselben muß man auf die hydro- 
dynamischen Bewegungsgleichungen zurückgreifen. 

Es sei ti mit den Komponenten ti^, ti^, u^ die Geschwindig- 
keit der Flüssigkeit auf der einen, U mit den Komponenten U^, 
U 9 U^ auf der anderen Seite der Grenzfläche, weiter p und g 
Ihnck und Dichtigkeit auf der ersten, P und Q auf der zweiten 
Seite. Ich lege das Koordinatensystem so, daß die xy-Ebene 
die Grenzfläche berührt und betrachte die Bewegungskom- 
ponenten längs X, welche zwei einander gegenüberliegende 
Punkte der zwei Flüssigkeiten haben. Für die Bewegung des 
einen Punktes hat man dann 

dur __ dp 

^ dt dx' 

und für die Bewegung des anderen 

^dU. __ _dP 
^ dt " dx' 

Jetzt muß nach dem Prinzipe von der gleichen Wirkung 

und Gegenwirkung der Druck beiderseits der Grenzfläche 

gleich groß sein: 

P^p. 

Da dieses in allen Punkten der Grenzfläche gilt, können wir 
nach der zu der Grenzfläche tangentiellen Richtung x diffe- 
renzieren 

dP ^dp 

d X dx 

und wenn wir dieses in den obigen Bewegungsgleichungen be- 
nntieni so ergibt sich 



458 f. Bjerknes. 

Eine ganz ähnliche Gleichung erhält man für die y-Achsey 
und das hydrodynamische Prinzip für die Bewegung tangentiell 
zu der Grenzfläche wird das folgende: 

Das Produkt von Dichte und Beschleunigung geht mit stetiger 
Tangentialhomponente durch die Grenzfläche hindurch, 

5. Aus diesem dynamischen Gesetze darf man nicht gleich 
schließen^ daß auch das Produkt von Dichte und Geschwindig- 
keit, d. h. die hydrodynamische Feldintensität mit stetiger 
Tangentialkomponente hindurchgeht. Da nämlich die Punkte, 
welche einander zu einer beliebigen Zeit gegenüberliegen, immer 
yerschiedene Beschleunigungen haben, werden sie nicht ein- 
ander gegenüber bleiben. Um die Untersuchung des Verhaltens 
der hydrodynamischen Feldintensität an der Grenzfläche yoU- 
ständig zu erledigen, muß man also notwendig auf den Wechsel 
der Partikelchen Rücksicht nehmen, und diese Berücksich- 
tigung führt in der Tat zu der Aufnahme der Frage von der 
hydrodynamischen Analogie in ihrer vollen Ausdehnung. Ich 
teile jedoch das folgende Resultat mit, welches ich bei einer 
späteren Gelegenheit beweisen werde: 

Wenn man als eine Partialbewegung für sich diejenige 
ausscheidet, welche als das Resultat der Wirkung der hydro- 
dynamischen Femkräfte oder beUebiger fremder Kräfte an- 
gesehen werden kann, so wird die zurückbleibende Bewegung 
eine solche sein, bei der die hydrodynamische Feldintensität 
mit stetiger Tangentialkomponente durch die Grenzfläche 
hindurchgeht 

6. Wenn man aber auf die Erledigung der Frage in voller 
Allgemeinheit verzichtet, so lassen sich leicht besondere Fälle 
angeben, wo sich die Antwort ganz von selbst ergibt. 

Der vriichtigste Fall dieser Art ist der, wo die Flüssigkeits- 
bewegung schwingender Natur ist, so daß die einzelnen 
Flüssigkeitspartikelchen periodische Bewegungen mit kleinen 
Amplituden um feste Mittellagen ausführen. Wenn nämlich 
die Schwingungsamplituden hinlänglich klein sind, so kann man, 
von unendlich kleinen Größen absehend, die einander einmal 
gegenüberliegenden Punkte als immer einander gegenüber- 
liegend betrachten. Wenn man dann die Gleichung 4^ (a) unter 
Benutzung der Anfangsbedingungen ^=0, u^ = 0, ^^ = 
integriert, so ergibt sich 



Grenzfläehenbedaigungen. 459 

w ?«. = « V,' 

Eine ähnliche Gleichnng findet man ftb* die y-Achse und es 
ergibt sich also, daß bei dieser besonderen Bewegongsform die 
hydrodynamische Feldintensität mit stetiger Tangentialkom- 
ponente durch die Grenzfläche hindurchgeht Wir kommen 
mit anderen Worten auf das folgende Resultat: 

Im Falle schwingender ßetoegungen verhalten sieh die hydro- 
dynamisehen Fehtorgrößen an der Grenzfläche zweier Flüssig^ 
ieiien genau wie die elehtrisehen oder magnetischen Fektorgrbßen 
an der Grenzfläche zweier elektrischer oder magnetischer Medien. 
Die Siramiinien werden an der Grenzfläche der zwei Flüssig" 
keifen nach dem Gesetz /, (a) gebrochen^ wenn man unter h und K 
die Bewegliehkeiten der zwei Flüssigkeiten versteht 

Stellt man sich aber die ergänzende Frage, unter welchen 
dynamischen Bedingungen die vorausgesetzte Bewegung schwin- 
gender Natur möglich ist, so kommt man wieder auf die all- 
gemeine Aufgabe zurück, deren £h-ledigung auch die yoU- 
ständige Bestimmung der hydrodynamischen Femkräfte Tor- 
anasetzt 

(Eingegangen 21. September 1908.) 



460 



57. über den Einfluß der Zähigkeit anf die Kapillar 
konstanten bei Essigsänre-Wassermischungen. 

Von Leo Qrunmaoh in Berlin. 



Die im folgenden mitzuteilende Untersuchung wurde an- 
geregt durch die Diskussion, welche sich an meinen auf der 
vorjährigen Naturforscher-Versammlung zu Karlsbad gehaltenen 
Vortrag „Neue experimentelle Bestimmungen der Oberflächen- 
spannung Yon Flüssigkeiten durch Messung der Wellenlänge 
der auf ihnen erzeugten Kapillarwellen" knüpfte.^) Hr. Planck 
steUte die Frage, welchen Einfluß die Zähigkeit einer Flüssig- 
keit auf die Wellenlänge und auf die Oberflächenspannung 
habe, insbesondere, wie sich die Oberflächenspannungen zweier 
Flüssigkeiten verhalten, welche dieselbe Dichte und dieselbe 
Schwingungszahl, aber verschiedene Zähigkeit besitzen. 

In der Kelvin sehen Formel 

welche die Oberflächenspannung a in Funktion der Schwingungs- 
zahl w, der Wellenlänge i, der Dichte (t und der Erdbeschleu- 
nigung g darstellt, ist die Reibung zwar nicht enthalten, nach 
der Theorie müßte aber die zähere Flüssigkeit eine kleinere 
Wellenlänge liefern, da infolge der größeren Reibung, bei be- 
stimmter, durch die erregende Stimmgabel gegebener Schvriin- 
gungszahl, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit und also die 
Wellenlänge verringert wird. 

Direkte Versuche über den Einfluß der Zähigkeit auf die 
Größe der Oberflächenspannung hatte ich bisher nicht ange- 
stellt, wohl aber hatte ich bei meinen Versuchen an wässerigen 
Zuckerlösungen, sowie an Schwefelsäure- und Glycerin-Wasser- 
mischungen gefunden, daß das Entstehen und Fortbestehen 
der Kapillarwellen durch die Zähigkeit stark beeinflußt wird. 



1) L. Grunmach, Physik.' Zeitschr. 4. p. 31. 1902. Vgl. femer 
L. Grunmach, Wissenschaftl. Abhandl. d. Kais. Normal -Aichungs- 
kommission 8. p. 101—198. 1902; Ann. d. Phys. 4. p. 1268. 1902; Ver- 
handl. d. Deutschen Physik. Gesellsch. 4. p. 279. 1902. 



Einfluß der Zähigkeit auf Kapillarhonstanten, 461 

daß die erregten Kapillarwellen um so stärker gedämpft und 
am so schneller vernichtet werden^ je zäher die Flüssigkeit 
ist, und weiter, daß je zäher die Flüssigkeit ist, die erregende 
Stimmgabel um so größere Dimensionen und um so kleinere 
Schwingungszahl (tieferen Ton) besitzen muß, um durch ihre 
Schwingungen auf der B^'lüssigkeit sicher meßbare Kapillar- 
wellen erzeugen zu können. Auf stark konzentrierten Glycerin- 
Wassermischungen, z. B. auf einer Mischung von 60 Proz. 
Glycerin und 40 Proz. Wasser, konnten mit einer Stimmgabel 
von 253 Schwingungen in der Sekunde Kapillarwellen über- 
haupt niclit mehr erzeugt werden, dies gelang erst bei An- 
wendung einer Königschen Stimmgabel von 192 Schwingungen, 
und bei 86 proz. Glycerin-Wassermischung erst mit einer sol- 
chen von 128 Schwingungen. Es wäre von großem wissen- 
schaftlichen wie praktischen Interesse, diese Verhältnisse quan- 
titativ genauer zu untersuchen, also festzustellen, welche Ton- 
höhe eine Stimmgabel haben müßte, um auf einer Flüssigkeit 
von gegebener Zähigkeit Kapillarwellen noch sicher erregen 
zu können, weil man auf diesem Wege zu einer strengeren 
Definition und zu einem schärferen Maß für die Zähigkeit und 
so vielleicht zu einer praktisch wichtigen Zähigkeitsskala ge- 
langen könnte, etwa die Flüssigkeiten derart nach dem Grade 
ihrer Zähigkeit zu ordnen, als sio durch Normalstimmgabeln 
bestimmter Tonhöhe zu Kapillarwellen erregt werden können. 
Die vorhin erwähnte Fragestellung von Hm. Planck ist 
insofern nicht genügend bestimmt, als zwei Flüssigkeiten, 
welche gleiche Dichte und gleiche Schwingungszahl, aber ver- 
schiedene Zähigkeit besitzen, im allgemeinen ihrer Natur nach 
verschieden sein werden. Wenn sich daher ftlr zwei solche 
Flüssigkeiten verschiedene Oberflächenspannungen ergeben soll- 
ten, so brauchte die Verschiedenheit der Oberfiächenspanming 
durchaus nicht eine Folge der verschiedenen Zähigkeit zu sein, 
sondern würde in erster liiuie schon in der Verschiedenheit 
der Natur der beiden Flüssigkeiten begründet sein. Zur Lösung 
der angeregten Frage dürften daher nicht heterogene Flüssig- 
keiten zur vergleichenden Untersuchung gewählt werden, son- 
dern in qualitativer Hinsicht gleiche Flüssigkeiten in Zustünden, 
in denen die Zähigkeit gewissermaßen als einzige Variable auf- 
gefiifit werden könnte. 



462 L. Orunmach. 

Besonders geeignet für diesen Zweck schienen mir nun 
Essigsäure- Wassermischungen zu sein, welche bekanntlich ein 
merkwürdiges anormales Verhalten zwischen Konzentration und 
Dichte zeigen. Essigsäure (C^H^O^) mischt sich in allen Ver- 
hältnissen mit Wasser. EQerbei findet anfänglich eine Kon- 
traktion statte die Dichte der Mischung nimmt deshalb an- 
fänglich bei Zusatz von Wasser beständig zu, erreicht ihr 
Maximum bei einer Mischung von etwa 78 Proz. G^H^O,, bei 
welcher ihre Zusammensetzung dem Hydrate 

C,H,0, + H,0(=CH,.C(OH),) 

entspricht, um dann bei weiterer Verdünnung wieder beständig 
abzunehmen, und zwar beträgt nach den Versuchen von A. C. 
Oudemans^) der Wert der Dichte 

(Tuy f&r 100 proz. EasigBäore 1,0558 
„* „ 78 „ „ 1,0748 

„ „ „ „ 0,9992. 

Zwischen den Dichten 1,0558 und 1,0748 entsprechen 
demnach je einem und demselben Dichtewerte stets zwei ver- 
schiedene Werte des Prozentgehalts an Essigsäure, z. B. 

der Dichte 1,0558 die beiden Werte 100 Proz. und 43,1 Proz., 
„ 1,0607 „ „ 97,9 „ „ 49 „ , 

und so bieten sich unserer Untersuchung je zwei ihrer Natur 
nach gleichartige Flüssigkeiten von gleicher Dichte und gleicher 
Schwingungszahl, aber verschiedener Zähigkeit dar. da die 
Zähigkeit verschieden ist bei verschiedenem Prozentgehalte an 
Essigsäure. 

Demgemäß wurden je zwei bezüglich ihres Prozentgehalts 
an Essigsäure möglichst weit auseinanderliegende, derselben 
Dichte entsprechende Mischungen, deren Zähigkeitsverhältnis 
andererseits bestimmt worden war, ausgewählt und deren Ober- 
flächenspannungen nach der Kapillarwellenmethode bestimmt. 

Die Mischungen waren in großen Mengen aus reinster 
Essigsäure und reinem destillierten Wasser hergestellt worden 
von Hm. Dr. E. Fischer, welcher auch die Dichtebestim- 
mungen, sovrie die Bestimmungen des Gehalts an Essigsäure 
auf chemischem Wege auszufahren die Gefälligkeit hatte. Der 



1) A. C. Oudemans, Das spezifische Gre wicht der Essigsäure p. 46. 
Bonn 1866. 



Einfluß der Zähigkeit avf KapiUarkonstanten. 468 

benatzte Eisessig war in der Fabrik von C. A. F. Kahlbaum 
dargestellt worden, sein Gehalt an Essigsäure betrug 99,7 Proz.; 
er war noch besonders von Hm. Fischer bezüglich seiner 
Beinheit geprüft worden mit dem Ergebnis, daß er weder Chlor 
noch Schwefelsäure enthielt, und daß in ihm weder eine Spur 
Yon Metallen, noch von empyreumatischen Stoffen, noch von 
freien Mineralsäuren oder von festen organischen Säuren nach- 
gewiesen werden konnte. 

Die quantitativen Bestimmungen wurden ausgeführt durch 
Titnrong mit einer Genauigkeit der chemischen Analyse von 
etwa ± 0,1 Proz., die Dichtebestimmungen mittels des Pykno- 
meters mit einer Genauigkeit von etwa ± 0,0002. 

Der Untersuchung unterworfen wurden nun zunächst fol- 
gende Paare korrespondierender Lösungen, welche bezüglich 
ihrer Konzentration und Dichte vor und nach Ausführung der 
Messungen ihrer Oberflächenspannungen titriert und pykno- 
metrisch bestimmt wurden: 

97,5 proz. Lösung mit der Dichte Cu/ »1,0616) 
50,22 „ „ „ „ „ „ * - 1,0616 J 

^*fi n w n n n w " 1,0728 \ 

^7,8 „ „ „ „ ,) ,1 = 1,0725 J 

sowie die dem Kontraktionsmaximum entsprechende Lösung von 

78,08 Pros, mit der Dichte (r»^ « 1,0748. 

Ee m^ besonders hervorgehoben werden, daß bei den 
L^ysongen Während der ganzen, ziemlich langen Dauer der 
Kapillarilfttsmessungen Dichteändenmgen infolge von Ver- 
dunstung oder Yon Absorption des Wasserdampfes der Luft 
nicht wahrgenommen wurden. Für die Dichte der 97,5 proz. 
LOrang ergab sich z. B. nach Beendigung der Kapillaritäts- 
measungen, welche etwa drei Wochen lang dauerten, der Wert 
1,0616, welcher genau mit dem vor Beginn der Messungen 
bestimmten Werte (1,0616) übereinstimmte; ebenso fielen für 
die anderen Lösungen die Abweichungen der Dichtebestimmungen 
vor und nach Ausführung der Kapillaritätsmessungen innerhalb 
der Oenanigkeitsgrenzen der Dichtebestimmungen selbst Eine 
solche Konstanz der Dichte während eines längeren Zeitinter- 
ralls bei wechselndem Feuchtigkeitsgehalt der Luft habe ich 
bei anderen Lösungen bisher niemals beobachtet. 

Bezüglich der Versuchsanordnuug, der Einrichtung der 



464 



L. Orunmoeh, 



einzelnen Apparate, besonders des zur Wellenlängenmessung 
der Eapillarwellen dienenden Mikrometermikroskops, sowie des 
DoppeltrichterapparatSy welcher es ermöglicht, in jedem Zeit- 
moment eine reine, frische Flüssigkeitsoberfläche zur Bestim- 
mung der Kapillaritätskonstante herzustellen wd bei beständig 
sich erneuernder Oberfläche die Beobachtungii^a auszuführen, 
gestatte ich mir, auf meine früheren Publikationen ^] über diesen 
Gegenstand hinzuweisen. 

Von jeder der fünf untersuchten Lösungen wurden je sechs 
unabhängige Beobachtungsreihen, deren jede wieder aus zehn 
gut untereinander übereinstimmenden Einzelbeobachtungen be- 
stand, ausgeführt. Sie werden in extenso an anderer Stelle 
mitgeteilt werden. Hier sollen nur die erhaltenen Mittelwerte 
ihre Berücksichtigung finden. Unter Annahme des bei meinen 
früheren Untersuchungen^ für die Oberflächenspannung des 
reinen destillierten Wassers gefundenen Wertes 0,0767 g/cm 
bei 19,1^ C. erhält man dann folgende tabellarische Zusam- 
menstellung der spezifischen Kohäsionen und der Oberflächen- 
spannungen ftkr die nach wachsendem Prozentgehalt an Essig- 
säure geordneten Essigsäure- Wassermischungen: 



Prozentgehalt 

an Essigsäure 

(C,H,0,) 


Dichte 


Halbe spezif. 
Kobftsion 

« _i 

- cm 

0" 


Oberflächen- 
spannung 
a g/cm 


Temperatur 
in »C. 





0,9991 


0,0768 


0,0767 


19,1 


50,22 


1,0616 


0,0357 


0,0379 


19,4 


67,8 


1,0725 


OO82I5 


0,0345 


18,6 


78,03 


1,0748 


0,0288 


0,0809e 


17,0 


87,6 


1,0728 


0,02754 


0,02955 


19,0 


97,5 


1,0616 


0,0255 


0,0270* 


19,5 



In Fig. 1 sind die Kapillarkonstaiiten in Abhängigkeit vom 
Prozentgehalt an Essigsäure graphisch dargestellt, und zwar 
geben die Abscissen den Prozentgehalt an Essigsäure, die Ordi- 
naten I und 11 die Oberflächenspannungen und die spezifischen 



1) L. Grunmach 1. c. 

2) L. Granmach, Wissensch. Abhandl. d. Kais. Normal- Aichungs- 
kommiflaion 8. p. 152. 1902. 



Einfluß der Zähigkeit auf KapiUarkotutoTiten. 



465 

Eoh&sionen, reduziert anf die Temperatur + 20'^ C, unter An- 
nahme der Werte -0,00015, bez. - 0,000Ü8 für die Temperatur- 
koeffizienten der speziüscben Eohäsion, bez. der Oberflächen- 
spannang der EssigBäure.'} Man sieht ans der Tabelle und aus 
den Eurreo, daß die OherfläehempannungeH ebenso wie die spe- 
sifitehmi Kokäsionen mit eteigendem Prozentgehalt an Esaipsäure 
&e$tätuSff abne/imen, und daß von zwei Eseigsäure-Wasser- 
nÜBchnngen, welche gleiche Dichte, aber versehiedeTten Prozent- 
gehalt an Essigsänre besitzen, diejenige mit höherem Prozent- 
gehalt die kleinere Ober- 
fläehenspamamg und klei- 
nere tpexifltche Kokä$ion 
besitzt. In der Nähe 
des EontraktioDsmazi- 
rnnrnB findet plötzlidi 
eine kleine Senkung der 
Eture itatt 

Es fragt sich nun, 
in welchem Zusammen- 
hange Zähigkeit und Kon- 
zenlration der Essigsäure- 




einsnder stehen. WUrde 
mit wachsendem Prozent- 
geludt an Essigsäure aach 
die Zähigkeit der Hi- 
Bchung beständig zonehmea, so würden wir aus den Versuchen 
schließen können, daß in der zäheren von zwei Mischungen 
gleicher Dichte und gleicher Schwingungszahl die Wellenliinge 
der Eapillarwellen und folglich auch spezitische Eohäsion und 
Oberflächenspannung eine geringere sein müßte. Dies würde 
der darch die Theorie begründeten Auffassung entsprechen, 
daß in der zäheren Flüssigkeit infolge ihrer größeren inneren 
Beibang die Fortpflanzungsgeschwindigkeit und demgemäß, da 
die Schwingungszahl durch die erregende Stimmgabel gegeben 
ist, auch Welleolänge und EapiUarkonstante verkleinert würde. 



1) Rob. Schiff, Degli eqiÜTslenti eapiUui dei corpi nmplid. 
p. IB. UM. QtMtta ohemiM-lMlift U. p. B»8. ISB4. 



466 X. Orunmack. 

Solch einfacher Zusammenhang zwischen Konzentration 
und Zähigkeit besteht indessen nicht bei den Essigsäure- 
Wassermischungen, wohl allgemein nicht bei Mischungen, welche 
ein scharf ausgeprägtes Kontraktionsmaximum zeigen. Rud- 
berg^) hat wohl zuerst die Vermutung ausgesprochen, daB 
flüssigkeiten, welche ein Kontraktionsmaximum zeigen, auch 
ein Zähigkeitsmaximum besitzen, welches in inniger Beziehung 
zu jenem steht, eine Vermutung, deren Richtigkeit später f&r 
Alkohol-Wassermischungen ihre experimentelle Bestätigung ge- 
funden hat durch Poiseuille^, indem er mittels der Methode 
des AusflieBens durch Kapillarröhren nachwies, daß der Mischung 
G^HqO + SH3O ein Maximum der Ausflußzeit, d. h. ein Maxi- 
mum der Zähigkeit entspricht» femer durch Graham^, welcher 
ebenfalls für Mischungen zeigte, daß Maximalwerte der Rei- 
bung für bestimmt charakterisierte Hydrate derselben existieren. 

über die Zähigkeit von Essigsäure -Wassermischungen in 
Abhängigkeit von Konzentration und Temperatur liegen nun 
ausgedehnte Untersuchungen vor von K. Noack*) und von 
R. F. D'Arcy^), von letzterem allerdings nur fiir das Konzen- 
trationsgebiet 62,5 bis 99 Proz., aus denen sich ergibt, daß 
von 62,5 Proz. an die Zähigkeit mit steigendem Prozent- 
gehalt an Essigsäure bis zu einem Maximum, das etwa bei 
80 Proz., also in der Nähe des Kontraktionsmaximums liegt, 
zunimmt, und daß dann die Zähigkeit bei Zusatz von Essig- 
säure zur Mischung anfänglich langsam, dann aber sehr rasch 
abnimmt. 

In ziemlich guter Übereinstimmung mit den D'Arcyschen 
Resultaten sind die Ergebnisse der Untersuchungen von Noack, 
welche ein größeres Konzentrationsgebiet umfassen und, so- 
weit sie für unseren Zweck in Frage kommen, in Fig. 2 
graphisch dargestellt sind. Die Abscissen geben die Prozente 
an reiner Essigsäure, die Ordinaten die Werte der Fluidität für 
die beiden Temperaturen 15 und 80 ®C. Man erkennt leicht. 



1) F. Radberg, Pogg. Ann. 13. p. 496. 1828. 

2) J. L. M. Poiseuille, Compt Rend. 15. p. 1167. 1842. 

8) Th. Graham, Phil. Trans. 151. I. p. 273. 1861. Vgl. auch 
W.König, Wied. Ann. 25. p. 622. 1885. 

4) K. Noack, Wied. Ann. 28. p. 666. 1886. 

5) R. F. D*Arc7, Phil. Mag. V. 28. p. 221. 1889. 



Emfhtß der Zähiffheit auf Kapiilarkoiutantm. 



467 



dafi das Minimum der Fluidität (Maximum der Zähigkeit) bei 
einer Konzentration von etwa 77 Proz., entsprechend der 
Formel C,H^O, + H,0, stattfindet, und daß eine merkbare 
Verschiebang desselben beim 
Ube^isiig von einer Eurre be- '^ 
stimmter Temperatur zu einer 
Eorre anderer Temperatur nicht ^^ 
eintritt. Merkwürdig ist hier , 
wieder das rasche Wachsen der ^ 
Fluidität (die rasche Abnahme ; 
der Zfthigkeit] von dieser Kon- , 
lentration an bei Zusatz Ton ; 
EntgaLnre znr Mischung. i 

Literpoliert man aus den ; 
Werten Ton D'Arcy and TOn ■ 
Noftck für die Zähigkeit and 
die Flaidität benachbarter Kon- 
lentntioneQ und Temperaturen 
die entsprechenden Werte für die von mir untersuchten Kon- 
lentrationen bei der Temperatur von 20''G.>), so erhält man 
folgende Zusammenstellang: 




T\g. 2. 



PtOMnt- 

gelultmn 

rriB« 


Dicbte 


VükositOt 

nach 

D'Atey, bet 


FlniditSt 

nmcbNoack, 

bez. auf 


Halbe Bpeiif 
Kobftaion 


Ober- 
flficheu- 


E«i«- 


"■•/. 


«af WBwer 


WaM«r von 






dltin 




vonaO'C. = 


«0« C. - 100 









0,»»1 


1 1,00 


j 100,0 


0.0761 


0,018« 


60,M 


1,0616 


— 


46.1 


0,0358. 


0,OS18. 


«7,8 


1,0125 


2,55 


39.4 


0.0320. 


0.0344 


78,03 


1,0748 


, 2,63 


' S6,4 


0,02ö6 


0.0301 


87.6 


1,0786 


E,44 


38,4 


0.0215 


0,0295 


»7,6 


1,0616 


1,44 


64,6 


0,0254j 


0.0270 



Ein gesetzmilßiger Zusammenhang zwischen Zähigkeit und 
spezifischer Kohäsion oder Oberüächenspannang ist aus den 

1) Die Interpolation iet natürlich mit einer gewiBsen Uiuii'herbeit 
bihaftet, einmal wegen des EinflusBes der Temperatur auf die Zähigkeit 
ud nreitow, weil vosa Konientrationsmaiimum an die rasche Abnahme 
dn ZdUgkdt bei Ziuati von Etaigaore stattfindet 

W 



468 L. Orunmach. Einfluß der Zähigkeit auf KapHlarkanstavteru 

Yorliegenden Ergebnissen nicht ersichtlich. Während die Zähiff^ 
keit mit wachsendem Prozentgehalt an Essigsäure bis in die Nähe 
des Kontraktionsmaximums zunimmt, um von dort ab bei weiteren} 
Zusatz von Essigsäure zur Mischung wieder und zwar sehr stark 
abzunehmen, nehmen spezifische Kohäsion und Oberflächenspan- 
nung mit wachsendem Oehalt an Essigsäure beständig ab. Von 
zwei Essigsäure-Wassermischungen gleicher Dichte und Schwin- 
gungszahl, aber verschiedener Zähigkeit, hat diejenige yon 
höherem Prozentgehalte an Essigsäure die kleinere Oberflächen- 
spannung und kleinere spezifische Kohäsion. In der Nähe 
des Kontraktionsmaximums, das nahezu mit dem Zähigkeits- 
maximum zusammenfällt, tritt allerdings der aus der Theorie 
gefolgerte Einfluß der Zähigkeit auf die Wellenlänge deutlicher 
hervor, denn dort findet, wie aus Fig. 1 p. 465 ersichtlich ist, 
eine plötzliche Abnahme der Kapillarkonstanten statt. Der 
betreffende Punkt fällt scheinbar aus der Kurve heraus. Mehr- 
fach wiederholte Bestimmungen des Prozentgehalts, der Dichte 
und der Kapillarkonstanten derselben Mischung haben indessen 
die Richtigkeit seiner Lage bestätigt. Da aber ein und die- 
selbe Dichte 1,0748 zu einem größeren Konzentrationsgebiete, 
nämlich zu den Mischungen von 80, 79, 78 bis zu 77 Proz. ge- 
hört, so werden zur Aufklärung jener ünstetigkeit noch einige 
dieser Mischungen zu untersuchen sein. 

(Eingegangen 21. September 1908.) 



469 



58. Sn la teoria dell' analisi spettrale. 

Di A. Oarbasso in Genova. 

Neben der allgemeineii theo- 
retisohen Phjiik sind die Bilder 
der mechanisehen Phjslk lowohl 
um neuee sa flnden, als auch um 
die Ideen su ordnen, Qbenicbt- 
Uch danoBtellen und im GedAeht- 
nie m behalten, IniSent nQtilich 
und noeh heate fortsupflegen. 

Boltamann. 

1. Ho dato receutemente la soluzione del problema piü 
generale, relativo alle scariche dei condensatori^), il quale 
problema si puö enunciare in questo modo: 

,,fi candtittori campkssi sono posti in presenza e il v^esimo 
di €ssi eanäene c^ capadtä e f^ fiÜ; H astegnano le cariche e 
U earrefiH dl tempo xero e si domanda di calcolare cariche e 
earrenä per un istante qualunqueJ* 

Ho üettto yedere che in tale caso generalissimo ognuna 
delle qnantitik incognite soddisfa ad un'eqoazione dififerenziale 
lineare ed omogenea» a coefficienti costanti, dell' ordine: 

1 
Qnesto teorema si pn6 mettere sotto una forma piü 
Bemplice; basterä osservare infatti che, se il o-esimo conduttore 
fosse isolato Tordine della sua equazione dififerenziale sarebbe: 

y» = ^• + /'»— ^f 
Tiene dnnqne: 

E* una proposizione, che ha manifestamente an' impor- 
tanxa considereyole per la teoria dell' analisi spettrale; Tallarga- 



1) A. Garbasso, Memorie della R. Accademia delle Scienze di 
ToffiBO (8) M. p. 127. 1908. 



470 



Ä. Oarbasso, 



mento delle righe^ l'esistenza di spettri caratteristici per le 
combinazioDi, come delle serie di doublets e triplets, derivano 
da essa in un modo semplice e naturale. 

Mi propongo di dame un esempio con l'esame di alcuni 
casi pacücolari^ e spingerö il calcolo fino alle ultime con- 
seguenze numeriche. 

2. Consideriamo all'uopo un conduttore costituito da tre 
capacitä uguali (Fig. 1 e 3) riunite da due fili uguali^ rettilinei 
e artogonali; e supponiamo i fili cosi lunghi che le azioni 
elettrostatiche fra capacitä e capacitä risultino trascurabilL 
n calcolo di questa disposizione non presenta nessuna diffi- 
coltä. Chiamando B ed Z Ia resistenza e il coefficiente di 
autoinduzione di ciascun filo, K il coefficiente di potenziale 
(che sarebbe nel caso nostro il reciproco della capacitä), ^ e 
^ le correnti del primo e del secondo filo^ e ponendo per 
comodo di scrittura: 

S:=:{li+ LD)1) + 2K, 

d 



D 



ayremo infatti: 



e quindi: 



dt' 



K S 



i^ =0. A = 1,2. 



La caratteristica dell' equazione dififerenziale si ottiene 
ponendo a zero il determinante^ e considerando il D come 
un' incognita, sarä dunque: 

8- K 

= (5* - ä:*) = (s - is:)(Ä + Z) = 0. 



(a) 



^K S 



Dal quäle resaltato si deduce immediatamente che il 
conduttore proposso emette uno spettro di due righe coi periodi: 



(«) 






Tearia delt andÜn spetirale. 471 

3. Adesso yogliamo supporre che due conduttori del tipo 
di quello studiato innanzi si trovino in presenza (Fig. 2 e 4); 
ma, par rendere meno pesanti i calcoU materiaU, ammetteremo 
che i quattro fili siano tutti uguali^ e la posizione relativa sia 
tale che il primo filo del primo conduttore agisca solamente 
sol primo filo del secondo e il secondo filo sul secondo filo, 
e i coefficienti di induzione relativi alle due coppie siano 
identici^ appimto come appare dalle figure. 

Snpporremo ancora che le capacitä yariino da an con- 
dattore all' altro; come prima non vi saranno azioni, fra cariche 
libere in imo stesso conduttore; vi saranno bensi fra cariche 
dell* ono e dell' altro. Per semplificare ammettiamo che la 
prima capadtä agisca su la prima^ la seconda su la seconda, 
la terza su la terza e i coefficienti di potenziale relativi alle 
tre coppie siano uguali. 

Indicheremo con M il coefficiente di induzione mutua, 
con Z<^, K^^ e A i coefficienti di potenziale, con i^^\ ^<^, ^^* 
e i^^ le coirenti e porremo: 

Verrä senz' altro: 

- IT» ij<^> + Ä<i> V^ - A t^<» +*!,<» =0 
' h*^ - A ^<»> + Ä<» ij<» - Z« 4<» = 

- A ^«i> +s i^^^ - Z<» i^'^ + S<» 4*» =0, 

e qnindi: 

5/^>-/C<^> * -A I 

— Ä^d) Ä(D «_ A M ' 1—12 

' : h<^^ = 0. ' 

, - A iS<» - ä:<» ; fi = 1,2 

- A * - ^<» S'^ 

La caratteristica dell' equazione difi'erenziale si ottiene 
Mme prima ponendo a zero il determinante e considerando 
il D come im' incognita; essa i dunque: 



f 
I 



472 



A. Oarbeuio. 



(b) 



^<« - Z"» * -h 
_ Z«« 5<" - A t 

s -h 5<» -r« 



= (5'" 5« + JS:<i» K** - 



-h 8 -X'» 5« 

_ ,» _ Ai)> _ (Z'« iS« + Z« 5<" - 2 A *)»= (5"> 5<» + JT"' iT* - 
,» _ A2 _ Jfd) 5(» _ ^<» 5'w + 2 A *) (S<" S<» + Jf«» Jf« - 
_,»_*» + ^(D^c» + X's-S'» - 2A») = 0. 

Segue di qui che il sistema proposto emette ano spettro 
di qnattro righe coi periodi: 



(/J) 



TT* 



7? ♦♦ 

^1 "" 



= '"]/, 



2 (L« - Jf «) 



- 2Ä Af]« - i'cÄ-"» Z»> - Ä*)(L« - Jf*) 



?;%^2** = 2^ |/1 



2 (L« - Jf «) 



- 2Äir|« - 4(iC<i>Ä'<« - Ä«)(L« - Jtf«). 

4. Queste formole disgraziatamente sono troppo complesse 
perch6 se ne possa yedere chiaramente il significato. In alcuni 
casi particolari si prestano ad ogui modo ad una interpre- 
tazione semplice. Supponiamo anzitutto che K^^ e K^^ siano 
assai divers! e che le quantitä 



« = -, 



M 



a<^ = 



a«» = 



siano piccole^ cosi piccole che si possano giä trasoorare le 
potenze superiori alla seconda (Fig. 2). 

Vena: 



M 



7»** 



7? * 

^2 



-^2 



=2«|/; 



J^(t) 



SÄ-t» 



= 2-]/^ 



(«) 



2 (K^^ - iC«) 
[ 2 (iCW - iC<«). 

[ 2 (iC<" - iCt«) 

[2 (A'<«> - A'"<«) 



sotto altra forma, se si chiamano 7/^, T^^^, ?;<» 7,<» i periodi 
relativi ai due conduttori isolaä e si pone ancora: 



Tearia deW analiti spettrale. 



478 



(9(1) 



ö<» 






lisulterä: 



i;** = i;« (1 - ö<») 
7/ = r/« (1 - ö<»o 
y,** = r/» (1 - ö<») . 

I periodi del sistema composto si ottengono danque molti- 
plicando per certe costanti gli spettri dei conduttori componenti. 

Questo risultato trova an riscontro nelle osserrazioni del 
sig. Grünwald su lo spettro del vapor d'acqua^ e sul modo nel 
qaale lo si puö dedurre da quelli dell' idrogeno e dell' ossigeno. 

5. ün altro caso semplice 6 quello in cui i due conduttori 
sono rigorosamente uguali (Fig. 4)^ caso che si traduce nella 
condizione ^^^ ^ ^,^ ^ ^ 

Le formole {ß) fomiscono allora: 



w 



2\* 






L+M 
K+'h 






L+M 
K+k' 

▼■le a dire, se si snppongono piccoli daccapo i rapporti: 

U h 



V-2«/f(l-'-^-^) 



2;' =2« 




9 — 



1 - 



« — a 
~~2 



) 



'.--2-i/i^(>+---;-^)- 



474 



A. Oarbasso. 



Chiamando T^ e T^, come al paragrafo 2, i periodi relativ! 
a ciascun conduttore isolato, e ponendo ancora: 



ö 



— a 



1 



^ 



9 9 



2 



<i^ 



3 



s. 



9 9 



4 



yiene dunque: 







T* 



2i (1 - ö) 

7i (1 + Ö) 

y, (1 - ö) 

2; a<+ ö)- 



learia deV anaUsi spettrale. 



476 



E perö il sistema composto ha ano spettro, nel quäle le 
righe relaÜTe ai conduttori componenti sodo sostituite da al- 
trettanti doubleU. 

6. Allo stesso risoltato si puö arrivare per una via piü 
elegante, senza nemmeno svolgere I'equazione caratteristica (b). 
Nel caso attuale codesta equazione ha infatti la forma: 



- Ä 8 -K S 



= 0; 



86 ora si somina la terza con la prima e la qaarta con la 
seconda orizzontale risulta: 



= 0, 



S + 8 -{K + h) S + 8 --{K+h) 

- (A + Ä) S + 8 --{K + h) S + 8 

8 ^h S -K 

-A 8 -Z S 

osaia, sottraendo la prima dalla terza e la seconda dalla qaarta 
Tertioale: 

5 + ,«(JE' + Ä) 

-(Z + A) 8 + 8 

, _A 5-*-(i:-A) 

-A jr-{i:-A) Ä-* 



S + 8 ^{K + h) 
- (A + A) S + 8 



S^8 - (Z - A) 
- (A - A) S-s 



= 0. 



Basta confrontare quest' ultima condizione con la (a) per 
yedere come dalle (a) seguano immediatamente le (d). 

7. Per calcolare gli spettri riprodotti nelle figure ho 
supposto che i fili fossero lunghi 30 cm e spessi 0,03; le 
capadtik sono palline di 3 cm di diametro nel conduttore 
ddla figora 1 e palline di 4 cm nel conduttore della figura 3. 

n sistema della tigura 2 risulta dalla riunione di un con- 
duttore (1) con un conduttore (3), e il sistema della figura 4 
6 una coppia di conduttori (3). La distanza fra i tili paralleli 
neue figure 2 e 4 6 di 10 cnou 



476 A Garbasso, Teoria delP analisi speUrale, 

Le lunghezze d'onda, che si calcolano con questi dati^ 
sono le segaenti: 

1. 76,9 133,2 

2. 76,1 89,3 131,9 154,7 

3. 88.8 153,8 

4. 87,8 89,4 152,1 154,8 

Conduttori e spettri furono disegnati in vera grandezza e 
poi fotografati; siccome le lunghezze d'onda variano come le 
dimensioni lineari dei sistemi che le emettono^ la rappresen- 
tazione continua a valere. 

Genova, Istituto Fisico della R. Universitä, 15, Set- 
tembre 1903. 

(Eingegangen 21. September 1903.) 



477 



59. Über die elektrische Dispersion der Kristalle. 

Von Ii. QrsetB in München. 



Seitdem Boltzmann in einer seiner frühesten Arbeiten^) 
zam erstenmal die dielektrischen Eigenschaften der Kristalle 
untersucht und sie mit den Forderungen der elektromagne- 
tischen Lichttheorie übereinstimmend gefunden hatte, ist das 
experimentelle Material lange Zeit, bis zum vorigen Jahre, 
nicht wesentlich ausgedehnt worden. Das Resultat der Boltz- 
mannschen Untersuchung des rhombischen Schwefels ergab 
hauptsächlich die zwei Tatsachen, 1. die Achsen des größten, 
mittleren und kleinsten optischen Brechungsindex sind zugleich 
auch die Achsen der größten, mittleren und kleinsten Dielek- 
trizitätskonstante; 2. das Quadrat des Brechungsindex für jede 
dieser drei Achsen ist im wesentlichen gleich der betreffenden 
Dielektrizitätskonstante. Die Erweiterung des experimentellen 
Materials, die seitdem stattgefunden hat, hat in keinem Falle 
mehr das zweite der obigen Resultate ergeben. Bei aUen 
untersuchten Kristallen war die Dielektrizitätskonstante 6 größer 
als das Quadrat des Brechungsindex n, bez. der Konstante der 
Caoehyschen Formel Auch bei den allermeisten isotropen 
Körpern findet dieselbe Abweichung statt, die bekanntlich auf 
Absorptionen im Bereich der langen Wellen schließen läßt 
Dagegen fand sich das erste der obigen Resultate, welches 
man kurz so aussprechen kann, daß die Reihenfolge der Achsen 
fbr die optischen und die elektrischen Bewegungen dieselbe 
igt, zunächst bei allen untersuchten Kristallen, zu denen optisch 
einachsige und optisch zweiachsige rhombische und klinorhom- 
bische gehörten, wieder. 

Indes auch dieser Satz gilt nicht allgemein. In einer 
Untenachong, die Fellinger^ auf meine Veranlassung und 



1) K Boltsmann, Wien. Ber. (2) 68. p. 81. 1878. 70. p. 807. 
1874. POgg. Ann. 168. p. 525. 1874. 

S) B. Fellinger. Ann. d. Phjs. 7. p. 888. 1902. 



478 L. Graetz. 

nach einer von Graetz und Fomm angegebenen Methode 
ausführte, ergab sich zum ersten Male eine Abweichung von 
demselben, eine unerwartete Vertauschung der Achsen, und 
zwar beim Baryt Für diesen ist die Ebene der optischen 
Achsen die Ebene {010}, wenn die Ebene größter Spaltbarkeit 
zu {001}, die prismatische zu {110} genommen wird. Wird die 
Achse senkrecht zu {010} als ^ -Achse genommen, die erste 
und die zweite Mittellinie als c bez. a so sind die Brechungs- 
exponenten für den Baryt 

a ß r 

für die Linie C 1,6336 1,6348 1,6452 
„ „ „ D 1,6363 1,6375 1,6480 
„ „ „ E 1,6397 1,6409 1,6517 

Die Werte von ß haben also, wie es sein muß, den mitt- 
leren Wert und a und y weichen erheblich voneinander ab. 
Im Gegensatz dazu zeigte sich die Dielektrizitätskonstante 
gerade in der Richtung senkrecht zu {010} als die größte. Es 
war nämlich für dieselben drei Eichtungen 

«1 = 6,9739 «3 = 10,0876 «3 = 6,9964. 

Auch ein zweiter Barjrt, filr den bloß c^ und €3 gemessen 
wurde, ergab c, viel größer als «j, nämlich 

«1 == 7,133 «, = 11,911. 

Dieses Resultat ist sehr auffallend, und Beckenkamp ^) 
vermutete, daß die Beobachtung am Baryt infolge von Pyro- 
elektrizität gefälscht sei, was an sich bei der angewandten 
Methode möglich gewesen wäre, wenn nicht, wie es der Fall 
war, gerade dieser Fehlerquelle besondere Aufmerksamkeit 
geschenkt worden wäre. Inzwischen ist nun das Resultat 
von Fellinger am Baryt durch eine nach ganz anderer 
Methode ausgeführte Untersuchung von W. Schmidt*) durch- 
aus bestätigt worden. Dieser fand nämlich bei zwei Baryt- 
kristallen bei derselben Bezeichnung der Achsen im Mittel: 

I «, = 7,62 e, = 12,25 «, = 7,62 
II fij = 7,69 fi, = 11,00 8g = 7,70. 



1)J. Beckenkamp, Zeitschr. f. Kristallogr. u. Min. 35. p. 184. 

1901. 

2) W. Schmidt, Ann. d. Phys. 9. p. 988. 1902. 



Elektr. Düpernan der Kristalle. 479 

Also auch hier ist a^ viel größer als a^ und 83, und die 
letzteren beiden Werte sind wie beiFellinger nahezu einander 
gleich. Schmidt fand zugleich noch bei einem zweiten Kristall, 
Cölestin, der ebenfalls rhombisch ist, dasselbe Verhalten. (Baryt 
ist schwefelsaures Baryum, Cölestin schwefelsaures Strontium.) 
Für den Cölestin sind bei derselben Bezeichnung der Eristall- 
achsen die optischen Brechungsindizes 

a ß f 

f&r die Linie D 1,62198 1,62867 1,63092, 

w&hrend die Dielektrizitätskonstanten sich bei zwei Kristallen 
im Mittel ergaben: 

I 0i -= 8,20 «, « 18,15 Bg rs 8,00 

II 0i » 8,80 «, » 18,50 «, -= 7,70. 

Hier ist also e, verhältnismäßig noch bedeutend mehr ge- 
wachsen wie beim Baryt 

Die Tatsache selbst ist also durch diese zwei nach ver- 
schiedenen Methoden angestellten Untersuchungen sicherge- 
stellt Aus dieser Tatsache folgt aber sofort folgendes: Da 
die optischen Achsen eines zweiachsigen Kristalls immer in der- 
jenigen Ebene liegen, welche senkrecht steht auf der Richtung 
des mittleren Brechungsexponenten und da ebenso die elek- 
trischen Achsen, d. h. diejenigen Achsen, in welchen die elek- 
trischen Bewegungen gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit im 
Kristall haben, senkrecht stehen auf der Richtung der mitt- 
leren Dielektrizitätskonstante, so folgt, daß für den Baryt und 
den Cölestin die Ebene der elektrischen Achsen senkrecht 
steht auf der Ebene der optischen Achsen. Während &lt das 
Licht die Ebene a c die Achsenebene ist, ist es für die Elek- 
trizit&t die Ebene ba bez. bc, je nachdem e^^«, ist. Wir 
haben es also mit gekreuzter Stellung der Achsenebenen für 
die rmechen Lichtbewegungen und die langsamen elektrischen 
Bewegungen zu tun. Aus dem optischen Verhalten kann man 
fbr diese bei langen Wellen eintretende Kreuzung nicht ein- 
mal einen Anhaltspunkt finden. Ein solcher wäre vorhanden, 
wenn der optische Achsenwinkel mit wachsender Wellenlänge 
im sichtbaren Teil des Spektrums bedeutend kleiner würde. 
Aber gerade das Gegenteil ist für den Baryt der Fall Für 



480 L. Oraetz. 

diesen berechnet sich der wahre Achsenwinkel 2 Fbei 20^ f&r 
die Linien 

C zu 35M0' D zu 34<>47' F zu U^%b\ 

Für den Cölestin ergibt sich wohl eine kleine Abnahme 
für C rechnerisch, doch scheinen die Zahlen f&r die Brechungs- 
exponenten nicht genügend sicher zu sein. Für den Cölestin 
wird 2r 

bei C 50^28' 2) 52M' F 51^30'. 

Eine solche Kreuzung der Ebenen der optischen Achsen 
für Wellen verschiedener Länge ist übrigens auch für das 
Licht keine unbekannte, wenn auch eine seltene Erschei- 
nung. Es gibt einige Kristalle, und der Brookit (Titanoxyd) 
ist das Hauptbeispiel dafür, welche in dem Bereich des sicht- 
baren Spektrums eine derartige Dispersion zeigen, daß die 
Ebene der optischen Achsen für Rot und Gelb senkrecht steht 
auf derjenigen für Grün und Blau.^) Die merkwürdigen Bilder, 
welche eine Platte aus solchem Kristall in konvergentem weißen 
Lichte zeigt, sind in dem angeführten Werke von Groth ab- 
gebildet. Wenn man nun nicht nur das Gebiet der sichtbaren 
Wellen, sondern das gesamte Gebiet der Wellen bis zu den 
elektrischen in Betracht zieht, so mag diese Erscheinung, wie 
Baryt und Cölestin es zeigen, eine viel allgemeinere sein. Ein 
zweiachsiger Ejistall, der in gewissen Gebieten der Wellen- 
längen eine Kreuzimg der optischen Achsenebenen zeigt, muß 
notwendig für eine dazwischenliegende Wellenlänge sich wie 
ein einachsiger Kristall verhalten. Das Analogen dafür ist bei 
einachsigen Kristallen eine solche Dispersion, daß der Kristall 
aus einem optisch positiven zu einem optisch negativen wird, 
wobei er notwendig für eine dazwischenliegende Wellenlänge 
isotrop erscheint Auch dafCir zeigen die von Schmidt an- 
gegebenen Zahlen ein oder zwei Beispiele. Der Eisenspat 
ist nach der Angabe von Groth ^ stark negativ doppelbrechend, 
d. h. n II Achse ist größer als n j. Achse. Ln Gegensatz dazu 



1) P. Groth, PhysikaÜBche KriBtallographie. 8. Aufl. p. 109 o. 
390. 1895. Leider scheinen gerade für solche Kristalle keine genauen 
Messungen der Brechungsindizes vorzoliegen, obwohl sie hier besonderes 
Interesse h&tten. 

2) P. Groth 1. c. p. 470. 



iat die Dielektrizitätskonstante t^ im Mittel 6,85, a^ im Mittel 
7^6, also ist der Kristall für diese Wellen positiv. Beim 
Zirkon, der optisch negativ ist, geben die Zahlen s^ = 12,6, 
e^ = 12,8 Kwar positive Doppelbrechung, doch so geringe, in 
die Fehlergrenzen fallende Differenzen, daß man den Eristall 
(ttr diese Wellen sogar als regulär ansehen kann. Diese Ver- 
änderungen im Charakter der Doppelbrechung fär verschiedene 
Wellen sind natürlich zu unterscheiden von denen, die durch 
die Wärme hervorgebracht werden, da die molekulare Kristall- 
atruktur ja dabei dieselbe bleibt. 

Die Ursache für die Erscheinungen beim Baryt und Cö- 
lestin beruhen offenbar auf anomaler Dispersion in dem Ge- 
biet üwischen den Lichtwellen und den elektrischen, und lassen 
sich also zurückfuhren anf Absorptionen im Ultrarot. Wenn 
man die Helmholtzsche Theorie des mit lonenpaaren he- 
iasteten Äthers zugrunde legt, so sind es also die durch Rei- 
bung gedämpften Eigenschwingungen der Ionen, welche die 
Absorption und den anomalen Verlauf der Dispersion ver- 
anlassen. Die Helmhültzsche Theorie ist zwar nur für isotrope 
Medien in Gleichungen gefaßt, es hat aber keine Schwierigkeit, 
die entsprechenden Gleichungen für einen doppeltbrechenden 
Kristall mit fester Achsenrichtung (rhombischen) hinzuschreiben, 
bei denen man außer den 3 Dielektrizitätskonstanten £, >, a, 
noch die Konstanten a* und k der Helmholtzachen Theorie 
nach den drei Achsenrichtungen verschieden annehmen muß. 
Anch hat es keine Schwierigkeit, aus dem Ansatz für ebene 
Wellen eine Gleichung zu erhalten, welche formell der Fres- 
nelecben Gleichung für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit F 
analog ist, nor daß an Stelle dieser Größe hier eine komplexe 
Größe auftritt, deren reeller Teil allein die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit ist. Die Trennung aber der erwähnten Glei- 
chung in einen reellen und imaginären, den Absorptionsverlauf 
darstellenden Teil, führt im allgemeinen zu unübersichtlichen 
Formeln, wie schon ftir allgemeinere Dispersionstheorien von 
Drude') gezeigt wurde. Man kann aber ohne spezielle Rech- 
nung aus den elektrischen Erscheinungen am Baryt und Cölestin 
doch gewisse Schlüsse auf deren Kohäsion und Spaltbarkeit 



1) P. Dtnde, Wi«U i 

lolumuiii. FoachrLA. 



L 40. p. SS&. 1890. 



482 L. Oraetz. Elektr, Ditpersion der Kristalle. 

nach bestimmten Richtungen ziehen. Da die starke Veränderung 
der Dielektrizitätskonstante in der Bichtung der ^Achse^ welche 
in diesen Kristallen die Makroachse ist, stattfindet, so muß sie 
hervorgebracht sein durch Eigenschwingungen der Ionen« welche 
senkrecht zu dieser, also in der Ebene {010} stattfinden. Da 
nun diese Schwingungen der Ionen Absorptionen im Ultrarot 
erzeugen sollen, so müssen sie verhältnismäßig langsame sein, 
während diejenigen Schwingungen, die die Dispersion im sicht- 
baren Spektrum hervorbringen und die Absorptionen im Ultra- 
violett ausüben, viel raschere sind. Es folgt also für die Kräfte, 
von denen die lonenpaare angegriffen werden, daß diese in 
der Ebene {010} geringere sein müssen, als in den senkrecht 
dazu stehenden Ebenen. Denkt man sich diese Kräfte als 
durch gegenseitige Anziehungswirkung verursacht, so folgt, 
daß in der Ebene {010} die Dichtigkeit, in welcher dort die 
lonenpaare vorhanden sind, geringer ist als in den senkrecht 
dazu stehenden Ebenen. Nun ergibt sich aus allgemeinen 
kristallographischen Überlegungen^), daß die Ebenen vollkom- 
menster Spaltbarkeit diejenigen sind, welche die größte Flächen- 
dichtigkeit besitzen. Daraus und aus den obigen Betrachtungen 
würde sich also ergeben, daß nach der Ebene {010} die Spalt- 
barkeit der in Bede stehenden Kristalle gering sein muß. In 
der Tat ist die Spaltbarkeit nach {001} vollkommen, nach {110} 
ziemlich vollkommen, nach {010} und {111} nur noch deutlich.^ 

Ob diese Schluß weise, die jedenfalls mit Vorsicht gebraucht 
werden muß, auch in weiteren Fällen einen richtigen Zusam- 
menhang zwischen elektrischer Dispersion und Spaltbarkeit 
gibt, läßt sich bisher aus Mangel an dielektrisch untersuchten 
Kristallen nicht entscheiden. Es erscheint daher wichtig, noch 
möglichst viele rhombische Kristalle auf ihre Dielektrizitäts- 
konstanten zu untersuchen. 

München, September 1903. 



1) L. Sohncke, Zeitschr. f. Rristallogr. u. Min. 13. p. 209. 1888; 
P. Groth 1. c. p. 251. 

2) P. Groth l. c. p. 397. 

(Eingegangen 22. September 1903.) 



488 



60. Zar Theorie der Destillation von Gemischen. 

Von J. P. Kuenen in Dimdee. 

Es werde ein Gemisch beliebig vieler Stoffe in einer 
Kochflasche^ welche mit einem aufsteigenden Rückflußrohr ver- 
sehen sei, zum Sieden gebracht. Die Erwärmung werde so 
reguHert, daß keine Flüssigkeit abdestilliert^ und bleibe durch- 
aus konstant erhalten. Es wird dann der Zustand nach 
einiger Zeit, sowohl in der Flüssigkeit selbst , wie im Rohr^ 
vollkommen stationär. 

Der Vorgang im Rohr besteht darin, daß Dampf in dem- 
selben aufsteigt, sich dort beim Aufsteigen allmählich konden- 
siert and als Flüssigkeit nach dem Kochgefäß zurückfließt. 
Man kann also in jedem Durchschnitt des Rohres einen auf- 
steigenden Dampfstrom und hinabfließenden Flüssigkeitsstrom 
unterscheiden. Die wirklichen Bewegungen des Gemisches 
sind sehr verwickelt und finden nicht ausschließlich parallel 
der Böhrenachse statt: die gerade in der Kondensation be- 
griffenen Teile des Gemisches bewegen sich sogar hauptsäch- 
Uch dem Röhrendurchschnitte parallel; doch kann man jeden- 
falls die sich durch einen Durchschnitt in einem bestimmten 
Zeitelemente nach oben bewegenden Massen als Dampfstrom, 
die durch denselben hinabgehenden als Flüssigkeitsstrom zu- 
tammenfassen. 

Es läßt sich nun leicht ein einfaches Gtesetz über das Ver- 
hiltnis dieser beiden Ströme herleiten : da nämlich der Zustand 
stationär ist, so muß in einer bestimmten Zeit genau dieselbe 
Menge nach oben wie nach unten gehen. Daraus geht hervor: 

In jedem Durchschnitte sind der mtf steigende Dampfstrom 
wnd der khutbfUeßende Flüssigkeitsstrom gleich stark. 

Da sich aber die Gleichheit dieser Ströme nicht nur auf 
die Gesamtmenge, sondern auch auf alle Komponenten der- 
selben bezieht, so erfolgt weiter das nachfolgende Gesetz: 

Die m jedem Durchschnitte nebeneinander bestehenden Dampf 
wsd IKungkeit haben genau die gleiche Zusammensetzung, 

81* 



484 J, P. Kuenen, 

Der Umstand, daß die Flüssigkeit auf jeder Höhe die 
nämliche Zusammensetzung, wie der mit ihr in Berührung 
stehende Dampf aufweist, könnte unroittelhar erklärt werden, 
falls der Dampf immer als Ganzes in Flüssigkeit umgesetzt 
würde. Man könnte sich die Ahkühlung und Kondensation 
im Bückäußrohr wohl derart denken, daß dabei immer kleinere 
oder größere Mengen Dampf ohne Fraktionierung verflüssigt 
würden, aber gewöhnlich, wenn nicht immer (ausgenommen 
mit Maximum- und Minimumgemischen] findet bei der Kon- 
densation eine gewisse Fraktionierung statt; es ändert sich 
dadurch der Gehalt des Dampfes beim Aufsteigen fortwährend 
in einer bestimmten Richtung, nämlich in der Richtung einer 
größeren Flüchtigkeit Ähnliches gilt für die Flüssigkeit, da 
dieselbe beim Hinabfließen fortwährend die sich kondensieren- 
den Dampfmengen aufnimmt. Überdies hat die Fraktionierung 
zur Folge, daß sich auf bestimmter Höhe im Rohr nicht nur 
ein Gemisch von bestimmter Zusammensetzung, sondern eine 
Reihe von Gemischen, teils dampfförmig, teils flüssig, befindet, 
welche einen kontinuierlichen Übergang zwischen dem innersten 
Dampf- und dem äußersten Flüssigkeitsgemisch bilden. Das 
oben hergeleitete Gesetz gilt jedoch auch im allgemeinen Falle, 
wenn man unter Zusammensetzung die mittlere Zusammen- 
setzung der beiden Ströme versteht 

Nimmt man, wie oben geschehen ist, an, daß bei der 
Kondensation immer Fraktionierung stattfindet, so ändert sich, 
wie schon bemerkt, der Dampfgehalt fortwährend in einer be- 
stimmten Richtung, und der Endzustand, d. h. der Zustand 
am äußersten Oberende der kondensierenden Dampfsäule im 
Rohr, muß notwendig eine der Komponenten im reinen Zustande 
(oder casu quo ein Maximumgemisch) sein. Die Menge der- 
selben kann aber natürlich äußerst gering sein. 

Vergleichen wir jetzt den Zustand in einem kurzen Kon- 
densationsrohr mit energischer Kühlung mit demjenigen in 
einem effektiven Fraktionierrohr oder Dephlegmator, immer 
ohne Destillation. In beiden Röhren ändert sich der Dampf- 
gehalt allmählich zwischen einem bestimmten Wert am Unten- 
ende und der einen reinen Komponente am Obenende, und ist 
der Flüssigkeitsgehalt auf jeder Höhe derselbe wie der Dampf- 
gehalt. Der Unterschied der zwei Röhren besteht also nur 



Destillation von Gemischen. 485 

in der Ausdehnung des Phänomens: im Dephlegmator sind die 
Phasen^ speziell diejenigen nahe dem Obenende, auf eine größere 
Strecke ausgedehnt; dadurch wird eine viel vollkommenere Schei- 
dung der Komponenten ermöglicht, wenn man die oberste 
Phase abzudestillieren erlaubt. 

Aus dem obigen geht hervor, daß an keiner Stelle eines 
Destillationsrohrs die dampfförmigen und flüssigen Phasen in 
thermodynamischem Oleichgewicht sich betinden können, aus- 
genommen gerade am Obenende, wo die eine Substanz im 
reinen Zustande oder ein Gemisch von konstanter Siedetem- 
peratur sich vorfindet Es haben nämlich koexistierende Phasen 
im allgemeinen eine verschiedene Zusammensetzung und um- 
gekehrt kann bei gleicher Zusammensetzung kein Oleichgewicht 
bestehen. Am Untenende des Eondensationsrohrs , wo die 
Phasen weit vom Oleichgewicht sich entfernen, muß also un- 
mittelbar eine starke Kondensation und Auswechslung von 
Komponenten anfangen und ändert sich also der Dampfgehalt 
— und deshalb auch der Flüssigkeitsgehalt — nach oben 
relativ schnell; bei der NäheruDg zum Obenende nimmt die 
Tendenz zur Einwirkung der Phasen bis Null ab und dort 
besteht also nur eine langsame Änderung des Oehaltes nach 
oben zu: die Phasen sind deshalb am Obenende des Fraktionier- 
rokres am meisten auseijiandergeschoben. Man hat bekanntlich 
in speziellen Fällen mit Erfolg versucht, die Scheidung der 
Komponenten durch Anwendung eines auf konstanter Tem- 
peratur erhaltenen Kondensationsrohres zu befördern ; offenbar 
kann die Wirkung eines derartigen Rohres ebenfalls als eine 
Ausdehnung der auffolgenden Phasen aufgefaßt werden. 

Wir haben im obigen noch immer angenommen, daß kein 
Pampf abgeführt wird; sobald das geschieht, hören die obigen 
Oeaetse auf zu gelten. Je langsamer die Destillation vor 
aich geht, d. L je kleiner die Menge der abgeHlhrten, im Ver- 
hältnis nur nach der Kochtlasche zurückfließenden Substanz 
iat| am desto weniger werden die Verhältnisse von den oben 
betrachteten abweichen. Betrachten wir einfach shalber den 
Fall eines binären Gemisches und nehmen wir an, daß das 
Destillat aus der einen Komponente in angenähert reinem Zu- 
stande besteht; es hat dann die Destillation offenbar zur Folge, 
daß die zorücklließende Flüssigkeit weniger von dieser tlüch- 



486 /• P. Kuenen. Destälaiion von Oemischen. 

tigen Substanz enthält und^ anstatt die nämliche Zusammen- 
setzung wie der Dampf, eine etwas andere weniger flüchtige 
aufweist und deshalb auch näher mit dem Dampf im Gleich- 
gewicht sich befindet. Gewöhnlich wird jedoch der Zustand 
noch weit von demjenigen verschieden sein, in dem die sich 
berührenden Phasen thermodynamisch miteinander koexistieren^ 
und diese Abweichung muß am Untenende des Rohres am 
größten sein. Es ist also ungenau anzunehmen, wie man es 
wohl getan hat, daß bei langsamem Betrieb einer Fraktionie- 
rung die Phasen sich auf jeder Höhe des Rückflußrohres an« 
genähert in Gleichgewicht einsetzen werden; dasselbe ist nur 
im oberen Teile des Rohres der Fall. 

Das obige soll natürlich nicht als eine vollständige Theorie 
der fraktionierten Destillation, sondern nur als ein Beitrag zu 
derselben in einer, so viel ich weiß^ vernachlässigten Richtung 
betrachtet werden. An anderer Stelle hoffe ich die Theorie 
vollständiger darzustellen. 

Dundee, University College. 

(Eingegangen 22. September 1908.) 



487 



61. Eine einfache Anwendung der Vektorrechnung 
auf die Theorie der veränderlichen Ströme. 

Von B. Jahnke in Berlin. 

!• Einleitung, — Bei einer Einrilhrung in die Vektor- 
rechnung ist es wünschenswert^ schon im Beginn, nachdem die 
einfachsten Begriffe und Definitionen vorgetragen worden sind, 
einfache Anwendungen YorfUhren zu können, sei es zur Ein- 
übung des neuen Algorithmus, sei es, um die Fruchtbarkeit 

der neuen Methode zu erweisen. Während nun an Beispielen 
•« 

und Übungen aus Geometrie und Mechanik kein Mangel ist, 
kommt man bei der Frage nach einfachen Anwendungen aus 
der mathematischen Physik in einige Verlegenheit. 

Bei der Suche nach solchen Anwendungen bin ich vor 
kurzem ^) auf eine elementare Herleitung derjenigen Formeln 
gestoßen, welche Fresnel und F. Neu mann für die Intensi- 
täten des partieU reflektierten und gebrochenen Lichtes aufge- 
stellt haben, in dem Fall, daß die Schwingungsebene senkrecht 
zur E^faUsebene verläuft.^ Diese Herleitung ist dadurch be- 
merkenswert, daß sie keine Differentialgleichung benötigt. An 
die SteUe der üblichen Voraussetzung, daß die elektromagne- 
tische WeUe die Form einer Sinusschwingung besitze, tritt die 
allgemeinere, daß sich die elektromagnetische Welle durch einen 
Vektor darstellen lasse, dessen Länge durch die Schwingungs- 
amplitude gemessen und dessen Richtung und Richtungssinn 
durch die Fortschreitungsrichtung der Welle bestimmt werden. 

Im nachstehenden erlaube ich mir, eine andere Anwen- 
dung mitzuteilen, die sich auf die Theorie der veränderlichen 
Ströme bezieht, nämlich eine elementare Herleitung des 0hm- 
schen Gesetzes für den Wechselstrom in dem Fall, daß Wider- 
stand , Selbstinduktion und Ka])azität als konstant voraus- 
gesetzt werden. 

1) Vgl. Sitzongsber. d. Berl. Math. GeselUch., 2. p. 53— f)r>. 1903. 

8) Wie hieraus die Formeln des Falles hervorgehen, wo das Licht 
pariHel wax Einfallsebene schwingt, zeigt eine Arbeit des VerfaoserSf die 
it^mpJH^tt im Arch. d. Math. u. Phys. erscheinen wird. 



488 E. Jahnke. 

2. Voraussetzungen aus der Vektorrechnung, — Bei dieser 
Herleitung mache ich Gebrauch von dem Begrifif des Vektors 
der Ebene als einer Strecke von bestimmter Länge, bestimmter 
Richtung und bestimmtem Eichtungssinn , sowie von dem 
äußeren und dem inneren Produkt zweier Vektoren a, b der 
Ebene^ die ich nach Graßmann^ wie folgt, definiere: 

[ah'] = ab sin (a, ft), [a | ft] = a ^ cos (a, ft). 

Dabei bedeuten a, b die numerischen Längen der beiden 
Vektoren. Diese Definitionen liefern ohne weiteres die charak- 
teristischen Eigenschaften des äußeren und des inneren Pro- 
duktes, nämlich 

[6 a] = — [a 6] , [a a] = 0; 

[6 1 a] = [a I ft] , [a\a\ = a^. 

Außer diesen Begriffen und Definitionen benutze ich noch 
den Satz, daß zwischen drei Vektoren der Ebene a, b, c stets 
eine lineare Identität der Form 

(1) aa + ßb + rc=^0 

besteht, ^990 a, ß, y beliebige Zahlen bedeuten, d. h. daß es 
stets möglich ist, von drei beliebigen Vektoren der Ebene 
solche Vielfache zu nehmen, daß dieselben sich zu einem 
Dreieck zusammenschließen. 

Was den beim inneren Produkt auftretenden vertikalen 
Strich angeht, den von Graßmann eingeführten Ergänzimgs- 
strich, so bedeutet ^) | b den Vektor, in welchen der Vektor b 
übergeht, wenn er im positiven Sinn um 90^ gedreht wird, 

so daß 

|6= -6 

wird. Das innere Produkt wird durch Einführung des Ergänzungs- 
begriffs auf das äußere zurückgeführt, und umgekehrt kann das 
innere stets in Form eines äußeren dargestellt werden. Daher ist 

[a6]= -[«||ft]=-[«|(|6)]. 

Noch eine Bemerkung über die mechanische Deutung 
des Vektors und des inneren Produktes zweier Vektoren. Es 
ist bekannt, daß sich die eben definierten Vektoren^ in der 

1) Sprich: Ergftnzong des Vektors b. 

2) Es sind die sogenannten freien Vektoren gemeint, denen die 
hier nicht zur Verwendung kommenden gebundenen gegenüberstehen. 



Anwendunff der Vektorreehnung, 489 

terscfaiedensten Weise deuten lassen; insbesondere als Kräfte, 
welche in einem und demselben Punkt angreifen, oder allgemeiner 
als Kräfte, deren Wirkung als unabhängig von der Lage im 
Baum angesehen werden darf. Deute ich nun a als eine 
solche Kraft und b als den Weg, welchen der Angriffspunkt 
der Kraft in der Zeiteinheit zurückgelegt hat, so stellt das innere 
Produkt [a | V] gemäß obiger Definition die Arbeit dar, welche 
die Kraft geleistet hat, indem ihr Angriffspunkt in der Zeit- 
einheit die Verrückung b erfahren hat 

3. Physikalische Foraussetznrtffen. — Ich komme zu den 
physikalischen Voraussetzimgen. Li einem Stromkreise herrsche 
eine elektromotorische Kraft imd bringe einen Wechselstrom 
hervor. Nun nehmen unter den veränderlichen Strömen die- 
jenigen eine ausgezeichnete Stellung ein, welche sich nur durch 
Amplitude, Phase und EVequenz unterscheiden. Ich beschränke 
die Betrachtung auf diese, harmonisch genannten Wechsel- 
ströme. Alsdann können sich Spannung und Strom eines und 
desselben Wechselstroms nur noch durch Amplitude und Phase 
unterscheiden. Ich kann daher die Spannung eines solchen 
Wechselstroms als einen Vektor auffassen, dessen Länge ein 
Maß der Spannungsamplitude gibt, und dessen Richtung die 
Phase der Wechselstromspannung bestimmt. Dieser Vektor 
heiße Spannungsvektor* 

Ebenso läßt sich der Strom als Vektor darstellen, wenn 
ich seine Länge zur Stromamplitude und seine Richtung zur 
Phase des Stroms in Beziehung setze. Dieser Vektor heiße 
Stramvektor. 

Indem ich Widerstand, Selbstinduktion und Kapazität als 
konstant voraussetze, erhalte ich ein Wechselstromfeld, dessen 
physikalischer Zustand durch jene beiden Vektoren vollständig 
charakterisiert ist. 

Noch einen Vektor führe ich ein, der dem Strom vektor 
nm 90^ in seiner Richtung, d. i. Phase, vorauseilt, dessen 
Linge aber mit derjenigen des Stromvektors übereinstimmt, 
nnd nenne ihn den magnetischen oder wattlosen Vektor. 

Endlich entnehme ich der Physik die Tatsache, daß die 
Arbeit, welche die elektromotorische Kraft in der Zeiteinheit 
teiltet, aioh einmal aus dem Jouleschen Effekt, d. i. der in 
Wlnne umgesetzten Energie^ zusammensetzt und zweitens aus 



490 B. Jahnke. 

der inneren Stromenergie oder magnetischen Energie. Die erstere 
wird aufgewendet, um den Stromvektor, die letztere, um den 
dazu senkrechten, magnetischen Vektor hervorzubringen. Jene 
ist gleich ßj^, diese gleich 



(^---jo)«^*' 



wo B den Ohm sehen Widerstand, L die Selbstinduktion, (7 die 
Elapazität, (o die Frequenz und / die Intensität des Wechsel- 
stroms bedeuten. 

4. Herleitung des Ohmnehen Gesetzes, — Nenne ich den 
Spannungsvektor e und den Stromvektor i, so läßt sich durch 
diese beiden gemäß (1) jeder andere Vektor derselben Ebene 
linear darstellen. Derselben Ebene gehört aber der wattlose 
Vektor an, welcher, unter Benutzung des Graßmannschen Er- 
gänzungsstriches, mit \i bezeichnet werden darf. Demnach 

kann ich ansetzen: 

(2) e^xi + y\i. 

Um die Koeffizienten x, y zu bestimmen, multipliziere ich 
die Gleichung zunächst äußerlich mit |i: 

[C|«] = x[<|<]+y[i< |<] 

und finde, da [|i |i] gemäß der Definition verschwindet, 

\e\i\ 



X =s 



Ebenso liefert die äußere Multiplikation mit i: 

woraus, da [ii] verschwindet, 

\ie\ 

y \i\iV 

Die Amplituden von Strom und Spannung seien / bzw. i?, 
dann ist zunächst der gemeinsame Nenner 

Um die Zähler auszuwerten, erinnere ich an die oben 
mitgeteilte mechanische Deutung, welche das innere Produkt 
aus Kraft- und Wegvektor zuläßt. Die entsprechende Deutung 
fLLr die Theorie der veränderlichen Ströme ergibt sich, wenn 
ich an die Stelle des Ejraftvektors den Vektor, der die elektro- 
motorische Kraft darstellt, und an die Stelle des Wegvektors 



Änweiulung der Vektorrechnung. 491 

den Stromyektor setze. Daher wird das innere Produkt [e\{] 
den Yon der elektromotorischen Ejraft des Wechselstroms in 
der Zeiteinheit geleisteten Joul eschen Ei£Pekt darstellen, d.h. 

(3) [6|i] = Ä/«. 

Was endlich das äußere Produkt [i e\ angeht, so läßt sich 
dasselbe als inneres Produkt aus e und \i aufiiassen; nämlich 

[ie]--[e<] = [e-i]-[e|(|i)]. 

weil ja ||i B — i. Demnach bedeutet \ie\ die Arbeit, welche 
die elektromotorische Kraft des Wechselstroms in der Zeiteinheit 
leistet, indem sie das magnetische Feld hervorbringt Also 
kann ich setzen 

(4) \ie\^[L^-^y. 

Hiemach nimmt die Identität (2) folgende Form an: 

(6) e = Ä<+(2;«,- J^)|<. 

Um Yon den Vektorgrößen zu den Skalaren überzugehen, 
nehme ich yon der Gleichung (5) die Elrgänzung: 

und mnltipliziere (5) und (S*) äußerlich miteinander, so entsteht 
oder 

und das ist das Ohm sehe Gesetz für den Wechselstrom, wenn 
Ohmscher Widerstand, Induktanz und Kapazität als konstant 
angesehen werden dürfen.^) 

6« Sehbißbemerkunffen. — Ich mache zunächst darauf auf- 
merksam, daß die Torstehende Herleitung an die Stelle der 
üblichen Voraussetzung von sinoldalen Wechselströmen die 



1) V^ s. B. G. Ferraris, WiBsenschiftliche Gknndlagen der Elektro- 
p. S64. 1908. Leipsig, B. G. Tenbner. 



492 E. Jahnke. Anwendung der Fektorrechnunff, 

andere setzt, daß sich der Wechselstrom als Vektor darstellen 
läßt^] Dadurch erklärt sich das Fehlen des DififerentialbegrifiFs. 

Weiter möchte ich auf den Unterschied hinweisen, welcher 
zwischen den hier benutzten Vektoren und denen besteht, die 
ich bei der Herleitung Ton Fresnels und F. Neumanns 
Intensitätsformeln verwandt habe. Während diesen physika- 
lische Bedeutung zukommt, sind jene nur als graphische Vek- 
toren, im Gegensatz zu den physikalischen Vektoren, anzu- 
sprechen. 

Endlich hebe ich hervor, daß ich in den Anwendungen 
auf Optik und Elektrizität, von der einfachen Identität Ge- 
brauch machte, die zwischen drei Vektoren der Ebene besteht 
Dieselbe leistet noch bei manchen anderen Anwendungen gute 
Dienste. Ich begnüge mich an dieser Stelle auf die Verein- 
fachung hinzuweisen, welche durch sie gerade die analytische 
und graphische Behandlung von Wechselstromerscheinungen er- 
fährt.«) 



1) Die Herleitung erinnert übrigens an diejenige, welche Hr. 
P. Steinmetz in seinem Werk: Theorie und Berechnung der Wechsel- 
stromerscheinungen, p. 472, unter Benutzung der Theorie der komplexen 
Größen gibt 

2) Vgl. z. B. Fr. Punga, Zeitschr. f. Elektrotechnik, 19. (42, 43.) 
1901. Diese Darstellung hätte an Einfachheit erheblich gewonnen, wenn 
der Verfasser die oben genannte Identität an die Spitze der Entwick- 
lung gestellt hätte. 

(Eingegangen 23. September 1908.) 



493 



62. The Expansion-Work of a Dissociating Gas. 

By J. B. TrsTor in Ith«ka U. S. A. 

Suppose a gas subject to binary dissociation of the tjpe 
represented by 

N,0.^i=»i2N0„ 

both of tlie cbnstituents, e. g. NgO^ and NO,, being assumed 
to exhibit the behavior of ideal gases. In Qihbs' theory, 
the molecular potential of the j-th constituent in the reacting 
mixture is (Gibbs' equation 268), 

(1) A^- Äeiog § - c,^(eiog e- ö) ^svoj + ^op 

where is the absolute temperature, ß the molecular gas- 
constant» p, the partial pressure and C^ . the molecular heat- 
capadty at constant pressure of the constituent, and E^, and 
fi^j the molecular energy and entropy constants of the con- 
stituent According to the Gibbsian theory, these molecular 
Potentials of the constituents are subject to the relation 

(2) X, - 2Ä,. 
New we haye 

RS RS 

where v is the Tolume of the.ga8-mixture; whence, on addition, 
by Dalton's law, 

(3) > = («, + «,)*/, 

p denoting the total pressure of the gas in dissociation equili- 
brium. In consequence, 

P ♦H + 'h 

(4) Pj^C^P- 

The qoantity C. may be termed the molecular concentration 
of the j-th constituent This equation (4) serves to eliminate 



494 J. E. Trevor. 

the partial pressures from (2), whereupon we obtain the equation 
for disBociation equilibrium in the fonn 

log-^ = log— + ^^^'"^^M og e - Jl9i^.3^}^L^!b^^lloA 

RS 

Noting that 2C^, — C^^ =s R^ and setting 

this equation may be written 

(5) log ^= log ^^^ ^" 



(7i "■ ^ p RS' 

where Ä and Q^ are constants. 

I propose, now, to utilize this relation for the calculation 
of the isothermal expansion-work of the gas between given 
limits of the degree of its dissociation, and for the calculation 
of the expansion-work when the temperature is changed under 
the condition of a constant degree of dissociation being main- 
tained. 

Denoting by a the degree of dissociation n^H^n^ + 'S)' 
and by JV^ the number of molecular weights when the entire 
mass is reckoned as composed solely of the first constituent, 
the isothermal expansion-work in question is to be obtained 
by effecting the indicated integration in 

Ol 

(6) - {^,t)e. N, = fp («, 0) • /„ V («, 0, N,)dcc. 

We require first to find the forms of the functions p and dvjda, 
The first of these is found as follows. The equations 



may be written 

whence 
(7) 







q = 


«l 


2wi + n, ' 


«1 + »»« ' 


3n 




C7,= 


1 

• 


n» " 1 - a ' 


1 + n,/ni ' 


• ^i 


s 


1 - et 
l+o • 





Expanrionwork of a dUsociatmg gas. 495 



Fnrther, since C^ 


= 1 - 


Cj, we have 


(8) 




n 2a 


and 80 




C\ 4 a« 


This in (5) yields 






log 
whence 


4 a* 
1 -o« 


, ARB 


(9) 


V^ 


1 - a» ARB 
4 a« <,«,/«« ' 



0- . 

RS ' 



which giyes the desired fonn of the function fifty 0). 

To find the form of da/dv, we proceed as foUows. 
Equation (3), 

may be written 

iV,(l -ha). RS 
P 

whereupon elimination of p between this and (9) yields 
(10) v^^' /"* -««./Ä^; 

* ' A l — a 

whence 

(11) 4^--^^ .*«.(?-«)., Vi»«. 

^ ' da ^ (l — o)» 

Sabstituting (9) and (11) in equation (6), and reducing, 
we find 



(12) 



a, a, 

-iViÄ0 {2 log (5--^;-:- ;.)+(«, -«,)}, 



which 18 the answer to our first problem. 

Onr second problem consists in efi^ecting the integration in 

(18) -(»'i.Uir. =/;>(«, ö)-3Vt;(a,e,jv,)rfe. 



496 «/. K Tr€0€T. Bbcpansiamaork of a dissociaihiff jfos. 
By differentiation of (10) we find 

^**^ dB " A l-a Bß^ ' ' 

and, on substituting (9) and (14) in (18), and reducing, 

- (^'i,)«. i^. = - J^i (1 + «) «. frf log e 
(15) I e, 

= ^;(l + «)e.log-|-: 

This is the answer to the second problem. 

Cornell University. Ithaca, N. Y., September 1903. 

(Eingegangen 23. September 1903.) 



497 



63. Über einen Versuch der Ausmessung von Stern- 
spektrogrammen nach der objektiven Methode der 

Wellenlängenbestlmmnng. 

Von Eduard Hasohek and Karl Kostersita in Wien. 

Die großen Vorteile der objektiven Methode der Aus- 
messong Ton Spektrogrammen, welche von F. Exner und 
EL Hasch ek angegeben^) wurde und über welche einer von 
uns bereits im Astrophysical Journal berichtet hat*), ließen 
es uns Yon Interesse erscheinen, einen Versuch der Anwendung 
dieser Methode auch auf AusmessuDg von Sternspektrogrammen 
zu machen, da die bisher allgemein übliche Methode der Aus- 
messung mit dem Mikroskop unverhältnismäßig viel Zeit und 
Mühe, sowohl für die Einstellungen und Ablesungen am Mi- 
krodcop, als auch für die daran sich anschließenden Rech- 
nungen , erfordert und die Augen übermäßig anstrengt Es 
war daher für uns von außerordentlich großem Wert, daß uns 
durch die besondere Qüte der Herren Geheimrat Prof. Dr. 
H. C. Vogel, Direktor des Astrophysikalischen Observatoriums 
in Potsdam, und Prof. Dr. W. W. Campbell, Direktor des 
Lick-Observatory auf Mount- Hamilton, einige Stemspektro- 
gramme für unseren Zweck zur Verfügung gestellt wurden, 
und wir möchten es nicht unterlassen, vor allem den beiden 
genannten Herren auch an dieser Stelle unseren allerwärmsten 
Dank für das uns erwiesene liebenswürdige Entgegenkommen 
hiennit auszusprechen. Von Hrn. Geheimrat Vogel erhielten 
wir zwei Kopien eines Spektrogrammes von /-Cygni; Direktor 
Campbell sandte uns drei Originalspektrogramme von a-Canis 
minoris, «-Leonis und «-Pegasi. 



1) F. Ezner and £. Haschek, Wien. Ber. 104» p. 909. 1895. 
S) Karl Kostersiti, „On a new objective Method for the Mea- 
■uBiint of flpeetrogrmmi'*, Astroph. Joum. 16. p. 268. 1902. 

82 



498 E, Hasehek und K. Kostersitz. 

Eine eingehende Berichterstattang über unsere Arbeit und 
deren Ergebnisse würde den uns hier zur Verfügung stehen- 
den Raum weit überschreiten ; wir beschranken uns daher jetzt 
auf eine kurze Torläufige Mitteilung und behalten uns vor^ an 
anderem Orte ausführlichen Bericht zu geben. 

Das von uns ausgemessene Spektrogramm von y-CygDi 
ist eine Reproduktion (Diapositiv) einer von G. Eberhard mit 
dem Spektrograph IV des Potsdamer Astrophysikal. Observa- 
toriums am 8. November 1902 um 6 ühr 48 Min. mitteleuro- 
päischer Zeit gemachten Aufiiahme. Dieses reproduzierte 
Spektrogramm wurde zunächst mit einem Projektionsapparat 
auf einem Schirm mit einer willkürlichen linearen Skala in 
27facher Vergrößerung entworfen. Die Stellung der Linien 
auf der Skala wurde in fünf voneinander unabhängigen Ab- 
lesungen bestimmt und die erhaltenen Mittelwerte mit Hilfe 
der J. Hartm an n sehen Formel (unter Benutzung von 3 Kon- 
stanten) auf Wellenlängen umgerechnet (Vergleichsspektrum Fe). 

Wie bei der Ausmessung mit dem Mikroskop hatten wir 
also bei diesem ersten Versuche auch noch die nachträgliche 
Reduktion der Ablesungen auf W^ ellenlangen rechnerisch aus- 
zuführen. Nichtsdestoweniger war der Zeitgewinn auch bei 
diesem Vorgange schon ein sehr bedeutender infolge der Mög- 
lichkeit einer sehr raschen und sicheren Ablesung der ein- 
zelnen Linien, nicht z\i reden von der großen Bequemlichkeit 
der Ablesearbeit und dem durch das projizierte Bild gegebenen 
schönea Überblick über das ganze Spektrum. 

In ihem vollen Umfange, also mit direkter Ablesung 
der Wellenlängen auf dem Projektionsschirm, brachten wir 
hingegen die objektive Methode der Ausmessung bei den 
Spektrogrammen des Lick-Observatory (Originalnegative, auf- 
genommen mit dem Mills -Spektrograph am 36" Refraktor des 
Lick-Observatory, Vergleichsspektrum Fe) zur Anwendung, in- 
dem wir uns für diese Spektrogramme zunächst eine für die 
Dispersion des Mills-Spektrograph gerechnete Skala anfertigten, 
an welcher wir bei richtiger Justierung des Apparates unmittel- 
bar die Wellenlängen der einzelnen Linien ablesen konnten« 
Auch diese Ausmessung erfolgte in fünf voneinander un- 
abhängigen Lesungen, und zwar unter Verwendung einer 
88 7i fachen Vergrößerung. Selbstverständlich mußte diese Art 



Ausmetsunff von Sterntpektrogramnusn, 499 

der Ablesung unTerhältnismäßig rascher und einfacher zum 
Ziele führen, da ja jede weitere Rechnung (abgesehen von der 
Mittelbildung) entfiel. 

Als wahrscheinliche Fehler unserer Messungen ergaben 
sich folgende Werte (in Ä.-E.), welche wir aus einer kleineren 
Anzahl von willkürlich herausgegriffenen Linien abgeleitet 
haben: 



Für die 


Für das 


einzelne Ablesung 


Resultat 


y-Cygni ± 0,026 


± 0,008 


a-Can. min. ± 0,082 


± 0,017 



Nach diesem außerordentlich günstigen Ergebnisse in be- 
zng auf die Meßgenauigkeit hielten wir uns für berechtigt, 
die gemessenen Wellenlängen mit Linien der bekannten Ele- 
mente zu identifizieren und benutzten dazu die von F. Exner 
und E. Haschek herausgegebenen Tabellen der Funken- und 
Bogenspektra der Elemente.^) Detaillierte Angaben unter Mit- 
teilung von ausführlichen Tabellen für die gemessenen Spektro- 
gramme behalten wir uns für unseren ausführlichen Bericlit 
Tor und wollen hier nur kurz folgende allgemeine Resultate 
erwähnen, wobei wir uns auf die Sterne ^^-Cygni und of-Canis 
minoris beschränken. 

In dem Spektrogramm von ;' Cygni (Spektralklasse IIa 
nach Vogel) haben wir im ganzen 139 gut bestimmbare 
Linien gemessen (unter Weglassung einer Anzahl von schlecht 
definierten, unbestimmten Linien). Nur zwei von diesen Linien 
waren in den Tabellen von Exner und Haschek nicht auf- 
zufinden; an den übrigen 137 Linien konnten Identifikationen 
mit den Spektren von 38 Elementen ausgeführt werden. Als 
sicher yorhanden wurden nachgewiesen: Fe, Cr, Ca, H, Ti, Va 
and die 14 Elemente aus der Gruppe der seltenen Erden. 
Femer scheint noch C in der Atmosphäre von ^'-Cygni, und 
zwar in einem solchen Zustande vorhanden zu sein, daß das 
Linienspektrum dieses Elementes sichtbar wird. Die übrigen 
Identifikationen lassen nur auf das Vorhandensein von Spuren 
der identifizierten Elemente schließen. 



1) Wien, Verlag von Deuticke, 1902 und 1904. 

32* 



500 E. Hasehek u. K, Kosterntz, Ausmessung etc. 

Das Spektrogramm von a-Canis mivoris ^) (Spektralklasse Ia3 
nach Vogel] ergab bei Messung von 195 gut bestimmbaren 
Linien, von welchen 10 in den Tabellen von F. Exner und 
E. Hasehek nicht aufzufinden waren, Identifikationen mit 
24 Elementen. Als sicher vorhanden können die folgenden 
16 Elemente angenommen werden: Fe, Cr, Mn; Ca, Sr, Mg; 
Ti, Va, Zr; Ce, La, Pr, Nd, Sa, Y, Sc. 

Aus dem allgemeinen Aussehen der von uns untersuchten 
Stemspektra sowie aus gewissen speziellen Erscheinungen 
glauben wir noch eine Reihe von Schlüssen auf die Konstitu- 
tion der Sterne ziehen zu können ; wir haben die Absicht, auch 
hierauf noch in unserer späteren Publikation ausführlich zurück- 
zukommen. 

Sowohl das Spektrogramm von y-Cygni, wie auch jenes 
von eir-Can. min. zeigen Linienverschiebungen nach dem Doppler- 
schen Prinzip, aus welchen sich fllr die Geschwindigkeit der 
beiden Sterne im Visionsradius zur Zeit der gemachten Auf- 
nahmen folgende Werte bestimmen ließen: 



relat lur Erde relat. zur Sonne 



f-Cygni +21,1 +4,9 km pro Sekunde 

a-Can. min. — 34,4 — 7,4 „ „ „ 

Als eine nicht zu übersehende Bemerkung fügen wir 
schließlich noch folgendes bei: Unsere Ausmessungen wurden 
nur mit Hilfe einer provisorischen Anordnung des Apparates aus- 
geführt und wollen nur als ein erster Versuch betrachtet sein; 
es unterliegt also auch gar keinem Zweifel, daß die mit der 
objektiven Meßmethode bei Ausmessung von Sternspektro- 
grammen zu erzielende Genauigkeit noch einer sehr erheb- 
lichen Steigerung fähig ist, wenn die Messungen mit einer 
definitiven und mechanisch präziseren instrumentellen Anord- 
nung ausgeftihrt werden, als sie uns f&r unseren Versuch zur 
Verfügung stand. 

Wien, n. Physik Inst, der Universität. 



1) Aufgenommen am 26. Septbr. 1899, um 7 Uhr 34,1 Min. Mount 
Hamilton. 

(Eingegangen 24. September 1908.) 



601 



64. Sulla dispersione elettrica dei raggi X ottenuti 
mediante le scariche dei condensatori. 

Di Fietro Cardani in Parma. 

L'emissione dei raggi X da parte di un tubo Röntgen 
▼iene> come h noto, profondamente moditicata inserendo nel 
circoito di scarica deirapparecchio d'indnzione, di cui il tubo 
Ca parte, un tratto di scintilla. I raggi Röntgen prendono 
origine a pressioni molto piü eleyate di quelle alle quali di 
solito se ne avrerte l'esistenza, mentre, se si opera con 
pressioni piü basse, viene sensibilmente cambiata ia natura dei 
raggi medesimi, i quali diyentano piü penetranti e quindi 
piü difficile il loro assorbimento da parte dei mezzi che 
attrayersano. 

Lo studio di questo fenomeno h stato fatto da vari 
sperimentatori e con molta larghezza dal Winkelmann: 
nessuno perö si k occupato di esamiuare quali modificazioni 
yenissero apportate all'emissione dei raggi Röntgen, cam- 
biando gli elementi della scarica a cui i raggi medesimi sono 
doTuti. 

Sotto questo punto di yista mi parve che doTesse pre- 
sentare un particolare interesse Tuso delle scariche dei conden- 
satori caricati da una ordinaria macchina elettrica. Anche in 
questo caso si ayeya nel circuito ed in serie con il tubo un tratto 
di sdntilla, ma mi sembrava che il fenomeno, per la stabilita 
che presentano alcuni degli elementi da cui dipendono le correnti 
formte dai condensatori, dovesse presentarsi necessariamente 
meglio definito. 

Con l'aso degli apparecchi di induzione il tratto di scin- 
tilla non rappresenta infatti che un fattore secondario della 
scarica che si manda attraverso al tubo; invece con Tuso dei 
condensatore caricato da una macchina elettrostatica, esso ne 
diventa il fattore principale, perche da esso solo dipende la 
differenza di Potenziale che si deve stabilire tra le armature 
a£Bnch6 la scarica si produca. 



S02 P. Cardani. 

Oltre di ciö Toso del condensatore permette, con oppor- 
tune modificazioni della sua capacitä, di poter, con una mede- 
sima differenza di potenziale tra le armatnre, impegnare nella 
scaiica quantitä di elettricitä le quali sono tra loro in rapporti 
ben deiiniti e costanti. 

Ho per queste considerazioni intrapreso una serie di 
ricerche sui raggi Röntgen ottenuti mediante le scariche dei 
condensatori : ed in questa nota riferirö intanto i risultati ai 
quali sono pervenuto relativi alla dispersione elettriea che i 
raggi medesimi possono determinare nelle yarie condizioni in 
cui si compie la scarica da cui prendono origine. 



La disposizione sperimentale adoperata 6 facile a com- 
prendersi: due batterie, ciascuna di 10 condensatori cilindrici 
di grande modello e tra loro eguali, erano disposte in cascata 
con le armature esteme riunite tra loro. Le armature interne 
comunicavano da una parte con i poli di una macchina 
elettrostatica Holtz-Voss e dalUaltra con il circuito di scarica. 
La capacitä delle batterie poteva regolarsi facilmente col 
numero dei condensatori che prendevano parte alla scarica. 

Nel circuito che riuniva le armature interne si trovava lo 
spinterometro principale (che indicherö con la lettera S) ed il 
tubo da cui partivano i raggi X: in derivazione agli elettrodi 
del tubo un secondo spinterometro (che indicherö con la 
lettera *) ed un tubo sottile di vetro ripiegato ad ?7 e con- 
tenente delFacqua. 

E chiaro che con tale disposizione il potenziale di scarica 
era quelle dovuto alla distanza esplosiva dello spinterometro S, 
mentre la dififerenza di potenziale massima, che si raggiungeva 
tra gli elettrodi del tubo, poteva misurarsi dalla scintilla laterale 
equivalente che si osservava nello spinterometro s. Per modi- 
ficare la distanza esplosiva in s, e per ciö la differenza di 
Potenziale agli elettrodi del tubo, bastava modificare la 
distanza esplosiva in S\ ma nel confrontare i risultati io ho 
naturalmente tenuto conto principalmente della scintilla dello 
spinterometro a. Del resto, dentro i limiti, nei quali furono 
contenute le presenti ricerche, le due scintille in «S ed in 5 
risultarono sempre sensibilmente eguali. 



Dispersione- eUttrica dei raggi X, 508 

Per la misara della dispersioae elettrica prodotta dai 
raggi X ho adoperato un elettrometro del Hascart, chiuso in 
ona cassetta di legno foderata di lastra di piombo di circa 
3 mm. di spessore. Nella stessa cassetta uuito con l'ago del- 
relettrometro si troyaTa an disco di rame disposto yerticalmente 
ed accuratamente isolato che doveva essere esposto alPazione 
dei raggi X\ e yi si trovava ancora una pila di 5 elementi 
Volta che serviva per dare al disco ed all'ago deir elettrometro 
la canca iniziale. 

Le pile di carica dei qaadranti dell* elettrometro erano 
invece al di fuori della cassetta foderata di piombo: ma per 
evitare qualsiasi azione elettrostatica esterna, tauto la cassetta 
con l'elettrometro qnanto le pile di carica dei quadranti, erano 
rinchiuse dentro una grande cassa di legno tutta tappezzata di 
grossa stagnola. Opportune aperture circolari praticate nei due 
inyolucri permettevano da una parte di poter fare le letture 
delle deviazioni dell'ago con cannocchiale e scala e dalFaltra 
di far giungere sul disco di rame i raggi X emessi dal tubo. 
L'apertura della cassa estema prospiciente il tubo era chiusa 
da una lamina sottile di alluminio. 

La comunicazione dell* ago dell' elettrometro, e per ciö 
anche del disco di rame, o con la pila di carica contenuta 
nella cassetta o con la terra, si operava dair estemo con un 
congegno fiftcile ad immaginarsi. 

L'isolamento dell' ago e del disco di rame era in cosi 
eccellenti condizioni da esser necessario qualche minuto per 
poter osservare una perdita della carica corrispondente ad una 
dinsione della scala: la deviazione iniziale doYuta ai 5 Cle- 
ment! Volta si aggirö sempre intomo alle 150 divisioni. 



I risultati che riferiro in seguito sono stati ottenuti ado- 
perando due ottimi tubi focus di foi-ma sferica di circa 14 cm. 
di diametro: del resto anche altri tubi di minore capacitii non 
banne dimostrato comportamcnto dissimile. La macclüna 
elettrica yenne poi sempre caricata in modo che Tarmatura 
negatiya delle batterie fosse dalla parte del catodo ; lo spintero- 
metro S troTavasi inserito in (juesto tratto del circuito. 



504 P. Cardam. 

Prima di procedere ad esperienze definitiye ho Toluto 
naturalmente risolvere la questione, che puö considerarsi come 
fondamentale riguardo al metodo adoperato in queste ricerche: 
esaminare^ cio^, se la dispersione prodotta dalle scariche 
successiye che attrayersano il tuho si mantenesse, per ona data 
condizione di cose, suf&cientemente costante: poteya infiatti sor- 
gere il dubbio che in un fenomeno sotto tanti aspetti muteTole, 
come quello della scarica nei gas rarefatti, ciö non ayvenisse^ 
tanto piü essende noto che i tubi Röntgen si modificano per 
il continuato passaggio delle scariche. 

La proporzionalitä. tra la dispersione elettrica ed il numero 
delle scintille che^ lasciando immutati tutti gli altri elementi 
del circuito, si mandavano attraverso al tabo, k stata sempre 
verificata dall' esperienza meglio di quanto potevasi pre- 
supporre; non solo, ma la dispersione elettrica riprese il mede- 
simo valore anche quando^ dopo una serie di misure nelle 
quali i vari elementi della scarica erano stati cambiati, si 
ritornava alle condizioni iniziali. 



Nei seguenti prospetti sono riassunti i risultati di due 
delle tante serie di esperienze fatte: ogni numero rappresenta 
la media di almeno tre misure: i valori ottenuti sono stati 
sempre molto concordanti tra loro. Di solito in ogni serie si 
cominciava dalla distanza esplosiva di 5 mm. nello spintero- 
metro principale 5 e si proseguiva di mezzo in mezzo centi- 
metro sino alla maggiore distanza esplosiva che si poteva 
raggiungere: dopo di che si ripetevauo le misure in ordine in- 
verso per vedere se le condizioni del tubo fossero rimaste 
immutate. Indi si modificava la capacitä e si ricominciava da 
capo. Dopo ogni misura Telettrometro veniva ricaricato. 

Ad ogüi distanza esplosiva di S ho misurato inoltre quella 
in s: fino a 3 o 4 cm. qneste due distanze esplosive si man- 
tennero, come ho detto piü sopra, sensibilmente eguali: per 
distanze esplosive maggiori (delle quali pero molto raramente 
mi sono servito], la lunghezza della scintilla .« aumentava molto 
meno rapidamente di quella in S, 

Nella prima colonua verticale e indicato il numero iV delle 
bottiglie di ciascuna batteria a cui la scarica era dovuta: nelle 



Dispersione eUttrica dei raggi X, 



505 



altre ooloime le dispersioni oBseirate all' elettrometro e ri- 
ferite ad una aola scarica. In testa alle colonne medesime 
BODO riportati i yalori della longhezza della scintilla s. 

Tubo FoooB No. 1. 
(Distmza dell' anticatodo dal disco di rame m. 0,50) 



N 


mm. 5 


mm. 10 ! mm. 15 


mm. 20 


mm. 25 


mm. 80 


mm. 85 


— r 

1 


0,0 


1,5 


5,8 14,0 


26,0 


39,0 


51,5 


2 


0,0 


3,0 


10,5 


25,0 


42,0 


70,0(?) 




4 - 


0,0 


5,8 • 18,0 


87,0 


60,0(?) 






6 


0,0 


7,8 22,8 ' 47,5 








8 


0,0 


9,6 1 26,8 


50,0 








10 : 


0,0 


10,7 29,1 


51,0 












Tubo FoooB No. 


2. 








(Diatai 


iza dell' anticatodo dal di8c< 


> di rame 


m. 1,25) 




N 


mm. 5 


1 

mm. 10 mm. 15 


1 

mm. 20 

1 


1 
mm. 25 


mm. 80 
81,0 


mm. 85 


1 


0,0 


1,3 ! 5,5 


12,5 


19,5 


(7) 


2 


0,0 


2,7 


11,5 


24,0 


85,0 


(?) 


(?) 


4 


0,0 


M 


19,0 89,8 


53,7 


(?) 


(?) 


6 . 


. 0,0 


6,8 26,5 


49,0 


69,0 


ro 




8 


0,0 


8,0 83,0 


56,5 








10 . 


0,0 


9,0 38,0 60,0 


1 























Dai precedenti prospetti possono trarsi facilmente alcune 
interessanti conseguenze. 

Dali' esame dei yalori riportati nelle colonne verticali 
appare anzitutto manifeste che la dispersione elettrica cresce 
da prindpio in modo sensibilmente proporzionale alla capacitii 
dei condensatore a cui la scarica e dovnta, specialmente se si 
opera con piccole distanze esplosive: indi, con il crescere della 
quantitä di elettricita che prende parte al fenomeno, la di- 
spersione elettrica prodotta dai raggi ^ cresce mono rapidamente 
di quanto Torrebbe la legge di proporzionalitä e teode verso 
un valore massimo che dipende dalla distanza esplosiva. 

Qaesto risnltato merita particolare attenzione specialmente 
86 ri tiene conto che invece esiste, come si disse, una rigorosa 
proporzionalitJt tra la dispersione elettrica ed il numero delle 
■cariche che nelle stesse condizioni dei circnito attraversano il 



506 P. Cardani. 

tuboi Si pa6 dunque concludere che gli eSetti relatiTi alla 
dispersione eleittrica per mezzo dei raggi X non sono i mede- 
simi, quando la stessa quantitä di elettricitä con la stessa 
differenza di Potenziale agli elettrodi attraversi il tubo in un 
certo numero di scariche separate ovvero in una scarica sola, 
come apparentemente k quella che si compie nel tempo 
brevissimo in cui dura una scintilla. 

Ciö molto probabilmente dipende da quel processo di 
ricostituzione spontanea degli elementi neutri da parte dei joni 
esistenti neir aria jonizzata, processo che, come e noto, cresce 
con il quadrato dei numero dei joni di una data specie che 
si trovano in un determinato volume. Le scariche dei conden- 
satori per la loro brevissima durata dänno origine ad una 
emissione di raggi X quasi istantanea e ad una analoga pro- 
duzione di joni. H numero di questi Ultimi cresce pro- 
porzionalmente alla quantitä di elettricitä che prende parte 
alla scarica, quando, ben si intende, rimangano inyariate tutte 
le altre condizioni: ma la dispersione elettrica non yaria pro- 
porzionalmente al numero totale dei joni prodotti ma bensi 
alla differenza tra questo numero e quello dei joni che spon- 
taneameute si ricombinano nell' intervallo di tempo in cui la 
jonizzazione dal valore massimo raggiunto nell'atto della scarica 
si riduce sensibilmente a zero. Finchä questo processo di 
ricombinazione spontanea si mantiene trascurabile, ciö che ha 
luogo se le scariche producono un numero di joni relativamente 
piccolo e quindi se si adoperano piccole capacitä, e piccole 
distanze esplosive, la dispersione elettrica risulta proporzionale 
al numero dei joni prodotti e per ciö anche alla quantltä di 
elettricitä che attrayersa il tubo: ma se il processo di ricom- 
binazione diyenta rileyante, ciö che ha luogo se le scariche 
producono un numero di joni relatiyamente grande e quindi 
se si adoperano grandi capacitä e grandi distanze esplosiye, 
l'incremento della dispersione elettrica con il crescere della 
quantitä di elettricitä. deve rendersi sempre meno sensibile, 
cosi che la dispersione deve tendere verso un valore limite, 
come appunto viene dimostrato dall' esperienza. 



Se invece si mettono tra loro a confronto i valori che si 
trovano su ciascuna linea orizzontale dei prospetü piü sopra 



riportati, si vede che la dispersioiie elettrica cresce molto 
»pidamente con la distanza esplosiva e quindi anche con la 
differenza di Potenziale agli elottrodi: anzi si pu6 dire che, se 
si opera con piccole capacitü, la dispersione cresce molto 
äensibilmeotc con il quadrato della distaoza esplosira, purch6 
qtiesta distasza si conti da «^uel valore (nel caso dei tubi 
adoperati 5 mm) al disotto del quäle, noQ pasaando pin la 
scarica attraverso al tabo, cessa anche remissione dei ra^ T. 

Se la difi'ereaza di potenziale agli elettrodi crescesse 
proporzi OD ahn eilte alla distaoza esplosiva, si potrebbe qtiludi 
coQcludere che, almeuo coii l'uso di piccok capacitA, U dis- 
persione elettrica aumeoterebbe proporzionalmente all' energia 
diaponibile tra gli eiettrodi del tubo: ma, come e Doto, la 
differetiza di Potenziale cresce molto meao rapidamente della 
distanza eeplosiva, cnsi che la legge che lega la dispersione 
elettrica e IVnergia dispouibile di?enta molto piü complessa. 

In generale si puo aseerire che la dispersione elettrica 
cresce con t'energia disponibile piji rapidamfnte di quel che 
Torrebbe la le^e di proporzionalJtfi ; la quäl cosa significa che 
coD l'aumentaxe della diöerenza di potonziale agli elettrodi, 
« quindi con l'aumentare della velocitii dei raggi catodici, va 
pure aumentandu sempre piü qiiella parte dell' energia dis- 
ponibile che viene trasportata cod i raggi del Röntgen e 
detennina la dispersione elettrica. 



Oltre dei due elementi linora considerati, iin terzo ele- 
mento della scarica esercitu nna notevole influenza suUa dis- 
persione elettrica ed e la sua forma. L'inserzione di nn tnho 
Röntgen in un circuito di scarica di nn condensatore rende 
la sciutilla sibilaiite, pocn lumino^a e pocu rumorosa, cio^ di 
natura analuga il quelle che si ottengono inserendo nel cir- 
cuito medesimo nna forte resistenza. E noto che in tali 
condizioni la scintilla e intennittente, costituita ciue da un 
iiumero pifi o meno grande di scintille parziali, a cui uppunto 
ki devc il corattere sibilante della scarica. 

Ma per ogni tnbo sembra che vi eia uua distanza 
esplosiva critica, oltre la quäle la scarica abbandona i|uasi 
bntsciunente questi caratten per presentarsi sotto Taspetto 
ordioaiio: dal rumure prodotto essa sembra imica b diTenla 



508 P. Cardani. 

nello stesso tempo molto piü rumorosa e luminosa. Nel tabo 
Focus No. 2 questa distanza critica era di circa 32 mm. Ora, 
per distanze esplosiye minori di 32 mm. i valori della dis- 
persione elettrica si mostrarono tra loro concordantissimi per 
ogni scarica e sono quelli giä riportati: ma per distanze 
esplosive superiori, quando cio6 la trasformazione della scarica 
era ayvenuta, i risultati si presentarono invece molto yariabili 
(e per questo ho posto nel prospetto dei punti interrogativi), 
ma molto minori dei precedenti : per es., con la distanza esplo- 
siya di 35 mm. la dispersione elettrica, che si osseryava, 
era di pochissime divisioni, di solito meno di 15. AUa 
distanza esplosiva critica i yalori dipendevano dalla forma che 
accidentalmente prendeva la scarica, e mentre talvolta si ave- 
vano deviazioni deir ago delF elettrometro di piü che 35 di- 
visioniy altre volte si ayeyano deviazioni di 4 o 5 divisioni: e 
dal romore della scarica si poteva dire a priori quali erano 
le scintille piü attive e quali le meno attive. 

Questo risultato io credo debba attribuirsi, piuttosto che 
air emissione di raggi piü penetranti (e quindi meno atti alla 
jonizzazione dell' aria ed alla conseguente dispersione elettrica) 
alla grande differenza che nei due casi deve aversi nell'in- 
tensitä massima raggiunta dalla corrente. E noto infatti che, 
crescendo l'intensitä, della corrente che attraversa il tubo, si 
ottiene un effetto analoge a quello che si ayrebbe con un 
aumento nella pressione dei gas: or bene, quando la scintilla 
si presenta come unica, e cioä molto luminosa e rumorosa, si 
vede comparire nel tubo una luce bianchiccia, come cioä se il 
tubo fosse ricondotto in uno stadio meno inoltrato della 
radiazione catodica, per il quäle dovrebbe esser minore la 
quantitä dei raggi X emessi e per ciö anche minore la di- 
spersione elettrica. 

Riassumendo si pu6 dire che, per ottenere con le scariche 
dei condensatori la maggiore dispersione elettrica, non con- 
vengono le grandi capacitä^ ma conviene suddividere la stessa 
quantitä di elettricitä in un gran numero di scariche, mentre 
per quanto riguarda la distanza esplosiva non bisogna eccedere 
quella distanza critica per la quäle la forma della scintilla 
assume quel notevole cambiamento di cui si e piü sopra parlato. 



Dispersione elettrica dei raggi X, 509 

Le esperienze del Bighi, del Donati, etc. hanno messo 
in piena evidenza la proporzionalitä tra gli effetti fotograüci 
dei raggi X e la dispersione elettrica. In aocordo con questa 
legge sono stati i risultati fotograüci ottenuti producendo con 
il tabo Focus No. 2 sulla medesima lastra due radiografie 
dello stesso oggetto (an portamonete], Funa con 50 scariche e 
25 mm. di distanza esplosiva, Faltro pure con 50 scariche ma 
con 35 mm. di distanza esplosiva. La prima immagine ap- 
parre incomparabilmente piü intensa deUa seconda. 

Si puö dunque affermare che quelle stesse condizioni che 
dalle presenti ricerche risultano come le piü favorevoli per la 
dispersione elettrica mediante i raggi X ottenuti con le sca- 
riche dei condensatori^ lo sono pure per le azioni fotografiche. 

Nello studio completo dell' argomento^ che giä ho con- 
dotto a buon punto, saranno meglio precisate molte altre cir- 
costanze che potranno forse condurre a piü esatte interpretazioni 
di molti fenomeni che si osservano nelF uso pratico dei tubi 
del Röntgen eccitati dagli ordinari apparecclü d'induzion& 

(Eingegangen 24. September 1908.) 



510 



65. Entropie und innere Reibnng. 

Von B. Weinstein in Gharlottenbai|p. 



Szily, Clausins nnd Boltzmann haben nachgewiesen, 
daß man ans den bekannten Prinzipien der Mechanik für Be- 
wegungen, wie wir solche den Molekülen der Körper zu- 
schreiben, einen Satz ableiten kann, der unter gewissen Voraus- 
setzungen sich als der Carnot-Clausiussche Satz für um- 
kehrbare Vorgänge deuten läßt. Sei ob die einem System 
während der Änderung semes Bewegongszustandes, der durch 
die mittlere lebendige Kraft T bestimmt ist, zugeführte Energie 
und i die Dauer dieser Änderung, so hat man 

i^- = 2S{log(fi)]. 

Aus dem Beweise, den ich selbst in meinem Buche über 
Thermodynamik ^) für diesen Satz gegeben habe, erhellt die 
zweifellose Bedeutung der Größe i als der vorbezeichneten 
Dauer. Diese Größe hängt also eigentlich mit der Bewegung 
der Teilchen des Systems gar nicht zusammen. Sie muß nur 
so beschaflfen sein, daß auch während dieses Überganges die 
Teilchen ihre Geschwindigkeiten gehörig ausgleichen, bzw. 
jedes Teilchen alle möglichen Geschwindigkeiten annehmen 
kann. Dadurch ist die untere Grenze festgesetzt. Bezeichnet 
man mit r die mittlere Bewegungsdauer eines Teilchens zwi- 
schen zwei Anstößen, oder falls Anstöße nicht stattfinden, die 
mittlere Schwingungszeit, so wird man i = vt setzen können. 
Da T sehr klein ist, wird v groß sein, und es wird 

l^=2 3[log{TvT)]. 

Üblichen Hypothesen entsprechend setzen wir, wenn die 
EJnergiezufuhr als Wärmezufuhr S Q betrachtet, und mit i^- die 
absolute Temperatur bezeichnet wird. 



1} B. Weinstein, Thermodynamik 1. p. 81 f. 



Entropie und innere Reibung, 511 

and erhalten für die Entropieändening ö8 
(1) SS^^RSWogiRd-vr)]. 

Diese Gleichung, wenn auch in etwas anderer Fonn, habe 
ich in meinem genannten Buche, benutzt um eine Formel f&r 
die innere Reibung bei Gasen abzuleiten, welche, wie dort 
nachgewiesen worden ist, sich auffallend genau an die Er- 
fahrung anschließt \ und namentlich auch die Abhängigkeit von 
der Atomzahl und dem Molekulargewicht feststellt. Die Ab- 
leitung beruht auf einer Berechnung von v und Ton r. Was die 
Ermittelung der ersteren Größe anbetrifit, so weiß ich auch jetzt 
keinen neuen Weg hierfür anzugeben. Bezeichnet v das 
spezifische Volumen des Systems, so fand sich v proportional 
r-'/ifn-*/«, woselbst m die Masse eines Moleküls bedeutet Die 
Größe r ist nach den bekannten Formeln für die mittlere Ge- 
schwindigkeit der Gasmoleküle abgeleitet. Im zweiten Bande 
des gleichen Werkes^ habe ich nun eine Theorie der festen 
Körper mitgeteilt, die sich gleichfalls sehr gut an die Er- 
fahrung anschließt.^ Die Formelq dieser Theorie sind all- 
gemeiner als die benutzten der Theorie der Gase, welche von 
ihnen einen Spezialfall bilden, ich will daher diese allgemei- 
neren Formeln auch für die obige Berechnung benutzen, teils 
um eine Stütze für jene Seibungsformeln zu gewinnen, denen 
ich eine größere Bedeutung zuschreiben muß, teils um zu 
zeigen, wie sie etwa noch zu korrigieren sein könnten. 

Wenn ein Molekül, ohne anzustoßen, eine mittlere Weg- 
Ifinge Ä und Bewegungsdauer r , dagegen zwischen zwei An- 
stößen eine mittlere Weglänge A und Bewegungsdauer r hat, 
80 wird unter der Annahme einfacher Schwingungen, indem 
noch N die Zahl der Moleküle in der Masseneinheit angibt 

r 4t \ r' 2 



1) L c. 1. Abschnitt 82 u. 41. 
fl) 1. e. & AbschniU 63. 
8) L e. S. AlMchnitt 64. 



512 B. WeinsteifL 

Von der Größe i^njx'Y ist an gleicher Stelle bewiesen, daß 
sie allein als Funktion von vVs dargestellt werden kann, so 
daß ist 

Die obigen Gleichungen dienen nun zur Berechnung von r. 
Setzt man 

so daß wird 

•^ ^ 1 — cos <p \ g> j 

80 gibt die ümkehrung dieser transzendenten Gleichung 

Mail 

woselbst 

Ä^ = 4, Ä^^ 0, A^ = 0,09, A^ = 0,016 . . . 
ist Also zufolge des Wertes von r^jn^ 

(2) .. = 4 2 A^. 

K-l * 

Hiemach gibt das Entropiepnnzip 

(3) SS^^Ri log(Ä'«^»a»t;-V.m-V.4 2^K-^^^^^^)l' 

a ist die Proportionalitätkonstante flLr v. 
Bekanntlich ist nun bei Gasen 

(4) S8^^S\iog[»''^v')'\, 

wo c^ und R die übliche Bedeutung haben. Man hätte hier- 
nach für Gase 

^ ^ ' ^RS [log [r^ &* a» u-V. m-*/. 4 2 ^k i*-^" -) . 

Es kommt nun alles auf das Verhalten der Größe R an. 
Diese Größe findet sich in der Gleichung für die innere poten- 



Entropie und innere Reibung, 518 

tielle Eioergie. Nach meiner im dritten Kapitel des genannten 
Werkes dargelegten Theorie der Körper überhaupt ist diese 
innere potentielle Energie U 

woselbst Uq ein Ausgangswert von Uy und F Glieder bedeutet, 
die von der Stoßwirkung der Moleküle abhängen. Gilt für 
Gase die Boyle-Gay-Lussacsche Gleichung pv^R&y so 
wird 

Somit haben wir 

und wegen 

R 
S " ^- = J 

(6) R^iJc^. 

Hiemach wird R' keine Konstante sein. Nehmen wir je- 
doch diese Größe als konstant an, so ergibt die Gleichung (5) 



woselbst C ein Proportionalitätsfaktor ist. Somit wird 

1 



1/ 



**"* ..H ..j«-l n2af 



Je R 






Wir setzen 



i_ 



R a m- '• 

und beachten die Gleichung (6), so wird, indem 
ist, 

(7) l/2^''-J^-=^*""''" 



Nsl 



In erster Näherung bleiben wir in der Summe beim ersten 
Oliede stehen und erhalten 

83 



514 B, Weinstein. 



also nach der Definition von fjL 



6k „ 6* 

9 



^ 6-8k 9k-5 

2A i/^^ = 5i9'-6ir^-6r 



]ß 



Hierin ist 2 ^ die mittlere Weglänge ; nennen wir diese l, 
so wird also 

6~3ilc 9k-5 



Nun ist nach Ä' = f c^ = f{mc^m~^. Sei mc^^^ c^, also 
80 haben wir, da Nm = 1 



5m bm 



6c ' _6o. 



Wir führen noch das Molekularvolumen ^^mv ein, setzen 
femer 

(9) VW« = (f)~'''(^)^"'''""' ^"^'^ «"-. 

woselbst R die Gaskonstante ist und erhalten 

5.3k 9k-5 2k~5 



(10) 7= (!)''• (Ä)"''>" ö " ^+/'« 



6k 

m 



Das ist genau dieselbe Gleichung für die mittlere Weg- 
länge, wie ich sie in meinem genannten Buche auf anderem 
Wege abgeleitet habe. ^) Also kehren auch alle für die innere 
Keibung dort angegebenen und experimentell geprüften Be- 
ziehungen wieder. 

In zweiter Näherung ist zu beachten, daß ^ = ist, die 
Gleichung (7) gibt also 

5-€k 9k- 6^ 
6 k „6k 



1^^+^? = ^*"" 



1) 1. c. 1. p. 207. GL (16) und (17). 



Entropie und innere Reibung. 515 

and wir hätten 



5-S* 9k-5 



'|/^ + t-4? = (^* " '^ ""' 



WO 



m 



2k-5 
6fc 



(11) (^ = (j)"''(Är''v-^'' 

ist Die Größe A^jÄ^ beträgt nur etwa 0,02. Die allein von 
V abhängen sollende Funktion tp ist nicht bekannt, wir haben 
jedoch 

.^=,^^„^ (-)■.. 

Da nun die mittlere lebendige Kraft, wenn die Moleküle 
nicht ausschwingen , jedenfalls größer ist als wenn sie aus- 
schwingen, so muß im allgemeinen fAxplO- kleiner sein als 1. 
Also darf man die Quadratwurzeln entwickeln. Bleibt man 
bei den beiden ersten Gliedern stehen, und bezeichnet den 
ersten Näherungswert für / mit f, so wäre der zweite /" 

(12) ^"'=^~(i-M'^;?)' 

fi* ist proportional A^; fuhren wir als ersten Näherungswert f 
ein und beachten nur die Abhängigkeit von der Temperatur, 
so wäre 

/ 10-1211: 

(13) r^7\i--i)& ^* 

Da k stets größer ist als 1, so fällt das von der Tem- 
peratur abhängende Glied mit wachsender Temperatur, und 
da femer D positiv ist, nimmt mit wachsender Temperatur f 
rascher zu als t. 

Gehen wir nun auf den Reibungskoeffizienten über, so 
haben wir noch den Wert ü der mittleren Geschwindigkeit 
XU berechnen. Dieser ist zunächst 2 Air, also zufolge der 
Gleichung (2) 

Ä 



ü 



1/2 ^.'"r. 



SS 



516 S. Weinstein. 

also wegen des Wertes Ton (t 

(14) «= ^ ' 






Ns8 

Bezeichnet 2: eine Zahl in der Nähe Ton 0,3 und d die 
Dichte, 80 ist bekanntlich der Reibungskoeffizient q 

Q SS zd{l)ü, 
somit wird, indem wegen (7) 

6-3* 9»-6 

(15) l=2A= ^^ ' 






M = 3 

ist, der Reibungskoeffizient 

6 '8fc-6 

(16) ^=*^ ^"*'" 



Hiemach haben ¥dr als erste und zweite Näherung 

6 8k-ö 
6k „' 6Jlc 



(17) q' ^zBR»"' V 

(18) ," = C (1 - ^ -i-) 



oder auch 



/ 10^12lc \ 



wo D nur von v abhängt und positiv ist Jedenfalls wächst 
mit steigender Temperatur q'' rascher als q\ 

Nun ist k eine Zahl zwischen ^/j für einatomige Gase und 
1 für unendlichatomige, so daß 5/6 A liegt zwischen ^^ und 
^Iq, Die Abhängigkeit des ersten Näherungswerts p' von der 
Temperatur liegt also zwischen &^l* und t?*/«. Nach der Max- 
wellschen Theorie, der anscheinend auch die Erfahrung zu- 
stimmt, soll diese Abhängigkeit proportional & selbst sein, 
also würde q stärker variieren als (>'. Dem entspricht, daß 
in der Tat (>" stärker variiert als q\ Es ist leicht einzusehen. 



Entropie und innere Reibung. 517 

daß der dritte Näherungswert noch rascher mit der Temperatur 
wächst wie der zweite u. s. f. 

Obwohl ich in meinem Buche ^) hinreichende Gründe an- 
gegeben zu haben glaube, warum auf eine volle Übereinstim- 
mung mit der Erfahrung überhaupt nicht zu rechnen ist, 
muß ich die nunmehr dargelegte Theorie als eine Verbesserung 
der von mir zuerst gegebenen ansehen, sie muß sich hinsicht- 
lich der Abhängigkeit von der Temperatur der Erfahrung besser 
anschließen als jene. Hinsichtlich der Abhängigkeit von Druck, 
Dichte, Molekulargewicht und Atomzahl entspricht sie jener 
Theorie, sie genügt also der Erfahrung so vollkommen, wie 
ich es von jener nachgewiesen habe. *) 



1) 1. c. 1. p. 330 ff. 

2) L c. p. 321—336. 



(Eingegangen 25. September 1903. 



) 



518 



66. Über die Ansbreitaog der Wellenbewepngen in 
optisch-zweiachsigen elastischen Medien. 

Von Josef Orünwald in Wien. 



Die hergebrachten Vorstellungen über die Ausbreitung von 
Wellenbewegungen in kristallinischen elastischen Medien er- 
weisen sich bei einer Überprüfung durch die mathematische 
Theorie nicht ohne jede Beschränkung als zutreffend. Schon 
bei einachsigen kristallinischen Medien zeigt die Theorie, daß 
von einem Erschütterungszentrum aus, das der Einwirkung 
äußerer störender Kräfte unterliegt, die Bewegung im Medium 
nicht nur auf den beiden Wellenfiächen, der ordinären und 
der extraordinären Wellenfläche, sich ausbreitet, sondern daß 
auch der zwischen den Wellenflächen eingeschlossene Eaumteil 
von Bewegung erfüllt ist; allerdings zeigt die Theorie zugleich, 
daß bei periodischen Erschütterungen von hoher Frequenz die 
zwischen den Wellenflächen vorhandene Bewegung vernach- 
lässigt werden kann, so daß in diesem Falle nur die ordinäre 
und die extraordinäre Welle — wie es der gewohnten Auf- 
fassung entspricht — übrig bleiben. Geht man zur mathe- 
matischen Untersuchung der Wellenbewegungen in optisch-zwei- 
achsigen kristallinischen Medien über, und fragt man wiederum 
nach der Natur der Bewegung, welche durch periodische stö- 
rende Kräfte von hoher Frequenz hervorgerufen wird, so findet 
man ein im ersten Augenblick überraschendes, den gewöhn- 
lichen Vorstellungen zuwiderlaufendes Resultat: die von den 
gestörten Baumelementen des Mediums ausgehenden Elementar- 
wellen schreiten zwar — wie zu erwarten — vom Erschütte- 
rungszentrum aus auf Fr esn eischen Wellenflächen fort, aber 
die Schwingungsphase ist nicht dieselbe für alle Punkte einer 
und derselben Wellenfläche, sondern diejenigen Teile der 
Wellenfläche, wo letztere ein negatives Gaußsches Krümmnngs- 
maß hat, zeigen sich in ihrer Phase um eine Viertelschwingung 
zurück gegen den übrigen Teil der Wellenfläche. Daß diese 



Ausbreitung der IVellenbewegungen, 519 

Eigeiitümlichkeit der Elementarwellen nicht beachtet worden 
isty obwohl in der Optik vielfach mit diesen Elementarwellen 
in Verbindung mit dem sogenannten Huygens sehen Prinzip 
operiert wird, erklärt sich wohl daraus, daß eben das erwähnte 
Uuygenssche Prinzip einer exakten mathematischen For- 
mulierung in dem Sinne, in welchem Kirchhoff dieselbe in. 
die Optik isotroper Medien eingeführt hat, entbehrte. 

Im folgenden wird die Untersuchung so aUgemein gefaßt, 
daß auch die Möglichkeit von Longitudinalwellen im Medium 
nicht von vornherein ausgeschlossen wird; nachträglich kann 
man ja, um die Übereinstimmung mit der Optik herzustellen, 
die Geschwindigkeit derselben gleich cx) oder setzen. Die 
Differentialgleichungen der Bewegung in einem optisch zwei- 
achsigen elastischen Medium lauten bei Zugrundelegung des 
Greenschen Ausdruckes far das Potential der inneren elasti- 
schen Kräfte: 

wo die At^ symbolische Bezeichnungen für Diflferentialopera- 
tionen sind, und zwar: 

^n ^ '^*^. + **^i + 9* bI ' ^«3 ^ ^31 = (^* - «*) a y a *' 

Hierin bedeuten {u, v, w) die Komponenten der elastischen 
Verschiebung im Punkte (x, y, z) zur Zeit t, {X, Y, Z) die Kom- 
ponenten der äußeren störenden Kraft im selben Punkte pro 
Ifasseneinheit; a, b, c, g sind konstante, dem Medium eigen- 
tflmliche Geschwindigkeiten (insbesondere g die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit der Longitudinalwellen). 

Es werde angenommen, daß bis zu einem gewissen Zeit- 
punkt i^ die elastischen Verschiebungen (ti, t?, tr) und ebenso 



520 «T. Grünwald, 

die äußeren Kräfte (X, Yy Z) verschwinden (im ganzen unbe- 
grenzt gedachten Medium). Von diesem Zeitpunkt an sollen 
X| Y, Z bekannte Funktionen von x, y, z, t sein^ welche nebst 
ihren ersten und zweiten Ableitungen im allgemeinen stetig 
sind. Unter diesen Bedingungen ist das obige System zu in- 
tegrieren; dadurch findet man den durch die gegebenen Elräfte 
hervorgerufenen Erregungszustand des Mediums. 

Mit Hilfe einer Integrationsmethode, welche schon von Fou- 
rier, Poisson und Cauchy bei derartigen Aufgaben ange- 
wendet worden ist und im wesentlichen auf der Darstellung 
willkürlicher Funktionen durch Fouri ersehe Integrale beruht^ 
findet man nach einigen Reduktionen, deren Einzelheiten an 
einer anderen Stelle mitgeteilt werden sollen, folgende Lösung 
der gestellten Aufgabe: 

+ 00 

w(^>y>2r,^) = / / / U ' '^^dx dy dz\ 

— 00 

+ 00 

o (x, y, z, <) = /TT ^^^^'l^ dx' dy'dz' , 

— 00 

+ 00 

w{x,y,z,t)=^ Nz'^'^''^ dxdy'd/, 



— 00 



wo die Symbole U, fß, SB nachstehende Bedeutung haben: 



/y',*',f = ^ + T- 



C'm =^ -^7iilpS!-hl^^^i + ^^i + ^'^^i smddddrp, 



Ö.VCOF,»] 



Ausbreitung der H^elUmbeiDegungen, 521 

Hierin ist: 

Aj, =s cos 1/; sin ö , ^^j = sini/; sin ö , i/^ = cos ö , 

es sind also (A^^ /u^, v^ die Richtkosinus, welche zu der durch 
die Winkel [0, t^) bestimmten Richtung gehören. 

Die Größen (A^, fi^y v^ und (A,, /u,, i'g) sind definiert als 
die Bichtkosinus der Hauptachsenrichtungen jener Ellipse^ in 
welcher das Ellipsoid: a^x^ + b^y^. + c^z* = 1, das Neumann- 
sche Elastizitätsellipsoid, von einer durch seinen Mittelpunkt 
senkrecht zur Richtung {i^, /Uq, Vq) gelegten Ebene geschnitten 
wird. Die Größen F^ und F^ sind definiert als die reziproken 
Werte der Halbachsen der genannten Ellipse, und zwar ist F^ 
der reziproke Wert der zur Richtung {X^, (jl^, v^) parallelen 
Halbachse derselben, F^ der reziproke Wert der zur Richtung 
(A|, jti|, f^i) parallelen Halbachse; F^ ist identisch mit der Kon- 
stanten g. 

Der Substitutionsstrich 




soll anzeigen, daß in den Funktionen X, Y, Z die Argumente 
^9 y» ^9 ^ beziehentlich durch 

zu ersetzen sind. Die Größe ^ ist gegeben durch: 

f =(z « jo*o + (y - y>o + (^ - ^>o 

^ (r — *') cos 1/; sin ö + (y — y') sin tp sinö + (z — z') cos fl. 

Die Integrationen nach Q und t/; sind über alle jene Werte 
TOD und 1^ zu erstrecken, welche den Ungleichungen 

0<ö<;i, 0<Y'<2w 
und 

{J^(r — x')cosi/;sinö + (y — y^8inY'sinö + (z— z^cosö > F^x\ 

genügen; die so f&r i = 0, 1, 2 sich ergebenden Integrale sind 
sodann zu summieren. Bei Ausführung der Integrationen 
spielen x, y, z, x\ y\ /, ^, r die Rolle konstanter Parameter. 
Die Großen 

u-'''''^ »•''^''^ n^^'^' 

^ri«f< «^ri«f« ^ff«.« 



522 e/. Gri'inwaliL 

geben mit dx dy dz multipliziert oflFenbar die Komponenten 
desjenigen Teiles der elastischen Verschiebung (ti, v, vo) im 
Punkte (ar, y, £) zur Zeit ty welcher durch die Wirkung der im 
Volumenelement dx dy' dz bei (^', y', /) wirksamen Kräfte her- 
vorgerufen wird. In diesem Sinne geben die genannten Größen 
die Wirkung der vom Volumenelement dx dy' dz' ausgehenden 
Elementarwellen im Aufpunkt (or, y, z) zur Zeit t\ und die durch 
diese Größen charakterisierten Elementarwellen ausschließlich 
und allein sollen weiterhin untersucht werden. Die Doppel- 
integrale, durch welche die U, S3^ SB sich ausdrücken, kann man 
auffassen als Integrale über einen Teil der um den Punkt M 
(ar', y, z*) mit dem Radius 1 beschriebenen Kugelfläche; diese 
Auffassung hat indes den Nachteil, daß die im Argument 
<' = ^ + T — (t/ ^) vorkommende Funktion {^\ F^ auf der Kugel 
in einer komplizierten und wenig übersichtlichen Weise variiert 
Man wird also versuchen, die betreffenden Doppelintegrale an- 
statt auf der Kugel auf anderen zweckmäßig zu wählenden 
Flächen zu interpretieren. 

Man konstruiere senkrecht zu der durch [6, xp) bestimmten 
Richtung (für t = 0, 1, 2) Ebenen im Abstand V^ vom Punkte 
M' (wobei die V^ die oben definierten Funktionen von ö, '^ 
sind); alle diese Ebenen umhüllen bei variablem 6, \p gewisse 
Flächen. Dem Index t =» entsprechend erhält man so eine 
Kugelfläche Tq mit dem Radius F^, während die Indizes i = l 
und i = 2 zusammen die beiden Schalen einer Fresn eischen 
Wellenfläche Tj, geben; und zwar sind die Flächen 7J, und T^^ 
offenbar nichts anderes als die bekannten Wellenflächen der 
Longitudinal- und Transversalwellen, welche die Ausbreitung 
der Bewegung von AT aus während der Zeiteinheit veran- 
schaulichen. 

Die reziproken Polarflächen von Tq und T^2 ^ bezug auf 
die um M' als Mittelpunkt beschriebene Einheitskugel seien 
mit Xq und Ijg bezeichnet Der in der Richtung (ö, tp) durch 
At' gelegte Halbstrahl trifft %q in einem Punkte ^^j, Ij^ in 
zwei Punkten ^^ und 5ß„ so zwar, daß: 

%Q ist natürlich wieder eine Kugelfläche, %^^ als Polar- 
fläche einer Fr esnel sehen Wellenfläche ebenfalls eine Fresnel- 



Ausbreitung der ßFellenbeweffunffen. 523 

sehe Wellenfl&che. Die Pankte ^^ und $, erfüllen bei varia- 
blem (0, tff) je eine Schale %^ beziehungsweise X, der Fläche 
Zj|. Der Inbegriff der Flächen Zq, %^, %^ sei mit X bezeichnet 
Die in den Ausdrücken für U, S3, SB vorkommenden Doppel- 
integrale sollen nun je nachdem, ob sie sich auf den Index 
0, 1 oder 2 beziehen, auf der Fläche X^,, X^ oder X, darge- 
stellt werden, indem man die Integrationsvariablen und tp 
jedesmal als krummlinige Koordinaten auf je einer der ge- 
nannten Flächen auffaßt. Die Größe F, welche auf der Kugel 
drei Werte hatte, entsprechend dem Werte ihres Index t ( = 0, 1, 2), 
erscheint bei der neuen Interpretation auf X als eindeutige 
Funktion des Ortes; ihr Wert in irgend einem Punkte $ von 
X ist gegeben durch (1/3/' $). Auch die Richtung {k, /jl, v) er- 
scheint, wofern man zwei gerade entgegengesetzte Richtungen 
als eine zählt, auf X im allgemeinen eindeutig bestimmt: für 
Pankte von X^ ist sie einfach gegeben durch die Richtung 
von M'% für Punkte von Xj, wird sie gefunden als jene Rich- 
tung, welche einerseits der Tangentialebene von X^, in dem 
betreffenden Punkte $ parallel ist, andererseits auf M'^ senk- 
recht steht 

Man findet nach kurzer Rechnung folgende Darstellung 
der U, 8, SB durch Integrale über X: 






1 aU 






a)p> 

c 



r-O 



Hierin bedeutet p den Abstand^) des Flächenelementes f/X 
oder genauer seines Mittelpunktes $ von jener (festen) Ebene £, 

1) Positiv oder negativ gesftlilt, je nachdem ^^^uf derselben Seite 
von ß liegt wie M oder auf der entgegengesetsten. 



524 c/. Grünwald, 

welche durch M' senkrecht zur Verbindungslinie des Punktes M' 
mit dem Punkte M {x, y, z) hindurchgelegt werden kann; p 
ist gleich der (festen) Entfernung der Punkte M und M\ e ist 
der Winkel der nach auBen gezogenen Flächennormalen % in 
$ mit M' $. Die Integration ist über die durch die Ungleichung 
p > TJQ definierten Segmente von % zu erstrecken. 

Die obigen Formeln für U, S3, S3 sind besonders geeignet, 
als Grundlage weiterer Diskussionen zu dienen. 

Es soll jetzt angenommen werden^ daß die Größen Xj Y, Z 
an der Stelle {x', y\ z') bis zu einem gewissen Zeitpunkte ver- 
schwinden, von diesem Zeitpunkte an aber durch die Ausdrücke : 

J= //sin[*(^-g], F=5sin[Ä(^-g], Z =^ Cwi\k{f-t^ 

dargestellt seien, wo {A^ B, C) von t unabhängig sind und k 
eine sehr große Zahl ist Man kann dann fragen, welchen 
Werten die obigen Größen U, S3, S3 in diesem Falle sich 
nähern, wenn h über alle Grenzen wächst. Durch Beantwor- 
tung dieser Frage gewinnt man eine Vorstellung über die Art 
der Elementarwellen, welche durch die angenommenen periodi- 
schen störenden Kräfte von hoher Schwingungszahl hervor- 
gerufen werden. 

Es ist im betrachteten Falle: 

\y, t.t^" 2^/ TiJ J /{AX+Bfi+Cv))Lsin[k{t+T^QP^t^)] ^d% 

Die Formeln f&r SS und S3 sind analog. 

Den angenäherten Wert dieser Ausdrücke für ein hin- 
reichend großes k findet man durch Benutzung gewisser Hilfs- 
sätze, welche auch sonst in der Optik viel verwendet werden 
und hier möglichst im Anschluß an die Kirchhoff sehen Vor- 
lesungen über Optik ^) angeführt werden: 

I. Hilfssatz: Ist dF{^ld^ in dem Intervalle von f = $;, 
bis f = fi eine stetige Funktion von f , so ist für ä = oo : 

kJ^Bm(kC+S)d^ [^co8(*f^.^]^ 



1) Vgl. insbesondere die dritte Vorlesung. 



Ausbreitung der Wellenbewegungen. 525 

IL Hilfssatz: Ist s ein reguläres Stück einer analytischen 
fläche, ^ eine reguläre analytische Funktion auf dieser Fläche 
d. L eine Funktion, welche in der Nachbarschaft eines jeden 
Punktes von s nach der Taylor sehen Reihe für zwei unab- 
hängige Veränderliche entwickelt werden kann, ferner G eine 
stetige Funktion auf der Fläche Sj so kann der Wert von 

ÄjTcsin [k^ + S)ds fllrÄ = oo 

(•) 
in nachstehenden Fällen angegeben werden, unter der Voraus- 
setzung, daß die Berandung von s kein endliches Stück ent- 
hUty auf welchem ^ konstant wäre. 

1. Fall: Wenn s keinen Punkt enthält, in welchem die 
Funktion ^ stationär wird, d. h. in welchem bei einer unend- 
lich kleinen Verschiebung J^=s ist: so ist obiger Ausdruck 
gleich Null. 

2. Fall: Wenn s einen Punkt Ä enthält, in welchem ^ 
stationär wird, so denke man den betreffenden Punkt A zum 
Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems Xy 7, Z ge- 
wählty dessen ^Achse zur Fläche s normal stehen soll. Die 
Funktion ^, gebildet für den variablen Punkt (x, iy, z) auf der 
Fläche s in der Umgebung von A, wird dann in folgender 
Weise nach aufsteigenden Potenzen von x, Tf entwickelt werden 
können: 

?- «0 + (5lii ^* + 29ti,Sy + «„y») + ... 

Durch besondere Wahl der Achsen X, Y kann man stets 
erreichen, daß diese Entwickelung die Form annimmt: 

Sind hier nun die Größen jü^ und Ji^ gicichbezeichnet, so 
ist obiger Ausdruck gegeben durch 

y."i f*« 

wobei das obere oder das untere Zeichen zu nehmen ist, je 
nachdem Ji^ und fi^ beide positiv oder beide negativ sind. 

Sind hingegen die Größen /J^ und Ji^ entgegengesetzt be- 
zeichnet, so wird der obige Ausdruck dargestellt durch: 

n 



,7=—(G)^ sin (*«, + <>% 



526 



e/. Griinwald, 



Berechnet man mit Hilfe der voranstehenden Hilüssätze 
die gesuchten Näherungswerte von U, S3, 93, so läßt sich das 
Resultat am einfachsten formulieren, indem man wieder von den 
Flächen % (I^, Ij,) zu den ursprttnglichen Flächen T^ und jPj, zu- 
rückgeht: Man konstruiere die Fläche T'ij» welche die Ausbreitung 
der Transversalwellen t>on AT {x, y\ z') aus während der Zeit- 
einheit yeranschaulicht; der von M' gegen M (x, y^ z) gezogene 
Halbstrahl treffe T^^ in 8^ und 5^, wobei der Punkt S^ zur 
inneren, der Punkt S^ zur äußeren Schale von T^^ gehören 
soll Die Länge der Strecken M'S^, M' 8^ sei äj, *,; die Ab- 
stände der Tangentialebenen von T^^ in S^ und 8^ vom Punkte 
M' seien F{8^) und V{S^). Das Gauss sehe Krümmungsmaß von 
Tj, in Sj und 8^ werde mit r{8^) und r{8^) bezeichnet. • Die 
Richtkosinus der Strecke Jtf' Jlf seien («o^Aj^o)? ^^*' (^i> Aj^i) 
und («2, ß^y y^) mögen die Richtkosinus zweier Strecken be- 
zeichnet sein, welche beide zueinander und zur Strecke AT M 
senkrecht stehen, und von denen die erste der Tangentialebene 
von 2\, in S^^ die zweite der in Ä, parallel ist. 

Die Größe r[8^ ist stets positiv; r[8^ hingegen kann 
positiv oder auch negativ^) sein. Ist r[8^ positiv, so gelten 
fbr hinreichend große k die Näherungsformeln: 



U 






4 TT ^ 



y-[Äa, + Bß, + Cr,)a,^m\k{t^t,^^^i 



» 



», Vi «I < 



1 
4 71 ^ 



-L{Ä a, + Bß, + CY,)ß, sin [a [t-t,- ^^ 



+ 



SiVr(Si) 



fi^{da, + Bß, + Cr,)ß,sm [*(/-'o- j) 



1) Negativ wird T{S^)j wenn der Pankt 5, auf einem der trichter- 
förmigen Teile der Welienflftche T|, liegt; es sind dies jene Teile der 
äußeren Schale, welche von je einem der vier Berührungskreise der sin- 
gulären Tangentialebenen von r^ begrenzt werden. 



Ausbreitung der H'^ellenbewegungen, 



527 



S 



«'.f'.»' 



«i»i«i« 



4 n ^ 



J, (^«, + Bß, + 6>„)y„8m[Ä (<-<„_ j)] 



«. yi'w) 






f^ {Aa,+Bß, + Cr,)rr sin [* [t-t,- j)] 



n 



•'.f',«' 



•>!>•>< 



Ist hingegen r{S^) negativ, so müssen diese Formeln, 
welche imaginäre Werte liefern würden, durch die folgenden 
ersetzt werden: 

j,-{A a, + Bß, + C;^,)a,sin \k{t - /, - j)] 



4n^ 



8 



»'.f',«' 



«.ft».« 



1 

431 ^ 



- ._ . , 



-V {Aa, + Bß, + Cy,) ß, sin [* [t-t, + |-)] 



+ -'l;;r^f*^-M«. + 5/?i + Cy,)/?,8in[Ä(<-/,-j)] 






4)1 (I 



-1-M«„ + Bß, + 6>,)y„8in [ä(/ - *„-?-)] 

Aas diesem Resultate ersieht man, wie sich vom Punkte 
W aas die Elementarwellen ausbreiten: die Longitudinalwellen 
auf den Fl&chen QJg ^ const, die Transversal wellen auf den 
Fl&chen QJ^^ const. und (^/^^ = const — Dabei zeigt sich 
bei den Flächen (>/«, = const die eingangs hervorgehobene 
Eigentümlichkeit, daß bei einer solchen Fläche diejenigen Teile, 
welche ein negatives Gausssches Krümmungsmaß haben, in 
ihrer Phase gegen die übrige Fläche um eine Viertelschwingung 
inrttck sind. 

Dejwitz bei Prag. 

EiDgegangen 25. September 1903. 



628 



67. Lois de la Propagation anomale 
des ondes au voisinage d'on foyer. 

Par M. O. Sagnao k Lille. 



I. Introduotioii. 

M. 6ouy a d^couvert en 1890 un remarqaable ph^nomfene 
de propagation anomale des ondes ^): au voisinage d'un foyer 
conjugu^ r^el d'un point vibrant, la propagation des ondes, 
c'est-ä-dire la propagation de la phase des vibrations, suppos^es 
sinusoldales^ ne se fait plus avec la vitesse constante W qui 
caractärise la propagation des ondes planes dans le milieu 
homogene et isotrope consid^r^. 

M. Gouy a d^montr^ par une th^orie cin^matique le 
r^sultat suivant. Dans le parcours d'une certaine rögion A FP 
de Taxe focal (fig. 1] comprenant le foyer F, les vibrations qui 
forment ce foyer ^prouvent une Variation anomale de phase 
6gale k une demi-p^riode, c'est-ä-dire un renversement ano- 
mal de signe; tout se passe comme si la vitesse de propagation 
des ondes 6tait demeur^e la vitesse normale Z^, mais que la 
distance AFP füt alt^r^e de la moiti^ de la longueur d'onde 
normale A; (si ö est la pöriode des vibrations, X=^ Wd). 

Les exp^riences de M. Gouy«), puis de M. Ob. Fabry'), 
et enfin de M. P. Zeeman^) ont v^rifi^ ce changement de 
signe anomal: dans toutes ces exp^riences, on fait interf<6rer 
les vibrations ti, qui produisent le foyer F (fig. 1), avec des 
vibrations u^^ qui se propagent le long de Taxe focal AFP 
avec la vitesse constante et normale W des ondes planes; si 
le centre d'interförence est brillant avant le foyer, il devient 
noir au-delä. du foyer; sur Taxe focal, les vibrations u^ et u 
synchrones avant le foyer, deviennent de signes oppos^s au-delä 
du foyer. 

1) Gouy, Ann. de Chim. et de Phys. 6» s^rie. 24. p. 145—218. 

2) Gouy, loc. cit p. 197—203. 

3) Ch. Fabry, Journ. de Phys. 3« s^rie. 2. p. 22. (20 Juillet 1892.) 

4) P. Zeeman, Arch. u^erland. 2« s^rie. 5. p. 318. 1901. 



Propaffotion anomale. 629 

Dans toutes ces exp^riences, les franges d'interf^reDce 
disparaissent au foyer F et dans son voisinage imm^diat. 
Qaand le centre d'interförence redevient obseryable, il demenre 
inyariable, soit noir, soit brillant solvant qu'on observe d'un 
cöt6 du foyer ou de Tautre. 



ZZrV 



Fig. 1. 

Ancune exp^rience n'a permis de pön^trer dans la r^gion 
AFP oü doit se produire, suivant une certaine loi^ le ren- 
versement du centre d'interf^rence, c'est-ä-dire le changement 
de phase d'une demi-p^riode ^prouv^ par les vibrations qui 
d^finissent le foyer F. 

Gette loi de la propagation anomale dans la r^gion focale 
A FP^ on a cm la d^couvrir, par yoie th^orique, en assimilant 
le foyer jP k un centre d'öbranlement (Gouy^), V,A. Julius*), 
P. Zeeman^ 









'JT 



1 



Fig. 2. 



Mais je montrerai ici qua cette assimilation n'est pas 

JQStifi^ 

Sous certaines conditions, qui sont couramment r^alis^es 
en optique, j'ai 4tabli une throne de la propagation anomale 
des ondes sur Taxe d'un instrumenta qui fait intervenir seule- 
ment la diffractUm sur Paxe de Pouverture de tinstrument et 



1) Ooay, loc. cit p. 182—186. 

S) y. A. JuliuB, Arch. n^erland. 1« sörie. 2H. p. 226—285. 1895 

^ P. Zeemau , loc. cit 



530 G. Sagnac. 

s'applique k toute espfece de Vibration. Le diaphragme qui 
porte Touverture peut n'etre associ^ ä. aucun instmment 
convergent; la propagation anomale subsüte alors mime qi^ä 
fiy a plus de foyer, 

Les lois de la propagation anomale stabiles par ma 
th^orie d^pendent de la forme de Touvertare du diaphragme. 
Je ne parlerai ici que des diaphragmes ä ouverture circnlaire. 

II. Theorie nouvelle. 
1^^ cas, LHnstrument est une ouverture circulaire nue, 

Un cas particulier est, en optique, celni de la chambre 
noire sans objectif. Nous supposerons que Touverture circulaire 
re^oit des ondes sinusoldales^ sensiblement planes et paralleles 
an plan de Touverture. 

D^composons l'aire A de Touverture BoB" (fig. 2) en 
couronnes annulaires telles que bb' de rayon Sy concentriques k 
Touverture^ qui ont des aires Egales, infiniment petites dg ou 
2nsds, comprises entre un cercle de surface g et de rayon s 
et un cercle de rayon {s + ds). 

La couronne ^l^mentaire bb' 6met par ses divers points 
des vibrations ^l^mentaires d'Huygens-Fresnel. Ces 
vibrations sont synchrones au d^part puisque le plan BoB 
est un plan d'onde; elles se propagent suivant divers rayons 
obliques ögaux tels que bMj b' M pour arriver en un point M 
de Taxe öAf de T ouverture, oü elles sont encore synchrones 
entre elles ; leur r^sultante en M est une Vibration ^l^mentaire 
du qui präsente un certain retard 8 sur la Vibration ä^men- 
taire analogue qu'envoie en M suivant la normale oM \m 
616ment de surface pris au centre o de l'ouverture Boff, 

Quand le point M se d^place dans le sens oM Ae h^ 
propagation, le retard 8 diminue. Tout se passe alors comme 
si la phase de la Vibration du %q propageait le long de o^ 
avec une vitesse sup^rieure ä la vitesse normale W des ondes 
planes incidentes. Teile est Torigine du ph^nom^ne de pro- 
pagation anomale que nous allons studier. 

Pour faire la throne et la rendre applicable indififiSremment 
k toute espöce de Vibration susceptible d'interfärer et de se 
difiracter, nous introduirons deux hypoth^ses restrictives: 



Propagation anomale. 



531 



1^ La distance (r = oM) est toujours suppos^e grande par 
rapport k la longueur d'onde normale A. II en r^sulte que 
les yibrations 6l6inentaire8 d'Huygens-Fresnel ^mises par 
les divers points de Touvertare se propagent par ondes 
q[iMriqaes dont le rayon est grand vis-ä-vis de X et dont la 
Titesse de propagation est, par suite, la meme que la vitesse 
W des ondes planes incidentes. 

2® La distance (r = c> M) est aussi suppos6e grande par 
rapport au rayon [a^oB) de Touverture, de maniöre que 
l'obliquitö de ^^ sur la normale oM dM plan de Fouverture 
soit petite et ne puisse pas affaibUr sensiblement Tamplitude 
des Yibrations ^l^mentaires issues meme du bord de Touverture 
BoB. n en r6sulte qu'il n'y a pas k distinguer les yibrations 
longitudinales, transversales, m^caniques ou ^lectromagnötiques, 
comme il serait n^cessaire si Ton devait tenir compte de 
Finfluence de l'obliquit^ de l'^mission. De plus, il est permis 
de calculer le retard 8 ^ bM — o ^par l'expression approch^e 



2r 



2wr ' 



en nögligeant s^/Ar^ vis-ä-vis de l'unit^. 

Soit OX (fig. 3) la direction du vecteur qui permet de re- 
prösenter, suivant la methode graphique de Fresnel, la 
Vibration 616mentaire 
qu'envoie en M le point 
de l'ouverture. Soit 
K Tamplitude des vibra- 
tions incidentes, suppos^e 
constante sur toute l'^ten- 
dne de Fouverture BoB. 

On sait, depuis 
Fresnel, que la Vibra- 
tion dUf issue de Faire 
dg de la couronne 6 b' 
peat se repr^senter g^om^triquement par un vecteur dl, de 
longueur dl ^ Kdgf Ir, faisant avec OX Fangle 




Fig. 8. 



— >- 



a = 



2nö 
X 



ir 



34 



532 O. Safffutc. 

Nous comptons l'angle cc dans le sens inverse des aiguilles 
d'une montre, pris, par Convention; comme sens des retards 
croissants. 

D'apr^s la regle ffeametriqtie de Fresnel, pour trouver la 
r^sultante u des vibrations du, il faut porter bout k bout^ k 

partir de 0, les vecteurs 6l4mentaires dly qui^ tous d'une meme 
longuear dl, fönt chacun avec le pr^c^dent un mSme angle: 
da =^ dqjXr , Cette construction d^finit an src U de cir- 
conförence, dont le rayon a poor valeur R^dljda^K, 
D'aprfes la rögle de Fresnel, la longueur de la corde 0^ de 
cet arc a meme mesure q qne Tamplitude de la Vibration u\ 

l'angle (o qne fait le vecteor U avec OX d^finit, par la formale 

le retard de la phase de la Vibration u sar la pbase de la 
Vibration que le point o envoie en M. La Vibration ^l^mentaire 
issue des bords ^^ de Toavertore est repr^sentöe par an 

vecteur dl dirigö snivant la tangente T U k l'extremitÄ de l'arc 
U] sa phase est en retard^ sor celle de la Vibration origine, de 

-^2cö = 2y 

poisque XtU=^2(o; son retard göomötrique J = a'/2r 
est tel que l'on a 

Quand le point M (fig. 2) se d^place dans le sens oMde 
la propagation, r = <? if augmente, le retard J = a'/2r di- 

minue et l'angle äT ü =^2n Ajl (fig. 3) diminue continuement^ 
c'est-ä-dire que le point U tourne continuement sur la cir- 
con£6rence dans le sens des aiguilles d'une montre qui est 
le sens de l'avance. 

Pendant que le point U fait ainsi im tour complet de 

en 0, la direction du vecteur U fait seulement un demi-tour 
de OX' en OX et, quand le point 27 passe par le point 0, la 

direction de OU se renverse brusquement de OX en OZ' pour 



Propagation anomale. 



683 



reoommencer ensuite une nouvelle oscillation. Ce r^sultat 
s'interprite ainsi: 

CSonsid^ronB les divers points Jlf,^ (fig. 4) de Taxe o My 
tels qne le nombre 






de zones de Fresnel (couronnes de surfaces Egales k nrk), 
contennes dans l'aire A de Touverture, est un nombre entier 
pair 2 p. Qnand le point M passe par Tan des points M^^, 

le point U (fig. 3) passe par le point 0, le vecteur U s'annule 
et change brusquement de signe, de sorte que la Vibration u 
s'annule et change de signe. 

La fig. 4 repr^sente la conrbe de Variation de Tamplitude 
^ de t< en fonction de l'abscisse r = oM. Aux divers points 




Fig. 4. 

de cette conrbe, les directions des flaches repr^sentent, pour 

les points correspondants de oMy les directions du vecteur U 
de la fig. 3. 

üne discnssion, que je donnerai dans le Journal de 
Physiquey montre que l'influence du diam^tre apparent de la 
souroe des vibrations et Tinfluence des irr^gularit^s du contour 
de l'ouverture ronde BoB" produisent une diminution du 
rayon de oourbure B k mesure que M se rapprocbe de o et 
d'autant plus rapidement que le rayon a de Touverture est 
plus grand. Par suite les minimums M^^ d'ordre snffisamment 
61ev6s ne sont pas nuls (fig. 4) et le vecteur de la Vibration u 
j est vertical comme aux maximums lf2|»-i; au voisinage de 
068 minimums, le vecteur de la Vibration toume tr^s rapide- 
ment de pr68 d'un demi-tour dans le sens du retard, A mesure 
qne M se rapprocbe de o, les oscillations du vecteur de la 
Vibration s'amortissent de plus en plus, de sorte que si le 



534 0, Sagnac, 

diam^tre apparent de la source est süffisant ou si le coDtour 
de Touverture est assez large et irr^galier^ on arrive k une 
r^gion N oix le vecteur de la Vibration a cess6 d'osciller. Ge 
vecteur demeure alors constamment vertical. Dans la r6gion N 
la propagation se fait donc avec la vitesse constante et nor- 
male TT des ondes planes incidentes. Cette zone N de pro- 
pagation dite normale ou reguliere est d'aatant plus ^tendue 
que les irregularües provenant du diamfetre apparent sensible 
de la source yibrante et des d^fauts du contour de Touverture 
circulaire sont elles-memes plus importantes. Inyersement la 
zone Ä de propagation anomale, qui s'^tend de iV ä l'infini, est 
d'autant plus ^tendue que le systöme form^ par la source et 
Touverture est plus regulier, c'est-ä-dire se rapproche davantage 
du Systeme form^ par un point sans dimensions^ vibrant sinu- 
soldalement, situ6 sur Taxe d'une Ouvertüre parfaitement circu- 
laire. 

Comme dans tous les ph^nomfenes d'interförence ou de 
difiraction, la complexit^ du mouvement vibratoire intervient 
pour diminuer la visibilit^ des minimums M^^ et des change- 
ments rapides de phase qui s'y produisent 

Si le point vibrant est situ^ k une distance finie F^ du 
centre o de Touverture, il est facile de voir qu'il suffit de 
remplacer, dans l'ancienne expression du retard Sy le facteur 
1 / r par {\ fr + \ j F^. H en rösulte une modification de la 
courbe de Variation de l'amplitude aux divers points M de 
oMy parce que le rayon R de la circonf6rence de Fresnel a 
maintenant une valeur variable avec r. Mais rien d'essentiel 
n'est chang4 en ce qui conceme les lois de Variation de l'ano- 
malie y; les points M^^, oü le vecteur de la Vibration se re- 
toume, sont toujours d^finis par la condition qu'il y ait un 
nombre pair 2p de zones de Fresnel dans 1' Ouvertüre savoir: 



-«;(i- + ^)-2p. 



2* COS. L'instrument est une ouverture circulaire centree sur 

Faxe (Tun Instrument convergent, 

Supposons la source vibrante ponctuelle situto sur l'axe 
de rinstrument qui en donne une image reelle situ^e en 
F (fig. 5) ä. la distance F du diaphragme circulaire. 



Propoffation anomale. 535 

Le retard ^l^mentaire 8 a ici pour expression 

n d^croit le long de oF jusqu'en F, oü il est nul, conform^- 
meut k la d^finition du foyer coDJugu^ F dans la th^orie 
ondulatoire. Au-delk du foyer F, le retard ^I^mentaire Ö se 
change en une ayance qui crolt constamment avec r. 

Le vecteur de la Vibration r^sultante en chaque point M 
de Taxe se d^finit encore k l'aide d'une circonförence con* 




Fig. 5. 

stmite d'apr&s la rfegle graphique deFresnel Le rayon S 
de la circonförence varie avec la position de Jf et il en r^sulte 
des variations d'amplitude de la Vibration r^sultante; la courbe 
de la fig. 5 repr^sente ces variations le long de Faxe focal. 
Cette Variation du rayon R avec r ne complique en rien la dis- 
cassion des variations de l'anomalie (p de la phase; les fl^cbes 
de la fig. 5 repr^sentent ces variations le long de Taxe focal. 
On voit qu'il n'y a pas de discontinuit^ dans la pro- 
pagation de la phase au foyer Fy ni aux divers maximums 
d'intensitö. ^) Du minimum U^, ant^rieur au {ojer F, jusqu'au 
minimum U^'^ post^rieur au foyer, l'anomalie de la pbase 
aoanee continaement d'une demi-p^riode. ün changement de 



1) Les mazimams d^inteiiBit^ ne coincident pas exactement avec 
les points {7,, Ug, . . . ü^\ Uf,' , , . oü le veeteur de la Vibration est 
vwtleal et il n*y a pas de maximum aa voisinage de £/i, ni de U^', 



536 G. SoffTUtc. Propagation anomale, 

signe anomal en r^sulte pour la Vibration; le vecteur de la 
Vibration est dirig^ vers le haut dans la r^gion ant^rieure au 
foyer-P (et exactement vertical en ?72p_i); il est, au contraire, 
dirigä vers le bas dans la r^gion post^rienre au foyer (et 
exactement vertical en ?7'2|,_i). D y a un changement brosque 
du signe de la Vibration anx minimums nols U^yU^t • - .\ 
V^y TJ^y ... les plus voisins du foyer. 

Ici encore, ä cause de Tinfluence du diamätre apparent 
de l'ouvefture et des irr^gularit^s de l'instrument, ce ren- 
versement brusque du sens de la Vibration est en r^alit^ un 
retard de präs d'une demi-p6riode, pris, dans le sens de pro- 
pagation, dans un espace d'autant plus petit que le diamätre 
apparent de la source est plus petit et l'instrument plus 
regulier; la vitesse de propagation de la phase est iris voisine 
de zero aux minimums les plus voisins du foyer F. Nulle 
part eile n'est infinie et Ton trouve ais^ment que ses plus 
grandes valeurs d^passent ä peine la vitesse normale W. 

Les irr^gularit^s provenant du diam^tre apparent de la 
source et des d^fauts du contour de Touverture produisent, en 
gto^ral, deux zones de propagation k vitesse normale W^ l'une 
en N avant le foyer (oü le vecteur de la Vibration est vertical 
et dirig^ vers le haut), l'autre en N\ aprfes le foyer (oü le 
vecteur est vertical et dirigä vers le bas). L'opposition de 
signe entre les vecteurs de iV^ et de i\^' constitue le r^sultat 
döjä ötabli par M. Gouy. 

Les autres lois sont nouvelles et n*ont aucune relation 
avec les lois de l'^mission par un centre d'öbranlement. 

D'aprös les th^ories qui assimilent un foyer k un centre 
d'öbranlement, le changement de signe anomal se produirait 
au voisinage du foyer dans une r^gion de longueur comparable 
k la longueur d'onde h seulement; la vitesse de propagation 
de la phase serait infinie au foyer. 

J'ai control^ la th^orie rösumöe ici par des exp^riences 
optiques d'interförence que je döcrirai dans le Journal de Phy- 
sique. J'ai pu observer les franges d'interförence jusqu'au 
foyer meme, et les anomalies de la propagation jusqu'ä des 
millions de longueurs d'onde du foyer. 

(EiDgegangen 25. September 1903.) 



537 



68. über zwei Sätze der Elektrostatik. 

Von W. Feuasner in Marburg i. H. 



Bei der Betrachtung der Energieverhältnisse eines be- 
liebigen Leitersystems pflegt der Satz abgeleitet zu werden^): 

Wenn bei derselben unendlich kleinen Lagenänderung der 
Leiter eines beliebigen Systems einmal die Elektrizitätsmenge, 
ein andermal das Potential jedes Leiters unverändert gelassen 
wird, 80 sind die Änderungen der potentiellen Energie des 
Systems in beiden Fällen gleich, aber von entgegengesetztem 
Vorzeichen. 

In ganz ähnlicher Weise kann man die beiden folgen- 
den Sätze erhalten, welche meines Wissens noch nicht aus- 
gesprochen worden sind: 

I. Wenn bei denselben unendlich kleinen Änderungen der 
Potentiale der Leiter eines beliebigen Systems einmal die Elektri' 
zitätsmenge, ein andermal die Lage jedes Leiters unverändert 
gelassen wird, so ist im zweiten Falle die Änderung der poten^ 
Hellen Energie des Systems doppelt so groß wie im ersten und 
von gleichem Forzeichen, 

n. Wenn bei denselben unendlich kleinen Änderungen der 
Elektrizitätsmengen der Leiter einmal dcu Potential^ ein andermal 
die Lage jedes Leiters unverändert gelassen wird, so ist im zweiten 
Falle die Änderung der potentiellen Energie des Systems doppelt 
so groß wie im ersten und von gleichem Forzeichen. 

Es mögen die Elektrizitätsmengen der einzelnen Leiter 
E^, E^, JE^..., ihre Potentiale Fj, V^, F, ... genannt werden, 
dann ist die potentielle Energie Q des ganzen Systems: 

(1) Q « K^ ^1 + ^1 ^2 + ^8 ^8 + •••). 



1) Vf^ I. B. Kirchhoff, Vorlesuogen fiber Elektrizitftt n. Mag- 
B0limiii p. 83 o. £ 



538 



H^. Feussner. 



Dabei bestehen bekanntlich zwischen den E und V die Glei- 
chungen: 



(2) 



r^i = 



■Ej = a. 



E.= 



«81 ^1 + «32 ^2 + «88 ^8 + • •• 



oder auch: 



(2 a) 



«12 "" «21 ' «18 "" «81 » • • • 

( ^l=*ll^l + *12^2 + *13^3+-- 
^2=*21^1+*22^2+*23^3+-- 
^3=*31^1+*32^2 + *88^+-- 

^12 ~ ^21 9 ^18 ~ ^81' • • • > 



worin die a und £ Koeffizienten sind, die nur von den räum- 
lichen Verhältnissen, der Größe, Gestalt und Lage der Leiter 
abhängen. 

Demnach ist auch 



(3) 



ii = 



\{a,, V + 2a,, F, V, + 2a,,r,V, + ... 

+ a,,r,' +2a^V,r^ + ... 

• «33 ^ + • • • 



+ 



= i(*ii ^1 + 2*1, E,E, + 2b,,E,E, + ... 

+ ft„^» +... 



'33 -"3 



Wenn nun bei unveränderten E eine unendlich kleine 
Energieänderung dii^ des Systems stattfindet, so ändern sich 
im allgemeinen zugleich die a (und damit auch die b) und die 
V, und man hat nach (3): 



Zwei Sätze der ßlehtrostatik. 539 

lS£2,= H^***u + 2^1 E,Sb,, + 2E, E^Sb,^ + ... 

+ E,*8b„ +2E^E,Sb,^ + ... 

+ 2E,'Sb,^ + ... 
+ .) 

(4) I +«22 n^F, + a,3(^l*»'8+^8^^»)+-- 

+ <^8 ^S^^8 +••• 

+ 

+ V^«M +2F,F,5a„ + ... 

^SQ^ + SQ„ + > 

wenn man mit 8 Q^ den von der Änderung der V, mit SQ^ 
den von der Änderung der a herrührenden Teil von Sii^ be- 
zeichnet Da sich vorausgesetztermaBen die E nicht ändern^ 
hat man nach (2) 

= - {V, da^, + F3 ^a,, + F3 ^«13 + . . .) 
Si *^i+ «22*^2 + «13*^8 + ••• 

= - (^1 *Sl + ^2*S2 + ^8 *«28 + •••) 
- - (^1 ^«81 + ^2 *«21 + ^8 *S8 + •••) 

Multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit 
V^, V^, F3... und addiert sie, so erhält man 

^) Jfli = -2*fl3, 

also ist von den zwei Teilen^ aus welchen S Q^ besteht , der 
erste, von der Änderung der F herrührende doppelt so groß 
und von entgegengesetztem Vorzeichen^ wie der zweite yon der 
Lagen&nderung herrührende. Eis ist das die Folge davon^ 
daB Q eine homogene Funktion zweiten Grads in den V, aber 
ersten Grads in den a ist, während die E homogene Funk- 
tionen ersten Grads in den F und a, und zwar die partiellen 
Differentialquotienten yon Q nach den F sind. 



540 W. Feussner. 

Aas (4) und (5) folgt nun 

(6) 8n, = 1 5flj = - Sili. 

Vergleicht man hiermit diejenige Energieänderung S Q^, 
welche bei gleicher Änderung dV^, SV^, SV^... der Poten- 
tiale wie eben, aber unveränderter Lage der Leiter eintritt, 
wobei natürlich gleichzeitig eine Änderung der E stattfinden 
muß, 80 hat man aus (3): 

(7) Sii^ = SQ^. 

Die Gleichungen (6) und (7) enthalten den ersten der obigen 
Sätze (I). 

G-anz entsprechend erhält man f&r eine unendlich kleine 
Energieänderung S ii^ bei gleichbleibenden V nach (3): 

(Sii,=. i(^i*^«i, + 2 F, F, da,, + 2 F, F, Sa,, + ... 

+ r,*8a,, +2F,F,J«„ + ... 

+ ) 

= i,i E, SE, + *,2 [E, SE, + E^SE,) 

+ l',siE,SE, + E,SE,) + ... 

+ *ss ^a^^ + ••• 

+ 

+ \{E,^Sb,, + 2E, E^Sb,, + 2E, E,Sb,, + ... 

+ V**22 + 2^2^3**23 + ••• 

+ ) 

• • 

wenn der von der Änderung der E herrührende Teil der 
Energieänderung durch ^'^3, der von der Änderung der b 
herrührende durch S Si^ bezeichnet wird. 

Aus (2 a) folgt dann wegen der Unveränderlichkeit der F: 

*!! dE,+b,,SE, + b,,SE, + ... 

= - [E, Sb,, + E^ Sb,^ + E, Sb,, + . ..) 
b,,SE,+b,,SE^ + b,,8E, + ... 

= - (ß, 8b,, + E,Sb,, + £, 8b,, + ...) 
Ä31 8 E, + b,,8 E, + b,,8 E, -\- . . . 

= - (^1 d*3, + ^2 ^*3, + ^3 ^*33 + • • •) 



.8) 



ZAoei Sätze der Elektrostatik, 541 

und wenn man diese Gleichungen der Reihe nach mit E^, E^, 
JE^ . . . multipliziert und addiert 

(9) *ß, = - 2sn,, 

also 

(10) än^^\sn,^^8n,. 

Die Energieänderung SQ^^, welche bei gleicher Änderung 
9E^, SE^, 3E^,,. der Mektrizitätsmengen wie eben, aber un- 
veränderter Lage der Leiter eintritt, ist nach (3): 

(11) SSi^^SQ,. 

Die Gleichungen (10) und (11) sprechen den zweiten der 
obigen Sätze (U) aus. 

Bestimmt man noch, daß die Lagenänderung der Leiter 
bei SQ^ und SQ^ die gleiche sein soll, so ergibt sich aus (4) 
und- (8): 

und 

also 



afl, = *fl„ 



worin außer unseren zwei Sätzen noch der zuerst erwähnte 
enthalten ist 

übrigens können, wenn der letztere eingangs erwähnte 
Satz als erwiesen angenommen wird, die Sätze (I) und (II) 
ohne jede Rechnung aus ihm abgeleitet werden. Man wende 
n&mlich jenen Satz auf folgenden Vorgang an: Zunächst 
werde dem System eine beliebige unendlich kleine Lagen- 
änderung bei gleichbleibenden Elektrizitätemengen erteilt, sodann 
dieselbe Lagenänderung rückwärts, so daß sich das System 
wieder in der Anfangslage befindet, ausgeführt, diesmal aber 
bei gleichbleibenden Potentialen, Daraus ergibt sich Satz (I), 
bei entsprechender Vertauschung von Elektrizitätsmengen und 
Potentialen Satz (II). 

(Eingegangen 25. September 1903.) 



542 



69. On certain theorems in probability. 

By 8. H. Borbury in London. 



In this inyestigation li - • • 1^ a^e & sei of variables 
concerning which I assume fandamentally that they are very 
numerous, and all of the same dimensions^ and that they vary 
according to the following law, namely the chance that they 
shall lie respectively within the limits li • • • li + ö|j etc. is 
proportional to «""^ ö|j . . . ö|^. Here Q is generally a 
homogeneous quadratic function of |^ . . . |^ with constant 
coefßcients, viz 

« = «1 li* + *„li I, + «,!,* + etc. 

Let this be called Law P. 

2. I propose in part I to consider the probable values of 
Ij etc., when a certain linear function of |j . . . |^ namely 

is given in value. 

Also if there be more than one such linear function, 
e. g. u^, u^ etc., the correlation between them arising from their 
relations to |j •••!„> and law P. 

In part 11 I shall consider the probable yalnes of |j . . . |^ 
when another quadratic function ^m^^=s2Tis given in 
value. 

3. Part I. This will be divided into two cases; case A 
in which Q has the very exceptional form Q = 2^l*> ®^' 
pressing the fact that every | is independent of every other 
I, and case B in which the |'s are correlated inter se, and Q 
is the complete quadratic function above given. In case A, 
let u, V be linear functions of |, •.•!«> *°^ ^® ^^7 suppose 
t£ to be formed from v by interchanging the coefQcients. 

If for instance v = fx^^^ + fx^^^ + etc., u may be ju^|j + 



Certain theorems in probabüity, 543 

jbtr+ilg + ®tc.^ 80 that u and v are ihe same function of 
Ij . . . 1^ taken from different points of yiew. — 

Suppose now that r ia known, but nothing is known con- 
cerning li • • • l^y except that 

and that Q has the special form e-Z«^*. 

What ander these circumstances is the most probable 
valne^ and what the mean valne, of any 1^ e. g. of 1^^? 

Since 

is giyen, we have 

(1) ^ö|, + ^-|^-ö|, + etc. = 0, 

and for the most probable combination of the |'s, we make 
'^a^^ minimum, that is 

(2) «1 li ö|i +a^^^d^^ + etc. = 0, 
whence 

(3) I =;iJ_^, I =. ;i i_ -If etc., 

il being an indeterminate multiplier. 

Maltiplying equations (3) in order by rfr/rf|,, rft?/rf|, etc., 
and adding, we get 



that is 



24-^ - »2^ (If)' 



whence 

etc. =s etc. 
These are the most probable yalues of 1^, |, etc. 



and 



(6) 



544 S. H. Burbury. 

5. The mean value of |j is 

+ 00 +00 



— 00 — 00 



subject to the condition that 

It is identical with the most probable value above giyen. 

6. Now while 

dv 



let u be another linear function of |j . . . |^ . 

Then v having a known yalue, but nothing being known 
of ihe l's except that 

and the law of probability e-2«^', what is the probable value 
of u? 

We have, whatever li . • • |^ niay be, 

'^^ u du 
and therefore 

^1 ' • ' in being the meaa values above found. That is: 

._ du 1 dv /'s; 1 ( dvy 

^'*^ ^ +. ^ .LJ'^/ 2 ^(4fy+ etc., 

that is 

^ dtt 1 dr /X? 1 ( dvY 

K z^ were given instead of v, the mean value of v would be 

"S^ dv i du /x? 1 / rfti V 

^ = "2rfy-^rfy/2v(^-J- 

These expressions define the correlation between u and v. 



Certain thearems in probabüity, 545 

7. Let US consider the expression for ü giyen v, — 
In the denominator 



2i(^r 



eyery tenn is positive, and they cannot all be zero^ because 
V iß by hypothesis a function of |j . . . |^. — Nevertheless 
many of them may be zero or negligible^ provided ihat some 
of them are not negligible. 

The same is true of dujd^^ . . . dujd^^. 

8. In the nnmerator 

2 du 1 dv 
JilT'dJ 

let as suppose that for 1^ ... |^, dujd^ is not negligible, 
bat for all the other l's du/d^ is negligible. 

Similarly for |„ |, + j ... |, + ,, rf»/rf| is not negligible, 
bat for all the others it is negligible. 

We might say u has a sphere of influence extending from 
li to 1^, and V a isphere of influence extending from |, to |^ + ^. 

If 8> r, each of the products ," d~^~ ^^^ ^^ \Q9Ai 

one of its factors negligible — the correlation is in- 
appreciable. — If on the other band « < r, one at least of 

the products -jj- -^j- has both factors appreciable. 

The correlation is therefore generally appreciable, though 

it may happen in special cases that the terms -^ ^-|- , 

which do not vanish, are of different signs, and in the aggre- 
gate cancel each other. We might say generally that the 
correlation is appreciable or not, according as the two spheres 
of influence do or do not intersect 

9. It thus appears that even if the l's vary independently 
of each other, the k's derived from them as linear functions 
are, if each u is affected by more than one 1, in general corre- 
lated. — Suppose for example the |'s define the state of a 
mftterial System at an initial instant, and ti^ . . . k^ are the 
4)0Retponding yalues after time U Then, the motion of the 

BftltfMiim-l^tMfarifi. 35 



646 S. H. Burbury. 

System being continaous, u^ . . , u^ are determinate functions 
of Ij . . . 1^ and t — and however independent li . . - 1, are 
of each other, u^ • • • ^n ^^ ^^ general correlated. 

10. If the l's, and also the tt's, have positions in space, 
we may expect that the sphere of influence of any u will be 
limited in space, extending for a certain distance round its 
Position. — If that be so the intersection of the spheres of 
influence of u^, t<, will in general depend on the distance of 
Uj from ttj . — They will be sensibly correlated if near enough 
to each other. 

11. Gase B. — The |'s are correlated inter se. 

Instead of the law e-2*^*, which expresses the mutual 
independence of |j . . . |^, we must now use e""^ of art 1. 

If V or 2I^^/^I ^® ^^^ given in value, but nothing 
eise is known of the l's except the law of probability tf"^, 
what is the most probable value of any i, e-ff |j? That is 
found by an easy extension of the method of art 4. 

Let namely D be the determinant of the coefficients in 
Qi ^iz 



i? = 



2«! ^2 *13 

*2i 2aa *28 



and let D^ be the minor formed by omitting row p and 
column y. 

Then, if ü be the most probable value of u, given v, 



in which 



ü^vQ{uv)IQ{vv), 



dv (dvD^, dv^ />„ . 
, dv , 

Also Q [u v) is the same expression with each factor 
dv/d^ outside of the bracket replaced by the corresponding 
dujd^. — Inasmuch as no restriction is here imposed on 



Certain theorems in probabüity. 547 

Ihe yalues of 1^' etc., it is essential in this case that Q should 
be posiüye, that is (see art 13) that L should be positive. 

12. Part II. — Instead of a linear fanction of |j . . . |, 
being giyen, let next the quadratic function 

»»ili' + 'w,|,* + etc. = 2y, 

in which the m's are positive constants, be given, and let the law 

of diatribution of |i • • • 1« ^® ^"^ ^li • • • ^1« ^ before. — To 
find the most probable values of 1^ . . . 1« we now proceed as 
foUows. 

Since T is given, 

Since Q is to be minimnm, 

t^erefore 

1 2a, I, + *„ I, + 6„ I3 + etc. = 2Aiii,|, 

(6) I *ii li + 2a,|, +*„ I3 + etc. = 2 Am,!, 

\ etc. = etc. 

Then X is giren by the determinantal equation. 






2mi 2m| ' ' 

(7) I 2m,' Vi», ; 2m, • • • =0. 

: 2 m, 2 m, V^'H / 



If A be any real root of that equation^ its Substitution in 
(6) detennines ihe ratios li/l, ^^ — 

Again multiplying (6) in order by 1^ . . . |», and adding^ 
we obtain 

from which can now be found the actual values of || . . . ^^, 
when Q is maximum or minimum given T. 

85* 



548 5. H. Burbury. 

13. Since the values of |i* etc. are now finite if T is 
finite^ it is no longer necessary that Q or ^ should be positive. 
Negative roots of (7) are therefore admissible. — 

14. Now (7) may be put in the form 

(8) F^x^ -B^ ;i«-i + ^2 >l"-2 - . . . ± ^» « 0, 

the term B^ having the positive or negative sign prefixed 
according as n is even or odd. In this expression Bn is the 
complete determinant ß derived from equation (7) abo 

B^ is the sum of all the coaxial minors of I) having 2^ con- 
stituents, ^3 the same with 3^ constituents^ and so on. 

If I) and each of its coaxial minors are positive^ every 
B is intrinsically positive — therefore since the terms in F 
have altematively the + and — signs prefixed^ there are no 
continuations of sign among them^ and therefore by the rule 
of signs J^ = has no negative root Every X is positive, and 
therefore Q = 2 il T is positive when minimnm. — 

15. Now the coefiScients a are assumed to be positive 
and invariable, the 6's subject to Variation, and I here confine 
myself to the case in which the ^'s are always negative. — As 
any b diminishes, (L e. b^ increases) the determinant D, so 
long as all its coaxial minors are positive, diminishes, and 
approaches zero. — But if B^^ be one of the first coaxial 
minors oi B, B <, 2a^B^^ so long as all the coaxial minors are 
positive. — It follows that D^j is positive when B = 0. 

For the same reason if and when the first coaxial minors 
Ai» -^22 ®^^* become zero, the second coaxial minors B^^^^, etc. 
derived from them are still positive. The coefficients B in (8), 
if they change sign, change sign successively from right 
to left. — 

16. Again when B — i'eBn — changes sign, there is 
one continuation of sign among the terms in (8) and therefore 
one negative root — But the changes of sign of ^«-i, 
5,»_2 etc. to B^ inclusive, being successive from right to left, 
do not introduce any more continuations of sign. — There is 
therefore only one negative root of (8). 



Certain theorems in probabüity, 549 

Again it foUows from the preceding, that if i)' be any 
coazial minor of D^ and b any anaxial constituent of it, 
diy fdb is positive, that is ly diminishes as b^ being negative, 
increases in negative value. Therefore every dBjdb is 
positive. 

17. Letnow X^ be the Single negative root of (8), F^ the 
corresponding value of F, namely 

^1 = Äj« - -»1 Aj— 1 + J, Aj— 2 + etc. 

then it can be shown that, for any b^ di^jdb is positive. 

For 

dj^_ _dj\ /dFj, 

db db / dly' 

in which dF^jdb is taken with \ constant, dF^jdX with b 
constant. 
But 

* — ^'^3«2 d B^ * «—8 _L_ f 

~db~'"~db~^ '"~dh~^ "^^^-^ 

and is therefore (since Xy is negative and every dBjdb 
positive), positive if n be even, negative if n be odd. 

But if n be even, F is positive when il = — oo. There- 
fore dF/dX is negative when the curve F first cuts the axis, 
L e. when X=s X^, 

If on the other hand n is odd, F is negative when 
Ä « — cx) , and dF^ jdX is positive when i = Äj. 

Therefore wheÄer n be even or odd, d\jdb is positive, 
that is as 6, being negative, increases in absolute value, X^, 
being negative, increases in absolute value. 

SolutionB of the equation (8). 

18. Ejquation (8) is easily solved when all the a coeffi- 
dents in Q have the same value a, and all the b coefficients 
the same value b, For in that case the determinant 

2a i . . . 

b 2a . . . 



of H constituents is equal to 

(2a-*)''-i(2a + r^l*), 



550 



5. H. Burhury. 



and we find 



J^«(i-2a-Ä)*-i[i-(2a + n- 1*]), 



or F has ti — 1 equal positive roots 2 — 6, and one other root 



X^2a + n — lb, 

19. We can however solve (8) in the more general case 
when all the axial constitaents in (7) have the same yalue^ 
and all the ana3dal constituents in each column of (7) except 
the last column have the same value. 



Thus in (7) let 



and 



-^ = ^=:etc. = 2«, 



2 9?I| 2^3 



'•1 



- --^^^=A, 



So that 



^1« = ^w = etc. 

2mi 2 m, 



2»in-l 

! ß^ etc. 



D = 



2 «f A A • • • z'« - 1 A 

Ä A 2 a . . . /9n - 1 A 



A Ä Ä • • • 2 a A - 1 I 
A Ä Ä • • • /'n - 1 2 a. ; 

We see by inspection that if /9, . i = 2 a the two last 
lines are identical^ and therefore jD = 0. It follows that D 
contains (2 £3f — /9„ _ i) as a factor. But by supposing /9„_2 = 2a 
we can prove in the same way that D contains (2 a — /9, _ 2) 
as a factor and so on. 

Therefore D contains (2 a - /SJ (2 a - /S^) . . . (2 a - /9, « 1) 
as a factor. But jD is a homogeneous function of d^ree n 
of 2a, ßif . . ' ßn-i' Therefore the remaining factor of -D 
is a linear function of 2 a, ß^ etc. But since JD contains the 
term (2 a)", the said linear function must be 2a + gp (/9j . . . /9„ - 1), 
where g) denotes a linear function. — But again JD does not 
contain (2a)"~^ Therefore 

y' (^1 ' ' ' ßn-l) — ßi + ß2+ • • • + ßn--l, 



Certain theorems in probabilift/. 551 

and 

2> = (2£r-/9J(2a-/?3)...(2«-/9».i)(2a + /9,+/92 + ... + /Sn-i). 

Now D, or £n9 is the product of the roots of (8), — We 
infer that the roots of (8) are 

(2«-./9,), (2«-ft), etc. 
all positive, and 

whioh may be negative. — 

Forther by the same reasoning 

Ai =* (2« - Ä) • • • (2a - /?«. i)(2« + ft + ... + /?«- i) 

and since the last üactor does not contain ß^, D^^ may be + 
when 2) is — , but not vice versa. — 

The above inference conceming the roots of (8) can be 
confirmed by showing that ^^ - 1 ^^ the sum of the products 
of the factors of D taken n — 1 together, and that ^« _ 2 etc. 
have the corresponding values. 

20. If X' be any positive root of (8), the chance of the 
distribation given by i^ occurring is to the chance of the 
distribution given by Ä' occurring in the ratio «'-(^-^or 

Now ^ 

and A is a very great number. If therefore the mean value of 
m^' is not very small, the ratio ^-c^-^or ^jn 1,^ y^^y great. 
So that the distribution given by the negative root k^ will be, 
not only the most probable, but in fact will represent ap- 
prozimately the generally prevailing distribution. — 

21. NoW let i^ml' instead of being a constant, be 
variable, and let the chance of its being between T and T + dT 
be a function of Tfor example e^^^dTj where iC is a positive 
constant. Then for each value of T the prevailing distribution 
of the {'s is given by e^^^ and therefore the chance of any 
set of {'s occurring for which \^fn^^ = T, is denoted by 
^-(Xt + jr)r — But y jg now unrestricted in value. Therefore 
the law of distribution e"^ in impossible unless (A, + K)Tf 
OT ^Q + KT^ is positive. — 



552 S, H. Burbury, Certam Aeorems in prohability, 

22. I have said elsewhere that if Ij, I2 ^^- ^^ ^® 
Yelocities of gas molecules the law e'^ becomes impossible 
when Q becomes negative. 

That is quite true if |^^ |^ I3, etc. are iinrestricted in yaluCi 
as usually assumed in the Mnetic theory of gases. — In fact 
although 1^' etc. are ultimately unrestricted, yet for any finite 
group of n molecules part of an infinite System, they are subject 
to some such restriction as I have here supposed, namely that 
the Chance of w»j |j* + m^ l^* + etc. exceeding a very high value 
is very small, for instance e ^ ^ ^, and it seems to me that the 
limit of the law of distribution e - ^ should be, not Q = but 

(2= -2zy. 

(Eingegangen 26. September 1903.) 



663 



70. Note on the Soret Phenomenon, 

Bj WUder D. Banoroft in Ithaka (N. T.). 



In 1881 Soret ^) published experiments showing that 
heating one end of a tube filled with a Solution caused a difiu- 
sion of the solute to the colder end of the tube. Six years later 
yan't Hoff) offered an explanation based on the analogy 
between a dissolved substance and a gas. According to Yan't 
Hoff equilibrium should be reached when the osmotic pressure 
of the solute is uniform throughout the tube. This explanation 
is usually accepted as correct; but it can easily be shown that 
this is not the case. 

We will consider first a tube filled with a single gas, 
the two ends being kept at different but constant temperatures. 
A necessary criterion of equilibrium is that there shall be a 
uniform pressure throughout the tube and the gas will there- 
fore concentrate in the colder portion of the tube. If we 
have two gases in the tube both will concentrate in the colder 
portion of the tube. If we fill the tube with a mixture of 
two liquids^ it will usually not be possible for both to con- 
centrate in the colder portion of the tube. Owing to the 
relative incompressibility of liquids, the two components will 
haye to dijBfuse in opposite directions. In other words, the 
relative concentrations will determine whether a giyen com- 
ponent will pass to the cold end or the hot end of the tube. 
Form giyen pair of temperatures and of components, there 
must be a given concentration for which no difiFusion takes 
place. Some years ago a few preliminary experiments with 
acetone and water were made in my laboratory and this 
prediction was confirmed. 



1) G. Boret, Ann. de chim. et phys. (5) 22. p. 293. 1881. 

a) J. H. ymn*t Hoff, Zeitschr. f. phys. Chem. 1. p. 487. 1887. 



554 W. D, Bancroft On the Soret Phenomenon, 

Since the direction of the diffusion changes sign with 
changing concentration, the criterion of equilibrium cannot be 
a uniform osmotic pressure and the explanation of van't 
Hoff can hold as a first approximation only for Solutions in 
which the volume occupied by the solute may be neglected. 
What the real criteria for equilibrium are, is an interesting 
problem for which no satisfactory answer has yet been found. 

Cornell University. 

(Eingegangen 26. September 1908.) 



556 



71. Über die Bestimmung der thermischen Änderungen 

der £lastizitätskonstanten isotroper Körper aus den 

Temperaturänderungen bei der Drillung und 

der gleichförmigen Biegung. 

Von Anton Waasmuth in Grat. 



Bei der Deformation yollkommen elastischer Körper treten 
Temperataränderungen r auf, die auf Grund der Sätze der 
Thermodynamik berechnet werden können. Die Theorie dieser 
Vorgänge wurde bekanntlich (1857) von Lord Kelvin begründet, 
von Schiller (1879) und Planck (1880) erweitert und von 
W. Voigt (1889) nicht allein auf kristallinische Körper, son- 
dern auch auf größere Temperaturänderungen ausgededint Die 
fbr uns in Betracht kommenden Ergebnisse der allgemeinen 
Untersuchungen^) dieses Forschers sind in Kürze folgende: 

Es seien u^ v^ w die Verrückungen eines Punktes x, y, z 
und die Deformationsgrößeni 

du 09 Bw 9 , dw ^ 



dx *!' dy •*«' dx *«' dx ^ By ""**' 
dw , du du . d V ^ 



dx ^ dx *»' dy ^ dx ■"*•' 

sowie die i>rttc*Arä/?tf: X.^Zj, T^^X^, ^. = ^8* ^.=^y=^4» 
^, = Jf, = J^, X = r^ = j;^,, so daß die elementare Arbeit 
der elastischen Kräfte für die Volumseinheit: 

odc^ — Xj o Xj — ... — Xq S x^ ^ — ^1 Xj^ S x^ 

wird. Dann muß, wie W. Voigt zeigt, die freie Energie | 
(auch erstes thermodynamisches Potential genannt) für eine 
Änderung r der Temperatur T die Form haben: 

wo die c^^ die isothermischen Elastizitätskonstanten heißen 
und die Indizes h und k wieder von 1 bis 6 gehen. Aus | 
findet man die Ekitropie 

1) W. Voigt, Thennodynamik I. p. 800. 1903. 



556 A. Wassmuik, 



Ä= - 



den Druck 

JE = ^^ 

und die spezifische Wärme y^ der Volumseinheit bei konstanter 
Deformation: 

Für isotrope Körper verschwinden eine Reihe der Konstanten 
Cj^j^ und es bleiben nur: 

Cji =: c, Cj, = Ci und c^^ = i(cii - c^,) = c, 

und ebenso wird: 

9i = ?2 = ?8 = ? ^<J ?4 = ?6 = ?e =* 0- 
Führt man noch die Änderung der Volumseinheit 

S ^ x^ + ^2 + ^8 ^^ 9 ®^ ^^^^ ^® ^^^® Energie | für isotrope 
Körper gegeben durch: 

f 2| = c, J» + c,[2(:r,» + V + ^8*) + V + ^5* + ^eT 

wobei: 

^ E u 



'2 2(1 +fi)' ^ 1 +/U 1 - 2/u 

ist und E den gewöhrdich so genannten Elastizitätsmodul, c, 
den Torsionsmodul, also jti das Verhältnis der Querkontraktion 
zur Längendilatation vorstellt. Es ist in aller Strenge die 
Entropie: 



öf 



d(h X2 I ^öi 



Dieser Ausdruck gleich Null gesetzt liefert die Temperatur- 
änderung r für eine adiabatische Deformation. An der Hand 
dieser Formel hat W. Voigt die Torsion eines Kreiszylinders 
behandelt ^] 

Die Druckkomponenten erscheinen unter der Form: 

1) 1. c p. 331. 



Thermische Änderungen der Elcutiizitätskonstanten, 557 

Aus der freien Energie | erhält man das sogenannte zweite 
ihermodynamische Potential ^ durch die Beziehung: ^ = | 
+ (Zj jTi + . . . + -X;, ar^) oder 

wobei 

le k 

ist und die «^^^ Elastizitätsmodule heißen. Die Entropie S er- 
gibt sich aus: 



femer ist 



J^i, = + 



dX» 



und die spezifische Wärme yx der Volumseinheit bei konstanter 
Spannung: 

Für isotrope Körper werden die Formeln wieder einfacher; 
es wird dann: 

r 2 f = - 5, [A-, + JX3 + ^]« - s, [ J (X,» + A,« + A3«) 
^^ \ +A,» + V + A3T + 2aT(A, +A3 + A3)- ^-r, 

worin a den linearen Ausdehnungskoeffizienten darstellt und 

iL — ÜL+if) — 1 - i^ 

* = *! +i*2 = :g- 
ist 

Für die Ekitropie 8 gewinnt man den im folgenden aus- 
schlieSlich angewandten Ausdruck: 



5 =. i {.,' {X,+X, + A3)» + \ ,/ [(A,* + A,» + A3>) 
+ 2(A,« + A,* + A,^])-a(A,+A,+A3)+f^T, 
wobei der Kürze wegen 



(4) 



558 A, Wassmuih. 

gesetzt ist 

Als allgemeineres Beispiel diene der Fall, daß ein iso- 
troper Körper unter einen allseitig gleichen Normaldruck p 
gebracht werde, so daß Xj=J52 = -Xg=sp, ^^=^ = ^=0 
wird, dann ist fQr die adiabatische Kompression: 

5=|p«[3V + iV] - 3«p + ^T = 
oder die Erwärmung x gegeben durch: 



d. i. 

(5) ^T = 3a7. + |p* 



3 1 bE 1 1 de, 



E E dT c, c^ dT 

Berücksichtigt man nur das erste Glied, so erhält man 
die gewöhnliche Formel; nur bei sehr hohen Drucken käme 
das zweite Glied in Betracht So ist z. B. für Eisen nahe: 

E= 21000 kg/mm», c^ = 7000, 

1 dE 2,25 1 öc, 8,035 



E dT 10* ' c, ÖT 10* ' 

also das zweite Glied verschwindend klein. 

Von den Formen der elastischen Körper, die überhaupt 
in Betracht kommen können, empfehlen sich schon aus prak- 
tischen Gründen die von Stäben oder Drähten mit einem Quer- 
schnitte, dessen Dimensionen gegen die Länge des Stabes 
klein sind, das ist also der Fall des von Saint-Venant be- 
handelten Problems. Wir denken uns demnach einen geraden 
zylindrischen Körper, auf dessen Grundflächen (Enden) irgend 
welche Druckkräfte wirken sollen; die Mantelfläche sei frei 
von Druckkräften. Zwischen den einzelnen Längsfasem ist 
dann überhaupt kein Druck; sie sind voneinander unabhängig. 
Der Einfachheit wegen werde angenommen — die Verall- 
gemeinerung ist leicht — , daß der Querschnitt ein Kreis sei 
Die Achse des Zylinders sei zur z-Achse gewählt 

Dann gelten bekanntlich^), wenn gleich die Voigt sehen Kon- 
stanten eingeführt werden, die Formeln: X^ =^ = X^ = und 



1) G. Kirchhoff, Mechanik p. 408. 1897. 



(6) 



Thermische Änderungen der Eiastizitätskonstanten, 559 

3<5i+2c, 2 ^ 
■ * ^2 3ci+2c, 2 ^ 



"^ 8 8c, +2c, 



l^i+.3^(Äl^y2)_^2 



Die Konstanten a, a^, a^, b^, b^, c lassen sich leicht aus 
den Eomponentensummen und Drehnngsmomenten der Druck- 
kräfte^ die auf ein Ende wirken, berechnen. So ist z. B.: 

(7) jj[xX,^yX^)dxdy^c.'lR^ etc. 

Diese Werte %x X^y X^ und X^ sind demnach in den 
Ausdruck für die Entropie: 

(8) 5 = ij*'V + V(V+^^5')}-«^+ ?^ 

einzuführen; durch Nullsetzen der Form 8 erhält man dann 
die Temperaturänderung r als Funktion von ir, y, z, die einer 
adiabatischen Änderung entspricht. Diesen so für t ge- 
wonnenen Wert wird man, da sich nur ein mittleres r eines 
Querschnittes q beobachten läßt, noch mit dq ^ dx,dy multi- 
plizieren, über den Querschnitt integrieren und durch q 
dividieren. 

Man sieht aber sofort, daß in dem so erhaltenen Mittel- 
werte f im allgemeinen auch die Koordinate z vorkommen 
wird, was eben besagt, daß für verschieden gelegene Quer- 
schnitte (verschiedene z) ebenfalls verschiedene r und demnach 
WarmeiirSmungen auftreten müssen. Es gibt indes FäUe, wo 
alle Querschnitte desselben Zylinders gleiche Temperatur- 
Snderungen erfahren. Solche spezielle Fälle sind: 

L Dehnung. Alle Konstanten außer a sollen verschwinden, 
d. L es sei X^ ra A^ = 0, -Xg = a, dann wird: 

(9) y.4-«^ + w.-i-(i4l)- 

Bleibt man beim ersten Posten rechts stehen, so erhält man 
die gewöhnliche Thomsonsche Formel. Ist nämlich P der 



560 A. Wasgmuih. 

Zug am Querschnitte q, a das spezifische Gewicht, C die 
spezifische Wärme der Gewichtseinheit, so wird: 

-X3 = --^. y= Ca. 419,10», -^ = - i^rr^J — 

^ jr ' '« ^ » /p 419,10*. ga 

die bekannte Form, indem q a das Gewicht der Längeneinheit 
vorstellt. Für große Zugkräfte käme, falls der Draht auch 
da noch vollkommen elastisch bliebe, noch das zweite Glied 
in Betracht; bei metallenen Stäben fiele dann, da hier 

1 dE 
E BT 

negativ ist, die Abkühlung bei der Dehnung (bez. Erwärmen 
beim Zusammenziehen) kleiner aus. 

n. Gleichförmige Biegung, In diesem Falle verschwinden 
alle Konstanten bis auf Oj, so daß X^ = a^.x, -X^ = ^ = 
wird. Die Eonstante a^ bestimmt sich aus dem biegenden 
Drehungsmomente M um die y- Achse, indem: 

oder 

^~ R*q' ^^ R*q ^ 

ist Hiermit wird: 

and für die mittlere Temperaturänderung r erhält man wegen 

fxdq = und fx*dq = ^R* 

Erfolgt die Drehung vom Momente M^ in das Moment Jl/^, so 



ö4 



ist wegen 

* "" ÖT ""ÖT"" E\E dT ) 

die Temperaturänderung 



Thermische Änderunpen der Elastizitätskonstanten, 56 t 

Hat der Querschnitt y eine andere Form als die eines 
fijreises^ so muß statt \n^R^ der Ausdruck 2q^x^^ genommen 
werden, wo x den Trägheitsradius senkrecht zur Biegungsebene 
vorstellt, der Schwerpunkt in der r-Achse liegt und die Haupt- 
achsen des q als Achsen der x und y gewählt werden.^) Für 

die Metalle ist 

1 J^E_ _ 

E dt ^ 

negativ, demnach bringt nach (10) eine gleichförmige Biegung 
eines Metallstabes eine Abkühlung hervor, was meine Versuche 
bestätigten. Die Formel (10), zuerst von W. Voigt aufgestellt, 
stellt demnach einen Zusammenhang zwischen der Abkühlung 
19*^^ und der Änderung des Elastizitätsmoduls, d. i.: 

_ \^ e E 
^ "^ E dT ' 

dar, so daß € an der Hand der Voigtschen Formel, falls i?*^^ 
sicher gemessen wurde, berechnet werden kann. Diesen Weg, 
« auf neue Art zu ermitteln, habe ich eingeschlagen^ und für 
zwei verschiedene Stahlstäbe hierfür die Werte 2,62 x 10-*, 
2,34 X 10-*, 2,45 X 10-* und 2,23 x 10-* erhalten, deren 
Mittel 8,41 X 10-* von dem Mittel 2,29 x 10-*, wie es 
die Beobachtungen von Katzenelsohn (2,33 x 10"*) und 
Cl. Schäfer (2,25 x 10-*) für Eisen lieferten, um weniger als 
5 Proz. abweicht Versuche mit Stäben aus anderem Material 
sollen noch folgen. 

HL Torsion, Ein weiterer Fall gleichförmiger Temperatur- 
änderung bietet sich schließlich dar in der Torsion eines Stabes, 
wobei alle Konstanten in 6 bis auf c verschwinden. Es wird: 

Durch Multiplizieren mit 2nQdoy integrieren und dividieren 
durch R^n findet man hieraus: 



1) R. Clebsch, Elastizität p. 108. 

8) A. Wassmuth, Wiener Ber. 112 (IIa\ Mai 1908; Ann. d. Phys. 
lt. p. 188. 1904. 

36 



562 A. Wassmuih. 

Nun ist das am freien Ende wirkende Drehungsmoment N 

SO daß sich schließlich wegen s^^lfc^ ergibt: 

Dieser Ausdruck fällt vollständig zusammen mit jenem, 
den ich 1889^) fiir die Abkühlung von tordierten Metalldrähten 
aufstellte und durch Versuche') bestätigt fand. Nennt man 
nämlich to den der Länge / entsprechenden Torsionswinkel^ 
m das ganze Gewicht des tordierten Zylinders, C die spezifische 
Wärme der Gewichtseinheit, so ist: 



und es wird: 


■"-<-»•» 2 / 


(12) 


Cm - n 
T 4 2 



\c, dT J l 



die von mir veröfi'entlichte Form. 

Für andere, jedoch symmetrische Querschnittsformen treten 
auf den rechten Seiten von X^ und X^ noch gewisse Funktionen 
von X und y hinzu; der Ausdruck für r wird verwickelter, 
doch bleibt r in der ganzen Länge des Stabes konstant 

Die Gleichung (11) oder (12), die in anderer Art auch 
von W. Voigt abgeleitet wurde, gestattet ebenfalls aus dem 
beobachteten r die Änderung des Torsionsmoduls 

^^ 2(1 +/u) 

mit der Temperatur, d. L 

zu ermitteln. Meine Versuche mit tordierten Stahlstäben er- 
gaben gute Übereinstimmung zwischen Rechnung und Be- 
obachtung, falls fiir rj die von Katzenelsohn gefundene Zahl 
3,10, die der neuestens von CL Schaefer gegebenen 3,035 
nahe kommt, genommen wurde. 



1) A. Wassmuth, Wiener Ber. 98 (IIa), p. 1897. 1889. 

2) A. Wassmuth, ibid. und Wiener Ber. lll« Juli 1902. 



Thermische Änderungen der Mastizitätskonsfanten, 568 

Aus dem in II und III Dargelegten folgt: 

Beobachtungen der Temperaturänderungen bei der gleich^ 
formigen Biegung und der Torsion von Stäben geben somit die 
Mittel an die Hand, die thermischen Änderungen des Blastizitäts- 
moduls und die des Torsionsmoduls, d. L s und rj und somit 
auch dfAJdT — ohne Strukturänderung — zu bestimmen. 

Als eine nicht uninteressante Anwendung der dargelegten 
Methode möge eine Anzahl von Versuchen dienen, die ich mit 
einem zylindrischen Stabe aus Hartgummi vom spezifischen 
Gewichte 1,325 und der Dicke von 5,1 mm zur Ermittelung 
der Änderung seines Elastizitätsmoduls JE mit der Temperatur 
ausf&hrte. Der Stab lag auf zwei festen Schneiden, deren 
Distanz 2ti = 14,2 cm betrug, auf und wurde durch gleiche, 
an seinen Enden nach abwärts wirkende Zugkräfte p, von denen 
jede am Arme von 5,2 cm mit einem Momente M drehte, 
gUiehß'rmig nach oben gebogen. Mit Hilfe einer Marke am 
Stabe und einer spiegelnden Skala ließ sich die Pfeilhöhe h 
bestimmen. Die Biegung wurde in der Art bewirkt^ daß die 
Ekiden des Stabes durch Darmsaiten mit einem Winkelhebel, 
dessen Drehung an einem Kreisbogen G G markiert wurde, ver- 
bunden waren (vgl. die Figur in der zitierten Arbeit). Die 
Zugkräfte p wurden dann nachträglich durch direktes Anhängen 
▼on Gewichten bestimmt 

Den Sinn und die Größe der bei dieser Biegung auf- 
tretenden Temperaturänderung wies ein feines, in der Mitte 
des Stabes angebrachtes Thermoelement aus Eonstantan und 
Eisen, das mit einem, sehr empfindlichen Galvanometer von 
Keiser & Schmidt durch dünngewalzte Kupferstreifen 
(zur Verhütung der Deformationsströme) in Verbindung stand, 
auf; es wurde das Hauptaugenmerk darauf gerichtet, den 
Gtosamtwiderstand r (Thermoelement + Galvanometer) recht 
klein zu machen; in der Tat war r := 0,4315 Ohm. Die Be- 
festigung des Thermoelements geschah in der Art, daß der 
Hartgummistab zuerst in ein mit einer seitlichen Öfihung ver- 
sehenes Glasrohr gebracht und hierauf in einem Thermostaten 
durch mehrere Stunden so lange erwärmt wurde, bis sich das 
Thermoelement, dessen beide Drähte durch Atzen verdünnt 
und etwas umeinander verdreht waren, leicht durch die Öffnung 
des Glasrohres in den Stab einfügen ließ. Auf diese Art blieb 

86* 



564 



A. WassmuÜi, 



beim Abkühlen der Hartgummistab gerade und das Thermo- 
element steckte ungemein fest in der Mitte. — Mehrere Papp- 
deckeln und Watte schützten den Apparat vor Luftströmungen. 
Es ließ sich nun zweifellos nachweisen, daß bei diesem 
Hartgummistab eine Verstärkung der Biegung mit einer Er- 
wärmung und umgekehrt eine Verminderung derselben mit einer 
Abkühlung verbunden war. 

Wurde z. B. die Mitte des Stabes resp. das Thermoelement mit 
einem heißen Eisenstück berührt , so ging die Nadel des Galvanometers 
auf dieselbe Seite, wie bei der Belastung der Stabenden ; eine Abkühlung 
der Stabmitte brachte einen entgegengesetzten Nadelausschlag in der 
Richtung, wie ihn die Entlastung lieferte. Solcher Proben wurden 
mehrere durchgeführt; ein zweites, frei eingeschaltetes Thermoelement 
bestätigte das Gewonnene. 

Bei diesem Hartgummistabe mußte demnach der Elastizitäts- 
modul mit der Temperatur zunehmen oder es mußte 

1 dE 



6 = 



E dT 



posiäv sein. Nun wurde versucht, auch den Betrag dieser 
Größe 6 festzutellen. 

Aus den in der folgenden Tabelle wiedergegebenen Ver- 
suchen vom 23. Juli 1903 ließen sich zuerst die Temperatur- 
änderungen 0- berechnen nach den Formeln: 

X, = 0,56 (X, -x,\ X=A^X, und & = ^^ySt' 



Zeiger am 
Gradbogen 


Nr. des 

Versuchs 

1 


Erster 

Ausschlag 

Ä 


Erste Distanz 
der Umkehr- 
punkte 

X - Xq 


^0 


X 


& 


160—140 


I 


15,8 


14,7 


8,23 


7,57 


0,001690 


H'»— 15,8* 


II 


12,8 


12,5 


6,98 


5,82 


0,001300 


160— 13* 


ni 


24,5 


23,6 


13,22 


11,28 


0,00252 


130—15,30 


IV 


21,8 


19,4 


10,86 


10,94 


0,00245 


160—120 


V 


32,8 


32,1 


17,98 ! 14,82 


0,00324 


120—15,70 


VI 


26,4 


24,0 


13,44 


12,96 


0,002900 


160—110 


VII 


40,8 


39,1 


21,90 


18,90 


0,00422 


110—15,70 


VIII 


36,8 


31,4 


17,58 19,22 


0,004300 


160—100 


IX 


51,5 


50,3 


28,17 23,33 


0,00521 


100—15,50 


X 


40,8 


' 35,8 


20,05 20,75 


0,004640 


160— 90 


XI 


60,3 


58,0 


32,48 


27,82 


0,00622 


90—10,70 


XII 


50,3 


48,5 


27,16 


23,14 


0,000170 



Thermische Änderunf/en der Elastizität shonstanten, 665 



Es ließ sich ferner aus dem rechts wie links wirkenden 
Drehungsmomente üf = p x 981 X 5,2 und der Pfeilhöhe A, da 

h 



Ar= 2Ena^ 



(2uf 



ist, der Elastizitätsmodul E bestimmen. Mit 2 i? = 5,1 mm 
=■ 0,51 cm, 2 tt = 14,2 cm wird 

log^ = log^ + 4-0,1196 

und es ergab sich: 



05 

14 • 
12» 

10« 
9« 



Pfeilhöhe Ä in 


Die rechts 








cm über der 


wie links 




log ^ 




Horizontaleo 


ziehenden 


log ;if 


log E 


durch die ! Gewichte 






fixen Punkte 


p in gr 









E.IQ" 



10 



0,154 
0,240 
0,330 
0,415 
0,450 



133,4 


5,8329 


6,6454 


260 


6,1227 


6,7425 


309 


6,1977 


6,6792 


365 


6,2700 


6,6519 


405 


6,3152 


6,6620 



10,5258 
10,6229 
10,5596 
10,5323 
10,5424 



3,856 
4,197 
3,627 
3,407 
3,487 



Mittel 3,615 



Es fand sich demnach für den Elastizitätsmodul E der 
Mittelwert: 

E = 3,615 . 10 ^^ C.G.S. = 368,5 kg/mm». 

Zur Eontrolle dienten Beobachtungen über die PfeüUefen 
h, welche zwei weitere, mit ihren Enden frei aufliegende Hart- 
gommist&be derselben Fabrik bei einer Belastung P in der 
Mitte aufwiesen. Der Elastizitätsmodul E bestimmte sich 
dann nach der bekannten Gleichung: 

~ h ' 



^= T2nf^ 



Für den ersten Stab war die Länge / = 240 mm und die Dicke 
2rB7^44mm und gehörten zu den Gewichten P 0,b, 1,0, 
2,0 kg die Pfeiltiefen h 2,'), 6,0, 13,1 mm, woraus sich für 
E die Werte 330, 319, 292 kg/mm* ergaben. 

Der zweite Stab hatte die gleiche Länge von 240 mm, 
eine Dicke 2 r s 6,22 mm und entsprachen den Zugkräften P 
▼on 0,6, IjOkg die Pfeil tiefen h: 5,9 und 13,1mm, woraus für 
E die Werte 332 und 299 kg/mm^ folgern. 



566 



Ä. Watsmuth. 






K 





C 


Prf 






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A 


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M 


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1 


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Ol 
00 



CD 



er 2. 

CT. 00 

B g- 
S- p 

CD ^^ 
5 CD 

P ^ 

p SP 

00 *• 
CD P 

Q SS* 



I ä: 5 

, , CD 



E ^. 

OD & 



Thermische Änderungen der Elastizitätskenstanten, 567 



Um zu sehen^ wie sich andere Hartgummistäbe in dieser 
Hinsicht verhielten, untersuchte ich auf gleiche Art noch einige 
Stäbe, die ich der Gefälligkeit der ^^ungarischen Gummiwaren- 
fabriks-Aktiengesellschaft in Budapest'^ verdankte. 

Ein Stab (Qualität HNll) von der Dicke 2a = 4,89 mm, 
dem spezifischen Gewichte <7==1,27, dem Elastizitätmodul 
312 kg/mm' wies ebenfalls einen positiven Wert der Größe 



6 =a 



1 dE 
E BT 



auü Die Temperaturänderungen & bestimmten sich hier aus: 
und ergab sich: 



Zeiger am 
Gradbogen 



S 



> 



Erster 
Aus- 
schlag 
Ä 



Erste 

Distanz d. 

Umkehr- 
punkte 



& 



Mittel 



16,0— 14,5 <> 


1 


2,1 


2,4 


1,34 


0,76 


0.00045« 


14,5— 16,0 <> 


2 


2,9 


1,7 


0,95 


1,95 


0,00116« 


15,3— 11,8 <> 


3 


6,1 


6,0 


3,36 


2,74 


0,00163« 


11,8 — 15,3« 


4 


5,8 


5,4 


3,02 


2,78 


0,00165« 


15,8— 11,8 <> 


5 


5,2 


3,0 


1,68 


3,52 


0,00209 « 


11,8— 15,3 <> 


6 


5,3 


4,8 


2,69 


2,61 


0,00155« 


15,0—11,0« 


7 


8,8 


8,7 


4,87 


3,93 


0,00234« 


11,0—15,0* 


8 


9,8 


8,8 


4,93 


4,87 


0,00290« 


15,0 — 10,0 <> 


9 


10,8 


9,4 


5,26 


5,54 


0,00330« 


10,0— 15,0 • 


10 


9,4 


8,8 


4,93 


4,47 


0,00266« 


15,0 — 10,0« 


11 


12,3 


11,7 


6,55 


5,75 


0,00342« 


10,0—15,0« 


12 


9,1 


8,3 


4,65 


4,45 


0,00265« 



I 



0,00081 



7Q 



0,00173 



0,002G2 « 



0,00301« 



Aus dem bekannten Werte des Elastizitätsmoduls E und 
den beobachteten Pfeilhöhen h ließen sich femer die ange- 
wandten Drehungsmomente M berechnen und hiermit aus der 
Voigtschen Formel a bestimmen. Es wurde erhalten für 
die Biegung entsprechend der 



Drehung von 16« auf 11,8« « = + 36,4 x 10~* 

+ 36,6 X 10-* 
+ 33,5 X 10-* 






>» 
», 



16« 
16« 



>i 



„ 



11,0« 
10,0« 



8 

c 



568 A, WcLSsmuth. Therm. Änderungen d, ElastizitäUhanstanien. 

somit fand sich im Mittel für diesen Stab: 6 = +85,5 X 10~* 
(die den Biegungen 16 S 11,8«, 11,0^ 1 0,0 <» zugehörigen Werte 
der Pfeilhöhen h waren: A = 0,14, 0,33, 0,38, 0,42cm). 

Diese zwei Hartgummistäbe verhielten sich demnach 
zweifellos auch bei wiederholten Versuchen entgegengesetzt wie 
die Metalle, indem für beide 6 positiv ausfiel. Bei einigen 
anderen Stäben ergaben sich indes auch negative Werte für 
6 und bei einem Stabe war die Änderung des Elastizitäts- 
moduls mit der Temperatur fast Null zu setzen. Worin diese 
Verschiedenheit begründet ist, läßt sich heute noch nicht er- 
orkennen. 

(Eingegangen 26. September 1903.) 



569 



72. The Propagation of Waves through 

dispersiye Media. 

By Arthur Sohuster in Manchester. 

1 . When a group of waves passes over a sheet of water, 
the group as a whole is propagated wiih a velocity different 
from that of the waves. The subject has been investigated 
mathematically, by Osborne Reynolds, Stokes^ and Lord 
Rayleigh. The latter drew attention to an important optical 
application, and showed that if the velocity of light is de- 
termined experimentally in a medium in which different 
wavelengths are not all propagated with the same velocity, it 
is the ^'group velocity" that is really measured. 

Some misunderstanding seems however to exist as to the 
real nature of the phenomenon^ which is sometimes spoken 
of as if the group moved forward as a whole without change 
of shape. It may be of interest therefore to follow out in 
detail a particular case in which the whole process of the 
wave propagation may be calculated. 

2. I imagine a medium in which the wave velocity v, and 
the wavelength X ^ 2n j x are connected by the relation 

(1) v^u + ßjx 

where u and ß are constants. 

A displacement t/ = (p(x) may by Fourier's Theorem be 
put into the form 

OD +00 

(p{x) ^ — l d X l d a (p [a) cos x (a: — a) , 



- 00 



where the right band side may be considered to be the limit 
of a sum of sinusoidal displacements. If these are propagated 
with a velocity v, the displacement at time / is 

00 + cc 

(p(x, t) ^ - l d X l d a (f [a) cos x{x •— a — vt). 



-X 



570 A, Schuster, 

If we Substitute | = jr — w ^, v being a constant, the result 
of the Integration is seen to be simply (p{x -- vi), which re- 
presents the well known law of propagation of a disturbance 
in a medium shewing no dispersion. In the case we are 
considering now, in which v = u + ß J x the Substitution 
I = a: — M ^ gives 

00 +00 

(p{x, ^ = — j dx jda(p{a)coslx{^ — a) — ßt], 

+00 

Let 

OO +00 

(2) V (S) = v/'' */'' " f (") "" *(!-«) 

- 00 

the right band side being Fourier's integral, with the 
difference that the cosine function is replaced by the sine 
function. 

The above equation then becomes 

(p{x, t) ^ (p{x -- u t) cos ßt + %p{x -^ ut) sin ßt, 

This equation gives the law of propagation of any 
disturbance, travelling through a medium, in which the law (1) 
holds. 

After successive intervals of time equal to 2;r//S, be- 
ginning with t =^0. the displacement takes periodically the form 

(p(x ^ ut) 

which gives the original shape shifted through a distance 
2nulß, 

At these instants of time, the group of waves has the 
Position it would occupy if it had moved with a velocity u 
without change of shape. But at intermediate times, there is 
no such simple displacement of the group. At a time nfß, 
the displacement takes the form 

— qp (a: — w ^) 

which represents a complete reversal. At the time jr/2/9, 
the displacement is 

\/j{x -^ ut) 

and in general, cannot be calculated more definitely unless the 
fiinction (p' can be evaluated. 



Propagation of waves. 571 

I had obtained the above results a good many years ago, 
bat did not publish them^ as I hoped to be able to find some 
examples wbich could illustrate the mathematical equations. 

In this I was unsaccessfal^ until recently my coUeague, 
Professor H. Lamb, supplied me with two cases in wbich the 
integrals could be found, and wbich fumish interesting 
examples of wave propagation. 

Ex. 1. 

If 

the Integration indicated in equation (2) may be performed, 
and it is foand that 

W [X] = — r- -i- . 

£x. 2. 

K 

(jp (z) = 1 for ar* < t* 

= „ x>>r> 

it may be shewn that 

3. To apply the first example, we consider a displacement 

I« 

er, writing y ^ x jr 

_ 1 

The curve of the displacement is represented in Fig. 1, 
while the function 

is shewn in Fig. 3. 

The propagation of the wave shewn in Fig. 1 may now 
be followed in detail The displacement is determined by the 
equation 

T* C08 ßt x{x — ufJBin ßt 

{X -Uf)* + T* "^ (05 - t« 0" + T* 

or, if 



672 



A. Schutter. 



Fig. 1 to 9 represent a complete cycle illustrating the 
change of shape of the wave. To follow its propagaüon, it 













/ 


\ 


■■■' ■ 












TTT-; 










J 


\ 








^^^ 




m.1. 




9 = 


ff 


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1 


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\ 


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!7 














J 


N 












Ji0,2. 












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r 













JfyJ. 












J 


X 












^.v. 


















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^ 


/ 
























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/ 












i^e. 












A 


/ 


















- 


_^ 




i 


y 












Fig,!, 












/^ 


^ 





















-^ 




r 


\ 












FLff.S, 












1 


V 
























/ 


\ 












Ftff,9. 



mu8t be imagined that successive figores are shifted tfarough 
distances corresponding to the group velocity u, 

It will be noticed that in Fig. 2 the maximum of the 
wave is shifted to the right, and has moved forward therefore 



PropagatUm of waves. 573 

with a velocity greater than that of tbe group velocity, at the 
8ame time a minimum has appeared at / =: — 2,4. This 
minimum moves forward until, when cos ßt^^l (Fig. 5), it 
occupies the central position. In the mean time, the maximum 
has moved away towards the right. with increasing velocity to 
iofinity. 

Figs. 6 to 9 shew the gradual re-establishment of the 
original shape. 

4. The condition for the maximum or minimum of the 

displacement 

C08 ßt •\- f Bin ßt 



redaces to 


-' 1 + r* 




(1 -y»)8in/9^= 2y QO%ßt 


or to 




(4) 


y = tan \ßt for the maximum, 


and 





= ~ cot \ßt for the minimum. 
The abscissa of the maximum is 

= W/+ T ian^ßt 

and the velocity of propagation of the maximum is therefore 

ti + \ß sec* ßt 

which is always greater than the group velocity. 

The Ordinate of the maximum is obtained by putting the 
Talue of y from (4) into (3) which yields 

Similarly the minimum is 

- TT^r = - sin* J /9 / . 

The sum of the height of the maximum and the depth of the 
minimum is therefore constant 

5. Figs. 10 to 14 illustrate the second example. This 
case possesses only mathematical interest. Owing to discon- 
tinoity of displacement, the wave rises to infinity at two points, 
and these points move forward with the group velocity. 

The iigures only shew the first half of the cycle through 
which the disturbance passes, the manner in which the original 



574 



Ä, Schuster* 



shape re-establishes itself in the second portion of the cycle 
may be seen if the figoros are looked at in the inverted 
Position. 



























Fig.10, 








































j 


























/ 


v_ 










fig^it 












^ 






















































J 


v^ 










Itff.t2, 














( 






















































^ 










Fig,13. 












^ 


) 


























f 






































Hg,f¥. 















































































6. It has been assumed in the above that the law of 
dispersion is that represented by equation (1), but in the 
general case, we may still apply the same method, when the 
group of waves is made up of elementary waves which are all 
of nearly equal length. A new proof of the mathematical 



Propagation of waves, 575 

expression für the group velocity^ which is more general than 
the one usually gi^en, may ihus be ohtained. 

Let all waves diifer infinitely little from X = X^, Then 
the velocity for tho ränge of wavelengths concemed, may be 
expressed by 

= (''-^-äi).= ;, + MJl)^ = 4 
~\ dljk^x^ »\ du) H^w.' 

This agrees with (1) provided that 

I) dv 



dn ' 

where on the right band side those values of 

^ dv ji dv 

X, X. -^-^ and ^^ , 

must be introduced whicb belong to the wavelengths of which 
the group is made up. 

It foUows that u is determined by 

^ dv , dv 

dl dx 

__ dxv 
"■ dx 

which gives the well known expression for the group velocity. 

(EiDgegangen 26. September 1903.) 



576 



73. Oü Donble Befraction in Matter moYing through 

the Ether. 

Bj D. B. Braoe in Nebraska. 



The Fitzgerald-Lorentz^) "Contraction" Hypothesis to 
explain the negative results of the Michelson-Morley*) ex- 
periment of interference between two rays at right angles and 
parallel to the earth's motion seems to have been made im- 
probable by the negative results ofRayleigh') on the double 
refraction of a medium at right angles to the earth's motion. 
As his observations give a margin of 50 times for a liquid 
and 1^5 times for a solid ^), no extension seems desirable from 
this Standpoint. 

The Suggestion of the "contraction hypothesis*' by con- 
siderations in regard to intermolecular forces analogous to the 
interaction, through the mediation of the ether, of electric 
and magnetic forces, is certainly plausible enough to Warrant 
further examination aside from the insufficient explanation of 
the anomaly for which it was first put forward. That the 
intermolecular forces are not altered by a factor many times 
less than that determined by Bayleigh is found to be the 
case in the medium used. 

Two arrangements suggest themselves, the one, a System 
rotating about a vertical axis, the other a similar System 
rotating about a horizontal axis so as to shift the plane of 
polarization from a position at 45^ to the earth's orbital motion 
through an angle of 90^. In the matter of simplicity, sen- 
sibility and stability the latter method would be preferable. 

However, the first arrangement was selected for the pur- 



1) Fitzgerald -Lorentz, Versuch einer Theorie. Leiden. 1895. 

2) MichelsonMorley, Amer. Jour. of Sei. (3) 34. p. 383. 1887. 

3) Rayleigh, Phil. Mag. Dec. 1902. 

4) The margin as given by Rayleigh is really twice too great, 
since he has taken (10-*)« instead of (10-*)V2. 



On double refraction. 



577 



pose of utiliziDg the same mounting for other experiments. 
A heavy beam was pivoted between the floor and ceiling so 
as to carry a trough with its horizontal axis intersecting tho 
pivotal axis. This System could be rotated continously so as 
to bring it into any desired position. This trough was 413 cm 
long, 15 cm wide and 27 cm deep on the inside and built up 
of 6 cm planking in Order to give sufficient stability to the 
polarizing and mirror Systems which it carried. 

In Order to obtain sufficient intensity through the total 
colnmn, 2856 cm of water used, sunlight was so thrown into 
the trough as to keep its path the same whatever its position. 
The lens 1 (Fig. 1) of about 2 M focus converged the sun's 




rays, from a carefiiUy adjusted heliostat, within the nicol 4, 
alter reflection from 2 and 3. The diverging beam was then 
Buccessively reflected from mirrors 5, 6, and 7 upon the con- 
cave mirror 8. The radius of curvature of this latter was 
about 15 M and was mounted, as were the other mirrors, 
upon brass plates containing adjusting screws fastened to the 
ends of the trough. The axis of the reflected cone was dis- 
placed in a horizontal plane so that the retum ray passed 
through the analyzing System 9 — 11 placed to one side of the 
polarizer. 

The lens 12 converged the light, which would other wise 
haTe come to a focus at a distance of about 2 M beyond, to 
the eye 15 at a distance of 25 cm from 9. Thus the eye 
could observe 9 directly or by means of the telescope 14. 
Both the heliostat mirror and the lens 1 were diaphragmed 
down so that the aperture of the cone of rays was slightly less 

BottoMDii-FMtoehrifL 87 



578 D, B. Brace. 

than that of the mirror 8 whose aperture was about 15 cm. 
This prevented diffused light from the mirror and the water 
reaching the nicol 1 1 to any serious extent and also aided in 
the adjustments of the mirrors so as to keep the rays fixed 
when the trough was rotated. The total reflecting prism 2 
was carried by an universal mounting passing through a rod 
forming the Prolongation of the axis about which the System 
rotated. By properly shifting 1 and 2 the ray 2 — 3 could bo 
brought exacüy in the axis of rotation so that when the trough 
was rotated the return ray at 9 remained at a definite point 
in the field of view. 3 and 4 were then shifted until the ray 
pässed through them symmetrically. Any change in the 
direction of the incident ray at 1 would of course cause a 
shift but by properly regulating the heliostat this could be 
avoided. However, with such a long optical lever slight irre- 
gularities might occur after a rotation, but these were always 
compensated for before observing the field of view by adjusting 
2 until the beam of light occupied the exact position it did 
previous to rotation. 

The polarizing nicol was either one with ends normal to 
the ray or, if of the ordinary type, mounted in a cell with 
thin Cover glass ends so as not to affect the ray when the 
System was under water. The analyzing nicol was a Glan- 
Thompson of 15 mm aperture. The analyzing and polarizing 
Systems together with the prism s and lens were mounted within 
tubes to prevent access of the water and upon a common 
cross-piece fastened to the trough. By adjusting 8 the cone 
of rays could be sent into the analyzer symmetrically so as to 
tili completely the field of view. The principal planes of the 
nicols were crossed and at 45^ to the vertical plane. A 
metal diaphragm was placed lengthwise between the entering 
and the emerging rays and between the mirror 5 and the 
polarizing System so as to prevent scattered light reaching the 
analyzer. 

A delicate method, a detailed description of which I give 
elsewhere, was used for observing the slightest trace of double 
refraction. 9 was a thin strip of mica which I will designate 
as the sensitive strip of order A/100 = 0,0012 mm thick 
cemented with Canada Balsam between two thin cover glasses 



Or double refracHoR, 

withont double refraction, (he latter being cemented to a brasa 
ring csrried hy an arm extending from a coUar slipping over 
the brass coutaining tube of the nicol. This collar carried an 
arm witb tbe scale divided into some 60 diviaions representing 
half degrees. 10 was a similar thin section of mica nf order 
A/20 approx,, or 0,000 mm thick, cemented similarly and 
coveriog nearly the entire aperture of the nicol 11, This aystem 
wbich I will designste aa the "compensator" was mounted 
OD a collar slipping over the nicol betweeu the collar aud 
Strip of the first aystem. This had an arm for rotating and 
also a pointer passing over the acale referred to. 

In the adjustmeuta 2 was moved until, when the trough 
was rotated completely around, tbe ray as seen on a white 
mark did not shift. Water which had been beated to drive 
out air and prevent minate bubbles forming in it and upon 
tbe mirrors and thna causing ditfuaed ligbt was tben Howed 
into the trough until it covered the aualyziog and polarizing 
Systems. This usually caused a shift of the raya and 2 was 
again adjnsted until the spot of ligbt remained fixed when the 
trough was rotated. 8 was then adjusted until the retum 
rays paased tbrougb the anaiyzer so as to give a unil'orm tield 
of view when examined directly with tbe eye through a small 
circular aperture or by means of the telescope 14, The light 
ftfter its passage tbruugb this 3U naetera of water nppeared a 
beauüful ligbt greea tinL With the mica sections removed 
the nicols were adjusted for extinction wbicb was fairly com- 
plete. Tbe senaitire strip 9 was then tbrown In and rotated 
to extinction and then turned through 45" so as to bring its 
principal axis at 45" to tbe principal plane of the anaiyzer. 
10 was then placed in position and turned until tbe field on 
each side was of tbe name intensity aa that of tbe sensitive 
strip. The eye thus aaw tbe fietd of viow illuminated uni- 
formly witb greeu light in tbe neighborhood of thia sirip. The 
alightest trace of double refraction in the direction desired 
wonld at once make itself evident in the relative increase or 
diminution of the light from the strip. 

Tbe conditions of maximum aensihility in Photometrie 
comparisons, namely a vanishing line and a uniform tield, was 
tbos attained. Ä small piece of glass compressed vertically 



^ 



580 -D. B, Brace. 

to the slightest degree with the fingers placed afber the 
polarizer 4 showed a sharp change of intensity at this boun- 
ding line. A match could be immediately obtained by rotating 
the compensator 10. By noting the position of the pointer 
for a match and then shifting the same until such a change 
could just be detected, a measure of the sensibility of the 
System could be obtained. This angle was found to be 0^2^ 
under favorable conditions. At each Observation the sensibility 
was determined. A match was obtained with^ say the trough 
in the meridian at noon, this was then tumed through 90^ 
into the direction of the earth's orbital motion. The position 
of the retum image at the polarizer was noted and if it had 
shifted in any way it was brought back by the adjustment of 
2 into its initial position and then the iield of view examined. 
In no case could a change be observed^ i. e. there was still 
a match indicating no double refraction. Various positions 
are taken in and at right angles to the meridian with the 
same result. Hence, we may conclude that to this order of 
sensibility there is no double refraction in the water due to 
its motion through the ether. It is evident that a rotation 
of the plane of polarization due to the earth's field of force 
would not affect this match^ as both portions of the field would 
vary in intensity by the same amount To make sure of this 
the trough was rotated through 180^ into the meridian so as 
to reverse the direction; but no eflfect could be observed. It 
is evident that since the rotation due to a magnetic field is 
always in a definite direction and independent of the direction 
of the ray, that such a rotation of the plane of polarization 
would be reversed with respect to an observer moving with 
the trough. Hence, this could not mask any effiect due to 
double refraction. 

A second check was made with a cell of turpentine 
1^6 mm thick whose ends were made with thin cover glasses 
without double refraction which would give a rotation of about 
0,5^, while if we take 0,015** as Verdet's constant for 
water and 0,2 as the earth's field and a length of 30 M we 
find about 0,15^ for the rotation. On inserting this cell after 
the polarizer, no effect could be detected. 

In Order to determine the relative retardation which 



correBpooda witii a given rotation oi' the compensator, the 
polarii^mg and aoalyzing Systems were dismounted and placed 
Oll a Support with their optic axis in line. The syatem was 
illuminated by an acetyleno tiame the Hjjht from which passed 
through green glass or celluloid of about the same tiiit as 
tbat ohtained at'ter passage through the water. The sensitivo 
atrip, compensator, a quarter wave plate mouuted ou a ver- 
tical circle and a vertical strip of glass capable of carrying a 
weight, and, in addition, a microineter screw carrying two 
horizontal cross wires in front of a horizontal strip of glass 
held within a clamp so as to prodtice a flexure, were arranged 
to be placed in the path of the light. The order of the micii 
quart«!' wave plate was found to be approxiniately Jl/4 for 
green light X = 0,0005 mm by comparison in the usual way 
with a quartz or aelenite wedge. 

With the nicols crossed and the plane of polarizatiou at 
45° to the vertical, the circle carrying the quarter waye plate 
was adjusted uutil the light was extingutshed and the meau 
of its positions for a number of settings noted, The sensitive 
Btrip was theu throwu in with its asis at 45" to the plane ot 
polarization and after that the conipensator which was set for 
a match. By rotating the quarter wave plate this match was 
destroyed, but by rotating the conipensator this could again 
be obtained. In this way the rutardation of the uompensator 
could be at once delermined in terms of that of the quarter 
wave plate. Thus, a rotation of 5" of the compensator 
corresponds to IB' of that of the quarter wave plate. It was 
found that the rotation of the compensator was proportional 
to that of the quarter wave plate approximately for these small 
sngles. 

A farther comparison was made with the vertical crowu 
glass Strip. This was 13 mm wide and 2 mm thick. The 
qaarter wave plate was removed and this strip iuserted instead 
and a setting made with the compensator. Od adding 2U0 gms. 
a match was obtained on rotating the compensator through 
2,5*", From this can be calculated the relative retardation 
produced in glass per unit weight and unit width. Anolher 
comparison was made with white light from the acetylene tianie 
direct by removing botb strip and compensator and inaerting 



582 B. B, Brace. 

the micrometer and horizontal glass strip in addition to the 
vertical glass strip. When the clamp for producing flexure 
was screwed up a horizontal black band appeared between the 
two cross wires. For one flexure^ where the band was quite 
distinct^ 500 gms. on the vertical glass strip gave a reading 
of 36 on the micrometer screw and 200 gms. gave 14 thns 
showing the proportionality. A moment of the cross wires, 
just sufficient to observe a shift, gave a reading of 12, which 
was the sensibility of the System for that flexure. On re- 
leasing the screw until the flexure was so far reduced that the 
band was barely visible 200 gms. gave a shift of 28 divisions 
and 100 gms. gave 11 divisions as near as could be observed, 
and this was the smallest weight which could be observed to 
produce any double refraction. A direct shift of the cross 
wires gave 13 divisions as the sensibility. üsing direct white 
light and the sensitive strip and compensator 0,P rotation of 
the latter could be detected, thus giving it a sensibility of 

^ X 0,1 = 8 gms. 

or 12,5 times that of the band under similar conditions of 
light intensity and adjustment. ^) With greater intensity and 
more careful adjustment higher sensibility could be obtained 
by both methods. In fact Bayleigh using lime light and a 
black band has been able to detect a weight of 25 gms. on a 
vertical glass strip 15 mm wide or a sensibility over four 
times as great. 

From the above data we may calculate the least change 
in the index which could be observed if the water had become 
doubly refracting. If ö is the angle which the plane of 
polarization makes with one of the principal axis of the mica 
then the component vibrations or the principal axis of the 
resultant ellipse in the quarter wave plate are in the ratio of 
tan d to 1. For small angles then the ratio of the change 
of phase to the total or A/4 is proportional to the angle 6. 
Thus 1® rotation of the mica gives 



45 4 180 ' 



1) A comparison with a Bravais sensitive tint biplate gave 100 times 
the sensibility for the sensitivestrip. 



On double refractioii, 583 

but 16' of the quarter wave plate was equivalent to 5" of tho 
compensator, and as 0,2^ rotation of the latter could be de- 
tected, this reduces to 

approx. for green. The total patli of the light in the water 
was 2856 cm. Taking its index as 1,33, tlie number of 
waves is 

0,00005 ''^ ^ ^" • 

As 6 X 10"^ of a Single wave could be detected the fraction 
of the total would be 



6x 10-5 X ^1^. X 10-^ = 7,8 X 



10 



- 13 



This represents the greatest di£ference in velocity or in index 
between the two components which could exist referred to that 
of water ^) for green light, X = 0,00005 cm. 

Mascart^ has shown that in the case of water under 
compression the increment in the excess of the index above 
unity is nearly proportional to the increment of its density. 
If in the movement of matter through ether an incrcase in 
density in its direction took place, producing a change in the 
natural frequency of the molecular Systems similar to that 
which occurs in glass say, then to determine how great it might 
be from these results, it is necessary to measure the increment 
in phase which represents the sensibility of the experiment in 
terms of the excess of the index above unity. This excess of 
index is 1/3 while the index is 4/3, hence our limit should 
be four times larger or 3,1 x 10"**. The greatest change 
which could be expected is the difference between unity and 



1/ 



r« 



1 - - 



where v is orbital velocity and V light velocity or 



1) For carbon bisulphide Rayleigh obtained the corrcsponding 
limit of 4 X 10-" for yellow light. His retardation was caiculated 
firom Wertheim*8 results. This checks with the data obtaiucd above 
as 200 gms. gave 2,5°, hence 25 gms. would give 0,31° or Id 13000 in- 
staad of Zd/ 12000 which he gives. 

2) £. Mascart, Optique T. 3. p. 613. 



584 D, B, ßrace, On double refraction, 

i^'r = i(10-r = 5xl0-» 

or about 1600 times greater than the smallest e£fect which 
conld be observed.^) 

The efFect of the change of the order t?*/F* in the fre- 
quency, on the index of the moving molecular vibrations 
relatively to the ether Impulses in the direction of motion, 
is far too small to be observed. Thus the index of water for 
frequency 5,1 x 10^* is 1,334 and for 6,9 x 10^* is 1,341. 
This gives for ä fractional increase in frequency of 4/3 a 
fractional increase in index of 0,007 X 4/3. Hence, the 
fractional increase in index due to a change of frequency of 
Order 10-® is 

^^~* X 9 X 10-3 = 7 X 10-25 



4/8 X 10»* 

while the smallest observable change was 7,8 x 10-^*. The 
results of this experiment Warrants the conclusion that either 
the ether moves with the imbedded matter or that the efFect 
of the relative motion on the intermolecular forces and the 
possible consequent relative change in dimensions are excee- 
dingly minute. 

üniversity of Nebraska Lincoln, Sept. 1903. 

1) For carbon bisolphide Rayleigh carried his observations down 
to 10 - " or about fifty times and for crown glass 3,3 x 10 - • or one 
and a half times smaller than the contraction necessary to account for 
the Michelson-Morley experiment 

(Eingegangen 26. September 1903.) 



585 



74. Über die Beziehung zwischen 
Barometerschwanknngen nnd Kontinnitätsgleichnng. 

Von Max MaiguXeB in Wien. 



Wir bezeichnen mit p^ p^ den Luftdruck in zwei Punkten 
der Vertikalen am Boden und in der Höhe h, nehmen an, 
daB die Differenz in bewegter gleichwie in ruhender Luft ge- 
geben ist durch 

h 

(A) p = Po-rH=ffft^^^* 



worin fi die Dichte in der Höhe 2 bedeutet Der Kürze wegen 
setzen wir die Schwcrebeschleunigung ff konstant (Annahme B) 
und betrachten den Boden als Ebene xy (Annahme C). 
Aus der Kontinuitätsgleichung 

dfi , d jfiu) d(fiv) d (}i w) _ ^ 
dt "^ dx "^ dy "^ ö* "" 

(n, V horizontale Geschwindigkeitskomponenten, w vertikale, 
t Zeit) erhält man, wenn man den Faktor ff dz beifügt und 
über das Höhenintervall bis h integriert ; femer u, t) einftihrt^ 
durch die Definitionsgleichungen 

h * 

pU= jfffJLudZj pt)= IfffJLVdz 



die Gleichung fllr die zeitliche Änderung von p 

W "öi + -fx + -TT+fff^"^^ = 0. 

Dies gilt allgemein ftbr jedes A. Für eine sehr große 
Höhe woUen wir die Annahmen einftlhren 

(D) Ph^O, (E) ^«r, = 0. 

Dann ist p ^ Po der Druck am Boden, u, t) sind die 
mittleren horizontalen Geschwindigkeitskomponenten in der 



586 M, Margules. 

Einheitssäule im Ort xy zur Zeit t Das Mittel ist derart ge- 
bildet, daß die u, v jeder Schicht der Säule mit dem Gewicht 
derselben Schicht genommen sind. Es folgt 

eine Gleichung von derselben Form wie die Eontinuitäts- 
gleichung der ebenen Bewegung. Man kann dafiir auch 
schreiben, wenn 

c die Resultante von u, D ist, 

8 eine Kurve, deren Tangente im Sinn des wachsenden 
Bogens in jedem Punkte die Richtung des c zur Zeit t 
angibt, 
Sn das Normalenstück zwischen s und einer bestimmten 
Nachbarkurve s' derselben Art 

^ ^ dt ön ds 

Die zeitliche Änderung des p^ hängt ab von den örtlichen 
unterschieden der c, Sn, p^ längs der Linie s. Den Einfluß 
jedes einzelnen Faktors kann man leicht angeben: 

Wenn längs s örtlich konstant sind 

/>, und Sn (2i) ^= ^ Po^^ 



Po ^^^ c (2,) 



^Po PoC ddn 



dt ön d s 

c und 5« f2,)^=-c^/^. 

Nach den Voraussetzungen von (2j) sind die «-Linien 
parallel und fallen in der Nähe des Beobachtungsortes mit 
den Isobaren am Boden zusammen, oder sie liegen in einem 
Gebiet gleichen Druckes. Um den Wert dcjds zu bestimmen, 
der bei Druckänderungen nicht zu seltener Art eintritt, postu- 
lieren wir, daß das Barometer um 1 mm in der Stunde steigt 
und setzen /?^ = 760 mm Hg; dann ist 

p- = - ^.— J — = - 10-'.3,65(sec"») 

da ' 760 3600 sec > v / 

ds = 10^ m gesetzt gibt c?c = — 0,04 m . sec""^ Wenn die 
resultierende Geschwindigkeit in einem Punkte der «-Linie 
beständig um 0,04 m/sec größer ist, als in einem 100 km 
stromabwärts entfernten Punkt derselben Linie und der Abfall 



BarometerschwankuHgen und Kontinuitätsgleichung, 687 

gleichmäßig, steigt das Barometer auf der ganzen Strecke um 
1 mm in der Stunde. 

(In derselben Zeit kann die Geschwindigkeit des Windes von 
verschiedener Richtung, in verschiedenen Höhen bis 40 m/sec 
betragen. Wie genau müßte man den Zustand kennen, um 
aus der Kontinuitätsgleichung anzugeben, ob in der nächsten 
Stunde das Barometer steigen oder fallen wird.) 

(2,) gibt die zeitliche Druckänderung an, die durch Diver- 
genz der «-Linien bei konstantem c in einem Gebiete gleichen 
Druckes eintritt. Man kann dafür auch schreiben 

1 ^Po __ _ p ^« 
Po dt ön ' 

wenn a den Winkel zwischen einer festen Richtung in der 
Ebene und der Tangente an s bezeichnet. Mit dem Postulat 
wie oben und mit c b 1 m/sec erhält man für </ n s 1 km, 
da ^ ^ 1,26 Minuten. 

(23) gilt für parallele «-Linien und längs jeder «konstantes c. 
Dabei kann die resultierende Geschwindigkeit eine Funktion 
des Parameters der «-Schar sein. Druckänderung tritt ein, 
wo die Richtung des c von der Isobare am Boden abweicht; 
wegen der Unterschiede von p^ sind die bei Sn, Sn' ein- und 
austretenden Luftmassen verschieden. Wenn c zeitlich kon- 
stant ist, hat (23) das allgemeine Integral 

und wenn noch c im ganzen Gebiet den gleichen Wert hat, 
bedeutet das eine Parallelverschiebung des Isobarensystems in 
der «-Richtung mit der Geschwindigkeit c. Ähnliche Ver- 
schiebungen kommen vor; sie müssen nicht notwendig durch 
konstantes c entstehen. 

Die zeitliche Drnckänderung am Boden ist vollständig 
bestimmt, wenn man p^, u, t) als Funktionen des Ortes kennt; 
u, t> sind aber aus p^ und dp^jöt nicht eindeutig abzuleiten. 
Zu einer «.-Schar läßt sich das zugehörige c . so wählen, daß 
längs jeder Kurve p^^tySn, konstant ist; das gibt keinen 
Beitrag zu dp^jöt Man darf, soweit die Eontinuitätsglei- 
chung allein gebraucht wird, alle für die zeitliche Druckänderung 
unwirksamen Teile von c weglassen. Ein solcher ist bei der 
Parallelverschiebung durch konstantes c der Ausdruck {PIpq)Cj 



588 M, Margules, 

wenn p einen konstanten Drack bezeichnet, sagen wir den 
normalen. Dieselbe Ortsveränderung der Isobaren wie zuvor 
mit (23) erhält man auch bei parallelen t aus (2*) mit der 
resultierenden Geschwindigkeit 



. . c (1 - £) 



Die Geschwindigkeitsverteilung ist jetzt ähnlich der in einer 
fortschreitenden Welle, Bewegung gegen die Fortpflanzungs- 
richtung in den Orten niedrigen Druckes mit der Fortpflanzung 
in jenen hohen Druckes und c' klein im Vergleich mit der 
Geschwindigkeit des Fortschreitens c. — Dieselbe Verschie- 
bung des Isobarensystems kann noch auf unendlich viele andere 
Arten entstehen. 

Man erwartet nicht, daß die Eontinuitätsgleichung allein 
weit führt Den Anlaß, diese Erwägungen zusammenzustellen, 
geben zwei Publikationen ^), in denen der Versuch gemacht wird, 
aus jener Gleichung in Verbindung mit gewissen Hypothesen 
die in einem Tage stattfindende Druckänderang bzw. das 
im Laufe des Tages eintretende Wetter vorauszusehen. Dabei 
kommt es sehr auf die Hypothesen an, die hier nicht diskutiert 
werden. 

Von den Annahmen, die oben eingeführt wurden, dienen 
(B, C) nur zur Bequemlichkeit und sind entbehrlich. (A) ist 
so gemeint: Es ist sehr wahrscheinlich \ daß die statische 
Druckdiffierenz von dem wahren Wert Pq — p^ um nicht mehr 
als 1 mm Hg abweicht, auch bei dem größten Höhenunter- 
schied; mindestens nicht andauernd während eines Tages. Die 
Änderungen von p^ oder p erreichen nicht selten in der gleichen 
Zeit 10 bis 20 mm Hg. Wenn man große Schwankungen be- 
trachtet, kann man (A) als angenähert richtig benutzen. 

(D) und (E) entfallen, wenn man bei der Gleichung (1) 
bleibt. Dann wird aber das Ein- und Ausströmen der Luft 
an der oberen Fläche einen großen Teil der Schwankung 
von p bewirken können. 



1) Felix M. Exner, Sitzungsber. d. k. Akad. d. WisseDsch. zu Wien. 
111. p. 707. 1902; W. Trabert, Meteorolog. Zeitechr. 88. p. 231. 1903. 

2) A. Sprang, Lehrb. d. Meteorologie p. 160. Hamburg 1885. 



Barometerschwankungen und KontinuitäUgleichung, 589 

Nimmt man an, daß die Änderung durch die vertikale 
Bewegung allein entsteht, so hat man 

1 dl) 
^h''^^- gdr 

für das Steigen von p um 1 mm Hg in der Stunde 

--^5^- 3(J)Ö= -0,00378 (kg.m-seO. 

In den Höhen von 10, 20, 30 km die Dichte 

0,42, 0,089, 0,0067 (kg.m""») 
gesetzt, erhält man für tr^ die Werte 

- 0,009 , - 0,042 , - 0.56 (m . sec""^) , 

Geschwindigkeiten abwärts von geringem Betrag. 

Große Änderungen von p entstehen durch andauernde 
kleine Unterschiede der horizontalen Luftzufuhr und Abfuhr, 
auch durch kleine Werte der vertikalen Komponente. Bei 
ungeändertem p können die Wirkungen beider sicli auf ver- 
schiedene Art aufheben; aus der Kontinuitätsgleichung allein 
läßt sich nicht bestimmen, ob eine aufsteigende oder sinkende 
Luftbewegung eintritt. 

In der Gleichung (1) sind stetig verteilte Quellen und 
Senken nur an der oberen Grenztläche angenommen. Wenn 
Luft (Dampf) am Boden austritt oder absorbiert wird, hat man 
den bezüglichen Ausdruck hinzuzufügen. Findet Kondensation 
des Dampfes statt, so gibt es Senken auch im Innern der 
Luftmasse, und der Gleichung (1) ist auf der linken Seite ein 
Glied anzufügen, welches das Crewicht der in der Zeiteinheit 
in der Einheitssäule zwischen und h kondensierten Masse 
angibt 

(Eingegiingen 26. September 1903.) 



590 



75. ün the Intensity of the Natural Radiation from 
Moving Bodies and its Mechanical Reaction. 

By J. Ijarmor in Cambridge. 



The subject of the pressure of radiation, which was first 
reduced into a definite formula by Maxwell, was placed in 
new and most fniitful light when Boltzmann showed, by 
foUowing out an idea of Bartoli, that it stood in intimate 
relation to the law connecting the radiation of a body with 
its temperature. In a recent memoir^) Poynting has based 
very remarkable results^ as regards cosmical dynamics, on the 
Operation of a retarding force due to the back pressure of its 
own radiation when the radiating body is in motion. The main 
object of the present note is to treat this aspect of radiation- 
pressure by more direct methods, and thereby confirm the ex- 
pression for the mechanical reaction against a moving radiating 
surface, that has been deduced by Poynting from general 
considerations^ naturally somewhat uncertain, relating to flux 
of energy. 

The pressure exerted by radiation is essentially connected 
with opacity to it. From formulae developed on other 
occasions *) it appears that in the case of a medium which may 
Vary in its properties in any manner along the direction of 
propagation x, when it is the seat of electric disturbances of 
simple harmonic period 2;r/n, polarised so that the electric 
force is (0, Q, 0) and the magnetic (0, 0, y), the dynamical 
equations being thus in Maxwell's notation 

. dr dQ dr rs K dO 

the mechanical force acting on any block or segment of it is 
representable by pressures of intensity 

1) Roy. Soc. Proc. 1903. Phil. Trans, ibid. 

2) Phil. Trans. 1897A; or more fully in *Aether and Matter'. 1900. 
pp. 130—3. 



Natural radiation from moving bodies, 591 



871 y ^ C^iin" dt* I 



applied to the two ends of the segment, — these pressures 
jüst cancelling each other^ as they ought^ when the segment 
consists of free aether without matter. The mean value of 
this end- pressure is 






where y^ and Q^ represent the amplitudes of y and Q, 

When the amplitudes are diminished owing to gradual 
absorption as the disturbance travels onward, there is thus 
steady mechanical force exerted in the medium in the directiou 
of propagation. When the electric disturbance is incident on 
a transparent reflector there is no resultant force on the 
reflecting surface itself, because y and Q both remain con- 
tinnous in crossing it. When however the reflector is nearly 
perfectly opaque^ the electric forces in front of it in the in- 
cident and reflected disturbances almost cancel each other, 
while the magnetic force just outside is doubled by its pre- 
sence: there must thus be disturbance of the nature of 
altemating electric flux in the skin layer of the reflector such as 
will annul this magnetic field in its interior, and it is the 
electrodynamic forces acting on this layer of current that 
constitute the aggregate electric pressure, which can be shown ^) 
to agree with MaxwelFs formula. 

From this way of considering the mechanical force, it is 
readily verified that when the incidence on the reflector is 
oblique, Poynting is right in taking the incident and reflected 
wave-trains each to exert their füll oblicpe thrust on the 
reflector along their directions of propagation. 

For radiation to exert steady non-alternating pressure on 
a small body, it must^ be of opaque material. A dielectric 
mass constituted of perfectly elastic elementary vibrators should 
not be repelied by radiation. In illustration, consider the 
simplest type of vibrator, an electric doublet consisting of 
charges + e and — e separated by a varying distance /, 



i; L. c. p. 133. 
2) L. c. 



592 /. Larmor, 

parallel to ar, so that its moment 3f is el, When it is 
subjected to a simple waye-train travelling along x with 
electric force (0, 0, Ä cos pt) and therefore inagnetic force 
C~^(0, Acosptf 0), the equation of its forced Vibration is 

—j7i h K^M= e A cos pt, 

so that 

and, the vibrator constituting a current element dMjdt, the 
magnetic field pushes it along z with a mechanical force 
ßdMjdt, which is 

P \^-~p* cosy^sin/?^ 

This electromagnetic force is however purely altemating and 
so adds up in time to nothing: the only way to obtain 
steady mechanical pressure on the vibrator is to put the forced 
Vibration out of phase with the exciting field by the intro- 
duction of a frictional term into the equation of Vibration, 
which will correspond to opacity. 

In the theory of exchanges of radiation it is customary 
to represent a perfect reflector as a body of very high electric 
conductivity. Any body across which the radiation cannot 
penetrate is as already stated subject to a pressure from the 
radiation just outside it, determined by MaxwelTs formula. 

It is worth while to verify explicitly that the absorbing 
quality which must be associated with this pressure does not 
act so as to vitiate the perfection of the refiexion by de- 
grading the energy. This is of course readily done. The 
equations of wave-propagation already formulated lead to 

Writing 

this gives 

p^ = K fiC^^n* + 4n fianc. 

Thus if the conductivity <t is largely preponderant we may 

write 

p = {2nfjLn(T)'l*{\ + i), say = r(l + i). 



Natural radiation from moving bodies. 593 

Taking the real part^) 

Q = Ae^^^e -»"«cos rx 

the heat developed per second comes out to be 



Now if A^ is the coefficient for the waye-train directly 
incident from the free aether and A' that for the wave-train 
reflected back, the continuity of Q and of fjL-^dQjdx across 
the surface gives 

to that 

and passing again to real parts by taking modali, the am- 
plitnde of the incident train is approximately 

\(fA-naC)'ltA. 

The energy incident per second is thus 

-^- C.\fi-naCA^ or ,/' ktr, 

of which the part degraded thus forms a negligible fraction 
inversely proportional to the Square root of the conductivity o-. 

The waves are thus tumed back without sensible loss by 
degradation, because for an ideal good conductor the surface 
layer is at a node of the electric force. There is superficial 
current in the conductor which gives rise to the Maxwellian 
repolsion by the agcncy of the magnetic field; while there is 
no sensible electric resistance, the small electric force near 
the node establishing the necessary current without production 
of heat 

The conditions which here obtain for very high con- 



1) Biit thifl ifl for stationary waves; it shonld haye been for pro- 
ve wayes © = -4 e -»• ■ cos (nt -^ rx)j giviog 



4r 8 



n[(iC) • 



Boltunaim-FeBtschrifl. 38 



594 /. Larmor, 

dactivity and short waves also hold for lower conductivity and 
longer waves. For long heat-waves the proportionality of the 
absorbing powers of metals to the Square roots of their specific 
resistances has, as is well known, been discovered by Hagen 
and Rubens, and explained in advance by Drude and afber- 
wards by Planck; this obserration carries the interesting 
result that the resistance coefficients are nearly the same for 
such heat waves as for ordinary steady currents. 

Any doubt that may be entertained as to whether radiation 
exerts a back pressure on the bodythat emits it, may be 
diminished by considerations of the kind here employed. The 
emitting body being opaque, the source of the radiation is 
vibratory disturbance of electrons in its surface layer; these 
constitute a self-damped current sheet which is pushed back 
by the magnetic field it produces, precisely as happens for the 
corresponding current sheet at a conducting surface on which 
radiation is incident as above. 

We now proceed to our problem of the radiation from a 
moving body. Consider an enclosure, with ideal perfectly re- 
flecting walls, at a uniform temperature throughout and thus 
pervaded by the steady natural radiation corresponding to that 
temperature. The principle of Carnot requires that we cannot 
by cycles of slow movement of the bodies in the enclosure, 
transform any of this energy at uniform temperature into 
mechanical effect through the agency of the pressure of 
radiation. There must therefore be a unique state of density 
of the total enclosed radiation, independent of the nature of 
the surfaces of the bodies in movement; for otherwise direct 
movement with one kind of surface combined with the reverse 
movement with another kind would constitute a working cyclo. 
The steady aggregate density of radiant energy in the en- 
closure is therefore not affected by the motion of the bodies; 
indeed if this were not so, by opening and closing a window 
in the enclosure while it is moving at different speeds, cycles 
could be established which would violate Carnot's principle. 
Now compare a moving perfectly reflecüng surface, which 
reflects back all the incident radiant energy, with the same 
moving surface rendered perfectly absorbing; this is allo wähle, 
the analogous change from conducting to non-conducting being 



Natural radiation from moving bodies, 595 

contemplated in elementary thermal reasoning about Carnot's 
principle. It foUows from the theory of exchanges, that in the 
State of equilibrium the radiation that is retumed must be 
the same as regards Constitution and intensity in both cases. 
Now the Solution of the electrodynamic problem of reflexion 
firom a moving perfect reflector is known^); therefore the law 
of the radiation from a perfect radiator in motion is deter- 
mined in complete detail. Wlien the reflector is advancing in 
a stationary enclosure, the energy-density of the reflected 
radiation is greater than that of the incident, and the excess 
is a fraction of the latter equal to four times the ratio of the 
velodty of the reflector in its direction to the velocity of 
light.^ Thus when the enclosure is moving as well as the 
reflector, the energy of the incident stream Coming from its 
receding walls is in defect by twice the ratio of these velo- 
cities and that of the reflected stream is in excess by twice 
the same ratio. This latter factor therefore also expresses 
the excess in the volume- density of natural radiation Coming 
from a perfect radiator that is produced by its own advancing 
motion; but in a detailed specification of this radiation the 
modification of the wave-lengths in accordance with the 
Doppler principle is also to be bome in mind. 

A di£ferent and generalised mode of treatment may also 
be adopted, based on Lorentz's transformation for passing 
frt>m the field